基于單擺實驗利用霍爾元件測量空氣的動力學(xué)粘度

馬 果，李 超，朱振鵬，劉滋雨，黃駿文，張澳運

(南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 南陽 430074)

流體區(qū)別于固體最大的特點在于流動性，不同流體流動性的區(qū)別來源于流體內(nèi)部黏滯力的差異。對于牛頓流體而言，流體內(nèi)部的黏滯力與不同流層之間速度的梯度成正比，比例系數(shù)被稱為動力學(xué)粘度，或者簡稱為黏性系數(shù)，常用符號η來表示。流體的黏性系數(shù)除了因材料而異之外還比較敏感地依賴溫度，液體的黏滯系數(shù)隨著溫度升高而減少，氣體則反之，大體上按正比例的規(guī)律增長。研究和測定流體的黏滯系數(shù)，不僅在材料科學(xué)研究方面，而且在工程技術(shù)以及其他領(lǐng)域有很重要的作用。常見的測量液體動力學(xué)粘度的方法有毛細(xì)管法、落球法[1,2]、轉(zhuǎn)筒法等，大學(xué)物理實驗室常見的落球法由于實驗原理的限制適用于測量黏滯系數(shù)較大的液體，實驗結(jié)果也存在較大的人為誤差。我們希望不借助現(xiàn)有的黏性系數(shù)測量儀器，直接從根本的物理規(guī)律出發(fā)，依靠最簡單的單擺模型，完成對空氣等不同流體黏性系數(shù)的測量。

1 實驗原理

簡諧振動是最基本也是最簡單的一種機(jī)械振動[3,4]，是實際物體運動的理想化近似。以大學(xué)物理實驗中常見的單擺為例，單擺在小角度近似下可以認(rèn)為是簡諧振動，如果考慮空氣黏滯力的作用，則單擺的運動應(yīng)該屬于近似的阻尼振動。考慮空氣阻力情況下的三線擺運動亦是如此。除此之外，大學(xué)物理實驗中聲速的測量過程中明顯可以觀察到隨著距離的增大聲波振幅的下降，這也給我們提供了一種測量空氣黏滯系數(shù)的途徑?？紤]一單擺運動，使單擺在空氣中做阻尼運動(此時空氣阻力不能忽略)。參照小球在流體中所受的黏滯阻力，其中：r為小球半徑；v為小球運動速度；η為流體黏滯系數(shù)。按所設(shè)定的水平向右為正方向，可得單擺運動中所受空氣的黏滯阻力，則該小球做阻尼振蕩的方程可以表示為[5]：

α=α0e-δtcos(ωt+φ)

(1)

α=α0e-δnT

(2)

即相鄰周期最大振幅滿足指數(shù)衰減，兩邊同時取對數(shù)更方便數(shù)據(jù)的擬合，即在實際的數(shù)據(jù)處理過程可以采用如下對數(shù)的形式：

lnα=-δnT+lnα0

(3)

上式即為我們實驗中對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時所選用的擬合公式。

2 實驗結(jié)果的蒙特卡洛模擬

為了加深對實驗結(jié)果的理解，同時為了直觀地感知空氣黏滯系數(shù)大小對振幅衰減的影響，我們利用C++軟件對該現(xiàn)象進(jìn)行蒙特卡洛模擬，在具體的模擬過程中，參數(shù)的設(shè)置根據(jù)我們實驗裝置的真實情況，具體如下：繩長取0.96 m，小球的半徑取0.01 m，小球質(zhì)量為0.01 kg，不同溫度下空氣的動力學(xué)粘度理論值[6]采用以下數(shù)值。選取三組不同溫度下的動力學(xué)粘度為模擬對象：0 ℃時空氣的動力學(xué)粘度η1=1.708×10-5Pa·s；18 ℃時空氣的動力學(xué)粘度η2=1.827×10-5Pa·s；40 ℃時空氣的動力學(xué)粘度η3=1.904×10-5Pa·s；通過模擬，我們得到如圖1所示的結(jié)果。

(a)

從圖1(b)為可以看出，在我們選取的溫度范圍內(nèi)，空氣動力學(xué)粘度的變化對小球阻尼振動過程中振幅變化的影響不大，因此能否在實驗中區(qū)分溫度對振幅的影響完全取決于實驗數(shù)據(jù)的精度。對于我們的實驗而言，暫且不考慮不同溫度下的動力學(xué)粘度的變化，只在室溫下進(jìn)行動力學(xué)粘度的測量。

圖1不同溫度下，磁性球做阻尼擺動過程中，振幅隨時間的變化關(guān)系。其中上圖為自然坐標(biāo)下的結(jié)果，下圖為y軸取對數(shù)之后的結(jié)果。

3 實驗平臺的搭建

在實驗中，我們需要對實驗平臺進(jìn)行搭建，實驗的核心任務(wù)是測量振幅隨時間的變化關(guān)系，采用普通的方法很難實現(xiàn)。為了精確的測量磁性小球任意時刻的振幅，我們在磁性小球的正下方放置一個霍爾傳感器，如圖2所示。

圖2 實驗裝置的示意圖

圖3 不同擺角下，磁場強(qiáng)度值

這樣一來，小球在擺動過程中，當(dāng)它擺動到不同擺角的時候，霍爾元件測得的磁場強(qiáng)弱會有一些差異。換句話說，磁性小球不同擺角對應(yīng)霍爾元件不同的磁場測量值。實驗中則可以通過霍爾元件測量小球擺動過程中磁場的變化，來確定小球所處的位置。為此，我們需要首先對不同擺角所對應(yīng)的磁場強(qiáng)度進(jìn)行刻度。在刻度的時候，需要用選擇使用相同長度的硬桿來代替細(xì)繩，使用機(jī)械轉(zhuǎn)軸來控制不同的轉(zhuǎn)角，利用單片機(jī)程序來控制機(jī)械轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動，在不同擺角下利用霍爾元件進(jìn)行磁場強(qiáng)弱的刻度，并且利用單片機(jī)程序?qū)y量結(jié)果記錄為文本文檔保存于電腦上。具體刻度的結(jié)果如圖3所示。

通過圖3可以清晰地看出，擺角越小，霍爾元件測得的磁場越強(qiáng)，這和我們的預(yù)期是一致的。磁性小球在兩側(cè)擺角大小相同的位置，磁場的強(qiáng)度近似呈對稱性的分布，但是有略微的差異，這和霍爾元件測量磁場的方向性有關(guān)。為了得到擺角與磁場強(qiáng)弱的對應(yīng)關(guān)系，我們選擇最高冪次為8的多項式對其進(jìn)行擬合，擬合方程為：

(4)

下表1為最佳擬合參數(shù)的具體數(shù)值，這些數(shù)值在后期的處理中會用到，故列表如下。

表1 多項式擬合的結(jié)果

圖3不同擺角位置霍爾元件對磁場強(qiáng)弱的刻度結(jié)果，黑色點為實驗數(shù)據(jù)，紅色線為多項式擬合的最佳曲線。

4 實驗數(shù)據(jù)及處理

刻度結(jié)束以后，將連接磁性小球的細(xì)桿換成相同長度的細(xì)繩，選擇小于5°的初始擺角使其自由擺動，此時仍然用單片機(jī)編程記錄下小球在擺動過程中霍爾元件測量到的磁場強(qiáng)度，進(jìn)而可以得到小球擺角與時間的變化關(guān)系。實驗中測得實驗室的溫度為9 ℃，霍爾元件的計數(shù)周期為0.02s，計數(shù)時間設(shè)置為480s?；魻栐y得的磁場變化如圖4所示。

圖4 磁性小球自由擺動時磁場強(qiáng)度的測量結(jié)果

盡管圖4是未經(jīng)處理的原始數(shù)據(jù)，但是，從圖中也可以清晰地看出，霍爾元件測得的磁場隨著時間呈現(xiàn)周期性的變化，最上方的包絡(luò)線為一條水平的直線說明此時細(xì)繩處于豎直方向(即擺角為0的位置)，霍爾元件測得的磁場為極大值；下方可以明顯看出有兩個不同的包絡(luò)線，分別對應(yīng)小球上擺到左右兩邊最大角度時的磁場測量結(jié)果。并且隨著時間的增加，霍爾元件測得的磁場呈增大趨勢。這是因為：實驗中霍爾元件被放置于小球正下方，因此擺角越小，霍爾元件測得的磁場越強(qiáng)。所以該現(xiàn)象正好說明隨著時間的增加小球所能上擺的最大的角度逐漸變小。圖4中如此多的數(shù)據(jù)并非都是我們需要的，根據(jù)(3)式可知，空氣的動力學(xué)粘度只和振幅的衰減有關(guān)，即只取決于圖4中下方的包絡(luò)線上的數(shù)據(jù)。因此在最終數(shù)據(jù)處理中，我們選擇最下方包絡(luò)線上的若干點為代表進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

分析中，在最下方的包絡(luò)線上選擇若干數(shù)據(jù)樣本；然后，利用前面擬合得到的函數(shù)關(guān)系式(4)，反解得到角度的大小，結(jié)果如圖5中黑色點所示。

圖5 挑選得到的數(shù)據(jù)樣本擬合結(jié)果

上圖5中黑色點表示從圖4最下方包絡(luò)線上挑選的數(shù)據(jù)樣本，利用函數(shù)關(guān)系式(4)將磁場與時間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為角度隨時間的關(guān)系之后得到的數(shù)據(jù)樣本，從圖中可以清楚地看到，在y軸取對數(shù)坐標(biāo)的情況下，數(shù)據(jù)點呈現(xiàn)非常好的線性關(guān)系，對該數(shù)據(jù)樣本利用如下所示的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合：

y=e-δt+b

5 結(jié) 語

根據(jù)我們實驗得到的結(jié)果，可以看出空氣的動力學(xué)粘度測量值和理論值相比大概差了一個數(shù)量級。盡管如此，相比同類實驗結(jié)果[3]還是要好很多。對于這樣的實驗結(jié)果，其實也相對容易理解：因為影響小球擺動過程中振幅衰減的因素除了空氣的動力學(xué)粘度以外還有很多，如繩子內(nèi)部的摩擦損耗，繩子頂端固定位置的能量損失等等，我們測得的結(jié)果其實是多種因素作用下的平均效果。如果希望利用該方法得到更好的測量結(jié)果，則可以測試其它流體，比如水，因為相對空氣而言，水的動力學(xué)粘度就大一些，相比其它因素來講，動力學(xué)粘度對振幅的影響就顯得更為顯著一些。