一類數(shù)列極限的推廣與應(yīng)用

戴立輝， 黃建吾， 王宜潔

(閩江學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，福州 350108)

1 引 言

《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》(The American Mathematical Monthly)2019年第4期的數(shù)學(xué)問題與解答刊登了這樣一則數(shù)學(xué)問題[1]：

該問題的詳細(xì)解答可見參考文獻(xiàn)[1].本文擬對(duì)此問題中的數(shù)列構(gòu)造作一般化處理，對(duì)該問題進(jìn)行推廣討論，適用于更廣泛的一類極限問題，得到如下定理.

2 一般形式

(1)

由此兩式可得

(n+1)xn+1-nxn=f(xn),

(2)

或

(n+1)(xn+1-xn)=f(xn)-xn，

從而

(3)

由題設(shè)知，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x-lx1+m+o(x1+m)，故當(dāng)n→∞時(shí)，

(4)

(5)

由式(2)得

上式兩邊令n→∞，則有

(6)

再次利用Stolz定理，有

利用式(3)和(4)，當(dāng)xn→0時(shí)，

從而

利用式(6)，得到

(1)

取f(x)=sinx，則當(dāng)0

因此由式(1)知

下面進(jìn)一步通過實(shí)例說明前述定理的應(yīng)用.

3 應(yīng) 用

(7)

注 若對(duì)參數(shù)α,q賦予具體數(shù)值，可得很多相關(guān)數(shù)列的極限.

(8)

令f(x)=ln(1+x)(x>0)，容易證明0

故由前面已證的定理知

(9)

令f(x)=arctanx，不難證明0

故由前面已證的定理知

因此

(10)

f(x)=x(1+xλ)-p=x(1-pxλ+o(xλ))=x-px1+λ+o(x1+λ)，

故由前面已證的定理知

(11)

注 若對(duì)參數(shù)λ,p賦予具體數(shù)值，可得很多相關(guān)數(shù)列的極限.

故當(dāng)x>0時(shí)，h(x)單調(diào)遞增.又h(0)=0，所以h(x)>0，從而當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，而g(0)=0，所以g(x)>0，因此當(dāng)x>0時(shí),f(x)

故由前面已證的定理知

(12)

利用函數(shù)ex,e-x的冪級(jí)數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算知，當(dāng)x→0時(shí)

故由前面已證的定理知(取f(x)=tanhx)

證首先證明，當(dāng)0

(13)

0

故由前面已證的定理知

(14)

證由sinx及arcsinx的冪級(jí)數(shù)展開式知

從而

故當(dāng)0

arcsin(sin3x)

(15)

令f(x)=x-arcsin(sin3x) (0

當(dāng)x→0時(shí)，由于

(16)

(17)

當(dāng)x→0時(shí)，由tanx的冪級(jí)數(shù)展開式知

故由前面已證的定理知

因此

(18)

由于滿足前述定理?xiàng)l件的數(shù)列有很多，故下面再列出幾個(gè)供讀者練習(xí).

4 結(jié) 論

本文對(duì)已知命題的條件進(jìn)行一般化處理，同時(shí)適當(dāng)增加約束條件，適用于一大類型極限問題的研究.同時(shí)，定理的證明及應(yīng)用僅涉及到高等數(shù)學(xué)常見的幾個(gè)極限定理如單調(diào)有界定理、Stolz定理以及泰勒展開定理等，對(duì)教師高等教育教學(xué)研究或?qū)W生提升學(xué)習(xí)研究與創(chuàng)新實(shí)踐水平都有較大的促進(jìn)作用.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.