樁柱周期分布的平板中SH波的傳播特性分析及其在聚焦透鏡設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究*

宋世超 王彬, 2 李鵬, 2? 錢征華, 2? 馬廷鋒 鹿澳灃

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016)(2. 南京航空航天大學(xué) 深圳研究院，深圳 518057)(3. 寧波大學(xué) 沖擊與安全工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 寧波 315211)(4. 航空工業(yè)金城南京機(jī)電液壓工程研究中心， 南京 211106)(5. 航空機(jī)電系統(tǒng)綜合航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 211106)

引言

水平剪切波，即SH波，其質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與傳播方向垂直且位于水平平面內(nèi)，能夠在彈性層中產(chǎn)生并傳播.由于SH波不易發(fā)生模態(tài)轉(zhuǎn)換，在遇到非連續(xù)界面或結(jié)構(gòu)邊界處能量損失較小，因此被廣泛應(yīng)用于信號(hào)分析及缺陷檢測(cè)[1-4].SH波在輻射圖像降噪中可以更好地保留邊緣及細(xì)節(jié)信息，因此也被應(yīng)用于超聲成像領(lǐng)域[5].此外，基于SH波的彈性成像技術(shù)已被證明在預(yù)測(cè)腫瘤、癌癥等疾病的醫(yī)學(xué)診斷中有較好的應(yīng)用前景[6-9].

均勻彈性板中的SH波包含很多模態(tài)[10-12]，由低到高分別為0階、1階、2階等，其中最低階水平剪切波(即SH0)具有非頻散特性，其波速只與材料參數(shù)有關(guān)，與頻率及板的結(jié)構(gòu)尺寸無關(guān)[10].這種非頻散特性是一把雙刃劍：一方面，非頻散特性在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和無損檢測(cè)領(lǐng)域具有很大優(yōu)勢(shì)，因?yàn)椴ㄔ趥鞑ミ^程中不會(huì)出現(xiàn)畸變，易于識(shí)別；另一方面，非頻散特性不利于波的人工控制，因?yàn)橥ǔ：茈y通過結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)波的傳播特性進(jìn)行調(diào)節(jié).然而，聲子晶體和聲學(xué)超材料的出現(xiàn)，使得對(duì)其傳播進(jìn)行控制出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)[13,14].

聲子晶體和聲學(xué)超材料是新型的人工結(jié)構(gòu)功能材料，具有其他材料所不具備的負(fù)折射、聲吸收、缺陷態(tài)等一系列特性，應(yīng)用前景廣闊.以其能帶結(jié)構(gòu)為例，聲子晶體和聲學(xué)超材料可以用來控制彈性波的傳播，彈性波可以在其通帶頻率范圍內(nèi)傳播，而在帶隙頻率范圍內(nèi)彈性波的傳播會(huì)受到抑制[15]，因此用于結(jié)構(gòu)的減振降噪[16].近年來，隨著技術(shù)的發(fā)展，基于超材料控制聲波能量、實(shí)現(xiàn)聚焦功能的聲學(xué)透鏡被相繼實(shí)現(xiàn).一般說來，聲學(xué)透鏡的設(shè)計(jì)均基于聲子晶體和聲學(xué)超材料的概念，其結(jié)構(gòu)參數(shù)(如胞元的尺寸、排列方式等)按照某一特定的規(guī)律變化，如以氣體為填充物的輕型聲透鏡[17]、圓形的龍伯透鏡(Luneburg lens)和麥克斯韋魚眼透鏡(Maxwell Fish-Eye lens)[18]、各向異性材料組成的聲透鏡[19]等，結(jié)構(gòu)的分布規(guī)律不同，形成透鏡的功能和類型也有所差異.由于聲學(xué)透鏡在醫(yī)學(xué)診斷、超聲波治療、無損檢測(cè)等領(lǐng)域的應(yīng)用潛力[20]，其受到了越來越多的關(guān)注，隨著研究人員研究的深入，聲聚焦透鏡的功能得到了進(jìn)一步拓展，出現(xiàn)了可以實(shí)現(xiàn)模式轉(zhuǎn)換的非對(duì)稱聚焦透鏡[21]、超音波范圍內(nèi)使用的超薄聲透鏡[22]、能夠?qū)崿F(xiàn)靜態(tài)超材料中無法實(shí)現(xiàn)的非互易(nonreciprocal)聲聚焦透鏡[23]、能夠?qū)⒛芰繑U(kuò)大約1000倍的寬帶梯度折射率透鏡[24]等.

但目前的聲學(xué)透鏡多數(shù)都用于控制媒介中的聲波或薄板中的低頻彎曲波，這些波型易受結(jié)構(gòu)尺寸的影響；而針對(duì)具有非頻散特性的SH0，涉及基于SH0的透鏡的相關(guān)研究很少，這正是本文研究的出發(fā)點(diǎn)之一.此外，聲學(xué)透鏡的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜[25,26]，在實(shí)際制造中容易出現(xiàn)難以精密加工、制造成本高、很難推廣等問題.因此，本文研究的目的在于設(shè)計(jì)一款基于SH0的簡(jiǎn)單實(shí)用的聚焦透鏡.

本文基于聲子晶體的概念，首先建立了上下樁柱周期性分布的平板中SH波帶隙結(jié)構(gòu)求解的理論模型，并通過有限元仿真驗(yàn)證了模型的正確性.在此基礎(chǔ)上，詳細(xì)討論并建立了典型結(jié)構(gòu)參數(shù)(即樁柱高度)與SH0波速的定量關(guān)系；基于此，根據(jù)干涉原理構(gòu)建了基于SH0的平面波透鏡，并驗(yàn)證了該透鏡的工作性能.本文的研究結(jié)果可以為能量俘獲及收集提供一種新的思路和設(shè)計(jì)方法.

1 理論模型

1.1 模型簡(jiǎn)介

為了使結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于加工，本文選取單相薄板用于構(gòu)建基于SH0的平面波透鏡，所選擇的胞元如圖1所示，即在長(zhǎng)l、高2h的主體板上下各鑲嵌一個(gè)樁柱，其截面尺寸分別為w2×d2和w3×d3，整個(gè)結(jié)構(gòu)關(guān)于y軸對(duì)稱，為了便于分析，這里假設(shè)結(jié)構(gòu)在z方向上尺寸無限大，同時(shí)將中間及上下樁柱分別劃分為區(qū)域1、區(qū)域2、區(qū)域3.

圖1 理論模型及坐標(biāo)系Fig.1 The theoretical model and the coordinate system

本文考慮沿x方向傳播的SH波，由其傳播特性可知ux=uy=0，僅存在z方向上的位移uz=u(x,y,t)，其波動(dòng)方程為

(1)

區(qū)域1內(nèi)的SH波可表達(dá)為[27-29]

Bγsin(ky,γy)]exp(ikx,γx)

(2)

Bγcos(ky,γy)]exp(ikx,γx)

(3)

區(qū)域2和區(qū)域3的位移可分別表達(dá)為

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 邊界條件

(8a)

(8b)

(9a)

(9b)

1.3 帶隙結(jié)構(gòu)的理論求解

將式(2)～式(7)代入式(8)和式(9)可得

Bγcos(ky,γh)]exp(ikx,γx)=

(10a)

(10b)

Bγcos(ky,γh)]exp(ikx,γx)=

(11a)

(11b)

(12a)

ky,γl[-Aγsin(ky,γh)+Bγcos(ky,γh)]=

(12b)

其中

0.5w2)]dx=

(13)

(14a)

ky,γl[Aγsin(ky,γh)+Bγcos(ky,γh)]=

(14b)

其中

0.5w3)]dx=

(15)

ky,γlcos(ky,γh)δγγ′]Bγ′}=0

(16a)

ky,γlcos(ky,γh)δγγ′]Bγ′}=0

(16b)

其中

(17)

2 模型的驗(yàn)證

(a) w2=0.6cm, d2=0.05cm, w3=0.8cm, d3=0.12cm

為驗(yàn)證理論模型的正確性，分別選取結(jié)構(gòu)參數(shù)不同的兩個(gè)胞元進(jìn)行理論分析與有限元驗(yàn)證.為了精確驗(yàn)證理論模型的正確性，有限元仿真采用Comsol Multiphysics軟件的二維聲學(xué)模塊，這是因?yàn)槎S聲學(xué)模塊中聲波的控制方程及邊界條件與SH波具有高度的一致性.圖2 為其帶隙結(jié)構(gòu)，反映了波矢與頻率之間的色散關(guān)系，其中，橫坐標(biāo)表示無量綱波數(shù)kl/π，取值范圍為[0,1]，對(duì)應(yīng)第一布里淵區(qū)[0,π/l]；曲線代表理論得到的結(jié)果；圓圈代表有限元仿真軟件Comsol Multiphysics的輸出結(jié)果.由圖2可見，不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下，數(shù)值結(jié)果與有限元結(jié)果幾乎完全吻合，這充分證明了本文理論模型的正確性.此外，由圖2還可以看出，由于結(jié)構(gòu)尺寸所導(dǎo)致的阻抗不匹配可以產(chǎn)生布拉格散射，從而形成帶隙，例如圖2中最低階帶隙的中心頻率fl/cSH0約為0.5，因此結(jié)構(gòu)尺寸的改變能夠影響SH波傳播特性的改變.

3 SH0聚焦透鏡的理論設(shè)計(jì)

3.1 頻譜分析

為了加工方便并減小模態(tài)耦合對(duì)SH波傳播特性的影響，這里考慮上下樁柱相同的情況，即w2=w3=w，d2=d3=d，此時(shí)單胞關(guān)于x-z平面對(duì)稱.圖3給出了樁柱寬度w=1.6cm、單胞寬度l=2cm、樁柱高度d由0cm增加到0.6cm時(shí)SH0的頻譜圖，其中：曲線代表理論得到的結(jié)果，符號(hào)代表有限元仿真軟件Comsol Multiphysics的輸出結(jié)果.由此可見，不同高度情況下理論和仿真結(jié)果完全吻合，再次驗(yàn)證了本文理論模型的正確性.除此之外，當(dāng)樁柱的高度為零，即為平板時(shí)，SH0的f-k關(guān)系是一條直線，即SH0非頻散；隨著樁柱高度的增加，其頻散特性逐漸增強(qiáng)，且在相同的波數(shù)情況下，f的數(shù)值逐漸減小.因此，可以預(yù)測(cè)，當(dāng)樁柱升高時(shí)，SH0的相速度會(huì)逐漸降低，因此可以通過調(diào)整d的大小來改變SH波的速度，進(jìn)而調(diào)控SH波的傳播特性，這是本文設(shè)計(jì)基于SH0聚焦的透鏡的本質(zhì).

3.2 聚焦透鏡的設(shè)計(jì)原理

本文預(yù)設(shè)計(jì)一個(gè)矩形透鏡，如圖4所示，用于聚焦平面SH0波.平面SH0垂直入射并經(jīng)過透鏡后，會(huì)聚焦到透鏡右側(cè)的焦點(diǎn)上.這里，透鏡的寬度為L(zhǎng)′，焦點(diǎn)距離透鏡右邊緣的距離為L(zhǎng)f.由上一節(jié)的研究可知，樁柱高度的變化可以改變SH0的傳播速度，所以圖4所示的透鏡可以由x方向樁柱高度相同、z方向樁柱高度逐漸變化的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)構(gòu)成.為了實(shí)現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，本文將透鏡所示區(qū)域沿z軸劃分了對(duì)稱的2n+1個(gè)通道，這樣SH0在經(jīng)過透鏡時(shí)，波沿每個(gè)通道以各自的速度ci(i=0,1,2,…,n)獨(dú)自傳播，各通道之間相互不干擾.為使SH0在焦點(diǎn)處聚焦，可以令其到達(dá)焦點(diǎn)的時(shí)間相同，即

(18)

圖4 聚焦透鏡的設(shè)計(jì)原理圖Fig.4 Principle of the lens design

其中，Di為第i個(gè)通道距中軸線z=0距離；cf為SH0在平板內(nèi)傳播的相速度，即cf=cSH0；c0為固定頻率下中軸線通道內(nèi)SH0的相速度.等式左端為SH0沿中軸線通道到達(dá)聚焦點(diǎn)所需時(shí)間；等式右端為SH0通過第i個(gè)通道所需的時(shí)間.利用式(18)，可得到固定頻率下第i個(gè)通道內(nèi)SH0的相速度為

(19)

當(dāng)透鏡的尺寸L′和聚焦距離Lf確定時(shí)，在某一工作頻率下即可通過上式求得ci，得到ci后結(jié)合圖3中不同樁柱高度的頻譜圖，即可得到不同通道內(nèi)樁柱的高度，從而完成透鏡的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).如果將該透鏡設(shè)計(jì)成51(即n=25)個(gè)通道，每個(gè)通道內(nèi)含有10個(gè)結(jié)構(gòu)尺寸相同的聲子晶體單胞，于是L′=10l=0.2m；為了避免各通道之間的相互干擾，各通道之間設(shè)置0.02cm的間隔，每個(gè)通道的寬度為0.48cm；當(dāng)工作頻率選擇為45kHz時(shí)，平板中SH0的波長(zhǎng)λ為0.069m；假定焦距為0.3m(即L′=0.2m，Lf=0.1m)，約為波長(zhǎng)的4倍.在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用式(19)和圖3得到了各通道內(nèi)相速度ci以及樁柱高度d沿z方向的分布規(guī)律，如圖5所示.由此可知：速度ci由透鏡中心z=0到透鏡上下邊緣逐漸增加，這說明SH0通過透鏡時(shí)，其沿z=0的通道傳播得最慢，沿著±z方向，其傳播逐漸加快，最終聚焦到指定的焦點(diǎn)上.與之對(duì)應(yīng)的，樁柱的高度在z=0處達(dá)到最大值，沿著±z方向逐漸趨近于零.

圖5 各通道樁柱高度d及SH0的傳播相速度ciFig.5 Variations of d and ci in different channels

4 透鏡的工作性能分析

為了驗(yàn)證理論設(shè)計(jì)的合理性并檢驗(yàn)聚焦透鏡的工作性能，本文在有限元分析軟件Comsol Multiphysics的結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊中開展頻率域分析，仿真的模型如圖6所示.圖中：紅框內(nèi)矩形部分即為透鏡；在距離透鏡左側(cè)0.1m處的平板截面上施加z方向的位移，用于模擬平面SH0波的激發(fā).此外，板的四周設(shè)置了寬0.2m的完美匹配層(PML)用于模擬無窮遠(yuǎn)的邊界條件，以消除板邊緣產(chǎn)生的反射波對(duì)結(jié)果的干擾.仿真過程中采用四面體單元，PML、平板、透鏡部分的最大網(wǎng)格尺寸分別為5mm、4mm、3mm，共劃分1433690個(gè)單元；計(jì)算分析前還用更為精細(xì)的網(wǎng)格進(jìn)行了驗(yàn)證，以確保計(jì)算結(jié)果收斂.

圖6 頻域內(nèi)的計(jì)算模型Fig.6 The calculation model in the frequency domain

仿真的結(jié)果如圖7(a)所示，為了方便對(duì)比，這里同時(shí)給出了平板(不包含透鏡)的情況，見圖7(b).通過對(duì)比可以很清晰地看到SH0的聚焦效果.為了進(jìn)一步定量化分析，現(xiàn)將SH0的|uz|2沿x軸和z軸的分布情況從圖7中提取出來，見圖8.平面入射的SH0，經(jīng)透鏡后的聚焦位置為(0.309m, 0)，與理論設(shè)計(jì)值(0.3m, 0)基本吻合，稍有誤差，這也說明了本文設(shè)計(jì)方法的合理性.產(chǎn)生這種誤差的原因主要有兩個(gè)方面：首先，帶隙結(jié)構(gòu)的分析以及透鏡的設(shè)計(jì)均根據(jù)二維理論開展的，如式(1)所示，分析過程中假設(shè)z方向是無限大的，但在實(shí)際仿真過程中所用的是三維實(shí)體結(jié)構(gòu)，這種處理勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生一定的誤差；其次，通過式(19)可知，理論上要求SH0的速度沿z方向連續(xù)變化，但在設(shè)計(jì)過程中為了避免不同通道的影響，將透鏡沿z方向劃分了51個(gè)獨(dú)立的通道，通道與通道之間用狹縫隔開，每個(gè)通道內(nèi)SH0的波速是恒定的，即用51個(gè)離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)去近似逼近所要求的連續(xù)變化趨勢(shì)，這也會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差.除此之外，聲子晶體的各向異性、SH0傳播過程中的模態(tài)轉(zhuǎn)換等也會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響.盡管如此，通過圖7(a)和圖7(b)可知，本文的設(shè)計(jì)方法是可行的，特別是在焦點(diǎn)處，|uz|2為3.1×10-6m2，是普通平板(不包含透鏡)的2.2倍，在x和z方向的聚焦尺寸(由焦點(diǎn)處|uz|2值的四分之一帶寬決定)分別為261.1mm和56.2mm，即3.78λ和0.81λ，z方向的聚焦尺寸小于λ，聚焦效果顯著，滿足設(shè)計(jì)要求.這里需要指出的是：當(dāng)SH0被激發(fā)并在該結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，不可避免地會(huì)有模態(tài)轉(zhuǎn)換發(fā)生，但其他導(dǎo)波模式(如A0和S0)的位移很小，如附錄中的圖A所示，SH0占主導(dǎo)地位.

(a) 引入透鏡 (b) 未引入透鏡(a) The plate with lens (b) The plate without lens圖7 f=45kHz時(shí)頻率域內(nèi)|uz|2的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results represented by |uz|2 in the frequency domain at f=45kHz

(a) 當(dāng)z=0時(shí)|uz|2隨x軸變化(a) The |uz|2 profile along the x direction at z=0

本文設(shè)計(jì)透鏡時(shí)雖然只針對(duì)45kHz這一固定的工作頻率，但由圖3可知，在這一頻率附近不同樁柱高度情況下的頻散曲線多數(shù)為直線；那么，如果工作頻率稍微發(fā)生改變，SH0傳播的速度不會(huì)發(fā)生大的改變，所以可以預(yù)測(cè)本文設(shè)計(jì)的透鏡不僅適用于45kHz這一固定頻率，在結(jié)構(gòu)尺寸不變的情況下，其具有一定的工作帶寬.為了驗(yàn)證這一推斷，本文還在45kHz附近對(duì)透鏡的工作性能進(jìn)行了分析，其結(jié)果如圖9所示.由此可見，該透鏡在[42kHz, 53kHz]范圍內(nèi)都顯示了比較好的聚焦效果.由圖9還可以看出，隨著工作頻率的升高，焦點(diǎn)逐漸向透鏡靠近，這是因?yàn)轭l率升高，透鏡內(nèi)不同通道內(nèi)波速的差異會(huì)增大.

圖9 其他頻率下|uz|2的仿真結(jié)果Fig.9 The |uz|2 distribution for other frequencies

5 結(jié)論

本文基于模態(tài)疊加法，在滿足動(dòng)力學(xué)控制方程和邊界條件的情況下，針對(duì)含上下樁柱的周期性板中SH波的傳播特性建立了一個(gè)能保證收斂性及精確精度的理論模型，并通過有限元仿真對(duì)模型的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)上，通過調(diào)整上下樁柱的高度所設(shè)計(jì)的透鏡可實(shí)現(xiàn)SH0的聚焦功能，聚焦效果明顯，聚焦位置準(zhǔn)確，且具有一定的工作帶寬，在工作頻率附近的范圍內(nèi)仍然適用.

限于目前檢測(cè)手段的缺乏，無法自主大面積檢測(cè)SH波信號(hào)，因此本文設(shè)計(jì)的透鏡目前還無法通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.盡管如此，本文有限元仿真的結(jié)果已經(jīng)足以證明這種設(shè)計(jì)方法的合理性，該方法對(duì)超聲醫(yī)學(xué)、無損檢測(cè)、吸聲降噪等應(yīng)用中的能量收集都具有重要的指導(dǎo)意義.