戴立輝, 黃建吾, 王宜潔
(閩江學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,福州 350108)
《美國數(shù)學(xué)月刊》(The American Mathematical Monthly)2019年第4期的數(shù)學(xué)問題與解答刊登了這樣一則數(shù)學(xué)問題[1]:
該問題的詳細(xì)解答可見參考文獻(xiàn)[1].本文擬對此問題中的數(shù)列構(gòu)造作一般化處理,對該問題進(jìn)行推廣討論,適用于更廣泛的一類極限問題,得到如下定理.
(1)
由此兩式可得
(n+1)xn+1-nxn=f(xn),
(2)
或
(n+1)(xn+1-xn)=f(xn)-xn,
從而
(3)
由題設(shè)知,當(dāng)x→0時,f(x)=x-lx1+m+o(x1+m),故當(dāng)n→∞時,
(4)
(5)
由式(2)得
上式兩邊令n→∞,則有
(6)
再次利用Stolz定理,有
利用式(3)和(4),當(dāng)xn→0時,
從而
利用式(6),得到
(1)
取f(x)=sinx,則當(dāng)0 因此由式(1)知 下面進(jìn)一步通過實例說明前述定理的應(yīng)用. (7) 注 若對參數(shù)α,q賦予具體數(shù)值,可得很多相關(guān)數(shù)列的極限. (8) 令f(x)=ln(1+x)(x>0),容易證明0 故由前面已證的定理知 (9) 令f(x)=arctanx,不難證明0 故由前面已證的定理知 因此 (10) f(x)=x(1+xλ)-p=x(1-pxλ+o(xλ))=x-px1+λ+o(x1+λ), 故由前面已證的定理知 (11) 注 若對參數(shù)λ,p賦予具體數(shù)值,可得很多相關(guān)數(shù)列的極限. 故當(dāng)x>0時,h(x)單調(diào)遞增.又h(0)=0,所以h(x)>0,從而當(dāng)x>0時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,而g(0)=0,所以g(x)>0,因此當(dāng)x>0時,f(x) 故由前面已證的定理知 (12) 利用函數(shù)ex,e-x的冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算知,當(dāng)x→0時 故由前面已證的定理知(取f(x)=tanhx) 證首先證明,當(dāng)0 (13) 0 故由前面已證的定理知 (14) 證由sinx及arcsinx的冪級數(shù)展開式知 從而 故當(dāng)0 arcsin(sin3x) (15) 令f(x)=x-arcsin(sin3x) (0 當(dāng)x→0時,由于 (16) (17) 當(dāng)x→0時,由tanx的冪級數(shù)展開式知 故由前面已證的定理知 因此 (18) 由于滿足前述定理條件的數(shù)列有很多,故下面再列出幾個供讀者練習(xí). 本文對已知命題的條件進(jìn)行一般化處理,同時適當(dāng)增加約束條件,適用于一大類型極限問題的研究.同時,定理的證明及應(yīng)用僅涉及到高等數(shù)學(xué)常見的幾個極限定理如單調(diào)有界定理、Stolz定理以及泰勒展開定理等,對教師高等教育教學(xué)研究或?qū)W生提升學(xué)習(xí)研究與創(chuàng)新實踐水平都有較大的促進(jìn)作用. 致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.3 應(yīng) 用
4 結(jié) 論