一道二次函數(shù)中考試題的探究過程

黃世民

（福建省惠安縣教師進(jìn)修學(xué)校）

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)領(lǐng)域的最高階段，是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.綜觀近年來的中考數(shù)學(xué)試題，對(duì)二次函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)的綜合考查可謂是屢見不鮮，常考常新，且試題設(shè)計(jì)精妙，意境新穎，有效考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，彰顯了數(shù)形結(jié)合的神奇魅力，不失為中考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)亮點(diǎn).

一、真題解讀

題目若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m，n)，B(0，y1)，C(3 -m，n)，，E(2，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）.

（A）y1＜y2＜y3（B）y1＜y3＜y2

（C）y3＜y2＜y1（D）y2＜y3＜y1

此題是2019年中考福建卷第10題，即選擇題最后一道題，屬于選擇題的壓軸題，主要考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，屬中等難度題.題目注重素養(yǎng)立意，考點(diǎn)精準(zhǔn)，表述精練，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，信度較高，區(qū)分度明顯，具有較好的教學(xué)導(dǎo)向作用.

二、解題困惑

1.審題困惑難入手

由于題目是以文字加數(shù)學(xué)符號(hào)語言的形式進(jìn)行描述的，沒有提供圖形語言，缺少直觀形象，解題需要較高的數(shù)學(xué)抽象能力，給學(xué)生解題帶來一定的困惑和難度，且題目中的參數(shù)較多，讓大部分學(xué)生審題時(shí)望而卻步，產(chǎn)生畏難情緒，從而導(dǎo)致解題無從下手，甚至束手無策.

2.常規(guī)思路受阻

從題目的題干來看，所提供的二次函數(shù)解析式是一般形式且二次項(xiàng)系數(shù)是|a|.按照學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，若已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)（其坐標(biāo)是具體已知數(shù)），則可用待定系數(shù)法求出其函數(shù)表達(dá)式.可是，該題給出的已知條件是二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m，n)，B(0，y1)，C(3 -m，n)，，E(2，y3)，這五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均含有字母，不是具體的數(shù)字，因而使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，導(dǎo)致常規(guī)思路受阻.

三、解題分析

羅增儒教授在其《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書中指出：解題能力，表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏銳洞察力與整體把握，核心是能否掌握正確的思維方法，包括邏輯思維與非邏輯思維.掌握解題的基本策略，能“因題制宜”地選擇對(duì)口的解題思路，使用有效的解題方法，調(diào)動(dòng)精明的解題技巧.

1.直接代入法求解

其實(shí)，解答此題可以從已知條件出發(fā)，大膽嘗試，順勢(shì)而為，即把已知條件中五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入二次函數(shù)解析式，具體分析如下.

故此題選擇選項(xiàng)D.

【評(píng)析】顯然，用代入法，結(jié)合作差比較法可以直接求得結(jié)果，但解題過程較煩瑣，運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的等量代換和恒等變形能力要求較高.對(duì)于選擇題而言，此解法不夠簡(jiǎn)潔，耗時(shí)較長(zhǎng)，有“小題大做”之嫌.那么，此題有其他妙解嗎？答案是肯定的.可以另辟蹊徑，再次尋找解題良策.

2.特值檢驗(yàn)法求解

此題是選擇題，可以采用特值法進(jìn)行嘗試.特值檢驗(yàn)法，即從題干出發(fā)，選取滿足條件的特殊值進(jìn)行求解，并將得出的結(jié)論與四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行比較，產(chǎn)生矛盾或根本不存在的選項(xiàng)即可淘汰.對(duì)于此題的解答，取特值時(shí)可能存在下列情形.

當(dāng)然，也可以利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)來解題，這里不再贅述.此時(shí)不禁要問：以上兩種情況出現(xiàn)迥然不同的兩個(gè)答案，原因何在？孰是孰非？抑或全然不是？

3.診斷分析

學(xué)起于思，思源于疑.鑒于上述兩種迥然不同的答案，引發(fā)思維沖突，究其緣由，在于取特殊值的過程通常是必要條件過程，往往忽略題目應(yīng)滿足的充分條件，如情況1的解答忽略了對(duì)二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(m，n)，C(3 -m，n)兩點(diǎn)的前提特征分析，即特值選取得到的二次函數(shù)y=x2不滿足題干條件，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.錯(cuò)誤原因可以從正、反兩個(gè)方面分析如下.

（1）逆向分析.假設(shè)情況1中二次函數(shù)y=x2符合題意.由于A(m，n)，C(3 -m，n)兩點(diǎn)在y=x2圖象上，則有m2=(3 -m)2.易求得.則A，C兩點(diǎn)重合，與已知矛盾.所以假設(shè)不符合題意.

比較上述兩種解法可知，運(yùn)用代入法直接求解較煩瑣，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力要求較高，而運(yùn)用特值檢驗(yàn)法解答選擇題這種題型，解法簡(jiǎn)捷，靈活多樣，可以避免“小題大做”之嫌，深受解題者所青睞，因此特值檢驗(yàn)法是選擇題比較常用的解法之一.

四、問題探究

問題是數(shù)學(xué)的心臟.解題就是解決問題，即求出問題的答案.思維是人腦對(duì)客觀事物間接的、概括的反映，因而問題解決時(shí)的數(shù)學(xué)思維是一個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程、診斷的過程、探索的過程、創(chuàng)造的過程.

1.抽象本質(zhì)

回顧上述解題探究過程，經(jīng)歷了最初的審題困惑難入手、常規(guī)思路受阻、代入求解煩瑣、特值法誤入歧途的窘境，通過數(shù)學(xué)診斷分析，轉(zhuǎn)變解題策略，最終找到解題的最佳方法.

但是數(shù)學(xué)解題不能以題論題，而應(yīng)以題論法，揭示問題本質(zhì)，探究解法歸因.

對(duì)于此題，若用數(shù)學(xué)的眼光觀察題目已知條件中五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A(m，n)和C(3 -m，n)可以看作是二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象與直線y=n的兩個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于直線對(duì)稱.因而可知，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，其表達(dá)式可記為.由于|a|＞0，即拋物線的開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并在圖象上描出點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上的大致位置，根據(jù)二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，可以直觀判斷出y2＜y3＜y1.

像這樣通過數(shù)形結(jié)合的方法，即把抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為具體、形象的幾何圖形，借助圖象的直觀，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得正確結(jié)論.追本溯源，由此可見該試題設(shè)計(jì)意圖，旨在利用二次函數(shù)的圖象及其變換，研究二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的位置關(guān)系，從中考查二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性等重要性質(zhì).

從這道題出發(fā)，我們可以歸納出如下數(shù)學(xué)結(jié)論：一般地，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越大，則其函數(shù)值越大，反之亦成立；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越大，則其函數(shù)值越小，反之亦成立.

2.提煉解題策略與方法

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，在你找到第一個(gè)蘑菇（或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)）后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的.從一道二次函數(shù)試題的探究過程中領(lǐng)悟了此類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)并提高解決問題的能力與方法.解決二次函數(shù)圖象類問題的基本策略與方法就是要善于利用和挖掘試題中的已知條件，熟練把握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，方能找到解題的切入點(diǎn).要抓住函數(shù)圖象的對(duì)稱性及增減性，利用數(shù)形結(jié)合，即“數(shù)”與“形”并進(jìn)，見“數(shù)”想到“形”，見“形”不忘“數(shù)”，達(dá)到融會(huì)貫通.同時(shí)，值得注意的是，在數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中，必須遵循轉(zhuǎn)化等價(jià)原則、數(shù)形互補(bǔ)原則、求解簡(jiǎn)單原則，否則解題容易“誤入歧途”，產(chǎn)生解題錯(cuò)誤，難以達(dá)到“數(shù)形結(jié)合百般好”的最佳境界.

五、試題導(dǎo)向

1.試題凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向

此題源于教材又高于教材，由華東師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第26章“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)題C組第14題和第15題融合改編而成.它既體現(xiàn)了考試的公平性，又考查了教學(xué)成果，有著很好的教學(xué)導(dǎo)向.因而，對(duì)教材習(xí)題的深度開發(fā)與探索，挖掘其潛在知識(shí)，抽象其數(shù)學(xué)本質(zhì)，提煉其數(shù)學(xué)精髓，探索其教育價(jià)值，這對(duì)于更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以及發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)意義重大.

由于此題的解答中需要把數(shù)學(xué)符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)高階思維，考查數(shù)學(xué)抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力等重要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時(shí)，此題又有不同的解法選擇，需要判斷與甄別的思維過程，從而考查了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)思維過程和解決問題方法的考查.因而，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提倡“以學(xué)為中心”的過程教學(xué)，應(yīng)重視學(xué)生的自主探究與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與提高.

2.研究解題策略與方法

數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)量關(guān)系和空間圖形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要方面，它們之間有著密切的關(guān)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透.可見，數(shù)形結(jié)合是解決二次函數(shù)圖象類問題的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想和一柄雙刃的解題利劍.

加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解，善于數(shù)學(xué)聯(lián)想，有助于解題思路的尋找與解題過程的改進(jìn)，從而達(dá)到對(duì)某種數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)領(lǐng)悟.返璞歸真，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，使解題思維策略規(guī)律化、系統(tǒng)化，以達(dá)到觸類旁通的功效.