關(guān)注圖形結(jié)構(gòu) 衍生通性通法
——對一道“倍半角”問題的再思考

段廣猛

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

圖形結(jié)構(gòu)是幾何學(xué)的靈魂，也是解幾何題的關(guān)鍵.在幾何解題教學(xué)中，教師要善于從問題的已知條件、圖形的結(jié)構(gòu)特征以及結(jié)論的合理導(dǎo)向入手，觸發(fā)廣泛聯(lián)想，衍生出相關(guān)的解題策略，從而靈活地構(gòu)造一些常見的基本圖形，使分散的條件集中化、隱含的條件顯性化、復(fù)雜的條件簡單化.這樣的解題教學(xué)才可以活化學(xué)生思維，積累解題經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維能力的提升，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的解題效果.

下面以一道“倍半角”問題為例，從圖形的核心結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想一些常見的解題策略，進(jìn)行一次再思考，以深入挖掘該題對提升學(xué)生解題思維能力的價(jià)值.

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，P為邊AB上的一點(diǎn)，且∠ACP=20°，求的值.

圖1

二、結(jié)構(gòu)分析

此題圖形結(jié)構(gòu)簡潔，各元素之間的關(guān)系都是確定的.從角度的視角進(jìn)行分析：∠A=40°，∠ACP=20°，∠ABC= ∠ACB=70°，∠BCP=50°，∠BPC=60°，∠APC=120°；從線段的視角進(jìn)行分析：AB=AC，AP+BP=AB.這些比較顯性的條件中，大多都是非特殊角，盡管圖形確定，但從初中范疇來看，還是很難操作的.由此，還要挖掘一些隱性條件.

例如，∠A=2∠ACP，可以說，這是此題的核心結(jié)構(gòu)，由此可聯(lián)想系列常見的“倍半角”構(gòu)造方式，衍生出一類“倍半角”解題策略.

再如，∠BPC=60°（或∠APC=120°），這是圖中獨(dú)有的特殊角，由此可聯(lián)想“邊對角”結(jié)構(gòu)，即“邊BC對∠BPC”（或“邊AC對∠APC”）結(jié)構(gòu)，衍生出構(gòu)造輔助圓的解題策略.

當(dāng)然，由于此題結(jié)構(gòu)明確，圖形確定，從高中范疇來看，還可以衍生出解三角形等解題策略，以算代證.

下面逐一分析相關(guān)的解題策略.

三、解題策略

策略1：由“倍角造半角”

“倍半角”結(jié)構(gòu)，即∠A=2∠ACP，是此題的核心結(jié)構(gòu).初中階段“倍半角”結(jié)構(gòu)的常見處理策略無非兩條路徑：一是由“倍角”造“半角”，即將“倍角”半分；二是由“半角”造“倍角”，即將“半角”加倍.這兩條路徑往往與等腰三角形的外角模型或角平分線相結(jié)合.

圖2或圖3是兩種常見的由“倍角”造“半角”的方式，由此可衍生出以下9種解題方法.

圖2

圖3

方法1：見角平分線，作雙垂線.

如圖4，延長BA至點(diǎn)D，使AD=AC，連接CD，

圖4

則∠D=∠ACD=20°，且AD=AB.

易證CA平分∠PCD.

過點(diǎn)A分別作CD，CP的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，

則AG=AH.

又易證BC=2AG，則BC=2AH.

方法2：角平分線的對稱性.

如圖5，同方法1作相關(guān)輔助線，可得CA平分∠PCD.

圖5

作點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′落在CD上，且AP=AP′，∠AP′C= ∠APC=120°.

【反思】以上兩種解法都是基于如圖2所示的“由倍角造半角”的策略，結(jié)合角平分線的對稱性而得到的.前者“見角平分線，作雙垂線，得相等”，后者“見角平分線，作對稱，得相等”，這都是角平分線常見的處理策略，集中體現(xiàn)了其對稱性這一本質(zhì)屬性.“由倍角造半角”，從而“得等角”，還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.另外，這兩種解法都涉及等腰三角形之“三線合一”的性質(zhì).

方法3：相似法.

如圖6，延長CA至點(diǎn)Q，使AQ=AP，連接PQ，

圖6

則∠Q=∠APQ=20°.

故∠Q=∠PCQ.

從而PQ=PC.

注意到∠APQ+∠B=90°，作CG⊥AB于點(diǎn)G，AH⊥PQ于點(diǎn)H，

則△BCG∽△APH.

方法4：全等法1.

如圖7，作等腰三角形ABC的頂角平分線AM，交CP于點(diǎn)O，

圖7

易得∠OAP=∠OAC=∠OCA=20°.

則OA=OC.

在OM上取點(diǎn)Q，使OQ=OP，易證得△OAP≌△OCQ.

則AP=CQ，∠OPA=∠OQC=120°.

方法5：全等法2.

如圖8，同方法4作相關(guān)輔助線，可得OA=OC.

圖8

再過點(diǎn)A作OP的垂線，垂足為點(diǎn)H，

易證△OAH≌△OCM.

則CM=AH.

【反思】全等與相似是特殊與一般的從屬關(guān)系，它們是計(jì)算線段長度或比例的常見方法.方法3是基于如圖2所示的“由倍角造半角”的策略，結(jié)合等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，從而構(gòu)造三角形相似求得線段之間的比例.值得一提的是，這種構(gòu)造方式恰好將兩個(gè)目標(biāo)線段（BC，AP）置于兩個(gè)相似三角形中，即這兩條線段之比恰為相似比.方法4、方法5都是基于如圖3所示的“由倍角造半角”的策略，即“作角平分線，得等角，現(xiàn)等腰”，然后構(gòu)造全等轉(zhuǎn)移線段，從而將兩條目標(biāo)線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，順利獲解.

方法6：圖形變換法1.

如圖9，作等腰三角形ABC的頂角平分線AM，則BC=2CM.

圖9

將△ACM沿著AC翻折至△ACM′，則CM=CM′，且∠CAM=∠CAM′=∠ACP=20°.

從而∠PAM′=60°，且CP∥AM′.

再作PH⊥AM′于點(diǎn)H，易得CM′=PH（相當(dāng)于將CM′平移至PH）.

方法7：圖形變換法2.

如圖10，同方法6作相關(guān)輔助線，將AP平移至QC處，易證∠CQM′=∠PAM′=60°.

圖10

方法8：“由倍造半”+圖形變換法3.

如圖11，作等腰三角形ABC的頂角平分線AM，將△ACP沿著AC翻折至△ACP′，再作P′N⊥AM于點(diǎn)N，

圖11

易證BC=2CM=2P′N，∠P′AN=60°.

【反思】翻折、平移都是常見的圖形全等變換，也是轉(zhuǎn)移線段的重要方式.方法6～8都是基于如圖3所示的“由倍角造半角”的策略，結(jié)合翻折變換及平移變換，從而將兩條目標(biāo)線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，順利獲解.如果構(gòu)造全等或相似是一種靜態(tài)的思考方式，那么圖形變換就是一種動(dòng)態(tài)的思考方式，也是一類問題解決的重要途徑.

方法9：面積處理法.

如圖12，作等腰三角形ABC的頂角平分線AM，交CP于點(diǎn)O，易證∠OAC=∠OCA=20°.

圖12

則OA=OC.

將等腰三角形ACO沿著AC翻折至△ACO′，

易證四邊形AOCO′為菱形，且∠PAO′=60°.

過點(diǎn)P作PG⊥AO′于點(diǎn)G，

易得S菱形AOCO′=AO·CM=AO′·PG.

又因?yàn)锳O=AO′，

故CM=PG.

【反思】面積法是計(jì)算線段長度或比例的又一重要策略.方法9仍先利用如圖3所示的方式“由倍角造半角”，結(jié)合翻折變換構(gòu)造菱形AOCO′，再借助面積處理，得到菱形每條邊上的高相等，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移，從而將兩條目標(biāo)線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，順利獲解.

以上9種解題方法都是基于“倍半角”結(jié)構(gòu)而采取的“由倍角造半角”的常見構(gòu)造方式，然后結(jié)合角平分線、全等、相似、圖形變換，以及面積等常見的處理策略而獲解的.下面再看幾種“由半角造倍角”的常見思路.

策略2：由“半角造倍角”

圖13或圖14是兩種常見的由“半角”造“倍角”的方式，由此可衍生出以下4種解題方法.

圖13

圖14

方法10：相似法1.

如圖15，在AC上取點(diǎn)D，使PD=CD.

圖15

則∠ADP=2∠ACP=∠A=40°.

故AP=PD=CD.

從而BP=AD.

注意到∠A+∠BCP=90°，作PG⊥AD于點(diǎn)G，BH⊥PC于點(diǎn)H，

易證△BCH∽△APG.

方法11：相似法2.

如圖16，在AC上取點(diǎn)D，使PD=CD.

圖16

同方法10，可得AP=PD=DC.

注意到∠PCD+∠B=90°，作DG⊥PC于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H，

易證△BCH∽△DCG.

方法12：相似法3.

如圖17，在AC上取點(diǎn)D，使PD=CD.

圖17

同方法10，可得AP=PD=DC.

作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′，連接CC′交AB于點(diǎn)H，再連接BC′，

易證△BCC′∽△DCP.

【反思】方法10～12都是基于如圖13所示的“由半角造倍角”的策略，構(gòu)造出等腰三角形，再利用相似解決問題.“倍半角”問題的構(gòu)造模式常與等腰三角形相結(jié)合，無論是“由倍造半”還是“由半造倍”，往往會(huì)出現(xiàn)等腰三角形，從而實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化.

方法13：翻折變換.

如圖18，將△ACP沿CP翻折至△A′CP，連接AA′，延長CP交AA′于點(diǎn)G，

圖18

則∠ACA′=2∠ACP= ∠BAC=40°.

易證△ABC≌△CAA′.

故BC=AA′.

又由CP平分∠ACA′，可得CG⊥AA′，且AA′=2AG.

【反思】翻折變換也是一種常見的“由半角造倍角”的構(gòu)造方式，然后巧識(shí)全等實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化，從而將兩條目標(biāo)線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，順利獲解.

以上4種解題方法都是基于“倍半角”結(jié)構(gòu)而采取的“由半角造倍角”的常見構(gòu)造方式，然后結(jié)合全等或相似等常見的處理策略而獲解的.

策略3：邊對角→輔助圓

圖19是“邊對角”的核心結(jié)構(gòu)，可聯(lián)想構(gòu)造輔助圓，由此衍生出以下2種解題方法.

圖19

方法14：導(dǎo)邊導(dǎo)角.

如圖20，作△BCP的外接圓⊙O，連接OB，OC，OP，再連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，

圖20

由AB=AC，且OB=OC，易證AO垂直平分BC.

又由∠BOP=2∠BCP=100°，則∠OPB=40°.

易知∠OAP=20°.

故∠AOP=20°.

從而AP=OP=OB.

方法15：全等法.

如圖21，作△ACP的外接圓⊙O，在優(yōu)弧⌒AC上取點(diǎn)D，使DA=DC，連接DP，

圖21

易證△ACD為等邊三角形，且∠ADP=∠ACP=20°，∠APD= ∠ACD=60°.

再過點(diǎn)A分別作BC，DP的垂線，垂足依次為點(diǎn)M，N，

易證△ACM≌△DAN.

故CM=AN.

【反思】以上2種解題方法都是基于“邊對角”結(jié)構(gòu)的識(shí)別（即“邊BC對∠BPC”或“邊AC對∠APC”），而采取的構(gòu)造輔助圓策略，然后利用全等導(dǎo)邊、導(dǎo)角，順利獲解.“邊對角→輔助圓”是一種常見的處理策略，往往能起到意想不到的解題效果.

圖形結(jié)構(gòu)決定圖形性質(zhì)，很多問題解決的密鑰自然也蘊(yùn)含于圖形結(jié)構(gòu)中，識(shí)別并完善圖形結(jié)構(gòu)中的一些關(guān)鍵部位，便可獲取系列常見的解題思路.

四、特殊化與一般化

數(shù)學(xué)家梅森認(rèn)為，特殊化與一般化貫穿于整個(gè)解題過程中，或者說，特殊化與一般化構(gòu)成了整個(gè)解題過程的基礎(chǔ).他還指出特殊化在解題中的作用：第一，只有通過特殊化才能很好地了解所面臨的問題；第二，只有通過特殊化才能認(rèn)識(shí)導(dǎo)致一般化的模式；第三，對于所得出的結(jié)論又必須借助進(jìn)一步的特殊化去檢驗(yàn).

一般化是問題解決的另一條重要途徑，它是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式.數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的根本目的是揭示更為普遍、更為深刻的事實(shí)或規(guī)律，只有將問題推廣到更一般的情形，才能獲得更加本真的認(rèn)知，才能得到更多的收獲.

對于此題，若做特殊化處理，可得到如下簡單的結(jié)論：如圖22，在等邊三角形ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，且∠A=2∠ACP，顯然.

圖22

若做一般化處理，可得到如下結(jié)論：如圖23，在△ABC中，AB=AC，P為邊AB上的一點(diǎn)，且∠A=2∠ACP，試說明：

圖23

經(jīng)嘗試，以上15種解題方法對于此類一般化問題均適用.由此看來，它們都是處理此類問題的通性、通法.

五、幾點(diǎn)思考

1.關(guān)注圖形結(jié)構(gòu)，聯(lián)想通性通法

幾何解題教學(xué)中，教師應(yīng)善于從圖形的結(jié)構(gòu)入手，引導(dǎo)學(xué)生洞察圖形的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相關(guān)的基本圖形，從而引發(fā)學(xué)生廣泛聯(lián)想，衍生出一些常見的解題策略.本文前13種解題方法都是基于圖形的核心結(jié)構(gòu)（即“倍半角”結(jié)構(gòu)）而觸發(fā)聯(lián)想的“倍半角”構(gòu)造法；方法14與方法15是基于“邊對角”結(jié)構(gòu)而觸發(fā)聯(lián)想的輔助圓構(gòu)造法.總之，圖形結(jié)構(gòu)是幾何問題的“魂”.教學(xué)中，教師理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從識(shí)圖入手，整體把握圖形結(jié)構(gòu)，合理地對圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解、提煉，發(fā)揮基本圖形的導(dǎo)航作用，實(shí)現(xiàn)邊或角之間的相互轉(zhuǎn)化.

通性通法是解決一類問題的基本方法，往往具備很強(qiáng)的通用性與普適性.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在實(shí)際情境中，能夠把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性、通法.教學(xué)中，要盡量挖掘問題解決的最本質(zhì)、最基本的方法與策略.從本文中的一般化處理結(jié)果來看，上述基于圖形結(jié)構(gòu)分析而衍生出的15種解題方法都是此類問題的通性通法.

2.注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，錘煉思維品質(zhì)

波利亞指出，“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？就是要善于解題”.幾何圖形結(jié)構(gòu)的分析與探究是一個(gè)有目標(biāo)的、復(fù)雜的、高級的心智活動(dòng)，既可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，又可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力.數(shù)學(xué)思維是以數(shù)學(xué)物象為思維對象，以數(shù)學(xué)語言及符號(hào)為思維載體，并以認(rèn)識(shí)和揭示數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維.教學(xué)中，應(yīng)從題目的目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、特征等方面一題多思、一題多解、一題多變，從不同視角、不同層次加以分析、探索，深入挖掘問題本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

本文中提供的多種解題方法就是從不同的圖形結(jié)構(gòu)特征入手，充分聯(lián)想、構(gòu)造而產(chǎn)生的不同解題策略.另外，這些解題方法分塊呈現(xiàn).例如，前9種解題方法都屬于由“倍角造半角”的基本策略，這又體現(xiàn)了多解歸一的功效.“一題多解，多解歸一”是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的好方法，前者從不同角度、用多種方法思考問題，思維呈發(fā)散性；后者是發(fā)現(xiàn)不同方法中相通的本質(zhì)，思維呈聚合性.兩者結(jié)合，方能深入挖掘問題本質(zhì)，彰顯解題教學(xué)的魅力，使學(xué)生能在不同角度、不同層次、不同情境下重新認(rèn)識(shí)所學(xué)的知識(shí)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，這樣才能充分培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力，形成良好的思維習(xí)慣，全面提高學(xué)生的思維品質(zhì).

3.發(fā)揮教學(xué)機(jī)智，放眼長線發(fā)展

解題是一門技術(shù)活，教學(xué)是一門藝術(shù)活，解題教學(xué)需要借助藝術(shù)化的手法將基本的解題技能逐漸滲透給學(xué)生.羅增儒教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng).解題教學(xué)中要充分發(fā)揮教學(xué)機(jī)智，努力營造一個(gè)勤學(xué)、善思的教學(xué)環(huán)境，增強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與期待.拿本文舉例，對于上述15種解題方法，如何循循善誘？如何引導(dǎo)學(xué)生果敢、積極地去思索？這離不開一份好的教學(xué)設(shè)計(jì)，離不開一些好的問題.教師若能設(shè)計(jì)好教學(xué)環(huán)節(jié)，或許會(huì)是一節(jié)精彩的課堂.

俗話說得好，放長線，釣大魚.解題教學(xué)中，教師若能放眼學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，在平時(shí)的常態(tài)教學(xué)中，適時(shí)滲透一些初、高中銜接知識(shí)或方法，對于學(xué)生尤其是優(yōu)等生的培養(yǎng)勢必起到一定的積極作用，使他們對于以后的學(xué)習(xí)之路充滿無限的期待.前文說到，特殊化與一般化是研究問題的一般路徑，若學(xué)生能提出或教師能引出：上述特殊化與一般化的結(jié)論之間是否具備一致性？換言之，一般化的結(jié)論對于特殊化的條件是否仍然適用？這時(shí)，教師可以斷言：“它們是一致的！等到高中，大家就會(huì)學(xué)習(xí)sin 90°=1，到時(shí)就能徹底理解了！”這無一不體現(xiàn)了教師的教學(xué)機(jī)智.這樣的課堂必定是極為出彩的，這樣的解題教學(xué)對于學(xué)生的思維沖擊必定是震撼的，這也必定能更加堅(jiān)定學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念以及對未來無限的向往.