論如何用小專題復(fù)習(xí)促進(jìn)思維生長

莊樂儀

（廣東省廣州市第十八中學(xué)）

一、引言

廣東省廣州市天河區(qū)初中數(shù)學(xué)研訓(xùn)員劉永東老師曾提出了小專題復(fù)習(xí)的做法，即以解決一道中等難度的題目為目的，設(shè)計(jì)以退為進(jìn)、以小見大、變式遷移和技能訓(xùn)練等四個(gè)環(huán)節(jié).其中，“以退為進(jìn)”環(huán)節(jié)是小專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)的核心，是先將原題“退”到題目中的基本概念或原理（以下統(tǒng)稱“題根”），用以觸及中等生、學(xué)困生的最近發(fā)展區(qū)，再慢慢呈現(xiàn)題目變化的過程，以一條清晰的主線串聯(lián)這些概念或原理，“進(jìn)”到原題中解決問題，凸顯以小見大.題根需具有生長性、滲透性，抓住了題根即找到了知識(shí)的生長點(diǎn).因此，小專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)會(huì)直接影響學(xué)生解題技能的提升、知識(shí)體系的建構(gòu)和思維的激發(fā).

二、如何開展小專題復(fù)習(xí)

1.串聯(lián)知識(shí)，完善建構(gòu)

“以退為進(jìn)”需將問題退到題根，再由題根按一定的思維主線過渡到原題，這個(gè)過程中需設(shè)計(jì)“了解、理解、掌握”三個(gè)層次的題目.其中，“了解”層次的習(xí)題從題根出發(fā)，以最基本的圖形（概念）為背景，設(shè)計(jì)學(xué)生都能獨(dú)立完成的題目；“理解”層次的習(xí)題是題根的初步生長，中等生能獨(dú)立完成，用以揭示題根本質(zhì)，有承上啟下的作用；“掌握”層次的習(xí)題是題根的進(jìn)一步生長，中等生經(jīng)教師啟發(fā)與討論后能夠解決，它的解題方法能用于原題的解決，是最接近原題的習(xí)題.三個(gè)層次題目的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，揭示了知識(shí)之間的聯(lián)系，有助于學(xué)生完善自身的知識(shí)體系.

案例1：用方程思想解決數(shù)軸上的雙動(dòng)點(diǎn)問題.

問題：如圖1，已知A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)O表示原點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為8，BC=6，AB=14.

圖1

（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為_____，點(diǎn)B表示的數(shù)為_____.

（2）動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)O立即掉頭，按原來的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒.

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，求數(shù)軸上點(diǎn)P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；

②t為何值時(shí)，點(diǎn)O為線段PQ的中點(diǎn).

此題為七年級(jí)上學(xué)期一道期末考試題.由于學(xué)生對(duì)數(shù)軸上的雙動(dòng)點(diǎn)問題缺少前期的認(rèn)知，因此解決起來存在一定的難度.此題是一道綜合有理數(shù)、整式、一元一次方程知識(shí)的問題，非常適合用小專題的復(fù)習(xí)思想將以上知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，建立知識(shí)體系.

熱身1：已知，數(shù)軸上一點(diǎn)C表示8，若數(shù)軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向原點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OQ的長為_______（用含t的表達(dá)式表示）.

熱身1屬于“了解”層次目標(biāo)，也是問題1的題根之一，要求學(xué)生設(shè)未知數(shù)表示變化的線段長，其中不僅滲透了函數(shù)思想，也是解類似問題的必要步驟.學(xué)生通過畫圖體會(huì)OQ的長度變化規(guī)律，以點(diǎn)O為臨界位置，對(duì)t的取值范圍進(jìn)行分類討論，從而求得線段OQ的長不同時(shí)段的表達(dá)式.

熱身2：如圖2，點(diǎn)A，C，O在同一數(shù)軸上，點(diǎn)O在線段AC上，AO=12，CO=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則：

圖2

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離為5？

熱身2簡化了問題（原題）的運(yùn)動(dòng)軌跡，在雙動(dòng)點(diǎn)的相遇問題背景下，設(shè)置三個(gè)層層遞進(jìn)的小問題，引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)軸上的雙動(dòng)點(diǎn)問題，逐步接近原題.對(duì)于第（1）小題，其中的相遇問題模型符合兩點(diǎn)相向運(yùn)動(dòng)的背景，學(xué)生不難確立等量關(guān)系，屬于“理解”層次目標(biāo)，中等生基本能在熱身1的基礎(chǔ)上獨(dú)立解決.教師由此可引導(dǎo)學(xué)生歸納出題根之二——等量關(guān)系的確立.第（2）（3）小題屬于“掌握”層次目標(biāo)，教師要引導(dǎo)學(xué)生綜合學(xué)過的知識(shí)確立等量關(guān)系解決問題.

以上設(shè)問圍繞題根設(shè)置階梯式的問題，一步步引導(dǎo)學(xué)生把握題根，形成“用字母表示變量—確立等量關(guān)系—列方程求解”的思維主線，體現(xiàn)了有理數(shù)和整式是一元一次方程的基礎(chǔ)，有機(jī)地串聯(lián)了人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級(jí)上冊(cè)前三章的主要知識(shí)點(diǎn).解決問題不僅要遷移熱身1中OQ的長表達(dá)式的分類討論，還要用到熱身2中確立等量關(guān)系的方法，滲透了分類討論思想、模型思想、化歸思想等.由此可見，以退為進(jìn)在小專題復(fù)習(xí)中能串聯(lián)解題方法和數(shù)學(xué)思想，完善知識(shí)體系的建構(gòu).學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到生長后，再經(jīng)過下一課時(shí)的變式遷移和技能訓(xùn)練，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力也就能逐漸提高.

2.暴露本質(zhì)，重建模型

“以退為進(jìn)”要退到題根，再由題根生長出各個(gè)層次目標(biāo)的熱身問題.“退”的過程中逐漸暴露出問題的本質(zhì)，“進(jìn)”的過程實(shí)現(xiàn)對(duì)問題模型的重建.下面結(jié)合某次九年級(jí)下學(xué)期期末考試題（案例2）說明如何在以退為進(jìn)的過程中暴露問題本質(zhì).

案例2：解三角形.

問題：如圖3，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，把一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，然后繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使得三角板的兩直角邊分別與AB，BC邊交于點(diǎn)E，F(xiàn).當(dāng)∠EOB=30°時(shí)，測(cè)得，求此時(shí)正方形的面積.

圖3

問題中，只要解△OBF求得OB的長，那么正方形ABCD的邊長和面積就可迎刃而解.此題的題根就是解含三個(gè)已知元素的三角形，“以退為進(jìn)”環(huán)節(jié)就是要暴露這一問題本質(zhì).雖然九年級(jí)學(xué)生對(duì)解三角形還不熟悉，但對(duì)解直角三角形已經(jīng)比較熟練.以下熱身問題就是從這里出發(fā)，逐步重建問題模型.

熱身1：如圖4，在△ABC中，∠C=90°，AB=2，∠B=30°，則AC的長為____，BC的長為_____，S△ABC為____.

圖4

此題屬于“了解”層次目標(biāo)，退到題根——解直角三角形.解三角形的基本方法是構(gòu)造并解直角三角形，故將熱身1的直角三角形一般化，賦予三種具有代表性的條件生成以下“理解”層次目標(biāo)的熱身2，啟發(fā)學(xué)生把握題根、歸納解法——構(gòu)造直角三角形并求解.

熱身2：如圖5，已知△ABC.

圖5

（1）若AB=2，∠B=30°，∠C=45°，則BC的長為____，S△ABC為____.

（2）若AB=2，∠B=30°，，則AC的長為____.

（3）若AB=5，，BC=7，則S△ABC為____.

熱身3：在△ABC中，AB=4，AC=3，∠B=30°，求BC的長.

熱身3屬于“掌握”層次目標(biāo).教師要啟發(fā)學(xué)生自己畫圖體會(huì)圖形的分類，更深層次思考問題有利于學(xué)生更好地把握解三角形的實(shí)質(zhì).解決問題也是要先暴露本質(zhì)，即抽取出模型、解三角形，再回歸原圖形重建模型、繼續(xù)求解.教師既要啟發(fā)學(xué)生如何抽取、重建模型，更要?dú)w納、總結(jié)在什么情況下抽取模型.明白暴露本質(zhì)的意義才能突破難點(diǎn)，達(dá)到解三角形的應(yīng)用層次目標(biāo).在第2課時(shí)，教師可以繼續(xù)設(shè)計(jì)如下變式拓展進(jìn)行技能訓(xùn)練.

變式：如圖6，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，O為邊AD的中點(diǎn)，連接CO，求CO的長.

圖6

經(jīng)歷了以退為進(jìn)對(duì)模型的抽取與重組以后，學(xué)生能更深刻地把握問題實(shí)質(zhì)、體悟如何解題.通過溫故知新，再反復(fù)進(jìn)行技能訓(xùn)練，再遇到由此題根生長出的問題時(shí)，就能自行抽取模型，暴露題根本質(zhì).

3.有效拓展，以小見大

簡化原題就要設(shè)計(jì)在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的簡單題目，以突出核心知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的思維訓(xùn)練，即“以小見大”.由此可見，“以小見大”不僅僅是小專題教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)環(huán)節(jié)，還是一個(gè)內(nèi)涵更加抽象的理念，對(duì)其理解還需要經(jīng)過不斷的教學(xué)實(shí)踐去體驗(yàn)、感知其豐富的內(nèi)涵.

方程、不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可以化函數(shù)為方程、不等式，也可以構(gòu)建函數(shù)來解決方程、不等式問題.二次函數(shù)是初中階段函數(shù)問題的重要組成部分，也是初、高中階段函數(shù)知識(shí)銜接的紐帶.下面結(jié)合一道關(guān)于二次函數(shù)的代數(shù)問題探討怎樣突出“以小見大”的理念.教材九年級(jí)上冊(cè)中已經(jīng)歸納了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，學(xué)生對(duì)此的理解也比較深刻，“以退為進(jìn)”就退到這個(gè)最近發(fā)展區(qū).具體設(shè)計(jì)如下.

案例3：二次函數(shù)的純代數(shù)壓軸問題.

（1）以退為進(jìn).

熱身1：已知二次函數(shù)y=x2-2x-m（其中m＞0），則該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_______.

熱身2：求函數(shù)y=x2-2x-m（其中m＞0）與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

熱身3：求函數(shù)y=x2-2x-m（其中m＞0）與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）以小見大.

從字面上理解，以小見大是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的生長.

首先，線段是有長度、有端點(diǎn)的，是直線的一部分，圖形上更加簡潔，但條件卻更加豐富.線段與拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的題根在于先判斷線段所在直線與拋物線有無交點(diǎn).若有，則要判斷交點(diǎn)是否在線段上，這就需要結(jié)合線段和拋物線的草圖來判斷；若無，則線段與拋物線無交點(diǎn).案例3的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了從簡單知識(shí)點(diǎn)到復(fù)雜知識(shí)面的生長.簡單即小，復(fù)雜即大.

其次，案例3經(jīng)過從含簡單參數(shù)的二次函數(shù)過渡到含復(fù)雜參數(shù)的需要分類討論的拋物線；從與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，到與直線交點(diǎn)，再到與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的演變，體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知過程.特殊即小，一般即大.

從更深的含義來看，“以小見大”彰顯的是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科延伸.蔡金法等提出并論述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涵蓋四種成分：一是數(shù)學(xué)交流；二是數(shù)學(xué)建模；三是智能計(jì)算思維；四是數(shù)學(xué)情感.首先，小專題的實(shí)施是一個(gè)數(shù)學(xué)交流的過程，“以退為進(jìn)”環(huán)節(jié)階梯式的目標(biāo)導(dǎo)向，學(xué)生之間、師生之間的交流圍繞這一環(huán)節(jié)的習(xí)題展開，各層次的學(xué)生也能在相應(yīng)層次習(xí)題的交流過程中有所收獲.其次，在逐層深入、有序地交流中，教師帶領(lǐng)學(xué)生挖掘題根，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，再將模型應(yīng)用到解決由題根生長出來的問題.再者，在數(shù)學(xué)交流中，學(xué)生能更好地建構(gòu)知識(shí)體系，達(dá)到數(shù)學(xué)思維的提升，增進(jìn)交流，增進(jìn)友誼，教師也能全面地了解學(xué)生的思維深度與廣度.由此可見，小專題體現(xiàn)的是大素養(yǎng)、大智慧.

三、結(jié)束語

由于學(xué)情和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同，不同教師對(duì)同一主題小專題的理解各有不同，設(shè)計(jì)出的小專題也不盡相同，但是這些設(shè)計(jì)始終離不開削枝強(qiáng)干、化繁為簡，其原理都是“退”到題根.把握了題根的本質(zhì)，就能解決以該題根生長出來的一系列問題.教師先要自己“退”到題根，再用一條脈絡(luò)串聯(lián)生長題根，設(shè)置階梯問題，逐步“進(jìn)”到原題的解決.在小專題的實(shí)施過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找題根，沿著知識(shí)脈絡(luò)激發(fā)學(xué)生思維的生長.以小見大，體現(xiàn)在以退為進(jìn)的過程；以退為進(jìn)，成就了以小見大的高度.兩者有機(jī)結(jié)合共同構(gòu)成小專題的靈魂.