本征正交分解在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用及展望*

路寬 張亦弛 靳玉林 車子璠 張昊鵬 郭棟

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 振動工程研究所，力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129)(2. 科學(xué)技術(shù)部高技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100044)(3. 西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，成都 610031)

引言

近年來，隨著計算機水平的高速發(fā)展，研究人員可以通過各種技術(shù)(如PIV技術(shù)、CFD數(shù)值模擬等)獲得更加豐富的流場信息.但是對得到的復(fù)雜、高維系統(tǒng)進行定性分析十分困難，計算成本很高.因此對原系統(tǒng)進行降維處理是至關(guān)重要的，需要用簡化模型來替代原始的高維復(fù)雜模型.目前，研究者們已經(jīng)獲得一些成熟的降維方法，如POD方法、DMD方法、中心流形法等，其中POD方法憑借適用范圍廣、準確性強等優(yōu)勢最受人們青睞.

POD方法是一種分析多維數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)工具.其作用是將高維的復(fù)雜系統(tǒng)進行低維近似描述，用較少的自由度將研究目標(biāo)的主要特征表達出來，進而達到簡化物理模型、節(jié)省計算時間和計算負荷的目的.POD降維技術(shù)可以在最小二乘意義下對給定數(shù)據(jù)進行最優(yōu)的低維逼近，因此，POD方法可以高效地解決實際問題數(shù)值模擬過程中的降維問題.

POD方法最早于1901年由Pearson[1]提出，而后在1933年由Hotelling[2]再次提出.此外，不同領(lǐng)域的學(xué)者們，如Kosambi、Karhunen、Pougachev、Loeve也獨自提出了該方法[3].隨后，POD方法在流體力學(xué)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用.在流體力學(xué)研究中，POD方法被認為是研究湍流和挖掘潛在流動機理的強大技術(shù)手段.1967年，Lumley[4]第一次將POD方法應(yīng)用于湍流研究領(lǐng)域中，通過對空間、速度相關(guān)函數(shù)進行正交分解來識別流場中的相干結(jié)構(gòu)(可辨識的、有明確統(tǒng)計周期和外形的流動結(jié)構(gòu)，整個流場的能量大部分蘊含在相干結(jié)構(gòu)中)，這種方法被稱為直接POD方法.Lumley富有特色的POD湍流研究工作引起了廣泛的關(guān)注和影響.但在處理實際問題中，空間相關(guān)矩陣的維數(shù)十分龐大，這嚴重制約了POD方法的應(yīng)用.為了避免上述問題，1987年，Sirovich[5]對POD方法做出改進，提出快照(Snapshot)POD方法，用時間相關(guān)矩陣來代替空間相關(guān)矩陣，解決了由空間點數(shù)過多造成空間矩陣龐大的問題，使計算量大大減小，之前用直接POD方法無法求解的問題得到了解決.改進后的快照POD方法是一項具有里程碑意義的工作成果，從此之后，POD方法的應(yīng)用更加廣泛，并且逐漸被應(yīng)用于流體力學(xué)之外的其他領(lǐng)域，如模態(tài)分析[6]、隨機結(jié)構(gòu)動力學(xué)[7]等.

在直接POD方法的基礎(chǔ)上，針對具體問題，很多研究者將POD方法與其他方法相結(jié)合，對POD方法做出了改進，如自適應(yīng)POD(Adaptive POD)方法[8]、Gappy POD(GPOD)方法[9]、多尺度POD(multiscale POD)方法[10]等.本文的主要目的是對POD方法在各種實際工程中的應(yīng)用進行綜述，并對未來POD方法的發(fā)展做出展望.

1 POD方法簡介

POD方法是一種強大而有效的適用于大批量處理數(shù)據(jù)的方法，被應(yīng)用于眾多工程領(lǐng)域，如天氣預(yù)報、圖像識別、信號分析、數(shù)據(jù)壓縮、隨機過程及海洋學(xué)等[11].POD方法在各個領(lǐng)域有不同的名稱，在奇值分析和樣本識別中被稱為Karhumen-Loève展開；在統(tǒng)計學(xué)中被稱為主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)；在地球物理流體動力學(xué)和氣象科學(xué)中被稱為經(jīng)驗正交函數(shù)方法(Empirical Orthogonal Function, EOF)；在心理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中被稱為因子分析(factor analysis)[3].

POD方法的關(guān)鍵目標(biāo)是將大量相互依賴的變量減少到數(shù)量較少的不相關(guān)變量.具體方法是從系統(tǒng)已知的實驗解或數(shù)值解中得到一系列基函數(shù)，這些基函數(shù)通常被稱為本征正交模態(tài)(Proper Orthogonal Mode, POM)，并且要保證這些基函數(shù)在最小二乘意義下是最優(yōu)的正交基函數(shù)，用這些正交基的線性組合去近似初始問題，組合系數(shù)被稱為本征正交分量(Proper Orthogonal Coordinates, POC).通常情況下，本征正交特征值(Proper Orthogonal Values, POV)的大小決定了模態(tài)的主導(dǎo)地位，特征值越大，對應(yīng)模態(tài)的貢獻越大.因此，可以通過舍棄較小的POV對應(yīng)的高階模態(tài)來實現(xiàn)對原復(fù)雜問題的降維，降維后的模型可以反映原復(fù)雜問題主要的演化趨勢.它的數(shù)學(xué)原理如下[11]：

假設(shè)已有u為空間域Ω上的函數(shù)集合{uk}，尋找一組最優(yōu)基函數(shù)φ，并將已知函數(shù){uk}投影到基函數(shù)φ上，使得其平方投影最大，即

(1)

其中，|·|表示模，‖·‖表示二范數(shù)，〈·〉表示平均算子，(·,·)表示內(nèi)積.對于這種極值問題，采用變分法尋找滿足約束條件‖φ‖=1，并使〈|(u,φ)|2〉最大的解，使用Lagrange乘子法構(gòu)造變分問題

J[φ]=〈|(u,φ)|2〉-λ(‖φ‖2-1)

(2)

式(2)達到極值的必要條件是對于任意的φ+δφ，(δ∈R，為一個比例因子)滿足下面表達式

(3)

由式(2)、式(3)可知

δφ,u)〉-λ(φ+δφ,φ+δφ)]δ=0=

2[〈(u,φ)(φ,u)〉-λ(φ,φ)]= 0

(4)

利用函數(shù)內(nèi)積變換性，式(4)可以展開為

〈(u,φ)(φ,u)〉-λ(φ,φ)=

φ(x)dx=0

(5)

由φ(x)為任意變量，則尋找的基函數(shù)必須滿足如下條件：

(6)

最優(yōu)POD基函數(shù)可以從式(6)中得到，其核心是平均互相關(guān)函數(shù)R(x,x′)=〈u(x)u(x′)〉．因此，最優(yōu)基函數(shù)的求解問題就可以轉(zhuǎn)化為在Ω上由任意不相關(guān)函數(shù)獲得核心矩陣的整數(shù)特征值問題.求解特征值，得到特征函數(shù){φk(x)}，這組基函數(shù)就能保證與已知函數(shù){uk}在平均意義上最相似.可以用這組特征函數(shù)重構(gòu)原來的函數(shù)

(7)

其中，φn(x)為模態(tài)，an為模態(tài)φn(x)對應(yīng)的系數(shù)，M為樣本數(shù).所得的這組基函數(shù)與已知函數(shù)在平均意義上最相似，同時可以用得到的一系列標(biāo)量系數(shù)來描述原函數(shù)，使計算量大大減小.

2 POD方法的應(yīng)用及改進

2.1 POD方法在PIV技術(shù)中的應(yīng)用

在過去的四十年里，隨著激光、計算機和圖像處理的發(fā)展，PIV技術(shù)的應(yīng)用也越來越廣泛.PIV技術(shù)可以對區(qū)域內(nèi)多個示蹤粒子進行測量，從而精確地獲得整個流場的信息.但是整個流場的信息龐大，處理起來相當(dāng)困難，我們只需要提取蘊含流場大部分能量的相干結(jié)構(gòu)研究即可.POD方法憑借其重構(gòu)效率高、適用范圍廣等優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于對相干結(jié)構(gòu)的提取、分解和重構(gòu)中.PIV技術(shù)結(jié)合POD方法對各種流場進行分析的研究方法目前已廣泛應(yīng)用于各種工程實際問題.本小節(jié)主要介紹繞流、射流、湍流以及渦流條件下POD方法在PIV技術(shù)中的應(yīng)用.

繞流是流體繞過置于無限流暢物體的流動，是自然和工程界中最常見的黏性流體運動形式.肖姚[12]利用PIV技術(shù)研究NACA 64418翼型葉片在不同工況下繞流流場的變化，得到流場的瞬時和平均速度場，并利用POD方法對流場進行降階分解，得到了流場的低階模態(tài).POD方法也被應(yīng)用于三棱柱繞流流場的實驗研究中，邱玥、江建華等[13,14]用PIV技術(shù)對尺度比H為45°的三棱柱在不同雷諾數(shù)Re下的尾流流場進行定量測量，結(jié)合POD方法得到了尾流場的相干結(jié)構(gòu)，同時利用時間空間關(guān)聯(lián)法確定了不同雷諾數(shù)下渦街流向運輸速率的變化情況.

射流是指流體從管口、孔口、狹縫中射出，并同周圍流體摻混的一股流體流動.劉強[15]采用PIV流場顯示技術(shù)對靜止環(huán)境中合成雙射流進行了實驗研究，并對實驗數(shù)據(jù)進行了POD模態(tài)分析，詳細分析了各階模態(tài)所表征的流動結(jié)構(gòu)、時間系數(shù)及其頻譜特征，更為深入地了解了合成雙射流自身的流場特性.R. Kapulla等[16]將2D-PIV技術(shù)應(yīng)用于Re≈15400的空氣-氮氣射流在射流軸線上的速度場，得到了射流軸線平面內(nèi)下游距離為5.5d到17.4d的瞬時二維速度場，然后使用POD方法生成了秩近似為1、5、10和50的低階近似表示.沖擊射流是一種獨特的流動現(xiàn)象.當(dāng)射流入射到壁面上時，此時產(chǎn)生的射流叫沖擊射流.用PIV技術(shù)提取到Re=4458的有縫平板流場的沖擊射流上的速度場后，快照POD方法可以從中提取最具有代表性的分流的特征[17].

湍流是流體在自然界中最常見的一種流動狀態(tài).當(dāng)流體流速很大時，流場中有很多小漩渦，流體的分層流動被破壞，這時流體做不規(guī)則運動，有垂直于流管軸線的分速度產(chǎn)生，這種運動稱為湍流.POD方法可以與渦檢測、功率譜相結(jié)合，對PIV技術(shù)得到的磁力攪拌過程湍流流場中不同尺度的流動結(jié)構(gòu)進行分離[18].徐凱池、張佳琪[19]在槽道湍流邊界層中通過PIV技術(shù)，拍攝了流向-展向平面流場，并利用POD方法將流動中不同尺度的結(jié)構(gòu)進行分離，提取了湍流流動中不同尺度的含能結(jié)構(gòu)，分析得到了湍流流動中流體微團所受作用與流動結(jié)構(gòu)變化之間的關(guān)系.激光誘導(dǎo)熒光(Laser-Induced Fluorescence, LIF)測量技術(shù)也是一種非常靈敏的測試技術(shù)，可以和PIV技術(shù)相結(jié)合，同時得到水平通道中湍流擴散過程的流速和熒光劑濃度的瞬時分布，并利用POD方法，實現(xiàn)對湍流條件下熒光劑擴散過程中濃度分布的數(shù)值重構(gòu)[20].

渦流理論是流體力學(xué)中至關(guān)重要的一部分，使用PIV技術(shù)對各種渦的識別和研究也成為熱門的研究課題.渦旋有時也稱為旋渦，是流體團的旋轉(zhuǎn)運動.渦是旋渦的一種形態(tài)，專指湍流運動中不均一、不規(guī)則的各種尺寸的旋渦.小波變換(Wavelet Transform, WT)方法是進行信號時頻分析和處理的理想工具.它可以和快照POD方法結(jié)合對雙振蕩網(wǎng)格湍流中的渦結(jié)構(gòu)的多尺度特性及流動間歇性進行研究.已有研究基于PIV數(shù)據(jù)庫，從標(biāo)度律的角度揭示流體黏彈性的存在顯著影響著雙振蕩網(wǎng)格湍流中的統(tǒng)計特性[21].朱特[22]通過POD方法提取到了尾流中的卡門渦、肋狀渦以及一種未知頻率的有規(guī)則渦結(jié)構(gòu).基于PIV的POD方法和基于熱線的POD方法通過前兩階模態(tài)提取到卡門渦，兩者對卡門渦的提取效果一致；基于PIV的POD方法提取到整個平面上的肋狀渦，但提取的肋狀渦中夾帶有其他渦結(jié)構(gòu)，而基于熱線的POD方法能夠提取純凈的肋狀渦.在肋狀渦的頻率分辨上，熱線POD方法更具優(yōu)勢.

此外，還有一些對其他流場的研究，如自由下落環(huán)形圓盤的軌跡和流場、混流式水輪機模型運行尾水管內(nèi)的流場、槽道內(nèi)流場等.汪玉明等[23]采用POD方法對不同文氏管出口張角的旋流杯結(jié)構(gòu)的流場不穩(wěn)定性進行了分析，并用PIV實驗結(jié)果驗證了計算精度.趙朋龍等[24]通過PIV技術(shù)在低速循環(huán)水洞中拍攝了不同法向高度位置處流向-展向面的流場，并通過POD方法將流動中不同尺度的結(jié)構(gòu)予以分離，利用Okubo-Weiss函數(shù)對近壁湍流擬序結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律進行了研究.Wei[25]使用立體視覺和PIV技術(shù)識別了自由下落環(huán)形圓盤的軌跡和流場特征，用POD方法提取了盤后尾流的相干結(jié)構(gòu)，通過將流場分解為不同的POD模態(tài)，闡明了HH(Hula-Hoop)運動[26]和HM(Helical Motion)運動[27]不一樣的原因.S Kumar等[28]用激光多普勒測速儀(Laser Doppler Velocimetry, LDV)和PIV技術(shù)對混流式水輪機模型運行時尾水管內(nèi)流場進行了研究，利用POD方法分析了包含軸向和徑向的250個粒子圖像快照.劉閣、陳彬[29]利用POD方法分解了非定常流場的2D-PIV測量的瞬態(tài)速度矢量場數(shù)據(jù)，并根據(jù)各階模態(tài)的能量比，選擇能夠表征流場主導(dǎo)結(jié)構(gòu)的POD分解的前16階模態(tài)進行了功率譜分析，得到了槽道內(nèi)非定常流場的脈動特性.

表1 POD方法在PIV技術(shù)中的應(yīng)用Table 1 Application of POD method in PIV Technology

對PIV速度場異常值的識別和校正問題的研究具有重要的意義和實用價值.在粒子圖像獲取的過程中，由于照明強度分布不均、光學(xué)干涉現(xiàn)象等因素的存在，容易造成粒子圖像成像質(zhì)量較低，導(dǎo)致速度場中出現(xiàn)大小或方向與周圍流場差異較大的矢量，這些矢量稱為異常值.2015年，Wang[30]提出了基于本征正交分解的PIV速度場異常值識別與校正方法(POD-Outlier Correction, POD-OC)，通過對原始流場進行POD分解，采用低階模態(tài)進行流場重構(gòu)，然后計算原始流場與重構(gòu)流場的偏差并進行統(tǒng)計分析，根據(jù)動態(tài)閾值判定流場異常值.之后，詹斌[31]對此方法做出了改進，采用了基于空域符號變換的協(xié)方差矩陣(Spatial Sign Covariance Matrices, SSCM)實現(xiàn)流場的POD分解，稱為SSCM-POD方法，并用實驗驗證了SSCM-POD方法可有效地降低流場噪聲和異常值對低階POD模態(tài)的影響.并且針對POD-OC法在異常值的識別過程中容易出現(xiàn)錯誤識別和缺失識別的情況，提出了一種穩(wěn)健的速度場異常值識別替代方法.之后，他又將此方法與SSCM-POD方法結(jié)合，提出了穩(wěn)健的PIV速度場異常值識別與校正法.實驗表明，該方法提高了插值精度，改善了算法的穩(wěn)定性和適用性.但該方法是通過POD分解來實現(xiàn)對PIV速度場的識別與校正，計算中需要足夠多的流場數(shù)據(jù).因此該方法無法用于PIV數(shù)據(jù)處理中多層互相關(guān)分析，只能在計算得到全部的PIV速度場后在進行處理.今后可以對此展開研究，提高該方法的實時性.

近幾十年來，PIV技術(shù)得到了不斷完善和發(fā)展， 目前已經(jīng)可以應(yīng)用于各種復(fù)雜流場中，得到豐富的流場空間結(jié)構(gòu)以及流動特性.POD方法作為一種高效的數(shù)據(jù)降維方法，可以有效地對流場中不同尺度的流動進行分離，并提取相干結(jié)構(gòu)進行分析，達到簡化模型的目的.

2.2 POD方法與DMD方法結(jié)合的分析方法應(yīng)用

因為采用PIV技術(shù)對工程外形復(fù)雜的非定常流動進行測量時，工作量大、測量成本高、測量范圍有限、相關(guān)工作展開較少[32].所以就非定常流動特征結(jié)構(gòu)分析方法而言，目前普遍采用POD方法和DMD方法相結(jié)合的分析手段.

POD方法和DMD方法作為兩種常用的數(shù)據(jù)處理方法，它們各有優(yōu)缺點及適用范圍.許多研究人員通過具體案例對兩種方法的優(yōu)缺點進行了對比.2017年，葉坤等[33]對雷諾數(shù)Re=100下的圓柱繞流非定常流場進行了數(shù)值模擬，分別采用DMD方法和POD方法對圓柱繞流卡門渦發(fā)展過程中的不穩(wěn)定平衡階段、過渡階段以及穩(wěn)定極限環(huán)階段進行了穩(wěn)定性分析.對比了兩種方法各自的特點，結(jié)果表明：POD方法可以高效地提取流場中的主要流動結(jié)構(gòu)，但是無法判斷所提取模態(tài)的穩(wěn)定性，而DMD方法不僅可以提取流場的主要結(jié)構(gòu)，直接得到模態(tài)及其對應(yīng)的頻率，且可以判斷其穩(wěn)定性.因此，在進行復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)定性分析時，DMD方法相對更有優(yōu)勢.之后，張揚、張來平、鄧小剛等[34]再次將POD方法和DMD方法進行了對比.他們將兩種分解方法應(yīng)用到對現(xiàn)代戰(zhàn)斗機模型復(fù)雜分離流動的脫體渦模擬(Detached Eddy Simulation, DES)中.結(jié)果表明：雖然POD算法與DMD算法風(fēng)格迥異，模態(tài)配對方式不同，但DMD一些主模態(tài)的實部和虛部與POD的1階和2階主模態(tài)具有一定的相似性.每一POD模態(tài)中包含多種頻率的運動，且POD主要模態(tài)中包含的能量更多，流場重構(gòu)效率更高；而DMD方法則將流場的主要特征運動提取為一些單頻模態(tài)的組合，模態(tài)的頻率成分單一，能量分布相對分散，因此流場重構(gòu)所需的模態(tài)數(shù)量較多，但DMD對特征運動的描述更為詳細，同時能夠給出模態(tài)的穩(wěn)定性.

2020年，謝海潤等[35]基于非定常瞬態(tài)結(jié)果，采用POD方法和DMD方法，通過分解與重構(gòu)葉片附近流場的壓力場，提取模態(tài)頻率及其變化過程，得到了尾渦激振現(xiàn)象的主要流動特征.通過對比兩種模態(tài)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)：POD和DMD兩種模態(tài)分解方法具有各自的優(yōu)缺點.相比于DMD方法，POD方法具有更好的降維特性，因為DMD方法無法對設(shè)計參數(shù)與流場分布的規(guī)律提出解析；而DMD方法的優(yōu)點在于能夠給出各階模態(tài)的特征頻率和穩(wěn)定性，并直接通過給出的結(jié)果表征流動的演化過程. Han等[36]利用DMD和POD方法對混流泵的葉尖泄露渦的流動結(jié)構(gòu)進行了分解和重構(gòu)，兩種方法得到了相似的結(jié)論.

在某些實際工程的應(yīng)用中，將POD方法與DMD方法結(jié)合對數(shù)據(jù)進行處理會達到更好的效果.對于縫翼周圍流動問題，首先利用POD方法分析縫翼空腔中自由剪切層大尺度渦結(jié)構(gòu)的能量，然后用DMD方法獲取單一模態(tài)下的頻率[37].也可以結(jié)合POD方法與DMD方法，研究超聲速進氣道喘振非定常特性.通過POD方法對復(fù)雜的時空特性耦合現(xiàn)象進行解耦，從非定常流場中獲取占主導(dǎo)地位的流動結(jié)構(gòu)及其時間和空間特性，隨后用DMD方法基于模態(tài)特征值預(yù)測不同頻率的流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性[38].吳亞東等[39]采用POD和DMD兩種流場降階方法分析了不同葉頂間隙條件下旋轉(zhuǎn)不穩(wěn)定性各階模態(tài)對應(yīng)的流場成分、模態(tài)能量占比和穩(wěn)定性等特性.結(jié)果表明：POD與DMD方法對空間模態(tài)的排序表現(xiàn)出明顯的一致性，按照能量或頻率對流場進行分解和排序，得到了很相近的結(jié)果.Liang[40]通過POD和DMD方法研究了液氮空化流動中空化動力學(xué)的演變，特別是渦旋動力學(xué)和相干結(jié)構(gòu)，為在實際工程應(yīng)用中更好地理解空化流動提供了參考.

POD方法和DMD方法作為兩種常用的系統(tǒng)分解技術(shù)，具有一定的相似性，但是又各有優(yōu)缺點.POD方法主要模態(tài)中能量較多，流場重構(gòu)效率更高，但穩(wěn)定性較低；而DMD方法模態(tài)成分較為單一，能量分布較散，從而使流場的重構(gòu)效率相對較低，但它對特征運動的描述較為詳細，同時可以給出模態(tài)的穩(wěn)定性.總之，POD方法具有更好的降維特性，而DMD方法具有時空耦合建模上的優(yōu)勢.所以，在流場穩(wěn)定脈動時可采用DMD方法，而對于其他隨時間變化的流動現(xiàn)象時，需要結(jié)合POD方法或其他方法.

2.3 POD方法在CFD數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

實驗和CFD是研究非定常流動的另一個主要方法.其中CFD方法具有花費低、限制少等優(yōu)勢，但是CFD得到的非定常流場數(shù)據(jù)非常龐大，直接對其主要流動結(jié)構(gòu)分析非常困難，需要用到降階模型方法對得到的數(shù)據(jù)進行處理，其中POD方法是模態(tài)分析中較為常用的一種方法.

目前，超高聲速飛行器在國內(nèi)外都處于蓬勃發(fā)展時期，對飛行器翼型的氣動特性優(yōu)化及設(shè)計離不開CFD數(shù)值計算.聶春生等[41]以Hermes飛行器的外形為研究對象，使用CFD數(shù)值方法獲得了三維熱環(huán)境數(shù)據(jù)庫，利用POD方法對CFD數(shù)據(jù)庫進行降階處理，結(jié)合POD方法和RBF插值，建立了一種適宜復(fù)雜外形表面熱流預(yù)測的代理模型(Surrogate Model, SM)，能夠快速預(yù)測出未知狀態(tài)下滿足精度要求的表面熱環(huán)境參數(shù).該方法在不損失預(yù)測精度的前提下，可以大幅度提高計算效率，有力彌補了工程算法的不足.孫翀等[42]對S809翼型處于20°攻角下的靜態(tài)失速和動態(tài)失速進行了數(shù)值模擬，對繞翼非定常流場進行了研究，使用POD方法提取了靜態(tài)失速和動態(tài)失速非定常壓力場的主要流動模態(tài)，結(jié)合對應(yīng)模態(tài)的POD系數(shù)對非定常流動做了分析，對風(fēng)力機翼型的失速問題研究具有重要意義.裴春波[43]以B737-200型號飛機座艙為背景建立模型，對不同送風(fēng)工況下飛機座艙內(nèi)的流場特性展開了研究，用POD方法對瞬態(tài)流場進行了模態(tài)分析并用統(tǒng)計學(xué)方法分析了流場特性對污染物傳播的影響.李波等[44]還提出了一種基于POD代理模型的高效自適應(yīng)序貫優(yōu)化方法，并對二維翼型設(shè)計優(yōu)化進行了比較分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該方法能顯著提升優(yōu)化效率且有較高的擬合精度，與CFD高耗時的計算相比，整個計算過程計算量也很少，為場量數(shù)據(jù)的擬合或優(yōu)化提供了一個有效的解決方法.Arash Mohammadi等[45]將POD方法用到不確定性量化(Uncertainty Quantification, UQ)分析[46]中，將POD方法與壓縮感知(Compressed Sensing, CS)相結(jié)合，并將此方法應(yīng)用于RAE2822翼型和NASA轉(zhuǎn)子周圍的跨音速湍流流場CFD模擬的UQ分析中，顯著降低了計算成本.

表2 POD方法與DMD方法相結(jié)合的分析方法應(yīng)用Table 2 Application of analytical method combining POD method and DMD method

CFD也可對鍋爐內(nèi)的溫度場分布進行模擬.郭芳[47]利用CFD仿真軟件對四角切圓鍋爐在不同工況下的溫度場分布進行了研究，得到了溫度數(shù)據(jù)樣本庫，結(jié)合POD降維算法，提取POD基，對鍋爐火焰溫度場的分布進行了重構(gòu).為數(shù)據(jù)降維算法在火焰溫度場重建理論提供了實驗支持，也為該算法在今后應(yīng)用于解決工業(yè)現(xiàn)場的問題打下了基礎(chǔ).沙正道[48]通過CFD技術(shù)獲得了溫室內(nèi)環(huán)境系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)的高分辨率的變化空間信息，并運用POD方法降維.結(jié)果表明：POD方法重構(gòu)的速度場、溫度場和二氧化碳分布的低維空間精度與CFD技術(shù)相當(dāng)，實時性相比CFD技術(shù)有很大提升.芮慶[49]以辦公室房間為研究對象，通過CFD模擬的方式獲取了其室內(nèi)流場.之后利用POD方法建立了觀測層、偏差層、模態(tài)層和模態(tài)系數(shù)層，實現(xiàn)了對辦公室室內(nèi)溫度分布預(yù)測模型的創(chuàng)建.對預(yù)測模型的可靠性驗證結(jié)果表明：POD方法能以較高的精度實現(xiàn)數(shù)據(jù)降維，并能較為準確地對泛化場景下的溫度分布情況做出預(yù)測.

CFD 興起于20世紀60年代，隨著90年代計算機的迅猛發(fā)展，CFD也隨之飛速發(fā)展.但是CFD方法求解出的離散流場維度高達數(shù)千萬，因此必須對數(shù)據(jù)進行降維處理.由上述內(nèi)容可知，POD方法可以在保留數(shù)據(jù)集主要特征的基礎(chǔ)上有效降低數(shù)據(jù)的維度，從而使相關(guān)問題得到解決.

2.4 POD方法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

POD方法可以有效地對非線性顫振響應(yīng)進行降維處理.顫振是指彈性結(jié)構(gòu)在均勻氣流中受到空氣動力、彈性力和慣性力的耦合作用而發(fā)生的大幅度振動.針對二維壁板顫振問題，POD方法可以和Galerkin方法結(jié)合，發(fā)展成兼具高效性和全局性的降維模型[50]；對于三維復(fù)合材料曲壁板的非線性顫振響應(yīng)的降階問題，可以通過POD方法構(gòu)造三維復(fù)合材料曲壁板顫振響應(yīng)的POD模態(tài)，然后將系統(tǒng)的運動方程變換到POD模態(tài)坐標(biāo)下，通過數(shù)值積分方法計算得到三維復(fù)合材料曲壁板的顫振響應(yīng)[51].

表3 POD方法在CFD數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用Table 3 Application of POD method in CFD data processing

POD方法在結(jié)構(gòu)動力學(xué)方面的應(yīng)用也十分廣泛.21世紀初期，POD方法逐漸被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)中.鄧子辰等[52]首先基于歐拉-伯努利原理，建立一柔性懸臂梁撞擊系統(tǒng)的動力學(xué)方程，然后將POD方法成功應(yīng)用于撞擊系統(tǒng)的降階過程.數(shù)值結(jié)果表明該方法是可行的，并具有很高的效率，為系統(tǒng)控制研究打下了基礎(chǔ).2020年，趙陽等[53]針對梁式結(jié)構(gòu)動力模型，提出一種新的模型降階方法.以減縮基向量的方式達到大幅降低自由度數(shù)量的目的.路寬等[54,55]基于慣性流形理論對傳統(tǒng)的POD方法進行改進，完善了瞬態(tài)POD方法，并基于瞬態(tài)POD方法的物理意義提出了確定原始高維復(fù)雜系統(tǒng)的最優(yōu)降維模型的方法．應(yīng)用改進的POD方法對原始轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)進行降維，通過降維前后相圖、軸心軌跡、幅頻曲線、分岔特性的對比，發(fā)現(xiàn)降維后的簡化模型很好地保留了原始模型的動力學(xué)特性；李玉韋等[56]通過靜力分析獲得了網(wǎng)格加筋筒殼模型的節(jié)點位移場并將其組裝成快照矩陣，再利用POD技術(shù)提取快照矩陣的主成分作為轉(zhuǎn)換矩陣實現(xiàn)了模型降階；POD方法也被用在研究懸臂板幾何非線性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)降階問題，可以提升幾何大變形條件下的結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)系統(tǒng)的求解效率[57]；POD方法結(jié)合小波變換可以對鋼架的損傷部位進行精確定位，此方法能夠在可接受的精度范圍內(nèi)檢測出彎矩連接處的損傷[58].

POD方法可以對非線性熱傳導(dǎo)問題建立降階模型，降低復(fù)雜系統(tǒng)的自由度，從而提高計算效率.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象是介質(zhì)內(nèi)部由溫度梯度造成的密度差產(chǎn)生的自然現(xiàn)象.以Re=5000時沖擊熱流的傳熱為例，POD方法可以對通過大渦模擬得到的傳熱和流場進行分解和研究[59]；朱強華等[60]提出一種基于POD方法和有限元法的瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)問題的模型降階快速分析方法，建立了導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化的一類瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)問題有限元格式的POD降階模型.由于在實際工程中經(jīng)常會用到激光、極短時間的微波這樣高頻率、高熱量的熱源，許多導(dǎo)熱介質(zhì)中都會有非傅立葉傳熱現(xiàn)象.對于此類非傅立葉熱傳導(dǎo)問題，可以通過構(gòu)造同一求解域的非線性POD基底，利用其外推性質(zhì)對非線性問題進行模擬計算[61]；Staf Roels等[62]分別用POD方法和適當(dāng)廣義分解(Proper Generalized Decomposition, PGD)方法研究了大規(guī)模砌體墻的熱傳遞現(xiàn)象，結(jié)果表明POD方法能夠提供更準確的結(jié)果.

隨著人工智能的發(fā)展，機器學(xué)習(xí)與其他學(xué)科交叉成為新的趨勢，POD方法與機器學(xué)習(xí)(Machine Learning, ML)尤其是深度學(xué)習(xí)(Deep Learning, DL)結(jié)合的分析方法在模型預(yù)測方面有較高的精度.Chinchun Ooi等[63]將幾個機器學(xué)習(xí)模型與POD方法結(jié)合，得到模擬靜止圓柱體繞流的經(jīng)典結(jié)果；深度學(xué)習(xí)和POD/DMD方法結(jié)合建立的降階模型在模型預(yù)測方面精度更高，該方法首先計算模擬數(shù)據(jù)(快照)的POD或DMD模態(tài)及其時間系數(shù)，然后使用長短時記憶網(wǎng)絡(luò)(Long Short-Term Memory, LSTM)模型來預(yù)測模態(tài)的時間系數(shù)[64].實驗表明，該模型對于預(yù)測Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性和質(zhì)量擴散問題快照的時間系數(shù)具有較高的精度.

除此之外，POD在其他領(lǐng)域也發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.如魏蕓[65]首次提出在POD方法中嵌入基因算法和伴隨方法，完成了人工環(huán)境多方法集成設(shè)計，在保證計算準確性的基礎(chǔ)上提高了逆向設(shè)計的計算效率，實現(xiàn)了基于CFD的人工環(huán)境高效全局優(yōu)化逆向設(shè)計；基于POD方法可以建立冰形快速預(yù)測降階模型[66]，該方法可以很好地適用于單、多參數(shù)的冰形預(yù)測，對于大參數(shù)研究的應(yīng)用具有參考價值，也為結(jié)冰試飛認證、容冰設(shè)計提供了一種有效可行的方法； POD方法被應(yīng)用到不同工況下超聲速混合層的時空演化研究中，以獲得能量模態(tài)分布、模態(tài)系數(shù)的時間演化特性和頻域特性以及模態(tài)空間結(jié)構(gòu)[67]；Carlos Quesada等[68]首次基于POD降維技術(shù)預(yù)測了微膠囊在穩(wěn)定狀態(tài)下流經(jīng)直微流體通道時的變形.

由上述內(nèi)容可以看出，對于非線性顫振響應(yīng)、轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)、非傅立葉熱傳導(dǎo)等問題，POD方法也可以有效地對高維復(fù)雜系統(tǒng)進行降維與簡化.此外，在人工智能方面，基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)降維已經(jīng)成為一個熱門課題，POD方法與深度學(xué)習(xí)結(jié)合的具體應(yīng)用將在下一節(jié)中詳細介紹.

表4 POD方法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用Table 4 Application of POD method in other fields

2.5 對POD方法的改進

為了使POD方法更好地應(yīng)用于實際工程中，研究人員將POD方法與其他方法相結(jié)合或者對POD方法做出改進.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network, ANN)具有很強的自組織性和容錯性，將ANN與POD方法結(jié)合共同構(gòu)建降階模型，可以進一步提高POD方法的預(yù)測精度，這種方法被稱為POD-ANN法[69].該方法可以被應(yīng)用到洪水預(yù)測中，結(jié)果表明：該方法對于淹沒區(qū)的預(yù)測比常規(guī)代理模型更安全、廣泛.隨后，Ahmed Rageh等[70]為了研究鉚釘連接處的疲勞與腐蝕缺陷，對POD-ANN方法進行進一步改進，結(jié)合了從測量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)中提取的POD模態(tài)和從數(shù)值模型中計算的正交模態(tài)，使POD-ANN方法成為一種穩(wěn)健的鐵路鋼橋疲勞損傷識別工具.

Steffen Kastian等[8]提出了自適應(yīng)POD方法(APOD)，引入了選擇快照子基的原則，用于構(gòu)建匹配基，可以給出更精確的近似值.Li[71]提出了一種結(jié)合POD方法和離散經(jīng)驗插值法(Discrete Empirical Interpolation Method, DEIM)的混合降階模型，用來加速石油工程中對多孔介質(zhì)中單相可壓縮氣體流動的模擬，并用兩個算例驗證了POD-DEIM方法的重建和預(yù)測精度以及計算速度.隨后，Chutipong Dechanubeksa等[72]繼續(xù)對此方法優(yōu)化，引入了基于GPOD(Gappy Proper Orthogonal Decomposition)[9]概念的DEIM修正方法，稱為POD-GPOD方法，這種方法兼顧了POD方法的準確性和POD-DEIM方法的效率.

Davide Ninni等[10]介紹了一個名為MODULO(MODal mULtiscale pOd)的開放的軟件包，可用于執(zhí)行數(shù)值和實驗數(shù)據(jù)的多尺度本征正交分解(multiscale Proper Orthogonal Decomposition, mPOD)方法，這種新的分解方法結(jié)合了多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis, MRA)和標(biāo)準POD方法，使分解的收斂性和模態(tài)的光譜純度之間達到最佳平衡，此軟件由于其內(nèi)存節(jié)省特性，非常適合分析較大的數(shù)據(jù)集，對任何研究領(lǐng)域都很有意義.mPOD方法可以用于研究穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)條件下的圓柱尾流流場，研究結(jié)果表明：mPOD方法在模態(tài)分析中允許比POD方法擁有更多的自由度，同時保持相當(dāng)?shù)氖諗啃訹73].Daniel Butcher等[74]提出了分區(qū)本征正交分解(Zonal Proper Orthogonal Decomposition, ZPOD)方法，在計算POD模態(tài)之前將速度場分解成若干個區(qū)域，以便更好地識別每個區(qū)域相關(guān)的突出結(jié)構(gòu)和特征，與POD方法相比，ZPOD方法可以獲得更具代表性的矢量場.Aaron Towne等[75]提出了頻譜本征正交分解(Spectral Proper Orthogonal Decomposition, SPOD)方法，結(jié)合了POD的功率和頻率分析，代表了時間和空間上的連貫進化結(jié)構(gòu)，這是直接POD方法沒有的優(yōu)勢.

多學(xué)科交叉融合是創(chuàng)新的源泉.當(dāng)今世界，學(xué)科前沿的重大突破和重大創(chuàng)新成果大多是學(xué)科交叉、融合、匯聚的結(jié)果.POD方法與數(shù)據(jù)驅(qū)動、深度學(xué)習(xí)等人工智能領(lǐng)域的交叉，可以使POD方法使用范圍更廣泛，降維效率更高.

表5 對POD方法的改進Table 5 Improvement of POD method

3 POD方法研究展望

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，研究者們得到更多數(shù)據(jù)的同時已然離不開使用各種降維方法對數(shù)據(jù)進行處理.雖然目前已經(jīng)獲得了一些成熟的降階方法，但隨著未來工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)越來越復(fù)雜、運行條件復(fù)雜多變、各種非線性因素相互耦合，許多簡化模型不再適用.今后值得進一步研究的問題如下：

(1)根據(jù)各降維方法的特點，結(jié)合多種方法對高維系統(tǒng)進行二次降維.例如，中心流形方法和L-S方法可以保留原系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，因此，復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的降階模型可以通過POD方法得到，然后通過中心流形方法和L-S方法進行進一步降維研究；

(2)21世紀是人工智能的時代，作為人工智能領(lǐng)域的重要內(nèi)容，機器學(xué)習(xí)以及新興的深度學(xué)習(xí)也是新的研究熱點，機器學(xué)習(xí)與其他學(xué)科交叉以及新的數(shù)據(jù)處理方法成為新的趨勢.機器學(xué)習(xí)是實現(xiàn)人工智能的一種方法，需要大量的數(shù)據(jù)和運算來進行訓(xùn)練.其中，深度學(xué)習(xí)是目前最熱門的機器學(xué)習(xí)方法，它是利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來解決特征表達的一種學(xué)習(xí)過程，但是深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜，訓(xùn)練數(shù)據(jù)多，計算量大.目前，國內(nèi)外對于POD方法在數(shù)據(jù)驅(qū)動尤其是深度學(xué)習(xí)中的應(yīng)用研究[62,63]較少，今后可以通過POD方法與深度學(xué)習(xí)結(jié)合，開展進一步研究，對深度學(xué)習(xí)方法進行完善.

4 結(jié)論

POD方法目前已經(jīng)逐漸成為處理大型復(fù)雜高維系統(tǒng)的最主要方法.本文簡要介紹了POD方法的基本原理及POD方法的發(fā)展歷史，詳細列舉了POD方法在CFD、PIV技術(shù)中的應(yīng)用，對POD方法和DMD方法各自的優(yōu)缺點進行了對比，最后簡要概括了POD方法在結(jié)構(gòu)動力學(xué)、熱傳導(dǎo)問題、人工智能方面的應(yīng)用.POD方法相較于其他方法，具有準確性強、適用范圍廣、流場重構(gòu)效率高等優(yōu)勢，同時還有很多缺陷，如無法給出模態(tài)的穩(wěn)定性等.針對具體問題，許多研究人員也對POD方法做出了相應(yīng)的改進，如與DEIM相結(jié)合的POD-DEIM方法、與MRA結(jié)合的mPOD方法、與功率和頻率分析相結(jié)合的SPOD方法等.隨著人們對人工智能的需求越來越高，POD方法在數(shù)據(jù)驅(qū)動技術(shù)尤其是深度學(xué)習(xí)的研究中將會有更廣泛的應(yīng)用前景.