軸向運動三階剪切變形板自由振動的有限元模型及應用*

朱成秀 隨歲寒 彭丹華 李成?

(1. 蘇州大學 軌道交通學院，蘇州 215131) (2. 商丘工學院 機械工程學院，商丘 476000)

引言

軸向運動系統(tǒng)在實際工程中應用廣泛，常見的例子有傳動帶、數(shù)控機床的進給系統(tǒng)、機器人末端執(zhí)行器等[1, 2].為提高這些工程裝備的工作效率，對軸向運動速度提出了要求.研究表明提高軸向運動速度能夠降低固有振動頻率[3]，而對低頻的振動控制通常是容易實現(xiàn)的.對于軸向運動系統(tǒng)，由于運動因素的存在，即使是低速情況下也會產(chǎn)生橫向振動與軸向速度的耦合，從而影響系統(tǒng)的動態(tài)特性，導致系統(tǒng)模態(tài)的變化[4].因此，運動結構的橫向振動往往是制約系統(tǒng)性能的重要原因，尤其是對高速精密系統(tǒng)而言.為了模擬和優(yōu)化相關運動工程結構，運動系統(tǒng)的振動問題已成為近年來的研究熱點[5-7].文獻[8]建立了處于氣動熱環(huán)境下的熱軋制造過程軸向運動板模型，考慮了運動速度、溫度以及氣流速度等因素對系統(tǒng)非線性振動的影響，為熱軋工藝設計提供了參考.文獻[9]基于基爾霍夫板理論，應用有限元方法，研究了流體中軸向運動板的振動問題，并考慮了速度與流體密度對板的振動穩(wěn)定性的影響.文獻[10]研究了流體中軸向運動梁的動力穩(wěn)定性，其中考慮了流體附加質(zhì)量以及非線性偏轉(zhuǎn)軸向力的影響.文獻[11]針對印刷設備中的運動薄膜，基于馮·卡門非線性理論，研究了運動薄膜的大變形振動問題.文獻[12]基于薄板理論，利用哈密頓原理，研究了磁場中旋轉(zhuǎn)運動圓板的分叉與混沌.

值得注意的是，上述研究均未涉及彈性支承對軸向運動結構的影響.在某些工程中，彈性支承是不可或缺的，其對系統(tǒng)橫向振動的影響無法忽略.對于彈性支承-軸向運動系統(tǒng)，以往也有一些研究，但大多數(shù)都是一維弦或梁模型.文獻[13]考慮了在彈性基礎上的軸向運動梁模型的振動，研究了路徑曲率、軸向速度以及支承剛度對固有頻率的影響.文獻[14]研究了外部激勵下兩端帶有彈簧支承的軸向運動梁的固有模態(tài).文獻[15]應用鐵木辛柯梁理論，研究了具有中間彈簧支承的軸向運動梁的非線性振動.文獻[16]研究了具有中間彈簧支承的軸向運動梁在分布諧波激勵下的縱向和橫向非線性耦合振動和穩(wěn)定性.文獻[17]分析了由離散式彈性基礎支承的軸向運動弦的臨界速度與不穩(wěn)定性.考慮彈性支承的軸向運動板的文獻較少，文獻[18]利用經(jīng)典板理論研究了彈性支承下運動正交各向異性板的穩(wěn)定性，文獻[19]基于一階剪切變形理論，研究了彈性基礎支承的軸向運動雙層板的動力響應.目前尚未見基于高階剪切變形理論的軸向運動板-彈簧系統(tǒng)的研究.

為了更好地分析厚板的力學性能，研究人員發(fā)展了很多高階剪切變形理論[20, 21].其中Reddy提出的三階剪切變形理論認為橫向剪切應變沿板厚呈拋物線分布[22, 23]，能夠比較準確地反映剪切板的變形與位移，并且計算量較小，已得到廣泛應用[24, 25].文獻[26]基于Reddy三階剪切變形理論，研究了位于黏彈性介質(zhì)上的碳納米管增強功能梯度板的自由振動，并與一階剪切變形理論結果對比揭示其優(yōu)越性.文獻[27]應用Reddy三階剪切變形理論，分析了壓電功能梯度板的彎曲與動力特性.

對于軸向運動板的有限元模型，以往多基于薄板理論，并應用哈密頓原理來推導方程，導致對于中厚板的振動預測存在一定誤差[3, 9].本文基于三階剪切變形理論，并應用虛功原理得到有限元方程，考慮了橫向剪切應變沿板厚的分布情況，也能夠適應于中厚板的振動分析，并且計算量相對于其他高階變形理論較小.另外，工程結構常置于彈性基礎之上，在多數(shù)情況下彈性基礎可以看作分布式或離散式的彈簧支承.本文將離散式彈簧這一約束通過勢能方程引入有限元模型中，并通過改變支承剛度矩陣中非零值的位置，調(diào)整離散彈簧支承作用在板面的位置，簡化了模型的計算復雜度并提高了預測精確性.

綜上，本文應用Reddy三階剪切變形理論，研究彈性支承下軸向運動板的自由振動.將離散式彈簧支承引至勢能方程，并采用一種四節(jié)點四邊形單元離散板域，得到軸向運動板自由振動的有限元方程.在數(shù)值算例部分，利用ANSYS軟件對靜止板進行了前三階模態(tài)分析，并將本文數(shù)值結果與ANSYS結果進行對比，證明本文方法的有效性.隨后，探討軸向速度、彈簧剛度以及板厚對彈性支承下軸向運動板的振動及其穩(wěn)定性的影響.研究結果可為由空氣軸承、張緊臂等支承的二維運動系統(tǒng)的設計與優(yōu)化提供理論基礎.

1 控制方程

建立圖1所示的矩形板模型，長、寬、高分別為a、b、h，沿x軸方向的運動速度為v.板的彈性模量為E，密度為ρ，泊松比為μ.板承受離散線彈簧支承，其剛度為k，不考慮轉(zhuǎn)角剛度.

圖1 受離散彈簧支承的軸向運動板Fig.1 Axially moving plate with discrete elastic supports

根據(jù)Reddy三階剪切變形理論[22, 23]，板的位移可由三階多項式表示如下：

w(x,y,z)=w

(1)

由此可以得到應變分量與位移分量的關系：

(2)

為了離散求解域，采用四節(jié)點四邊形單元，廣義坐標如下：

(3)

其中

w=Nj5i0abt0b

φx=Pj5i0abt0b

φy=Qj5i0abt0b

(4)

其中N、P、Q為形函數(shù)[28, 29]，單元每個節(jié)點有橫向撓度、繞x方向的轉(zhuǎn)角、繞y方向的轉(zhuǎn)角等3個自由度.

將式(3)和式(4)代入幾何方程(2)，并將其整理成矩陣形式：

ε=[B]j5i0abt0b

(5)

其中

考慮應力應變關系，板的物理方程可以寫成：

(6)

亦可將其表達為σ=[D]ε.

考慮式(5)與式(6)，板的應變能變分如下：

(7)

將式(1)和式(4)代入可以得到慣性力做功的變分表達式：

(8)

由于板存在軸向運動速度，其科氏力和離心力做功的變分可表達為：

(9)

將式(7)、式(8)和式(9)代入如下虛功原理表達式：

δU=δW+δF

(10)

從而得輸流管道系統(tǒng)的有限元平衡方程

(11)

其中

當板面上一點受到彈簧支承時，彈性勢能變分為：

δUs=j5i0abt0bTdiag(ann)j5i0abt0b

(12)

其中，ann為支承剛度矩陣對角線上唯一的非零值，下標代表第n行第n列，且ann=k.劃分單元時將單元節(jié)點與彈簧支承點重合，從而該節(jié)點的橫向位移對應的整體節(jié)點編號即為n.考慮支承剛度后系統(tǒng)的整體剛度矩陣為：

D=K+diag(ann)

(13)

將式(11)的Κ替換為D，得到受彈簧支承條件下軸向運動板自由振動的有限元方程：

(14)

2 數(shù)值算例

考慮兩種邊界條件：四邊固支、與運動方向垂直的兩邊固支另兩邊自由，板的材料參數(shù)與幾何參數(shù)如表1所示.

為了驗證本文提出的軸向運動彈性支承板模型及其結果的有效性，令板的速度為0，將彈簧剛度分別取極大值與極小值來模擬經(jīng)典支承條件，然后進行模態(tài)分析，并將數(shù)值結果與ANSYS計算結果進行對比.

表1 數(shù)值算例中的參數(shù)值Table 1 Parameter values in numerical examples

在四邊固支邊界下，取板厚為0.02m，彈簧剛度為0，模擬無支承情況，彈簧剛度取正無窮時模擬剛性支承情況.圖2為應用ANSYS有限元軟件計算得到的模態(tài)圖，其中圖2(a)、(c)、(d)、(e)表示無支承板的前三階模態(tài)，圖2(b)為支承剛度無限大條件下的第一階模態(tài)，第二階模態(tài)分兩部分，在速度為零的情況下，二者對應的固有頻率相等，這與文獻[30]和文獻[31]的結論一致.對于無支承情況，隨著振動模態(tài)階數(shù)的提高，板的變形趨勢不同，模態(tài)愈加復雜.其中無支承板的第一階模態(tài)主要表現(xiàn)為板中心處的大變形，而剛性支承板的第一階模態(tài)的最大變形量位于繞板中心的環(huán)狀區(qū)域，板中心處的變形量等于0.值得注意的是，彈簧剛度為0的條件下，第二和第三階模態(tài)的幾何中心處橫向變形為0.因此可以推斷，當彈簧支承在該點時，彈簧剛度的變化對第二階和第三階沒有影響.

圖3為兩邊固定兩邊自由邊界條件下板的前三階模態(tài).在剛度為0和無窮大兩種情況下，最大變形量均位于自由板邊的中點附近.在無彈性支承條件下，不同模態(tài)階數(shù)下板的變形趨勢不同.與四邊固支不同的是，第三階模態(tài)中板的幾何中心處存在較大變形量，因此推斷在兩邊固支兩邊自由邊界約束下，當彈性支承在幾何中心點時，彈簧剛度的變化僅對第二階固有頻率不產(chǎn)生影響.圖3(b)表示在剛性支承條件下板的第一階模態(tài)，與圖3(a)對比可以看出，不同剛度下板的變形趨勢存在較大差異，即剛度對板的模態(tài)影響較大.

(a) Mode 1 (k=0)

表2給出了彈簧剛度取0時，厚度分別為0.02m和0.2m的四邊固支無運動板的前三階固有頻率，并將本文結果與ANSYS結果進行了對比.可見本文數(shù)值解與有限元解基本吻合，最大誤差不超過3.97%，證明了本文模型的有效性.另外，本文結果相對于ANSYS結果固有階頻率均偏大，這是由于本文所采用的單元每個節(jié)點只有3個自由度，造成本文結果相比ANSYS結果偏大.由于本文基于三階剪切變形理論，因而對厚板也有良好的適用性，這一點也可由表2中厚度0.2m的對比結果佐證.表3為厚度為0.02m的無運動板在兩邊固支兩邊自由邊界條件下的前三階固有頻率與ANSYS對比結果，同樣具有較好的一致性，證明了本文模型在不同邊界條件與不同剛度下均可以取得理想的結果.

(a) Mode 1 (k=0)

表2 四邊固支無運動板的前三階固有頻率(k=0，v=0)Table 2 The natural frequencies of a stationary plate fixed at four edges

為了分析彈簧剛度與運動速度對模型穩(wěn)定性的影響，作為對比，圖4描述了四邊固支條件下，彈簧剛度為0即無支承情況下軸向運動板前三階固有頻率隨速度的變化.在速度為0時，前三階頻率實部均為0，隨著速度增加，固有頻率的虛部逐漸降低，這表明速度的增加使板的剛度降低.當速度增加到320m/s，第一階固有頻率的虛部減小到0，實部由0變?yōu)閮蓚€分支，此時速度為第一階模態(tài)速度的發(fā)散臨界值，在臨界值到達前，軸向運動板始終保持穩(wěn)定.在320～340m/s的速度區(qū)間內(nèi)，第一階振動模態(tài)不穩(wěn)定，固有頻率保持實數(shù)形式.當速度增加到350m/s時，第一階固有頻率實部回歸到0，并且虛部呈上升趨勢.第二階振動模態(tài)中包含的兩個固有頻率在速度較小時保持相等，隨著速度增加，二者逐漸分離.另外，第二和第三階固有頻率在0～390m/s區(qū)間內(nèi)保持實部為0，模型在第三階模態(tài)始終具有穩(wěn)定性.

表3 兩邊固支兩邊自由無運動板的前三階固有頻率Table 3 The natural frequencies of a stationary plate fixed on two opposite edges and the others free

(a)實部(a) The real part

令彈簧剛度k=40×106N/m，圖5為彈性支承下四邊固支軸向運動板隨速度的變化.與圖4類似，在速度較小時，前三階固有頻率實部均為0且虛部隨速度增大而降低，板保持穩(wěn)定狀態(tài).第一階固有頻率的值在相同速度下大于無支承時的情況，這表明彈性支承有效增加了板的剛度.第一階模態(tài)的速度臨界值為350m/s，相比無支承時變大，在350～400m/s區(qū)間內(nèi)，第一階固有頻率為不穩(wěn)定狀態(tài)，不穩(wěn)定區(qū)間的長度相比無支承時增加.第二階模態(tài)包含的兩個固有頻率分離時的速度相對于無支承時變小，但在速度較大時二者又回到幾乎相等的狀態(tài).另外，在0～400m/s區(qū)間內(nèi)，第二、三階固有頻率實部始終為0，板在第二、三階模態(tài)保持穩(wěn)定.第二和第三階固有頻率與彈簧剛度為0時相同，從而驗證了前文預測.由此可推知，根據(jù)振動控制的需要，可以通過采用不同的彈簧布置方式來控制特定模態(tài)的振動.

(a)實部(a) The real part

令彈簧剛度趨于無窮大，由于僅僅限制了彈簧位移，截面轉(zhuǎn)角仍保持自由狀態(tài)，經(jīng)本文算法驗證，離散點剛性支承等價于該點簡支的情況.圖6給出了局部簡支支承下軸向運動板的前三階固有頻率與速度的關系.在速度較小時，板的前三階頻率仍然保持實部為0，且虛部隨著速度增大而減小.但在0～400m/s的速度區(qū)間內(nèi)，前三階固有頻率不再出現(xiàn)發(fā)散情況，軸向運動板始終保持穩(wěn)定，這一點與無支承及彈性支承時存在顯著差異.另外，第二階模態(tài)的兩個固有頻率分離時的速度大幅減小，幾乎在速度為0時就分離，并且分離程度更加顯著.局部簡支支承板的第一階固有頻率在相同速度下均大于彈性支承情況，這證實了彈簧剛度增大能夠有效增加板的剛度.但值得注意的是，第二、三階固有頻率幾乎沒有變化，進一步驗證了基于模態(tài)的預測.另外與圖4和圖5不同，離散點簡支時軸向運動板的第一階固有頻率大于第二階，這是由于彈簧剛度對第一階頻率的影響遠大于第二、三階，使得第一階模態(tài)發(fā)生了扭曲(如圖2(b))，從而造成了第一階固有頻率超越無支承條件下的第二階情形.

(a)實部(a) The real part

圖7分析了彈簧剛度對兩邊固支兩邊自由板固有頻率的影響，與四邊固支時相似，在不同彈簧剛度下，前三階固有頻率均隨速度增加而降低，證明了軸向運動速度的增加會降低板的總體剛度.由圖7(a)可以看出，在彈簧剛度為0時，板的一階速度發(fā)散臨界值約為200m/s，遠低于四邊固支邊界情形.由圖7(b)可見，隨著速度增加，一階固有頻率與二階固有頻率逐漸趨于重合，這表明板的一階與二階固有頻率可能出現(xiàn)耦合，板將發(fā)生顫振不穩(wěn)定現(xiàn)象.另外，在不同彈簧剛度下，第二階固有頻率沒有發(fā)生變化，證明了前文模態(tài)分析時的推斷.注意到與四邊固支的情況類似，彈簧剛度對第一階固有頻率的影響大于第二階，從而使第一階模態(tài)扭曲[如圖3(b)]，導致了圖7(c)中第一階固有頻率超越了第二階.

(a) k=0×106 N/m

下面考慮板厚的影響，為了進行對比，取板厚h=0.2m，考慮四邊固支無支承時的軸向運動板，其前三階固有頻率的虛部隨速度變化如圖8所示.與圖4結論一致，隨著速度增加，固有頻率呈現(xiàn)下降趨勢.相比于圖4，前三階固有頻率大幅增加，這表明增加板厚可以顯著提高軸向運動板的剛度.另外，模型在圖示速度區(qū)間始保持穩(wěn)定，可推知第一階模態(tài)的速度臨界值遠大于板厚為0.02m的薄板，這說明較厚的板在高速下能保持穩(wěn)定.

圖8 四邊固支彈性支承軸向運動板前三階固有頻率 (h=0.2m, k=0×106 N/m)Fig.8 The complex frequencies of the elastically supported axially moving plate fixed at four edges (h=0.2m, k=0×106 N/m)

3 結論

基于Reddy三階剪切變形理論研究了彈簧支承下軸向運動板的自由振動，應用四節(jié)點四邊形單元進行有限元建模和求解，其中考慮了離散式彈性支承與軸向速度，并通過系統(tǒng)勢能的形式直接將彈簧支承條件考慮到有限元方程中，從而求得板的動力穩(wěn)定性.主要結論如下：

1) 運動速度的增加會降低軸向運動板的總體剛度，當速度增加到發(fā)散臨界值時，板在一定速度區(qū)間內(nèi)會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象.在兩邊固支兩邊自由邊界條件下，第一階與第二階固有頻率會發(fā)生耦合，從而導致板出現(xiàn)顫振不穩(wěn)定.

2) 彈簧剛度增大能有效增強軸向運動板的剛度，并提高振動固有頻率，且速度發(fā)散臨界值隨著彈簧剛度的增加而提高.另外，當彈簧在中心點支承時，在四邊固支條件下，彈簧剛度對第一階固有頻率影響較大，而對第二和第三階基本無影響.在兩邊固定兩邊自由邊界下，彈簧剛度僅對第二階固有頻率影響較小.因此可通過改變彈簧布置方式來控制特定模態(tài)的振動.

3) 當板厚變大時，固有頻率與速度發(fā)散臨界值均得以顯著提高，證明了厚板具有更高的剛度與更好的振動穩(wěn)定性.