“證作導(dǎo)找”解析垂直關(guān)系中的基本套路

◎邢富根

(南京市高淳區(qū)淳輝高級中學(xué)，江蘇 南京 211300)

垂直關(guān)系是立體幾何中的難點問題，其中線面垂直在立體幾何中的地位舉足輕重，不但是位置關(guān)系的核心，而且是角度、距離等問題的關(guān)鍵垂直證明中的四個方向如何定位，怎樣找到四個方向證明上的預(yù)判斷，是學(xué)生突破垂直關(guān)系、提高解題速度的關(guān)鍵

垂直關(guān)系證明中，逆推是主要的方法逆推法又叫分析法，是從分析每一個結(jié)論的必要條件開始，步步倒推，直至說明題目給出的條件恰好符合要求為止逆推法實際上是把證明反過來了，但并不完全一樣逆推法是一種很好的導(dǎo)向思維，它既可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，又能很準(zhǔn)確地輔助判斷必要條件，在垂直關(guān)系的證明上，逆推法是主要的思考方法

對證明結(jié)論必要條件的逆推，本質(zhì)上是建立在逆推基礎(chǔ)上的一種辯證邏輯，是指導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進行表述和論證，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強數(shù)學(xué)交流能力的過程試題通過四個關(guān)鍵點的連接，在必備知識考查的基礎(chǔ)上，增加綜合性與應(yīng)用性，提高學(xué)生關(guān)鍵能力，滲透學(xué)科素養(yǎng)

垂直關(guān)系證明的四個關(guān)鍵字：證、作、導(dǎo)、找

由線線垂直得到線面垂直的關(guān)鍵字是“證”線線垂直是證明線面垂直的主要方法，即證明一條直線垂直于平面里的兩條相交直線學(xué)生通過找到垂線來完成線面垂直的證明而基礎(chǔ)條件中的線線垂直，處理手段通常是兩種情況：1在同一個平面內(nèi)的可以考慮三線合一、勾股定理逆定理、相似三角形等辦法，也可建立平面直角坐標(biāo)系通過計算得出2不在同一平面內(nèi)的線線證明一是通過“平行傳遞”回到第一種方法，二是通過線面垂直實現(xiàn)線線垂直的證明而通過線面垂直去證線線垂直的關(guān)鍵字是“導(dǎo)”所謂“導(dǎo)”,就是引導(dǎo)出兩條線中，誰是垂線，垂直于另一條線過的哪一個平面定垂線是此類問題的難點所在而三垂線定理模型的應(yīng)用，往往是尋找垂面最實用的辦法以上線線垂直與線面垂直的互推，形成了邏輯嚴密的“垂直證據(jù)鏈”的基礎(chǔ)條件

面面垂直往往是導(dǎo)向性條件，它的推導(dǎo)結(jié)論一定是線面垂直，要點是盯住交線，尋找交線的垂直條件，以快速找到面的垂線而在綜合法解決線面角、二面角以及距離問題中，作出垂線(線面垂直)往往是形成平面角以及距離的通道那么如何形成垂線呢？除了我們通過線線垂直證明線面垂直以外，在面面垂直的條件下，在一個平面里作一條直線垂直于交線，則它一定垂直于另一個平面，所以，由面面垂直得到線面垂直的關(guān)鍵字是“作”

1如圖1，在三棱臺-中，平面⊥平面，∠=∠=45°，=2

圖1

(1)證明：⊥；

(2)求直線與平面所成角的正弦值

思路分析：

本題(1)證明：⊥，從結(jié)論出發(fā)，逆向推理，由平行傳遞轉(zhuǎn)化為證明⊥要證線線垂直，我們可考慮通過線面垂直來證明，由題目中的導(dǎo)向性條件平面⊥平面，易在平面中作的一條垂線，這樣既垂直于又垂直于，所以轉(zhuǎn)證垂直于平面，再轉(zhuǎn)化為證明垂直于(本質(zhì)上還是三垂線定理的模型)

本題(2)求直線與平面所成角的正弦值，綜合法求解線面角問題的關(guān)鍵是找到垂線，而作出垂線的關(guān)鍵是找到垂面由(1)易知，平面的垂面是平面，故將通過平行傳遞給，而與平面正好相交于點，那么通過作⊥，即得到⊥平面，得到二面角的平面角

證明如下：

(1)如圖2，過點作⊥，交直線于點，連接

圖2

由平面⊥平面，得⊥平面，所以⊥

所以⊥平面，故⊥

由三棱臺-得∥，所以⊥

(2)過點作⊥，交直線于點，連接

三棱臺-中，∥，故直線與平面所成角等于直線與平面所成角

⊥平面得到⊥，⊥平面，所以∠為直線與平面所成角

在垂直關(guān)系中，最具有靈活性和挑戰(zhàn)性的，還是面面垂直的證明由線面垂直得到面面垂直的關(guān)鍵字是“找”

根據(jù)面面垂直的判定定理，一個平面過另一個平面的垂線，則面面垂直，由此可知，要想完成面面垂直的證明，關(guān)鍵是找到線面垂直找到這條垂線，成了解決問題的入口，這也是垂直關(guān)系中的一個難點問題

那么，如何在給出的兩個面里準(zhǔn)確定位一條直線垂直于另外一個平面呢？我們常見的處理方法是：1觀察法，觀察兩個平面中哪條直線的垂直條件多，這也是它能成為垂線的必要條件2“逆向思維”法，要證面面垂直，那么我們假設(shè)面面垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于交線，則它垂直于第二個平面我們把目標(biāo)聚焦在交線上，垂直于交線的直線即我們要找的垂線，完成定位后，我們只要依靠線面垂直的判定定理，完成證明即可

圖3

圖4

思路分析：

方法1：我們發(fā)現(xiàn)在圖4中，可以找到兩垂面的交線，觀察可知，⊥，所以必為垂線而完成⊥平面的證明，只要能證明分別垂直于、，用勾股定理逆定理即可得出

方法2：找到兩垂面的交線，由三線合一可作⊥,必為垂線證明為垂線，應(yīng)把主要目標(biāo)放在證明⊥上，通過三角形中的邊角量傳遞，由勾股定理逆定理即可得出

在垂線的找尋中，透過多垂直條件的綜合判斷來精準(zhǔn)定位垂線，再用線線垂直加以證明，這是最主要的方法

所以，我們通過對垂直關(guān)系的整理，可以發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系：

在線面垂直的證明中，證明直線垂直于平面內(nèi)兩條交線依然是主導(dǎo)方法而在作垂線的問題上，我們往往通過找到垂面以面面垂直的性質(zhì)定理完成線面垂直的證明，而這更多應(yīng)用于線面角、二面角(垂線法找角)以及距離問題的垂線定位

在面面垂直的證明中，找線法(找垂線)至關(guān)重要而在線線垂直的證明中，三垂線定理的導(dǎo)向性在較復(fù)雜的模型中，對尋找垂面起決定性作用

掌握這些關(guān)鍵詞，我們更容易找到我們所需的必要條件，在問題證明上將更加具有方向性，形成預(yù)判，快速找到證明的路徑，提高解題速度，并有效拓展邏輯思維能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

下面我們以綜合性的距離問題、動態(tài)開放性問題為例，賞析解剖綜合法應(yīng)用中垂直關(guān)系的關(guān)鍵點

3如圖5，四邊形是邊長為2的正方形,△為等腰三角形,=,平面⊥平面,點在上,且⊥平面

圖5

(1)求證:平面⊥平面;

(2)求點到平面的距離

思路分析：判斷哪條直線可能是垂線

鑒于⊥平面的條件，的垂直條件更多，易得出：

⊥且⊥，故⊥平面，得面面垂直

證明如下：

(1)因為⊥平面,且?平面,所以⊥

因為平面⊥平面,直線⊥,

平面∩平面=,?平面,

所以⊥平面,又?平面,從而⊥

因為∩=,,?平面,所以⊥平面,

又因為?平面,故平面⊥平面

步驟:“一找二證三求”,即①找出或作出有關(guān)的距離;②證明它符合定義;③歸結(jié)到某個三角形中計算求出三步都必須清楚地寫出來

垂線的找法分析：到平面的距離，需要找到過且與平面垂直的平面，顯然面不是垂面，因為假設(shè)面是垂面，那么根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，⊥平面，進而⊥，而又有⊥，按此邏輯⊥平面，顯然矛盾同理，面,面都不可能是垂面，故由作垂線的路徑困難此時思考替代點，等距替代點到面的距離即要求的到平面的距離，而此時不管是垂面(平面)還是已知條件中的垂線，都易知是目標(biāo)距離

(2)如圖6，連接交于點,則點是的中點,

圖6

所以點與點到面的距離相等

因為⊥平面,所以的長為點到平面的距離

又因為⊥平面,?平面,所以⊥

因為=,所以△是等腰直角三角形

點評：評估是否垂直，用逆向思維的方法進行排除，也是基于證、作、導(dǎo)、找的技術(shù)推進，進行假設(shè)性的否定，以更加準(zhǔn)確地判斷目標(biāo)垂直關(guān)系

圖7

(1)求證：⊥平面

思路分析：

(1)求⊥平面是個基礎(chǔ)問題，證明垂直于兩條相交直線即可；分析可知與在同一平面中，利用相似三角形可推導(dǎo)出垂直關(guān)系要證⊥(線線垂直)，考慮線面垂直，邏輯上只能證明垂直于所在的平面，即平面，易證

(2)面面垂直的關(guān)鍵點是找垂線，一定一動的垂線找法會更加容易只要找準(zhǔn)定面的一條垂線，平移至動平面(與動平面中的定直線相交生成動平面)在本題中是平面的垂線，沿方向平移至與相交形成垂面

證明如下：

(1)因為-是直棱柱，又⊥底面，?平面，

所以⊥

又因為是棱的中點，=，所以⊥

因為∩=，，?平面，

故⊥平面，

又因為?平面，所以⊥

=2，所以=1

即∠+∠=∠+∠=90°，

所以⊥(平面化的垂直證法)

因為∩=，，?平面，

所以⊥平面

如圖8，取的中點，連接、

圖8

因為、分別為、的中點，

又因為為的中點，

∥，所以∥，且=，

所以四邊形為平行四邊形，所以∥

因為⊥平面，

所以⊥平面

又因為?平面，

所以平面⊥平面

點評：垂直的動態(tài)問題，往往更加具有導(dǎo)向性，面面垂直的關(guān)鍵在于找到面的垂線,而線線垂直證明的方法主要基于線面垂直(或者三垂線定理)，在同平面內(nèi)垂直的證法，更多利用相似、三線合一、勾股定理逆定理、坐標(biāo)系算法(利用解析幾何或者平面向量的垂直關(guān)系)等

垂直體系是綜合法解決立體幾何的重要知識鏈，也是實現(xiàn)思維邏輯性發(fā)展的重要載體教師教學(xué)中要運用知識網(wǎng)絡(luò)深挖各種信息,利用穩(wěn)定 “模型”，尋找關(guān)鍵節(jié)點，探索解題思路及方法教師的教學(xué)要點是呈現(xiàn)思維層次，把多元信息融合，帶領(lǐng)學(xué)生找到關(guān)鍵點，例如垂直關(guān)系,各個方向的證明點都有導(dǎo)向性條件教師引導(dǎo)學(xué)生建立深層的垂直邏輯關(guān)聯(lián)，可以提高他們解決數(shù)學(xué)綜合問題的能力