圖解法用于受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的定量研究

何學(xué)敏，任銀娟，毛巍威，李三龍

(南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

1 受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的基本現(xiàn)象和問題描述

實(shí)驗(yàn)室中通常用波爾共振儀來研究受迫振動(dòng)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可寫出擺輪作受迫振動(dòng)的方程[1]：

(1)

上式中左邊項(xiàng)為擺輪的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，右邊三項(xiàng)依次為彈簧回復(fù)力矩、電磁阻尼力矩和強(qiáng)迫外力矩。J為擺輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ為擺輪振幅，k為彈簧彈性系數(shù)。

(2)

上式中左邊第二項(xiàng)為阻尼項(xiàng)，右邊項(xiàng)為受迫項(xiàng)。由《數(shù)學(xué)物理方法》的知識(shí)可得方程(2)的通解為：

θ=θ1e-βtcos(ωft+α)+θ2cos(ωt+φ0)

(3)

上式中右邊第一項(xiàng)表示阻尼振動(dòng)經(jīng)一段時(shí)間衰減消失；第二項(xiàng)表示強(qiáng)迫外力對(duì)擺輪做功，傳遞能量，使其達(dá)到穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)。

對(duì)(3)式而言，需重點(diǎn)關(guān)注其穩(wěn)態(tài)解，即受迫振動(dòng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的特征---幅頻特性和相頻特性。在解析這兩大特性時(shí)，振幅θ2和相位差φ可表示為：

(4)

(5)

以上即為受迫振動(dòng)物理模型和數(shù)理方程方面的基本描述。

看似復(fù)雜的方程和公式，完全可以簡化處理。整個(gè)實(shí)驗(yàn)研究的物理量不出θ、ω0(T0)、β、ω(T)、φ等五個(gè)，只需系統(tǒng)測(cè)出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，厘清它們與周期(或頻率)間的關(guān)系，找出特征參數(shù)隱含的物理信息，即可對(duì)受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)有較好的理解與掌握。而在此研究過程中，數(shù)據(jù)處理至關(guān)重要。圖解法對(duì)于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析非常實(shí)用，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膱D像能真實(shí)反映和推測(cè)出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律[2]，能擬合得到一些關(guān)鍵物理參數(shù)的精確解[3]，能驗(yàn)證和推理出定理、定律背后的物理內(nèi)涵[4]。

1、家庭方面。在小學(xué)生的成長過程中，家長占據(jù)著非常重要的地位，需要他們發(fā)揮良好模范作用，才能更好的引導(dǎo)小學(xué)生養(yǎng)成良好行為習(xí)慣。但是，部分家長的教育觀念還保持以前傳統(tǒng)的方式，經(jīng)常對(duì)著孩子大吼、嚴(yán)厲批評(píng)，甚至打罵小學(xué)生，致使小學(xué)生出現(xiàn)反叛心理。與此同時(shí)，部分家長非常寵溺自己的孩子，不讓小學(xué)生接觸各種新鮮的事物，也不讓他們自己解決任何問題，從而降低小學(xué)生的心理承受能力，甚至影響小學(xué)生各方面能力提升。

基于此，本文對(duì)自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)進(jìn)行系統(tǒng)研究，利用科研軟件規(guī)范作圖，充分挖掘數(shù)據(jù)圖像的物理意義，得到共振狀態(tài)下的關(guān)鍵信息，以期對(duì)教研人員定性、半定量地研究受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)起到一定的借鑒作用。

2 自由振動(dòng)時(shí)振幅與周期的關(guān)系

理想情況下的自由振動(dòng)指的是振幅不變且無阻尼(β=0)。但實(shí)驗(yàn)上并非如此，用波爾共振儀研究自由振動(dòng)時(shí)，振幅隨著時(shí)間發(fā)生了改變。在自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，擺輪是在轉(zhuǎn)動(dòng)力矩及蝸卷彈簧所產(chǎn)生的回復(fù)力矩共同作用下進(jìn)行的振動(dòng)。其中，回復(fù)力矩用-kθ表示，k是蝸卷彈簧的彈性系數(shù)，理論上是一個(gè)常數(shù)，與扭轉(zhuǎn)的角度無關(guān)。但實(shí)際上，由于制造工藝及材料性能的影響，彈簧k值會(huì)隨著角度的改變而發(fā)生微小的變化，從而造成在不同振幅時(shí)擺輪固有頻率ω0(或固有周期T0)也有變化。這種變化不能忽略，如果簡單地取所有ω0的平均值來進(jìn)行計(jì)算，將會(huì)造成后續(xù)受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中在共振點(diǎn)附近相位差的理論值與實(shí)驗(yàn)值偏差巨大。

顯然，在研究阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征之前，非常有必要對(duì)自由振動(dòng)下擺輪振幅θ與固有周期T0的關(guān)系作清晰的描述。基于此，實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)測(cè)量了自由振動(dòng)下的這兩組數(shù)據(jù)，如表1中所示。

表1 自由振動(dòng)時(shí)擺輪振幅θ與振動(dòng)周期T0的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

由表1可見，自由振動(dòng)下的擺輪振幅θ從一開始的156°逐漸衰減到結(jié)束時(shí)的52°，而對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期T0從1.574s遞增到1.590s。在后文研究受迫振動(dòng)的幅頻特性時(shí)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)共振處的擺輪振幅為144°，查表1中與此振幅對(duì)應(yīng)的自由振動(dòng)周期是1.576s。可簡單計(jì)算出自由振動(dòng)時(shí)固有振動(dòng)周期T0的最大誤差為

(6)

可見，盡管自由振動(dòng)的固有周期在理論上不變，但實(shí)驗(yàn)上卻發(fā)生了最大0.9%的波動(dòng)。為了后續(xù)研究受迫振動(dòng)更加嚴(yán)謹(jǐn)，也考慮到同一臺(tái)實(shí)驗(yàn)儀器所測(cè)數(shù)據(jù)的可比性，再將表1數(shù)據(jù)畫成直觀的圖像形式，如圖1所示。

圖1 自由振動(dòng)擺輪振幅θ與振動(dòng)周期T0之間的關(guān)系

圖1中的黑色實(shí)心方塊(■)表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)，而紅色實(shí)線(-)是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性擬合出的結(jié)果。顯然，理論擬合的結(jié)果較好地契合了實(shí)驗(yàn)變化規(guī)律，可得自由振動(dòng)下擺輪振幅與周期的關(guān)系式：

θ=10429-6525T0

(7)

有了θ與T0的關(guān)系式，在用同一臺(tái)波爾共振儀研究阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征時(shí)，凡是要求提供T0值的，均可通過(7)式精確計(jì)算出來。這種處理方法將在后文分析受迫振動(dòng)的幅頻特性時(shí)得到很好的體現(xiàn)，將有助于共振特征參數(shù)的精確求解。

3 阻尼振動(dòng)中阻尼系數(shù)β的確定

阻尼振動(dòng)是振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)，它不受強(qiáng)迫外力矩作用，即mcosωt=0。研究阻尼振動(dòng)最主要的是得到阻尼系數(shù)，并知道怎樣選擇合適的阻尼檔位，以利于后面的共振參數(shù)分析。

在阻尼振動(dòng)中，電磁阻尼力矩包含一個(gè)重要的因子，即阻尼系數(shù)β，它是通過調(diào)節(jié)阻尼線圈內(nèi)直流電流的大小來改變?chǔ)轮怠榱撕罄m(xù)實(shí)驗(yàn)在共振時(shí)的振幅大些，便于幅頻特性的研究，本實(shí)驗(yàn)選用最小的阻尼1檔來進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)量，得到擺輪作阻尼振動(dòng)時(shí)的振幅數(shù)值θ1、θ2、……、θ10，如表2所列。

表2 阻尼振動(dòng)時(shí)擺輪振幅θ的測(cè)量數(shù)據(jù)(10T=15.849 s)

(8)

對(duì)于0.059 4s-1這樣一個(gè)阻尼系數(shù)，該值是否理想呢？在后續(xù)研究中會(huì)發(fā)現(xiàn)，該阻尼能使受迫振動(dòng)的振幅在共振區(qū)附近顯著下降，在遠(yuǎn)離共振區(qū)阻尼對(duì)振幅則影響不大；幅頻特性的研究將證明阻尼1檔的選擇非常合適。

4 受迫振動(dòng)幅頻特性和相頻特性的研究

在受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，系統(tǒng)所受的力矩有轉(zhuǎn)動(dòng)力矩、回復(fù)力矩、電磁阻尼力矩和強(qiáng)迫外力矩。其中，強(qiáng)迫外力矩對(duì)應(yīng)于儀器上的“強(qiáng)迫力周期”旋鈕，它是通過調(diào)節(jié)強(qiáng)迫力矩周期電位器來改變電機(jī)的轉(zhuǎn)速，即改變強(qiáng)迫外力矩的頻率ω，從而改變電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)周期T。受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)需待振幅穩(wěn)定后記錄強(qiáng)迫力(即電機(jī))的周期T和擺輪振幅θ，同時(shí)用頻閃現(xiàn)象測(cè)量擺輪與強(qiáng)迫力的相位差φ。在該實(shí)驗(yàn)中依次改變強(qiáng)迫力周期，即不斷調(diào)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)速(對(duì)應(yīng)于旋鈕刻度值，單位記為a.u.)，測(cè)出十幾個(gè)點(diǎn)，所得數(shù)據(jù)如表3所示。

研究受迫振動(dòng)，最重要的就是澄清θ、φ與ω/ω0之間的關(guān)系，即幅頻、相頻特性?；陉P(guān)系式(4)和(5)，以表3中ω/ω0的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，分別以θ和φ的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，利用Origin科學(xué)作圖，可得受迫振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性曲線。

表3 受迫振動(dòng)幅頻和相頻特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在圖2所示的幅頻特性曲線中，擺輪振幅θ是隨著頻率比值ω/ω0先增后減，且在ω/ω0=1.00處達(dá)到最大值。由紅色實(shí)線擬合出的結(jié)果可以看出，當(dāng)電機(jī)頻率ω與系統(tǒng)固有頻率ω0一致時(shí)，擺輪發(fā)生共振，共振振幅θr=144°.由表1可以查出，與擺輪振幅144°對(duì)應(yīng)的固有振動(dòng)周期T0是1.576s，則可得系統(tǒng)固有頻率ω0(=2π/T0)為3.986 8s-1.

圖2 受迫振動(dòng)時(shí)的幅頻特性(θ～ω/ω0)曲線.

(9)

(10)

上述兩式說明，β趨近于0時(shí)，ωr接近于ω0，θr可達(dá)無窮大。當(dāng)然這只是理想上的結(jié)果，實(shí)際情況就是，阻尼系數(shù)β越小，共振時(shí)強(qiáng)迫力的圓頻率越接近系統(tǒng)固有頻率，振幅θr也越大。由前文算得的β=0.059 4s-1和ω0=3.986 8s-1可計(jì)算出共振圓頻率ωr=3.985 9s-1.可見，此處的ωr和ω0已經(jīng)非常接近，相對(duì)誤差只有0.023%，說明前文用阻尼1檔來進(jìn)行阻尼振動(dòng)的研究使得后面受迫振動(dòng)時(shí)的共振特性達(dá)到了最理想的效果。

(11)

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圖3 受迫振動(dòng)時(shí)的相頻特性(φ～ω/ω0)曲線

5 結(jié) 語

基于波爾共振儀所測(cè)的自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合出擺輪振幅與系統(tǒng)固有周期的關(guān)系θ=10429-6525T0；結(jié)合共振特征參數(shù)，發(fā)現(xiàn)固有振動(dòng)周期T0的最大誤差為0.9%?；谧枘嵴駝?dòng)和幅頻特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別利用逐差法和圖解法求出阻尼系數(shù)β為0.059 4s-1和0.061 0s-1，二者相對(duì)誤差只有2.7%。通過Origin軟件科學(xué)作圖得到受迫振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性曲線；圖解法算出的共振圓頻率ωr=3.985 9s-1與系統(tǒng)固有頻率ω0=3.986 8s-1非常接近，相對(duì)誤差只有0.023%，說明選用最小的阻尼1檔來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是理想的；解析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電機(jī)頻率與系統(tǒng)固有頻率一致時(shí)，擺輪發(fā)生共振，振幅θr達(dá)144°，擺輪與強(qiáng)迫力的相位差φr為π/2，印證了受迫振動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)解。因此，用圖解法對(duì)《受迫振動(dòng)》實(shí)驗(yàn)進(jìn)行定量分析與計(jì)算是可行的、成功的，有助于深層次理解數(shù)據(jù)背后的物理內(nèi)涵。