“圓”來(lái)如此

蔡雄壯

【摘要】構(gòu)造輔助圓，建立圓的模型，運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)解決幾何問(wèn)題，化難為易，化隱為顯，會(huì)帶來(lái)柳暗花明的效果.文章歸納構(gòu)造輔助圓解幾何題的五種類型以及依據(jù)，并列舉案例分析闡述如何運(yùn)用相應(yīng)的類型來(lái)構(gòu)造輔助圓解幾何題，從根源上解決學(xué)生的困惑，讓學(xué)生知其所以然.

【關(guān)鍵詞】輔助圓;幾何題;模型;類型

在解幾何題時(shí)，經(jīng)常通過(guò)作輔助線，化繁為簡(jiǎn)、化難為易，讓題目迎刃而解.對(duì)于有些幾何題，相比其他解法，構(gòu)造輔助圓，建立圓的模型，運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，會(huì)帶來(lái)意想不到的效果，驚嘆構(gòu)造輔助圓的妙處.

一、由一道模擬題引發(fā)的思考

課堂上講解一份泉州中考數(shù)學(xué)模擬卷時(shí)，其中一道選擇題，有學(xué)生提出不同的解法，并且這種解法簡(jiǎn)單、明了，學(xué)生容易理解，但如何準(zhǔn)確構(gòu)造出輔助圓是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這引發(fā)了筆者的思考.筆者對(duì)如何構(gòu)造出合適的輔助圓進(jìn)行了深入的探究.

（一）原題呈現(xiàn)

圖1如圖1，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，AP的垂直平分線交BD于點(diǎn)G，交AP于點(diǎn)E，在P點(diǎn)由B點(diǎn)向C點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合）運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠APG的大小變化情況

是（?? ）.

A.變大?????? B.先變大后變小

C.先變小后變大 D.不變

（二）解法探究

解法一：根據(jù)“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”和“角平分線的性質(zhì)定理”作輔助線.

分析：由“見(jiàn)垂直平分線，連端點(diǎn)，得等線段”，連接GA.由EG垂直平分AP，知GA=GP.由“見(jiàn)角平分線，作雙垂線，得等線段”，及菱形ABCD易知∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC.因此，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BA于M，作GN⊥BC于N，可得GM=GN，如圖2所示，易證Rt△AMG≌Rt△PNG.從而得∠AGM=∠PGN，進(jìn)而得∠AGP=∠MGN.再由四邊形BMGN內(nèi)角和為360°，易知∠MGN+∠MBN=180°，而∠MBN為定值，從而∠MGN也是定值的.由∠AGP=∠MGN，知∠AGP也是定值.在等腰三角形AGP中，頂角∠AGP不變，其底角∠APG也不變，故選D.

解法二：根據(jù)“圓的定義”構(gòu)造輔助圓.

分析：“由垂直平分線得等線段”，連接GA，由EG垂直平分AP，知GA=GP，再由“菱形的軸對(duì)稱性”，連接CG，知GA=GC，因此，GA=GP=GC，即A，P，C三點(diǎn)到點(diǎn)G的距離相等，由“圓的定義”知A，P，C三點(diǎn)在以G為圓心，AG長(zhǎng)為半徑的圓上，因此，構(gòu)造出輔助圓，如圖3所示.由“在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半”，知∠AGP=2∠ACP.因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，∠ACP不變，所以∠AGP不變，進(jìn)而知∠APG不變，故選D.

感悟：解法二通過(guò)線段垂直平分線的性質(zhì)定理和菱形的軸對(duì)稱性，結(jié)合待解決的問(wèn)題，巧妙地運(yùn)用圓的定義，構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)找到不變角，進(jìn)而解決問(wèn)題.兩種解法相比，解法二簡(jiǎn)單、明了，給人一種頓悟的感覺(jué)，讓人賞心悅目.

在解幾何題中，結(jié)合題目條件巧妙地構(gòu)造輔助圓，建立圓的模型，化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化隱為顯，會(huì)帶領(lǐng)我們走向柳暗花明.但是在解題中，如何構(gòu)造出輔助圓，這是學(xué)生感到困惑的問(wèn)題，怎樣解決學(xué)生的困惑將成為教師關(guān)注的焦點(diǎn).筆者將構(gòu)造輔助圓解幾何題歸納出五種類型，與學(xué)生、教師共同學(xué)習(xí)、探究.

二、構(gòu)造輔助圓的幾種類型

圓是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，有了圓這個(gè)關(guān)鍵載體，其豐富的內(nèi)涵價(jià)值可以直接為我們所用，文章歸納五種構(gòu)造輔助圓的類型，建立圓的模型，運(yùn)用圓中的相關(guān)結(jié)論，巧妙地解決幾何問(wèn)題.

（一）共端點(diǎn)三等線段，“圓”形畢露

圖4圓的集合定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)O叫作圓心，定長(zhǎng)r叫作半徑.由定義可知“圓中半徑處處相等”，如圖4所示，已知AB=AC=AD，那么我們聯(lián)想到“圓中半徑處處相等”，可巧妙地構(gòu)造出以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的⊙A，AB，AC，AD三條線段有公共端點(diǎn)A，且AB=AC=AD，這種類型稱為“共端點(diǎn)三等線段”.下面列舉一個(gè)案例來(lái)分析如何運(yùn)用“共端點(diǎn)三等線段”構(gòu)造輔助圓，巧解幾何題.

例1 如圖5，拋物線y=14x2-32x-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)D，E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，求∠DCF的大小.

分析 由y=14x2-32x-4易求出A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），M（3，0），F(xiàn)（3，5），由y=x+2可知D（-2，0），A與D重合，進(jìn)而可求得DM=CM=MF=5，屬于“共端點(diǎn)三等線段”類型，當(dāng)遇到“共端點(diǎn)三等線段”時(shí)，聯(lián)想到“圓的半徑處處相等”，以M為圓心，DM長(zhǎng)為半徑構(gòu)造⊙M，如圖6，再運(yùn)用“在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半”，得出∠DCF=12∠DMF=12×90°=45°.

感悟：結(jié)合題目已知條件，知“共端點(diǎn)三等線段”，聯(lián)想到以公共端點(diǎn)為圓心，等線段長(zhǎng)度為半徑構(gòu)造輔助圓，再運(yùn)用圓的相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題，妙趣橫生，讓人眼前一亮.

（二）定邊對(duì)直角，“圓”盡于此

圖7直徑所對(duì)的圓周角都為直角，直角所對(duì)的弦是直徑.如圖7，定邊AB的對(duì)角∠C，∠D都為直角（C，D可以是動(dòng)點(diǎn)），則可構(gòu)造以AB為直徑的圓，記為⊙O，C，D必在⊙O上，此類型稱之為“定邊對(duì)直角”.下面列舉一個(gè)案例來(lái)分析如何運(yùn)用“定邊對(duì)直角”構(gòu)造輔助圓，巧解幾何題.

圖8例2 如圖8，D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，且∠1+∠2=90°，求證：AB=AC.

分析 根據(jù)題目條件，要運(yùn)用“等角對(duì)等邊”或“△ABD≌△ACD”證明出AB=AC，難度較大.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，如果能證明AD⊥BC，即AD垂直平分BC，那么AB=AC，但題目互余兩角∠1與∠2既不相鄰，又不在同一個(gè)三角形中，那怎么辦呢？因?yàn)椤?+∠2=90°，我們可以大膽運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將∠1與∠2轉(zhuǎn)化為共頂點(diǎn)，且相鄰，便會(huì)出現(xiàn)直角.因此，如圖9，先過(guò)B作BE⊥AB，并與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，得 ∠ABE=90°，這時(shí)，由“直角所對(duì)的弦是直徑”可構(gòu)造出以AE為直徑的⊙O，因?yàn)椤?+∠3=90°，∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，從而由“在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等”逆向思考得點(diǎn)C也在⊙O上，實(shí)現(xiàn)了∠1與∠3的轉(zhuǎn)化.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，由“垂徑定理”得出AD⊥BC，從而AD垂直平分BC，因此，AB=AC，問(wèn)題迎刃而解.

感悟：當(dāng)常規(guī)方法解幾何題使我們陷入“山窮水盡”的困境時(shí)，我們可結(jié)合題中條件，想辦法運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，由“直角所對(duì)的弦是直徑”來(lái)構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，頓時(shí)，讓我們有種“柳暗花明”的感覺(jué).

（三）定邊對(duì)定角，現(xiàn)“圓”形

圖10在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，反之，如圖10，定邊AB對(duì)定角∠C（C是動(dòng)點(diǎn)），則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是△ABC外接圓上的一段弧.因此，如果出現(xiàn)一定邊，定邊的對(duì)角為定角，那么我們可構(gòu)造出以定邊、定角（定邊的對(duì)角）所構(gòu)成三角形的外接圓（如圖10），此類型稱之為“定邊對(duì)定角”.下面列舉一個(gè)案例來(lái)分析如何運(yùn)用“定邊對(duì)定角”構(gòu)造輔助圓，巧解幾何題.

例3 如圖11，△ABC為等邊三角形，AC=6，若P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，求BP的最小值.

分析 由△ABC為等邊三角形，且∠PAB=∠ACP，易知∠ACP+∠CAP=∠PAB+∠CAP=∠BAC=60°，從而∠APC=120°為定角，且AC=6為定邊，再根據(jù)“定邊對(duì)定角”可知點(diǎn)P在△ACP外接圓一段圓弧上運(yùn)動(dòng).因此，構(gòu)造△ACP的外接圓，記為⊙O（如圖12），點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng).接著，連接BO，交⊙O于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，可求得BP最小值為23.

感悟：張角相等，找定長(zhǎng)，尋圓心，現(xiàn)“圓”形[1].雖然圖中沒(méi)出現(xiàn)圓，我們通過(guò)張角相等，找定長(zhǎng)，尋圓心，現(xiàn)“圓”形這一系列的思維過(guò)程，心中必有圓，從而構(gòu)造出定邊、定角（定邊的對(duì)角）所在三角形的外接圓，巧妙地解決問(wèn)題. 當(dāng)然，“定邊對(duì)直角”也可以歸納為“定邊對(duì)定角”這一類型，它是“定邊對(duì)定角”的特殊情況.

（四）對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓[2]

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，反之，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，四邊形有外接圓.如圖13，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，則四邊形ABCD有外接圓，把這種類型簡(jiǎn)稱為“對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓”.下面列舉一個(gè)案例來(lái)分析如何運(yùn)用“對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓”這一類型構(gòu)造輔助圓，巧解幾何題.

例4 如圖14，△ABC是等邊三角形，D，E，M分別是BC，AB，AC邊上的點(diǎn)，∠ADE=60°， ∠ADM=60°，求證：BE=CM.

分析 如圖15，作∠DAF=60°，AF與DM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，構(gòu)造出等邊三角形ADF，進(jìn)一步證明△AMF≌△AED，得AE=AM，因此BE=CM.此解法較為煩瑣.我們借助“對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓”來(lái)構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題將水到渠成.由等邊三角形ABC，知∠BAC=60°，結(jié)合題目條件易知∠ADE+∠ADM+∠BAC=180°，即∠EDM+∠EAM=180°，運(yùn)用“四邊形對(duì)角互補(bǔ)，四邊形有外接圓”，可構(gòu)造出四邊形AEDM的外接圓（如圖16）.接著，由“在同一個(gè)圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等”易知AE=AM，進(jìn)一步證出BE=CM.

感悟：兩種解法雖殊途同歸，但巧妙構(gòu)造四邊形AEDM的外接圓，運(yùn)用“在同一個(gè)圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等”易知AE=AM，進(jìn)一步證出BE=CM，此解法極其漂亮.

（五）同底倍角，“圓”歸來(lái)

在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半.反之，當(dāng)題中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，且這兩個(gè)角所對(duì)邊相等（公共邊），如圖17①，∠P=2∠C，那么以P為圓心，PA的長(zhǎng)度為半徑，構(gòu)造出輔助圓（如圖17②），則點(diǎn)C在⊙P上，此種類型稱之為“同底倍角”.下面列舉一個(gè)案例來(lái)分析如何運(yùn)用“同底倍角”構(gòu)造輔助圓，巧解幾何題.

例5 如圖18，以△ABC的邊AB為底作等腰三角形△PAB，且∠P=2∠C，AC與PB交于點(diǎn)D，若PB=4，PD=3，求AD·DC的值.

分析 題目中出現(xiàn)∠P=2∠C，且PA=PB，∠P與∠C所對(duì)的邊相同（公共邊），可以聯(lián)想到“在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半”，運(yùn)用“同底倍角”這一類型來(lái)構(gòu)造輔助圓，如圖19，以P為圓心，PB的長(zhǎng)度為半徑作圓，并延長(zhǎng)BP交⊙P于點(diǎn)Q，連接AQ，易知∠C=∠Q，從而得△BDC∽△ADQ，可得BDAD=CDQD，即CD·AD=BD·QD，易知BD=1，QD=7.因此，CD·AD=7.

感悟：本題運(yùn)用“在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半”，借助“同底倍角”這一類型，構(gòu)造出輔助圓，運(yùn)用圓中的知識(shí)解決問(wèn)題，思路精巧，方法獨(dú)特，但需要注意的是題目恰巧PA=PB，點(diǎn)A在此圓上，又由∠P=2∠C，可知點(diǎn)C也在圓上，其間的細(xì)節(jié)還有待我們仔細(xì)琢磨.

三、“圓”來(lái)如此

以上歸納出構(gòu)造輔助圓解幾何題的五種類型，并列舉案例分析闡述如何運(yùn)用相應(yīng)的類型來(lái)構(gòu)造輔助圓，妙解幾何題.現(xiàn)對(duì)這五種類型的知識(shí)依據(jù)做進(jìn)一步的概括：運(yùn)用“共端點(diǎn)三等線段”這一類型構(gòu)造輔助圓主要的知識(shí)依據(jù)是圓的定義;運(yùn)用“定邊對(duì)直角”這一類型構(gòu)造輔助圓主要的知識(shí)依據(jù)是直徑所對(duì)的圓周角都為直角，直角所對(duì)的弦是直徑;運(yùn)用“定邊對(duì)定角”這一類型構(gòu)造輔助圓主要的知識(shí)依據(jù)是在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等;運(yùn)用“對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓”這一類型構(gòu)造輔助圓主要的知識(shí)依據(jù)是對(duì)角互補(bǔ)的四邊形必有外接圓;運(yùn)用“同底倍角”這一類型構(gòu)造輔助圓主要的知識(shí)依據(jù)是在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角是該弧所對(duì)圓心角的一半.五種類型構(gòu)造輔助圓，并非無(wú)中生有，而是基于學(xué)生已扎實(shí)掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合題目已知條件和所要解決的問(wèn)題進(jìn)行構(gòu)造，建立圓的模型，運(yùn)用圓的相關(guān)結(jié)論以及其他知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題.

學(xué)生在學(xué)習(xí)中更需明白其中構(gòu)造輔助圓的數(shù)學(xué)原理，知其所以然，真正領(lǐng)會(huì)“圓”來(lái)如此，才能深知其中的奧妙，做到圖中無(wú)圓，心中有圓.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]李昌剛.圖中無(wú)圓，心中構(gòu)圓：談中考?jí)狠S題巧構(gòu)輔助圓的策略[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（06）：40-42.