一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題的推廣

唐 爍， 劉 俊， 楊 威

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230601； 2.陸軍軍事交通學(xué)院，天津 300161)

1 引 言

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽是涉及范圍廣泛、深受大學(xué)生喜愛(ài)的一項(xiàng)全國(guó)性賽事，對(duì)培養(yǎng)人才質(zhì)量有著積極的促進(jìn)作用，而對(duì)競(jìng)賽試題的研究與探討，一方面為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力提供必要的素材，另外一方面對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有著積極的促進(jìn)作用.這在教學(xué)上無(wú)疑具有一定的意義和參考價(jià)值.

第十一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(非數(shù)學(xué)類(lèi)，2021年4月)試題的第四題為

為了和后面的內(nèi)容進(jìn)行比較，將此試題的參考答案摘錄如下：

根據(jù)積分中值定理，存在ξ∈(0,1)， 使得ξ(1-ξ)(3-f′(ξ))=0.即f′(ξ)=3.

本文首先給出此題的一般形式，然后再對(duì)所討論的問(wèn)題作進(jìn)一步探究.

通過(guò)對(duì)試題本身的研究，現(xiàn)將該題的一般形式以結(jié)論的形式給出.

2 一般形式

結(jié)論1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若λ，μ為實(shí)數(shù)且

(1)

(2)

則存在ξ∈(a,b)， 使得f′(ξ)=λ.

由積分中值定理知，存在ξ∈(a,b)， 使得f′(ξ)=λ.

特別地，取a=0,b=1,λ=3,μ=1即可得到前面的試題，因此結(jié)論1是原試題的推廣.

揚(yáng)州大學(xué)2021年碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)分析試題.

在對(duì)所討論的問(wèn)題做進(jìn)一步探究之前，先介紹如下的引理.

引理若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在非負(fù)整數(shù)m ，使得

則f(x)在(a,b)內(nèi)至少存在m+1個(gè)零點(diǎn).

此引理的證明可參見(jiàn)[1].

若令φ(x)=f(x)-λx-μ，則有(1)，(2)可得

于是，由引理可知，函數(shù)φ(x)在(a,b)內(nèi)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)ξ1，ξ2，不妨設(shè)ξ1<ξ2，即至少有ξ1，ξ2∈(a,b)，使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，對(duì)φ(x)在[ξ1,ξ2]?(a,b)上運(yùn)用羅爾中值定理知，存在ξ∈(ξ1,ξ2)?(a,b)，使得φ′(ξ)=0，即f′(ξ)=λ.

這樣，借助于引理給出了結(jié)論1的又一個(gè)證明.而且由此證明可啟發(fā)我們利用引理得出更多類(lèi)似于結(jié)論1的結(jié)果.下面僅介紹如下的：

結(jié)論2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，若λ，μ，ν為實(shí)數(shù)，且

(3)

(4)

(5)

則存在ξ∈(a,b)， 使得f″(ξ)=λ.

于是，由引理可知，函數(shù)φ(x)在(a,b)內(nèi)至少存在三個(gè)零點(diǎn)ξ1，ξ2，ξ3，不妨設(shè)ξ1<ξ2<ξ3，使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=φ(ξ3)=0，對(duì)φ(x)反復(fù)運(yùn)用羅爾中值定理知，存在ξ∈(ξ1,ξ3)?(a,b)，使得φ″(ξ)=0，即f″(ξ)=λ.

注 若對(duì)結(jié)論2中的參數(shù)λ，μ，ν賦予不同的數(shù)值，則可以得到很多關(guān)于f″(x)的結(jié)論.例如取a=0,b=1,λ=2,μ=ν=0，當(dāng)函數(shù)f(x)在[0,1]上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且有

則存在ξ∈(0,1)， 使得f″(ξ)=2.

3 結(jié) 論

本文對(duì)第十一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(非數(shù)學(xué)類(lèi))試題的深入挖掘與探討，給出了該試題更為一般的形式，當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí)，得到多種結(jié)論.在教學(xué)中適當(dāng)?shù)娜谌氡舅夭?，?duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性都有著積極的作用.

致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)的啟發(fā).