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    GLEASON’S PROBLEM ON THE SPACE Fp,q,s(B) IN Cn*

    2022-11-04 09:06:40PengchengTANG唐鵬程XuejunZHANG張學軍
    關鍵詞:鵬程

    Pengcheng TANG (唐鵬程) Xuejun ZHANG (張學軍)

    College of Mathematics and Statistics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China

    E-mail: 1228928716@qq.com;xuejunttt@263.net

    Abstract Let Ω be a domain in Cn and let Y be a function space on Ω.If a ∈Ω and g ∈Y with g(a)=0,do there exist functions f1,f2,···,fn ∈Y such that This is Gleason’s problem.In this paper,we prove that Gleason’s problem is solvable on the boundary general function space Fp,q,s(B) in the unit ball B of Cn.

    Key words boundary general function space;Gleason’s problem;solvability;unit ball

    1 Introduction

    Letα=(α1,α2,···,αn) be a multi-index,where eachαlis a nonnegative integer.In this paper,the following abbreviated notations will be used: |α|=α1+α2+··· +αn,α!=

    For any pointz∈B-{0},the involution automorphisms ofBare defined by

    such thatφz(0)=z,φz(z)=0 andOtherwise,we defineφ0(w)=-w.

    In this paper,the notation “EF” means that there exist two constantsa >0 andb >0 such thataF≤E≤bF.If there exists a constanta >0 such thatG≤aH(G≥aH),then we denote it by “GH” (“G?H”).

    Fors≥0,p >0,q+n >-1 andq+s >-1,the spaceF(p,q,s),which we call the general function space,consists off∈H(B) and

    where the complex gradient offis defined by

    In [1],we proved that

    In [2],Zhao Ruhan first introduced theF(p,q,s) space on the unit disk.Later,many function spaces associated withF(p,q,s) were studied in various domains;see,for example,[1,3–11].In the definition of theF(p,q,s) space,the integral is on the unit ballBor the other domain Ω,for example,a bounded symmetric domain.In this paper,we will consider the corresponding function space of an integral on the unit sphere?B,which we write asFp,q,s(B).

    Definition 1.1Fors≥0,p >0,q+s≥0 andq+n≥0,the functionf∈H(B) is said to belong to the boundary general function spaceFp,q,s(B) if

    It is easy to prove thatFp,q,s(B) is a Banach space under the norm ||.||p,q,swhenp≥1,and theFp,q,s(B) is also a complete distance space under the distanced(a,b)=||a-b||pp,q,swhen 0<p <1.We may also consider many properties ofFp,q,s(B).Gleason’s problem is one of these properties.

    LetYbe a holomorphic function space on the domain Ω ?Cn.Gleason’s problem onYis the following: ifa∈Ω andg∈Ywithg(a)=0,are there functionsf1,···,fn∈Ysuch that

    There have been many works addressing Gleason’s problem,for example [12–26].We know that Gleason’s problem is solvable onF(p,q,s) (see [26]).Is this problem also solvable onFp,q,s(B) ? In this paper,we seek to solve this problem.

    The following function spaces are also used in this paper:

    Definition 1.2For 0<β≤1,the functionfis in the Lipschitz space Lipβ(B) if

    The space Λβ(B)=Lipβ(B) ∩H(B) is called a holomorphic Lipschitz space.By Theorem 7.9 in [27],if 0<β <1,thenf∈Λβ(B) if and only iff∈H(B) and

    Definition 1.3Forα >-1 andp >0,the functionf∈H(B) is said to belong to the weighted Bergman space(B) if

    where dvα(w)=cα(1 -|w|2)αdv(w),with the constant

    2 Some Lemmas

    Lemma 2.1(see [14]) Forδ >-1,the integrals

    have the following properties:

    Lemma 2.2(see [28,29]) Letwandabe two points inB.Forl >0 andt >0,let

    Then the following results hold:

    Lemma 2.3Fors≥0,p >0,q+n≥0,q+s≥0,ifh∈Fp,q,s(B),then

    Moreover,the exponent (q+n)/pis the best possible.

    ProofFor anya∈B,let=E*(a,1/3) (see [30]) be the Bergman ball.If,then Lemma 2.20 in [27] shows that

    By the proof process of Lemma 2.1 in [30],we may get that

    For anyl∈{1,2,···,n},letDlhdenote the partial derivative ofhwith respect to thel-th component.By Lemma 2.24 and Lemma 1.8 in [27],we have that

    In what follows,we prove that this exponent (q+n)/pis the best possible.

    For fixedξ∈?B,we take

    wherew∈B.

    Whens=q=0,it follows from Lemma 2.1 that

    On the other hand,for anyδ <n/p,Lemma 2.1 means that

    This shows that this exponent (q+n)/pis the best possible whenq=s=0.

    In what follows,we consider the other cases.

    For the case (i)s≥nandq+n≥0 or (ii)s=0<q,it is easy to prove that ||hξ||p,q,s?1,by Lemma 2.1.If 0<s <nandq+s >0,thenn(q+n)/(n-s)>nandn/s >1.By Lemma 2.1 and Hlder’s inequality,we have that

    Next,we consider the case 0<s <nandq+s=0.

    Ifn <2s,then Lemma 2.2(3) shows that

    Ifn=2s,then Lemma 2.2(2) and

    Ifn >2s >0,then Lemma 2.2(1) means that

    Therefore,(2.1)–(2.4) show that ||hξ||p,q,s?1.

    If there exists someδ <(q+n)/psuch that

    This contradiction shows that the exponent (n+q)/pis the best possible.

    This proof is complete. □

    Lemma 2.4(see [29]) Forδ >-1 and 0 ≤ρ <1,the integral

    has the following asymptotic properties:

    (1)J(ρ) ?(1 -ρ)-twhent >0.

    (2)J(ρ) ?1 whent <0.

    (3)J(ρ) ?logwhent=0.

    3 Main Results

    In order to consider the solvability of Gleason’s problem onFp,q,s(B),we first prove the following result:

    Theorem 3.1Lets≥0,p >0,q+n≥0,q+s≥0,0<β <1,α >β/2+max{1/p-1,0}n-1 andα >max{1/p,1} max{q+s,q+n}+max{1/p-1,0}n-1,l∈{1,2,···,n}.Ifφ∈Lipβ(B),then

    for allh∈Fp,q,s(B),where

    ProofWhenφ∈Lipβ(B),it is clear that

    Otherwise,ifz,w∈B,then we have that

    We first consider the operator

    By (3.2) andφ∈Lipβ(B),we have that

    For any 0 ≤ρ <1 anda∈B,let

    (i) Casep >1.

    This means that

    When 2s <n,by (3.4) andn+α+1 -β/2>n,Lemma 2.2(3),Lemma 1.8 in [27],α-q-s >-1 and Lemma 2.4,,we may obtain that

    When 2s >n,by (3.4) andn+α+1 -β/2>n,Lemma 2.2(4),Lemma 1.8 in [27],α-q-s >-1 and Lemmas 2.3–2.4,,s+(q+s)-(2s-n)=q+n≥0,α-q-n >-1,Lemma 2.1,s+(q+s)-(2s-n)-(n+α+1-β/2)+(α-q-n)+n+1=β/2>0,

    we can get that

    When 2s=n,the conditionsq+s≥0 andα >q+n-1 mean that we may chooseδ0=min{(n-β)/4,(α-q-n+1)/2} such thatα-q-n-δ0>-1,q+2s-δ0≥(α+n+1 -β/2 -2δ0) -(α-q-n-δ0) -n-1=q+2s-β/2 -δ0>0.By (3.4),Lemma 2.2(5),Lemma 2.3 and Lemma 2.1,we have that

    (ii) Case 0<p≤1.

    Forw∈B,we take(z∈B).Applying Lemma 2.15 in [27] toHw,we can obtain that

    The above inequality and (3.3) mean that

    Therefore,by (3.8) and Fubini’s theorem,we may get that

    Using (3.9),as long as we usepβ/2 andα′to replaceβ/2 andαin (3.4),respectively,the rest of the proof is similar to the proof of casep >1.

    The above result and (3.5)–(3.7) mean that we have proved that

    Lemma 2.3 means thatDlh∈(B) whenα >(q+n)/p-1 andh∈Fp,q,s(B).It follows from Theorem 2.2 in [27] that

    Therefore,Tφh(w)=φ(w)Dlh(w) -Gφh(w).By (a+b)p?ap+bpfor alla≥0 andb≥0,φ∈Lipβ(B) ?C(),we can get that

    This means that (3.1) holds.This proof is complete. □

    Next,we discuss the solvability of Gleason’s problem onFp,q,s(B).

    Theorem 3.2Lets≥0,p >0,q+n≥0 andq+s≥0.For any integerγ≥1 anda∈B,there exist bounded linear operatorsWm(|m|=γ) onFp,q,s(B) such that

    for anyh∈Fp,q,s(B) andw∈BwithDλh(a)=0 (|λ|=0,1,···,γ-1),wheremandλare multi-index.

    ProofWe mainly consider the caseγ=1.

    For fixeda∈Bandl∈{1,2,···,n},we take that

    ThenWlis a linear operator and

    In what follows,we prove thatWlis bounded onFp,q,s(B) for everyl∈{1,2,···,n}.

    We take a positive integerα >max{1/p-1,0}n-1/2 andα >max{1/p,1} max{q+s,q+n}+max{1/p-1,0}n-1.By (3.10)–(3.11),Fubini’s theorem and a simple calculation,we have that

    For anyk∈{1,2,···,n},it is clear that

    We consider the operator

    Forγ≥2,the proof is similar to that of Theorem 5 in [25].The main difference is that the calculation is more difficult.We omit the details here.

    The proof of Theorem 3.2 is complete. □

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