面積法在二次函數(shù)綜合性問題中的應(yīng)用探究

朱玉杰

（上海市格致初級(jí)中學(xué)）

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生通過對(duì)面積和面積法的學(xué)習(xí)，一方面，能更直觀地理解和掌握幾何知識(shí)；另一方面，可通過數(shù)形結(jié)合，對(duì)一些較為抽象的代數(shù)知識(shí)具象、直觀地進(jìn)行解釋和學(xué)習(xí).面積法既可以用來計(jì)算平面幾何圖形的大小，又可以把面積作為橋梁解決一些非面積類問題.例如，利用面積關(guān)系來說明數(shù)學(xué)中的一些恒等式、不等式或證明一些定理等，同時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，主要闡述面積法在二次函數(shù)綜合題中的一些應(yīng)用.

一、平面直角坐標(biāo)系下求三角形面積的基本方法

平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)的綜合性問題大多研究函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象上特殊位置的點(diǎn)所構(gòu)成的特殊圖形的屬性及性質(zhì).而平面幾何圖形面積的考查以三角形面積最為常見，且應(yīng)用廣泛.已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求三角形面積是該類問題的基礎(chǔ)題型，筆者結(jié)合一道題目闡述幾種常用的計(jì)算方法.

例1如圖1，已知A（0，-2），B（4，2），C（2，6），求S△ABC.

圖1

解法大致分為兩類：（1）直接法；（2）間接法.

1.直接法

解：如圖2，設(shè)CD=x，

圖2

2.間接法

該方法可分為三類：（1）割形；（2）補(bǔ)形；（3）等積轉(zhuǎn)換.

（1）割形.

一般有兩種割法：水平方向割（如圖3）和鉛垂方向割（如圖4），即過三角形的一頂點(diǎn)作關(guān)于坐標(biāo)軸的平行線（稱為割線），將原三角形分割成兩個(gè)底邊相同的三角形，其關(guān)鍵在于求割線與原三角形一邊的交點(diǎn)坐標(biāo).總結(jié)規(guī)律可得出（如圖5）.

圖3

圖4

圖5

（2）補(bǔ)形.

根據(jù)圖形特征將不規(guī)則圖形補(bǔ)成規(guī)則圖形，是用規(guī)則圖形的性質(zhì)來解決問題的一種方法.補(bǔ)形方式多種多樣，僅羅列三種類型加以說明如圖6～8所示.

圖6

圖7

圖8

（3）等積轉(zhuǎn)換.

解：如圖9，過點(diǎn)C作CD∥AB，

圖9

則S△ABC=S△ABD.

易得直線CD的表達(dá)式為y=x+4.

則D(0，4 )，S△ABC=S△ABD=12.

【評(píng)析】以上的等積轉(zhuǎn)換法是過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，在平行線上任取一點(diǎn)，構(gòu)造與原三角形同底等高的三角形.教師可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生找尋平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（如圖9），或與平行于坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)作為新三角形的頂點(diǎn)（如圖10），也可以將三角形面積轉(zhuǎn)換成平行四邊形面積的一半來求解（如圖11）.

圖10

圖11

二、面積法在二次函數(shù)綜合題中的應(yīng)用

例2如圖12，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y=x2+6x+8與直線y=x+4交于點(diǎn)A(- 4，0)和B(- 1，3)，直線y=x+4與y軸交于點(diǎn)D(0，4)，拋物線y=x2+6x+8與x軸交于另一點(diǎn)C(- 2，0)，頂點(diǎn)為點(diǎn)E(- 3，-1).

圖12

1.利用面積法求解銳角三角函數(shù)

問題1：如圖13，連接BC，CD，求sin∠BCD的值.

圖13

解析：已知△BCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的三邊長確定，則三角形的形狀和大小確定.則三角形的邊角關(guān)系及面積等屬性均確定（如圖14）.

圖14

可通過面積割補(bǔ)的方法求得S△BCD=S△ACD-S△ABC=4-3=1.再利用面積公式求得.

2.利用面積法解相似三角形存在性問題

問題2：在y軸上存在一點(diǎn)P，使△CDP與△CBA相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：二次函數(shù)背景下相似三角形存在性問題考查學(xué)生對(duì)綜合知識(shí)的運(yùn)用能力，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn).一般可分為兩種題型：一動(dòng)一定型（一個(gè)三角形確定，另一個(gè)三角形待定）和雙動(dòng)型（兩個(gè)三角形均隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化）.在此主要闡述用面積法解決“一動(dòng)一定型”相似三角形存在性問題.這類問題的一般特征是：①兩個(gè)三角形相似，一個(gè)三角形的三邊確定，稱為確定三角形，另一個(gè)三角形的一邊及一角確定，稱為待定三角形；②待定三角形的定角（或其補(bǔ)角）是相似三角形的對(duì)應(yīng)等角.

圖15

3.利用面積法解特殊位置點(diǎn)的坐標(biāo)

問題3：在拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使S△KCD=1，求點(diǎn)K的坐標(biāo).

解析：問題3屬于確定（已知坐標(biāo)）三角形的兩點(diǎn)，求特殊位置的第三點(diǎn)坐標(biāo)的一類題型.利用特殊形式的面積法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可回避繁雜的計(jì)算，將復(fù)雜問題簡單化.

策略1：逆用割形.

如圖16，作KG⊥Ox，交CD于點(diǎn)G.

圖16

易得直線CD的表達(dá)式為y=2x+4.

設(shè)K(m，m2+6m+8)，G(m，2m+4)，

則KG=m2+4m+4.

得m1=-1，m2=-3.

所以K1(- 1，3)或K2(- 3，-1).

策略2：逆用補(bǔ)形.

如圖17，連接KO，

圖17

策略3：逆用等積轉(zhuǎn)換.

如圖18，過點(diǎn)K作KG∥CD，交x軸于點(diǎn)G.

圖18

由題意知，S△GCD=S△KCD=1.

易求得直線KG的表達(dá)式為y=2x+5，與拋物線y=x2+6x+8聯(lián)立，解得m1=-1，m2=-3.

所以K1(- 1，3)或K2(- 3，-1).

4.利用面積法解定角的存在性問題

問題4：如圖19，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C，連接DC，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且在第二象限內(nèi)，使∠ADC=∠ADP，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖19

解析：定角存在性問題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系中存在定角（特指滿足已知這個(gè)角或其補(bǔ)角的銳角三角函數(shù)的角），求特殊位置點(diǎn)的坐標(biāo)的一類題型.

圖20

圖21

圖22

5.利用面積法解線段之比的相關(guān)問題

問題5：在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上存在一點(diǎn)P，連接EP交直線AD于點(diǎn)Q，滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：利用構(gòu)造平行線進(jìn)行三角形面積等積轉(zhuǎn)換解決此題.如圖23，S△MAQ=S△PAQ，S△CAQ=S△EAQ，再利用“同高三角形面積比等于底之比”將線段之比與三角形面積之比建立聯(lián)系，即由AC=2，得MA=4.進(jìn)而求得直線PM的表達(dá)式為y=x+8，與拋物線y=x2+6x+8聯(lián)立，解得P(- 5，3).

圖23

三、面積法的解題功能

1.數(shù)學(xué)建模，提升學(xué)生分析問題的能力

張景中院士曾提到，面積法不僅僅是解題的利器，而且是建立初等數(shù)學(xué)體系的中央樞紐.可見面積法在初等數(shù)學(xué)中起到一個(gè)貫穿知識(shí)體系的作用.因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建基本的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)題目中的已知元素可以確定三角形，則這個(gè)三角形的內(nèi)在屬性均已確定，我們就可以利用面積法求得三角形中其他未知的元素，即數(shù)量關(guān)系的確定決定了位置關(guān)系，而位置關(guān)系的確定可推導(dǎo)出新的數(shù)量關(guān)系（如圖24），面積法只是數(shù)量關(guān)系之間推導(dǎo)的一種方式.數(shù)學(xué)模型的建立，能夠幫助學(xué)生理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升學(xué)生分析問題的能力.同時(shí)，也要打破固性思維，面積法并非是萬能的，僅是解決部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的一個(gè)工具，甚至也并非是部分題目的最優(yōu)解.在教學(xué)過程中，教師不可過于夸大面積法的認(rèn)知地位，使學(xué)生陷入誤區(qū).

圖24

2.數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

三角形的邊角數(shù)量關(guān)系決定了位置關(guān)系的確定，位置關(guān)系又導(dǎo)致新的數(shù)量關(guān)系的產(chǎn)生，數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.通過對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)與拼接，以及面積之間的等積轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，感受演繹推理的思路來源于圖形的轉(zhuǎn)化過程，將抽象的數(shù)學(xué)可視化、具體化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用直觀的圖象說明抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，找到圖形與圖形之間、位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，多角度提升學(xué)生的幾何直觀與抽象能力.笛卡兒的《方法論》中指出，從最簡單、最容易認(rèn)識(shí)的對(duì)象，一點(diǎn)一點(diǎn)上升到復(fù)雜的對(duì)象的認(rèn)識(shí)，是任何領(lǐng)域獲得正確知識(shí)的主要原則.面積法解決數(shù)學(xué)問題體現(xiàn)了邏輯推理的核心，即理性思維，既體現(xiàn)了推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，又體現(xiàn)了推理的靈活性.數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).應(yīng)用面積法解題不僅能鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析的能力，又能幫助學(xué)生養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、一絲不茍的科學(xué)精神.

3.知識(shí)遷移，注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)

知識(shí)遷移是指在連續(xù)學(xué)習(xí)過程中學(xué)習(xí)者在已經(jīng)具有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)、已獲得的動(dòng)作技能、習(xí)得的態(tài)度等基礎(chǔ)上進(jìn)行新知識(shí)再學(xué)習(xí)的過程.在日常教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力.幾何圖形的變化方式多種多樣，再結(jié)合函數(shù)背景，使得圖形關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，但其中基本圖形及圖形的內(nèi)在屬性的對(duì)應(yīng)關(guān)系卻萬變不離其宗，而這些隱含在復(fù)雜圖形中的基本圖形是解決復(fù)雜幾何問題的工具.從求三角形面積的方法分析遷移到利用面積法解決綜合性問題，從利用面積法解決面積問題遷移到利用面積法解決多種問題，乃至遷移到生活應(yīng)用類綜合性問題的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生訓(xùn)練發(fā)散性思維的過程.

面積法在初中階段的應(yīng)用非常廣泛，在平面直角坐標(biāo)系下的綜合應(yīng)用只是其冰山一角.在日常教學(xué)過程中，教師不僅要重視面積法的解題功能，也要關(guān)注其育人功能，利用面積法建立初等數(shù)學(xué)體系的中央樞紐.