高階中心對稱張量譜理論及應(yīng)用*

許 娜, 王春燕

(①曲阜師范大學(xué)公共外語教學(xué)部;② 曲阜師范大學(xué)管理學(xué)院,276826,山東省日照市)

0 引 言

中心對稱矩陣和斜中心對稱矩陣在信息論、線性系統(tǒng)理論和數(shù)值分析中起著重要作用[1,2,6-8,14,15,20,22,24,26]. 關(guān)于中心對稱矩陣的理論及應(yīng)用研究可追溯到19 世紀(jì)60 年代[19]. 20 世紀(jì) 80 年代,隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨,大規(guī)模數(shù)椐分析及應(yīng)用發(fā)展迅速,高階張量研究引起了越來越多科研工作者的研究興趣,具有特殊結(jié)構(gòu)的高階張量已被廣泛應(yīng)用于非線性動力系統(tǒng),多項(xiàng)式優(yōu)化及工程和科學(xué)計(jì)算等實(shí)際問題. 趙和楊[27]首次給出了高階中心對稱張量的定義,并討論了非負(fù)中心對稱張量的特征值性質(zhì)[27]. 本文繼續(xù)對高階中心對稱張量的結(jié)構(gòu)性質(zhì)與譜理論展開研究,并將其應(yīng)用到柯西張量的特征值計(jì)算等問題.

本文所探討的張量可以稱作超矩陣,即矩陣的元素有兩個下標(biāo),而超矩陣的下標(biāo)有m個,其中m稱為這個超矩陣的階. 顯然,零階超矩陣即為標(biāo)量,一階超矩陣即為向量,二階超矩陣即為矩陣. 首先,簡單回顧高階張量的一般定義及特征值等基本概念. 一個m階n維張量可以表示成A=(ai1i2…im),ai1i2…im,1≤ij≤n,1≤j≤m稱作張量A的元素. 其中aii…i,1≤i≤n為張量A的對角元,其余元素為A的非對角元. 如果

ai1i2…im∈,ij∈[n],j∈[m],

則張量A為一個實(shí)張量.

在本文中,只考慮實(shí)張量的情況. 如果元素ai1i2…im在其指標(biāo)的任意排列下是不變的,則張量A稱為對稱張量.

定義1 假設(shè)一個m階n維實(shí)張量A=(ai1i2…im)滿足ai1i2…im=an-i1+1,n-i2+1,…,n-im+1,ij∈[n],j∈[m],則稱張量A為中心對稱張量. 如果ai1i2…im=-an-i1+1,n-i2+1,…,n-im+1,ij∈[n],j∈[m],則稱張量A為斜中心對稱的.

高階中心對稱張量和斜中心對稱張量屬于結(jié)構(gòu)張量,結(jié)構(gòu)張量的研究屬于多線性代數(shù)的范疇. 隨著人們對多線性代數(shù)研究的興趣日益濃厚,越來越多的結(jié)構(gòu)矩陣被推廣到高階結(jié)構(gòu)張量,并發(fā)現(xiàn)了許多新穎而有意義的結(jié)論,為多線性代數(shù)與運(yùn)籌學(xué),計(jì)算機(jī)科學(xué)等交叉學(xué)科的發(fā)展提供了理論依據(jù).

本文主要結(jié)構(gòu)分為5節(jié). 第1節(jié)回顧了高階張量和多項(xiàng)式優(yōu)化的一些基本定義及部分重要結(jié)論. 第2節(jié)證明了中心對稱張量和斜中心對稱張量的各種性質(zhì),例如中心對稱張量積的不變性、左逆張量和右逆張量的遺傳性等. 此外,還證明了高階張量為中心對稱或斜中心對稱結(jié)構(gòu)的充要條件. 第3節(jié)討論了中心對稱張量和斜中心對稱張量的特征值性質(zhì). 特別地,對于二維與三維張量,證明了其H特征值總是具有對稱H特征向量或斜對稱H特征向量,并進(jìn)一步證明了斜中心對稱張量的所有非零H特征值總是成對出現(xiàn). 第4節(jié)對具有中心對稱結(jié)構(gòu)的柯西張量展開研究,建立了中心對稱柯西張量可檢驗(yàn)的充要條件. 還證明了中心對稱柯西張量的最大(最小)H特征值等價(jià)于一類低維的柯西張量的特征值,進(jìn)而降低計(jì)算難度. 第5節(jié)總結(jié)本文主要內(nèi)容并列舉了下一步的幾個研究方向.

1 預(yù)備知識

在本節(jié)中,回顧張量特征值及張量與多項(xiàng)式的關(guān)系等基本定義,包括張量積、H特征值和H特征向量的概念. 首先列舉常用的一些符號,假設(shè)n為一個整數(shù),定義集合[n]=1,2,…,n. 全體m階n1×n2×…×nm維實(shí)(復(fù))張量構(gòu)成的全體記作n1×n2×…×nm(n1×n2×…×nm).

對于x∈n,定義xm為一個m階n維對稱秩1張量,它的元素滿足

(xm)i1i2…im=xi1xi2…xim,ij∈[n],j∈[m].

特別地,任意一個m階n維張量A在n空間中對應(yīng)一個m次齊次多項(xiàng)式如果張量A為對稱張量,則相應(yīng)的齊次多項(xiàng)式是唯一的. 當(dāng)m=2時,該齊次多項(xiàng)式退化為二次型. 同樣的,n空間上的任意m次齊次多項(xiàng)式函數(shù)fA(x)也對應(yīng)唯一的對稱張量.

接下來回顧張量乘積的概念.

定義2[3]設(shè)A∈n1×n2×…×n2,B∈n2×n3×…×nk+1并且m≥2,k≥1. 則AB乘積為元素滿足下列條件的(m-1)(k-1)+1階的張量C

其中i∈[n1],α1,α2,…,αm-1∈[n3]×…×[nk+1].

本文主要研究n1=n2=…=nk+1=n時的情況. 針對此特殊情形,邵等在文獻(xiàn)[17]給出了張量乘積的定義. 接下來,引入張量特征值的定義.

定義3 假設(shè)T=(ti1i2…im)為一個m階n維實(shí)張量. 如果存在一組(λ,x)∈×n{0}滿足

Txm-1=λx[m-1],

(1)

2中心對稱張量和斜中心對稱張量

本節(jié)主要研究高階中心對稱張量與斜中心對稱張量部分性質(zhì)及特征值理論. 首先證明中心對稱張量的乘積不變性,即中心對稱張量與中心對稱張量的乘積仍然是中心對稱張量. 其次,提出了中心對稱張量或斜中心對稱張量的幾個充分必要條件. 最后證明了中心對稱張量和斜中心對稱張量的左逆和右逆的性質(zhì). 當(dāng)階數(shù)等于2時,即中心對稱矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用,請參閱文獻(xiàn)[7,8,14,15,20,22,24].

引理1 假設(shè)B是n×n階中心對稱矩陣,A是m階n維中心對稱張量,那么BA是m階n維中心對稱張量.

據(jù)此,根據(jù)定義1,得到BA是一個m階n維的中心對稱張量.

同理,可證明如下結(jié)論.

引理2 假設(shè)A和B如引理1所定義. 則AB是中心對稱張量.

證明由定義2以及A和B是中心對稱的,可得對任意i1,i2,…,im∈[n],有

因此,AB是一個中心對稱張量.

引理1與引理2給出了中心對稱張量與矩陣乘積的不變性,定理1證明了中心對稱張量乘積的不變性.

定理1 設(shè)A與B分別為m階n維和k階n維中心對稱張量,則AB是一個(m-1)(k-1)+1階n維中心對稱張量.

證明由定義2可知,對任意的

根據(jù)定理1,可得如下推論.

推論1 假設(shè)A與B如定理1所定義. 那么下述結(jié)論成立:

(ⅰ) 如果張量A是斜中心對稱的,張量B是中心對稱的,那么AB是斜中心對稱的;

(ⅱ) 如果張量A是中心對稱的,張量B是斜中心對稱的,那么當(dāng)m是奇數(shù)時,AB是中心對稱的;當(dāng)m是偶數(shù)時,AB是斜中心對稱的;

(ⅲ) 如果張量A和張量B都是斜中心對稱的,那么當(dāng)m是偶數(shù)時,AB是中心對稱的;當(dāng)m是奇數(shù)時,AB斜中心對稱的.

推論2 對任意有限個n維張量A1,A2,…,As,如果它們都是中心對稱張量,則乘積A1A2…As也是中心對稱張量.

定理2 設(shè)A=(ai1i2…im)是m階n維張量. 如果A是中心對稱張量,則ri=rn-i+1,i∈[n];如果A是斜中心對稱張量,則ri=-rn-i+1,i∈[n].

推論3 設(shè)張量A如定理2所定義,假設(shè)n為奇數(shù). 如果A是斜中心對稱的,那么它至少存在一個非零元素且至少存在一個i∈[n]滿足ri=0.

下面研究中心對稱張量與斜中心對稱張量的充分必要條件. 首先,假設(shè)J是一個由jij=δin-j+1,1≤i,j≤n,組成的n×n的實(shí)矩陣,其中δin-j+1表示克羅內(nèi)克符號,即有

定理3 設(shè)A是m階n維張量. 那么A是中心對稱的當(dāng)且僅當(dāng)JAJ=A;A是斜中心對稱的當(dāng)且僅當(dāng)JAJ=-A.

證明對任意的ij∈[n],j∈[m],由定義2可得

即,當(dāng)且僅當(dāng)JAJ=A時,A是中心對稱的. 同理可得第2個結(jié)論也成立.

很明顯JJ=I,其中I是n×n單位矩陣. 由于定義2中的張量積滿足結(jié)合律(見文獻(xiàn) [17] 的定理1.1),故有如下結(jié)論.

定理4 設(shè)A是m階n維張量. 則當(dāng)且僅當(dāng)AJ=JA時,A是中心對稱張量;當(dāng)且僅當(dāng)AJ=-JA時,A是斜中心對稱張量.

設(shè)x=(x1,x2,…,xn)∈n. 那么Jx是通過將x的元素順序顛倒來得到一個向量. 如果Jx=x,我們說x是一個對稱向量,如果Jx=-x,則它是中心對稱的. 對任意給定的m階n維張量A=(ai1i2…im),它對應(yīng)的齊次多項(xiàng)式可以表示為

定理5 設(shè)A為m階n維中心對稱張量. 對任意x∈n,有f(Jx)=f(x);如果A是斜對稱張量,那么f(Jx)=-f(x).

證明設(shè)y=Jx=(xn,xn-1,…,x2,x1),即yi=xn-i+1,i∈[n]. 如果A是中心對稱的,那么可知

(2)

當(dāng)A是斜中心對稱的,則有

(3)

根據(jù)式(2)和式(3),結(jié)論成立.

假設(shè)A=(ai1i2…im)和B=(bi1i2…im)是兩個m階n維張量,A和B的 Hadamard 積定義為

A°B=(ai1i2…imbi1i2…im).

(4)

上式所得張量仍是m階n維的.

根據(jù)定義1和式(4),下面定理顯然成立.

定理6 已知m階n維張量A和B,則如下結(jié)論成立:

(ⅰ) 如果A和B都是中心對稱的,那么A°B是中心對稱的;

(ⅱ) 如果A和B都是斜中心對稱的,那么A°B是中心對稱的;

(ⅲ) 如果A是中心對稱的,B是斜中心對稱的,那么A°B是斜中心對稱的.

眾所周知,任何矩陣都可以分解為對稱矩陣和斜對稱矩陣的和. 類似地,有以下結(jié)論.

定理7 對于任意給定的m階n維張量A,它可以表示為一個中心對稱張量和一個斜中心對稱張量的和.

中心對稱矩陣的另一個重要性質(zhì)是它的逆矩陣也是中心對稱的[22]. 因此,我們想知道一個中心對稱張量的逆是否為中心對稱的. 然而,張量的逆至今沒有明確定義. 但是,張量左逆和右逆的定義在文獻(xiàn)[3]中給出. 在下面的分析中,將研究左逆張量和右逆張量的中心對稱性質(zhì).

在文獻(xiàn)[3]中給出了張量的左逆和右逆的定義.

定義4[3]設(shè)A是一個m階n維張量,B是一個k階n維張量. 如果AB=I,那么A是B的一個m階左逆,B是A的一個k階右逆.

定理8 假設(shè)A=(ai1i2…im)是一個m階n維對角中心對稱張量. 則有下述結(jié)論成立:

(ⅰ)A有中心對稱左逆,當(dāng)且僅當(dāng)A有非零對角元素;

(ⅱ) 當(dāng)m是偶數(shù)時,A有中心對稱右逆,當(dāng)且僅當(dāng)A有非零對角元素;

(ⅲ) 當(dāng)m是奇數(shù)時,A有中心對稱右逆,當(dāng)且僅當(dāng)A所有對角元素都是正的.

證明(ⅰ) 根據(jù)定義4,A有中心對稱左逆,當(dāng)且僅當(dāng)存在k階n維實(shí)中心對稱張量B=(bi1i2…ik)滿足

BA=I.

(5)

(ⅱ)假設(shè)B=(bi1i2…ik)是k階n維中心對稱張量滿足

考慮AB的對角線元素,可以得到

(6)

這表明A有非零的對角元素.

定理9 設(shè)A是m階n維中心對稱張量. 如果A有2階n維實(shí)左逆,則該逆是唯一的且為中心對稱矩陣.

由A的中心對稱性可知B-1是中心對稱矩陣矩陣. 因?yàn)橹行膶ΨQ矩陣的逆矩陣是中心對稱的(見文獻(xiàn)[22],命題6),可知B是中心對稱張量.

另一方面,假設(shè)A有另一個2階左逆C. 由此可得A=B-1I=C-1I,其中C-1是C的逆. 進(jìn)而,(B-1-C-1)I=0.根據(jù)文獻(xiàn)[3]中引理 2.1可得B-1=C-1,所以B=C,結(jié)論成立.

根據(jù)定理9的證明,同理可得如下定理.

定理10 假設(shè)A是m階n維的中心對稱張量,其中m是偶數(shù). 如果A有2階n維右逆,則該逆唯一且為中心對稱矩陣.

3 中心對稱張量和斜中心對稱張量的譜性質(zhì)

本節(jié)針對高階中心對稱張量和斜中心對稱張量的H特征值和H特征向量的展開研究. 在文獻(xiàn)[22]中,作者證明了2×2階或3×3階中心對稱矩陣的所有特征向量都是對稱或斜對稱的. 但是,這一性質(zhì)并不能推廣到4×4階矩陣的情形. 下面2個定理證明m階2維和m階3維中心對稱張量總是具有對稱H特征向量或斜對稱的H特征向量.

定理11 設(shè)A=(ai1i2…im)為m階2維的中心對稱張量,則

分別為張量A的對稱H特征值與斜對稱H特征值.

證明設(shè)e=(1,1)T,u=(1,-1)T. 由定義3及A中心對稱性可知

結(jié)論得證.

證明令x=(1,0,-1)T,由定義3可得

(7)

因?yàn)锳是中心對稱張量,且m為偶數(shù),故有

(Axm-1)3=-(Axm-1)1.

(8)

另一方面,

故

(Axm-1)2=0.

(9)

由式(7)～(9)可得λ為張量A的斜對稱H特征向量x對應(yīng)的H特征值.

下面針對一般H特征值情形展開研究. 一方面,當(dāng)H特征向量元素的順序顛倒時,它仍然是相對應(yīng)的H特征向量. 另一方面,對于斜中心對稱張量,如果λ∈是斜中心對稱張量的H特征值,則-λ也是張量的H特征值,這意味著給定斜中心對稱張量的H特征值成對出現(xiàn).

定理13 設(shè)A為m階n維中心對稱張量. 如果x∈n為張量A對應(yīng)于H特征值λ的H特征向量,則Jx為張量A與λ相對應(yīng)的H特征向量.

證明由定義及(1),可以得到Axm-1=λx[m-1].令x=(x1,x2,…,xn),則Jx=(xn,xn-1,…,x1). 對任意的i∈[n],可以得到

(10)

由上式可以得到Jx為張量A的對應(yīng)于特征值λ的H特征向量.

同理可得到如下結(jié)論,證明過程與上述定理類似,故略去證明細(xì)節(jié).

定理14 設(shè)A為m階n維斜對稱張量. 如果λ∈為張量A的對應(yīng)于H特征向量x的H特征值,則-λ為張量A對應(yīng)于H特征向量Jx的H特征值.

定理15設(shè)A=(ai1i2…im)為m階n維中心對稱張量. 對于張量A的所有H特征向量及對應(yīng)的H特征值λ,其中dimker(λI-A)=1,則H特征向量是對稱或斜對稱特征向量.

證明假設(shè)x∈n為張量A的H特征值λ對應(yīng)的H特征向量. 由定義3可得

Axm-1=λx[m-1].

(11)

因?yàn)锳為中心對稱的,由定理3和式(11)可得JAJxm-1=λx[m-1].由上式可得

AJxm-1=λJx[m-1]=λ(Jx)[m-1].

(12)

此外,由定義1可得

對任意i∈[n]都成立,故

AJxm-1=A(Jx)m-1.

(13)

由式(12),式(13)可得A(Jx)m-1=λ(Jx)[m-1],這說明Jx是與特征值λ相對應(yīng)的H特征向量. 根據(jù)dimker(λI-A)=1,可得Jx=ax,其中a為非零實(shí)常數(shù),a也是矩陣J的特征值. 則a=±1. 因此,Jx=±x,這意味著x要么是對稱的,要么是斜對稱的.

4 中心對稱柯西張量及應(yīng)用

本節(jié)擬將中心對稱張量應(yīng)用于高階柯西張量,并詳述此類張量的特征值性質(zhì)與計(jì)算. 首先證明了柯西張量為中心對稱張量的可檢驗(yàn)的充分必要條件. 其次證明了不存在任何奇數(shù)維斜中心對稱柯西張量,當(dāng)中心對稱柯西張量為偶數(shù)階時,對應(yīng)于非零H特征值的所有H特征向量都是對稱的;當(dāng)階數(shù)是奇數(shù)時,H特征向量的絕對向量是對稱的. 更多關(guān)于非負(fù)對稱張量的應(yīng)用,請參閱文獻(xiàn)[27].

下面給出柯西張量的定義.

定義5[4]設(shè)c=(c1,c2,…,cn)∈n. 假設(shè)一個實(shí)張量C=(ci1i2…im)的元素滿足

(14)

則C被稱作m階n維柯西張量,向量c∈n稱為張量C的生成向量.

4.1 中心對稱柯西張量的充分必要條件

定理16 設(shè)C為m階n維柯西張量. 令c∈n為張量C的生成向量. 則張量C為中心對稱張量當(dāng)且僅當(dāng)c是對稱的,即Jc=c.

由定理16和定理3,可得下面結(jié)論.

推論4 假設(shè)C如式(14)定義的柯西張量. 則C為中心對稱張量當(dāng)且僅當(dāng)CJ=C,JC=C,其中J的定義見第3節(jié).

下邊定理證明了偶數(shù)維柯西張量是斜中心對稱張量當(dāng)且僅當(dāng)它的生成向量是斜中心對稱的. 因?yàn)樽C明過程與定理16類似,此處省略.

定理17 設(shè)C為m階n維柯西張量且n為偶數(shù). 則C為斜中心對稱張量當(dāng)且僅當(dāng)c為斜對稱向量,即Jc=-c,其中c∈n為張量C的生成向量.

定理18 設(shè)C為m階n維柯西張量. 令c=(c1,c2,…,cn)為C的生成向量. 假設(shè)C為中心對稱張量,則C的任意非零H特征值對應(yīng)的H特征向量x∈n滿足當(dāng)m為偶數(shù)時,x是對稱的;當(dāng)m為奇數(shù)時,|x|為對稱的.

證明根據(jù)已知條件柯西張量C為中心對稱的,由定理16可得,生成向量c為對稱的. 設(shè)x為C的H特征向量,對應(yīng)的非零H特征值為λ. 由定義3,對于任意i∈[n],可得

當(dāng)m為偶數(shù)時,xi=xn-i+1,i∈[n],即x為對稱向量. 當(dāng)m為奇數(shù)時,|xi|=|xn-i+1|,i∈[n],即|x|為對稱向量.

4.2 中心對稱柯西張量的最大(最小)H特征值

下面的引理將在后面的分析中起重要作用.

假設(shè)C為m階n維中心對稱柯西張量且m為偶數(shù). 如果C所有的H特征值中最大(最小)值不等于零,由引理3和定理18可得

(15)

其中S?n為包含所有對稱向量的子集.

定理19 設(shè)C為m階n維中心對稱柯西張量,令m為偶數(shù)且n=2k,其中k∈為正整數(shù). 假設(shè)c=(c1,c2,…,cn)為C的生成向量. 如果C的最大(最小)H特征值不等于0,則其中是由k生成的m階k維柯西張量.

證明首先,為了保持表示符號的簡便性,定義如下指標(biāo)集

I0={(i1,i2,…,im)∈[n]m|i1,i2,…,im≤k},Ir={(i1,i2,…,im)∈[n]m},r∈[m],

其中r表示(i1,i2,…,im)中有r個指標(biāo)在區(qū)間[k+1,n]中取值. 因?yàn)镃為偶數(shù)階中心對稱張量,由定理18可得,對于所有的H特征向量是對稱的. 所以,對于任意的x∈S,‖x‖m=1,可得

(16)

定理20 設(shè)C是m階n維中心對稱柯西張量且m,n是偶數(shù). 假設(shè)c=(c1,c2,…,cn)∈n,c>0是C的生成向量. 則其中為柯西張量的生成向量.

5 結(jié) 論

本文主要研究高階中心對稱張量和斜中心對稱張量的各種性質(zhì). 例如,張量積的不變性,張量左逆和右逆的遺傳性等. 其次,研究了H特征值的譜性質(zhì)以及對中心對稱張量的H特征向量的估計(jì). 最后,將中心對稱結(jié)構(gòu)應(yīng)用于高階柯西張量,證明了高階中心對稱柯西張量的最大(最小)H特征值可等價(jià)轉(zhuǎn)化為計(jì)算一個低維柯西張量一的H特征值.

然而,本文是對中心對稱張量的初步研究,尚存許多待研究的問題.

問題1中心對稱張量的正定性是怎樣的? 能否給出一些類似于文獻(xiàn)[1]中的矩陣情形下的充分條件?

問題2斜中心對稱柯西張量的H特征向量的性質(zhì)是什么?

問題3近幾年,如引言所述,已經(jīng)對各種結(jié)構(gòu)的張量進(jìn)行了研究[4,5,9-12,18,21,25],那么當(dāng)中心對稱結(jié)構(gòu)應(yīng)用到那些結(jié)構(gòu)的張量時能得到什么重要結(jié)論?