優(yōu)化數(shù)學(xué)實驗，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)
——以人教版“用頻率估計概率”教學(xué)為例

◎石錦彪

(廣東省珠海市斗門區(qū)蓮洲鎮(zhèn)蓮溪學(xué)校，廣東 珠海 519135)

曾經(jīng)有一名學(xué)生拿著一道有關(guān)“用頻率估計概率”的數(shù)學(xué)題問我，題目如下：

小新拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋2次，第一次硬幣落地為正面朝上，那么第二次拋硬幣，硬幣反面朝上的概率為( )

A.0 B.0.25 C.0.5 D.1

學(xué)生選擇了D，據(jù)他的理解，根據(jù)“用頻率估計概率”知識，硬幣正、反面朝上的概率都是05，既然第一次是正面，那么第二次肯定是反面，所以概率是1雖然學(xué)生的理由貌似充分，但顯然學(xué)生對課本的實驗和大數(shù)定律存在一定的誤解

1 教材實驗分析

教材的實驗是以拋擲硬幣為主，分別統(tǒng)計“正面向上”和“反面向上”的頻數(shù)與頻率，通過學(xué)生實驗、觀察、記錄、歸納出大數(shù)定律然而，“拋擲硬幣”實驗過于單調(diào)，重復(fù)而簡單，學(xué)生容易產(chǎn)生厭倦感，易出現(xiàn)隨意應(yīng)付，亂填實驗數(shù)據(jù)的情況，從而影響實驗結(jié)果

筆者對實驗的材料進(jìn)行篩選，發(fā)現(xiàn)概率起源于賭博，故設(shè)計了一個實驗——骰子大小，這不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能在學(xué)科教學(xué)中滲透德育教育——禁賭教育

2 教學(xué)實驗設(shè)計

本節(jié)課是數(shù)學(xué)實驗探究課，所以教師對于實驗設(shè)計應(yīng)花心思，重過程，使趣味性與實用性相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)本次數(shù)學(xué)實驗以“投骰子買大小”為模擬背景，設(shè)計模擬場景，讓學(xué)生通過實際操作，感受大數(shù)定律的適用條件，并體會為什么可以用頻率估計概率生動的實驗?zāi)芪龑W(xué)生的注意，把實驗的重復(fù)性和單調(diào)性沖淡，同時進(jìn)行禁賭教育，把德育教育融入學(xué)科教育中具體操作流程如圖1所示

圖1

3 教學(xué)實驗過程

3.1 課前預(yù)習(xí)，熟悉流程

教師在上課前一天布置預(yù)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生了解投骰子的規(guī)定；并在班級群上傳演示實驗的視頻，讓學(xué)生熟悉實驗的流程和注意事項教師提前準(zhǔn)備實驗器材，確保當(dāng)天實驗物資充足學(xué)生了解實驗具體要求和操作事項

3.2 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師：我們學(xué)過求概率的方法有什么？

學(xué)生：列舉法求概率

問題1 同時擲三枚質(zhì)地均勻的骰子，計算下列事件的概率：

(1)三枚骰子的點數(shù)相同

(2)三枚骰子點數(shù)的和大于或等于11

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)回顧概率的基礎(chǔ)知識，幫助學(xué)生回憶所學(xué)知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備基礎(chǔ)知識

問題2 列舉法求概率適用范圍是什么？

學(xué)生：結(jié)果有限，可能性相等的隨機(jī)事件

教師：但很多時候事件發(fā)生的可能性并不均等，例如每個骰子的質(zhì)量和大小都會存在誤差，這使得骰子之間并不一致我覺得列舉法有漏洞，那有沒有更好的辦法？我們不妨從這節(jié)課的知識來解析為什么會出現(xiàn)“十賭十輸”的情況

設(shè)計意圖：以舊知識的漏洞，引發(fā)疑問，引出新方法、新理論，為之后的實驗驗證埋下伏筆，引出模擬場景

3.3 師生討論，設(shè)置場景

問題3 如果我連續(xù)投骰子40次，結(jié)果是“大”的次數(shù)應(yīng)該為20次，你們認(rèn)為對嗎？

設(shè)計意圖：再次混淆頻率與概率的含義，引發(fā)對立矛盾，激發(fā)興趣

學(xué)生：正確，因為“大”的概率是05

學(xué)生：不正確，40次里面不一定恰好20次“大”

教師：我們不妨做一個投骰子的實驗來體驗一下，看看到底誰對誰錯

設(shè)置模擬投骰子：

三個骰子算總點數(shù)，總點數(shù)為3至10稱作“小”，總點數(shù)11至18為“大”

學(xué)生：我昨天有預(yù)習(xí)，根據(jù)課本知識，我能做到不輸錢，甚至還能贏錢！

教師：有些人正是覺得學(xué)習(xí)了概率知識，就掌握了骰子大小的規(guī)律，能做到不輸甚至贏錢但他們忽視了一些因素，我們不妨從一會兒的實驗結(jié)果來看看大家到底是贏錢了還是輸錢了

設(shè)計意圖：制定實驗規(guī)則，模擬投骰子場景，讓學(xué)生通過實驗驗證自己的猜想，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識來源于生活，體會概率知識在禁賭中的價值

3.4 小組合作，實驗探究

活動1 小組實驗活動

活動要求 ①分組：7人為一組，共8組，其中組長1人，組員6人②分工：組長負(fù)責(zé)搖骰子和負(fù)責(zé)記錄“大”“小”出現(xiàn)次數(shù)；組員利用道具錢幣進(jìn)行投注③任務(wù)：每個小組搖骰子50次，如表1所示④展示：每個小組派代表把實驗數(shù)據(jù)填入電腦的Excel總表上，如表2所示

表1 學(xué)生投骰子統(tǒng)計表

表2 投骰子出現(xiàn)“大”次數(shù)小組統(tǒng)計表

教師：同學(xué)們猜想40次的搖骰子，出現(xiàn)20次“大”或“小”的機(jī)會相等嗎？請同學(xué)們觀察上表，小組討論一下，說說你們小組發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生：每個小組的結(jié)果不一樣，每個小組“大”的頻率不一樣這可能與統(tǒng)計數(shù)據(jù)太少有關(guān)，我們不妨把每個小組的數(shù)據(jù)統(tǒng)計放一起，看看“大”的頻率是多少

教師：那我們把全部小組的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，大家看一看

3.5 小組交流，探究發(fā)現(xiàn)

每個小組的實驗數(shù)據(jù)匯總?cè)绫?所示

表3 投骰子出現(xiàn)“大”的次數(shù)與頻率的總統(tǒng)計圖

投骰子出現(xiàn)“大”的頻率對應(yīng)的折線圖如圖2所示

圖2

活動2 分析圖表，初探結(jié)論

對比各個小組的統(tǒng)計表和對應(yīng)的折線圖，分析相關(guān)圖表的數(shù)據(jù)內(nèi)涵

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集，整理描述與分析的過程，進(jìn)一步提高學(xué)生的統(tǒng)計意識，為下一步發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律做好準(zhǔn)備

學(xué)生：隨著投骰子次數(shù)增加，出現(xiàn)“大”的頻率逐漸向 05 靠攏出現(xiàn)“小”的頻率也逐漸向05靠攏

3.6 師生交流，總結(jié)結(jié)論

教師：由于開始實驗次數(shù)太少，得到開“大”的頻率與概率可能有較大的誤差，但通過學(xué)生投骰子次數(shù)的增加，頻率有什么變化？

學(xué)生：頻率逐漸穩(wěn)定在一個數(shù)——05

得出結(jié)論：大數(shù)定律——隨著大量的重復(fù)實驗，一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率可以估計它的概率

3.7 模擬場景，發(fā)掘誤區(qū)和賦予德育

統(tǒng)計學(xué)生投骰子的結(jié)果，讓學(xué)生分享其中的心理變化過程

活動3 探究學(xué)生輸錢的原因

學(xué)生1：之前有幾次連續(xù)開“大”，我覺得下一次肯定開“小”，所以全部投注了“小”，但結(jié)果還是開“大”

教師：人們常常誤以為，隨機(jī)就等同于均勻過去一段時間內(nèi)發(fā)生的事件不均勻，大家就會以為未來的事情會盡量向“抹平”的方向發(fā)展也就是如果連續(xù)開“大”幾次的話，人們就自認(rèn)為下一次開“小”的機(jī)會就會更大但大數(shù)定律工作機(jī)制，不是為了和過去已發(fā)生的事情搞平衡與對抗隨機(jī)性是不受之前的結(jié)果影響的也就是說，每一次投骰子，都與之前的結(jié)果是沒聯(lián)系的

學(xué)生2：根據(jù)生活經(jīng)驗和課本的知識，我每次都投注“大”相同的金額，但還是輸錢了，為什么呢？

教師：這是另一個坑——賭徒破產(chǎn)定理你們覺得投注了50次，開“大”的頻率應(yīng)該等于概率——05，這是你們對大數(shù)定律的誤解，大數(shù)定律成立的條件是“大量重復(fù)”實驗?zāi)蔷唧w得多少次才算“大量”，數(shù)學(xué)家給出了答案是無窮大

設(shè)計意圖：通過實驗情況與理論知識的矛盾，加強(qiáng)學(xué)生對大數(shù)定律的進(jìn)一步理解，使學(xué)生認(rèn)識在具體情境中運用大數(shù)定律時要注意隨機(jī)性與大量性

學(xué)生3：我開始時小額投注，贏了一點，之后膽子大了，加大投注的金額，反而輸錢了

學(xué)生4：我也是這種情況，想加大投注，贏回之前的本錢，但越是這樣想，越輸?shù)枚?/p>

教師：因為賭徒的心理一般是一贏錢，就開始變得大膽；一輸錢，就想回本往往以血本無歸收場

設(shè)計意圖：通過分析實驗情況與學(xué)生心理狀況，加強(qiáng)學(xué)生對禁賭的進(jìn)一步理解，使學(xué)生認(rèn)識在具體情境中運用實驗結(jié)論，探究賭博的危害，培養(yǎng)學(xué)生禁賭和反賭的意識

3.8 運用新知，堂上小測

活動4 學(xué)生根據(jù)剛才的知識，解決具體問題

①小新拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋三次，硬幣落地都為正面朝上，如果她第四次拋硬幣，那么硬幣正面朝上的概率為( )

②下列說法正確的是( )

A.“明天晴天的概率是90%”表示明天有90%的時間都有太陽

C.“彩票中獎的概率是01%”表示買1000張彩票肯定會中獎

③在一個不透明的口袋中裝有6個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他相同通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有( )

A.16個 B.18個 C.20個 D.22個

④在一個不透明的盒子中裝有個小球，它們只有顏色上的區(qū)別，其中有3個綠球，每次摸球前先將盒子中的球搖勻，隨機(jī)摸出一個球記下顏色后再放回盒中，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到綠球的頻率穩(wěn)定在03，那么可以推算出大約是________

⑤某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖，如圖3所示，則符合這一結(jié)果的試驗可能是( )

圖3

A.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面朝上

B.擲一個正六面體的骰子，出現(xiàn)4點朝上

C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是黑桃

D.從一個裝有2個白球1個紅球的袋子中任取一球，取到的是紅球

⑥在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種球共60個，小穎做摸球?qū)嶒?，她從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色放回，不斷重復(fù)上述過程，下面是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)n1003005008001000摸到白球的次數(shù)m65178302481599摸到白球的頻率0.650.5930.6040.6010.599

(1)請估計：當(dāng)很大時，摸到白球的頻率將會接近________；(精確到01)

(2)假如你摸一次，你摸到黑球的概率(黑球)=______；

(3)試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少只

思考題：魚塘主想知道魚塘里有多少條魚，但又不想全部撈起來小明想到一個辦法，首先捕撈30條魚，在魚身上做上記號然后放回池塘，接著第二天再捕撈一網(wǎng)，這次捕到50條魚，其中5條魚是有記號，則可以算出池塘中魚的條數(shù)約為________

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生用頻率估計概率解決實際問題的能力

4 教學(xué)反思

在教學(xué)實驗的設(shè)計中，如果教師采用課本的實驗，教學(xué)課題會因為學(xué)生缺乏興趣而變得枯燥乏味，不利于學(xué)生對實驗的操作與探究，造成學(xué)生對知識理解不到位，出現(xiàn)文章開頭的因?qū)W生理解錯誤而做錯題的情況從這次實驗活動的過程看，學(xué)生對投骰子活動非常感興趣，自主探究，對相關(guān)知識的記憶、理解和掌握更加深刻在教學(xué)中，教師和學(xué)生共同解決各種疑問，實驗探究結(jié)論，分析結(jié)論的成因，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、實驗操作、小組合作、獨立思考的能力，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和探究精神和樂趣

5 結(jié) 語

初中階段數(shù)學(xué)教材中，實驗操作內(nèi)容較少，有些實驗過于單調(diào)和枯燥，教師可以根據(jù)生活實際對此進(jìn)行調(diào)整數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計可以從趣味性、實用性、德育滲透等方面進(jìn)行修改，讓學(xué)生重視數(shù)學(xué)實驗，認(rèn)真對待實驗操作環(huán)節(jié)并思考實驗結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)