HPM教學實踐對高中教師HSCK影響的實證研究
——以三角學序言課的教學為例

■齊春燕

一、研究背景

早在19 世紀， 數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系已經(jīng)受到歐美數(shù)學家和數(shù)學教育家們的關注。1972年，在英國?？巳卮髮W召開的第二屆國際數(shù)學教育大會上， 數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics， 簡稱HPM）成立， 該組織1976年開始隸屬于國際數(shù)學教育委員會。 自此，數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系成了數(shù)學教育的重要學術領域之一， 我們通常也用HPM 來指代該學術領域本身。 近年來，HPM 研究領域中教師專業(yè)發(fā)展的研究越來越引起了HPM 研究者的關注[1]。 越來越多的中小學一線教師進行了數(shù)學史融入課堂教學的實踐活動（簡稱HPM 教學實踐）。 學習數(shù)學史和HPM 教學實踐對教師的專業(yè)知識提升起到了促進作用[2]。 教師的專業(yè)知識可由美國學者Ball 提出的教師教學所需要的知識（MKT）來體現(xiàn)，其中“專門內(nèi)容知識（SCK）”應該居于核心地位，體現(xiàn)的是教師厚實的數(shù)學學科知識，是對數(shù)學知識的深刻理解，專門內(nèi)容知識對教師教學所需要知識的其他五個方面起著“錨定”的作用[3]。 通過學習數(shù)學史， 教師的專門內(nèi)容知識得到了豐富，這部分知識成為基于數(shù)學史的專門內(nèi)容知識 （History-based Specialized Content Knowledge， 簡 稱HSCK）。 雖然經(jīng)過HPM 教學實踐后中小學教師都認為對自己的HSCK 有影響，但對HSCK 有怎樣的影響，影響的原因是什么，HPM 教學實踐促進教師HSCK 發(fā)展的模型是什么，這些問題目前還缺乏深入研究，這里將以三角學序言課的教學為例，探索數(shù)學史對高中數(shù)學教師專門內(nèi)容知識的影響。

二、理論基礎

自Biggs Ball 團隊通過扎根理論賦予了SCK內(nèi)涵后，學術界對SCK 的研究也越來越多。 有學者探討為SCK 組成成分和評價標準， 并分別對這四部分劃分了五級水平[4]，也有學者從數(shù)學史的視角研究了數(shù)學史對職前教師SCK 的影響[5]。 但是從專門內(nèi)容知識的視角，探討數(shù)學史對數(shù)學教師教學影響的研究還不多，鑒于專門內(nèi)容知識的重要性和數(shù)學史對專門內(nèi)容知識的發(fā)展有促進作用，有必要對數(shù)學史和教師專門內(nèi)容知識的聯(lián)系進行研究分析。

基于HPM 理論、SOLO 分類法和SCK 理論并通過文獻分析和實證研究，研究者提出了通過學習數(shù)學史對教師專門內(nèi)容知識改變的概念——基于數(shù)學史的專門內(nèi)容知識（HSCK）并構建了相關概念框架[6]。

人教A 版高中必修4 和必修5 中有關三角學的內(nèi)容包括：三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形。這部分內(nèi)容是高中階段重要的學習內(nèi)容，對進一步深層次的學習起著關鍵性作用，三角學內(nèi)容在其他方面也有廣泛的應用。然而，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有很多高中教師和學生對三角學內(nèi)容存在著很多疑惑，比如初中學習了三角形，高中為什么還要學習，為什么要把角推廣到任意角，引入弧度制的必要性是什么，為什么在學習三角函數(shù)時要引進單位圓，坐標系的引入起到了什么作用，學習三角函數(shù)的目的是什么以及為什么要用三角函數(shù)研究周期現(xiàn)象等，這說明在對三角學學習的必要性和對三角學概念、公式及定理的理解上存在著障礙。

為了使學生對三角學內(nèi)容有個總體的把握，在講這部分內(nèi)容時一定要上好序言課。 通過序言課，讓學生知道為什么要學這部分內(nèi)容和學習什么內(nèi)容以及如何學習這部分內(nèi)容[7][8][9]。 要搞清楚為什么要學三角學內(nèi)容，必須把三角學這部分內(nèi)容的有關歷史脈絡搞清楚。 那么HPM 視角下的三角學序言課對高中數(shù)學教師專門內(nèi)容知識有怎樣的影響呢？下面對研究的過程和結果進行分析。

三、研究過程與結果

（一）研究方法與過程

本研究的目的是要探究HPM 教學實踐對高中數(shù)學教師專門內(nèi)容知識的影響， 主要是分析HPM教學實踐前后高中數(shù)學教師HSCK 的水平是怎樣的， 影響教師專門內(nèi)容知識水平變化的原因等問題，故本研究采用質(zhì)性與量化相結合的方法進行。

在研究對象方面， 基于溝通和研究的便利，我選擇了zj、yx、sh 和gd ?。ㄊ校┑?2 名教師作為研究對象。這12 名教師都是自愿參加案例研究的，有6 名男教師，6 名女教師，在本研究中用T01～T12 表示12 名教師。在本研究中，研究者全程參加了教師備課、授課的過程，獲得了研究的第一手資料。

研究過程分為六個步驟：

第一步，要求高中數(shù)學教師完成“三角學內(nèi)容的前測”問卷，問卷內(nèi)容是根據(jù)HSCK 概念框架編制的。

第二步，研究者向各位教師介紹了三角學的歷史發(fā)展過程，并選擇了12 篇有關HPM 理論的文獻和28 篇有關三角學知識的文獻與教師分享。 學習這些文獻的作用是：首先，通過學習HPM 理論文獻[9]，教師對數(shù)學史融入數(shù)學教學的意義、目的、價值和融入方式進行初步了解，再通過學習有關三角學知識中概念、公式和定理的歷史發(fā)展過程對三角學知識有更深的理解， 然后通過學習已有HPM 案例的教學設計對具體的數(shù)學史融入教學過程有一個初步了解，另外，還向教師推薦了《中學數(shù)學中的數(shù)學史》和《數(shù)學文化透視》作為教學參考用書。

第三步，在學習了三角學的發(fā)展歷史后，高中數(shù)學教師結合自己的教學經(jīng)驗對 “HPM 視角下的高中三角學序言課”進行教學設計并在本校選擇適當?shù)臅r間進行教學實施。

第四步，教學后，要求授課教師完成“三角學內(nèi)容的后測”問卷，問卷內(nèi)容是根據(jù)HSCK 概念框架編制的。

第五步，研究者在他們授課后進行了半結構式訪談，目的是進一步驗證12 名教師在授課過程中HSCK 的具體體現(xiàn)。 訪談錄音都進行了逐字轉錄。

第六步，在本研究中，12 名教師授課后都進行了教學反思，從他們的教學反思中輔助分析HPM教學實踐對教師HSCK 的影響。

（二）研究結果

數(shù)學史融入教學實踐對教師的HSCK 發(fā)展有一定的促進作用， 但從同課異構課的分析中發(fā)現(xiàn)，教師對數(shù)學史料的選擇、融入方式等方面都存在差異，體現(xiàn)了教師不同水平的HSCK。 下面就對12 名教師HPM 視角下的高中三角學序言課教學實踐的分析來研究HPM 實踐對教師HSCK 的影響。 表1展示了12 名教師HSCK 前后測平均水平的變化趨勢和HPM 教學實踐的分析結果。

表1 12 名教師HSCK 水平和實踐評價分析表

通過對12 名教師前后測的水平分析可看出教師在經(jīng)歷了把數(shù)學史融入教學實踐后各知識水平的變化，通過對教學課堂的觀察和課后訪談可輔助了解教師的HPM 教學實踐對教師產(chǎn)生的影響。

從表中可看出，T01 和T12 兩名教師HSCK 前后測的總平均水平最高，T09 教師有明顯的后退，其他教師的變化不是很明顯；T12 教師在教學實踐中把數(shù)學史融入教學過程達到了很好的效果；T02、T06 和T07 都是教學經(jīng)驗豐富的教師，能在實踐的四個方面進行挖掘；T01 和T08 在選擇史料方面掌握得較好，但他們都沒有HPM 的理論，在教學實踐中對數(shù)學史的融入、 方式和價值方面都有待提高，他們獲得了總分7 分；T11 和T05 兩名教師把HPM課堂理解成了講數(shù)學史的課，是純粹地講三角學的歷史發(fā)展過程， 但憑著豐富的教學經(jīng)驗獲得了5分； 而T03、T04 和T10 首先對三角學歷史的理解上不夠深刻， 其次從沒有聽說過HPM 的理論，在教學過程中只獲得了4 分。

由以上的分析可知，通過HPM 教學實踐，T03、T04、T07、T08 四名教師的HSCK 水平有一定的提高，而T01、T02、T12 三名教師的HSCK 水平基本保持不變， 但T05、T06、T09、T10、T11 五名教師通過HPM 教學實踐后的HSCK 水平反而有所降低 （如圖1 所示）。 這說明HPM 教學實踐促進教師HSCK的發(fā)展并不是成正向關系的，通過HPM 教學實踐，高中教師的HSCK 有提高、不變和降低三種情況。下面對產(chǎn)生這些結果的原因進行分析。

圖1 12 名教師HPM 教學實踐與教師HSCK 前后測水平間的關系

1.教師通過HPM 教學實踐后HSCK 水平提高的原因

通過HPM 教學實踐HSCK 水平提高的四名教師都具有豐富的教學經(jīng)驗，其中T03 和T04 的教齡在10年以上，T07 和T08 的教齡在20年以上。 通過訪談了解到， 這四名教師對數(shù)學史都比較感興趣，但以前從沒有接觸過HPM 理論，不知道如何把數(shù)學史料與教學內(nèi)容有機地結合起來，通過這次教學實踐對HPM 理論和實踐有了初步的了解。

T03 教師認為數(shù)學史讓自己對三角學的前后知識框架有了全面、深入的認識，有了深入了解數(shù)學史的興趣，理解了三角與圓在三角函數(shù)中的作用和三角函數(shù)發(fā)展的必要性；表示對數(shù)學史中的各種證明方法會根據(jù)學生情況挑選適當方法去進行教學，如兩角和差公式教學中，對于幾何基礎較好、思考能力較強的學生會更多地介紹一些方法；在今后的教學中會考慮如何更好地將數(shù)學史自然且以學生容易接受的方式融入課堂，讓數(shù)學史更好地服務于課堂教學。

T04 教師認為數(shù)學史有助于幫助自己解釋引入弧度制的必要性；通過學習數(shù)學史，知道了正弦定理的不同證明方法，因為知道了歷史上多種的證明方法，有利于在課堂中根據(jù)學生的基礎選擇合適的證明方法進行講解，在介紹正弦定理時，就利用了天文學上對流星測量的歷史背景和歷史實例。

T07 認為了解了數(shù)學思路發(fā)生發(fā)展的過程，發(fā)現(xiàn)很多時候?qū)W生的錯誤與歷史錯誤類似，學生的錯誤和認知障礙與數(shù)學史上的錯誤和認知障礙是有關聯(lián)的，了解歷史上的重要時刻可以為教師提供預測學生認知障礙的工具。 通過數(shù)學史，教師可以了解歷史上出現(xiàn)過的、課堂上可能會再現(xiàn)的困難或障礙，從而在課堂中更有效地為學生解惑，這樣教師能站在知識產(chǎn)生的源頭的高度對教材進行適當處理，構建符合學生認知圖式和適應學生心理的數(shù)學情境，適度地重視知識的發(fā)展和發(fā)生的過程，讓學生在探究活動中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，體現(xiàn)殊途同歸的奧妙。

T08 認為兩角和差的正弦公式推導，可考慮在教材中的向量的方法基礎上，用托勒密定理等方法與學生交流。其指出有些史料的歷史時間順序不能前后顛倒，否則會作出錯誤解析。 并反思自己的教學，認為在融入數(shù)學史的重構式設計上，對三角學發(fā)展史的文字材料呈現(xiàn)可做更好的改進。

2.教師通過HPM 教學實踐后HSCK 水平不變的原因

通過HPM 教學實踐HSCK 水平基本不改變的三名教師都是學校的骨干教師，具有豐富的教學經(jīng)驗，他們的HSCK 前后測和實踐水平都比較高。 其中T01 和T02 的教齡在10年以上，T12 的教齡自己在20年以上，是名特級教師。 通過訪談了解到，這三名教師在教學過程中都把數(shù)學史融入教學過程中，但融入的方式、選取史料的方式等有不同，T01 是采用附加式和復制式，T02 選取的數(shù)學史料是趣味性比較強的，T12 曾經(jīng)主持過有關教學和教師教學知識的項目，對有效教學和教師專業(yè)發(fā)展有一定的研究。 這三名教師對HPM 教學都比較感興趣，但以前從沒有接觸過HPM 理論，T12 是在2017年7月HPM 暑期會議上聽了HPM 專家的報告后激起了對HPM 教學的興趣。

T01 教師說通過設計主線， 串聯(lián)知識框架，靈活融入，這樣使知識的過渡更自然，學生更容易接受，通過數(shù)學史突破的難點在于使得三角函數(shù)與周期性的聯(lián)系變得合理自然。

T02 教師認為數(shù)學史有助于幫助自己解釋三角學函數(shù)的應用， 如測地球與月球之間的距離，知道了正弦定理的不同證明方法，因為知道了歷史上多種的證明方法，有利于在課堂中根據(jù)學生的基礎選擇合適的證明方法進行講解；學習正、余弦定理可借助日、地測量法引入；在課堂中提出了弧度制和正、余弦定理，目的是讓學生意識到我們現(xiàn)在學習的知識源于生產(chǎn)、生活、科研的需要。

T12 教師在學習數(shù)學史后進行序言課設計時指出，主要以時間為軸，抓住歷史發(fā)展的重大事件和關鍵人物，用故事的形式設計這節(jié)課，序言課或章首課應該最大限度和數(shù)學史聯(lián)系，數(shù)學史最大的價值是能回答歷史上的“為什么”，如三角恒等式的由來等（“為什么”可以分為邏輯上的“為什么”和歷史上的“為什么”）。

3.教師通過HPM 教學實踐后HSCK 水平降低的原因

通過HPM 教學實踐HSCK 水平降低的五名教師中有一名教齡是6年的教師，其他四名都是具有15年以上教齡的教師。 這五名教師在教學過程中都是把數(shù)學史以附加式融入課堂中，T11 完全講的就是一節(jié)三角學的數(shù)學史課。

T05 教師認為利用阿布·韋法的方法有助于幫助自己理解和記憶公式，利用托勒密定理有助于引出同角三角關系式和兩角和正余弦公式；學習了數(shù)學史，有助于了解學生，因為學習古人思想發(fā)展的過程，可幫助老師站在知識產(chǎn)生的源頭的高度對教材進行適當處理，構建符合學生認知圖式和適應學生心理的數(shù)學情境，重視知識發(fā)展和發(fā)生的過程，讓學生在探究活動中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，體會殊途同歸的奧妙。

T05 老師利用公元3 世紀《數(shù)學匯編》中的帕普斯模型，從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩角差的正余弦關系，讓數(shù)學史的內(nèi)容更自然地融入，讓學生感受到三角學的歷史發(fā)展過程。數(shù)學史為教師提供了豐富的教學素材， 教師可以從數(shù)學史料中汲取養(yǎng)料，獲取最佳教學方法。但在豐富的數(shù)學史料面前怎樣選擇合適的素材融進課堂，對于沒有HPM 經(jīng)驗的教師來說是很困難的。

T06 認為自己理解還很不夠，有些問題還說不清楚。比如，現(xiàn)行的三角體系大約是何時形成的（主要是三角比的定義是何時出現(xiàn)的）？在此之前，三角知識講些什么？所用公式都是借助于平面幾何圖形證明的嗎？

T06 認為數(shù)學史雖然有助于對公式不同表征的轉化，但實際教學中很少用，一是知道太少，二是與教學內(nèi)容不容易“無縫”對接。

T09 教師說導入及授課中間插入數(shù)學史后，三角學的知識脈絡更清晰了。

T10 教師認為對自己很有幫助，之前在講三角學的相關內(nèi)容時總覺得學生學得很僵硬，都是按照老師的要求生搬硬套，在數(shù)學史的引入和恰當?shù)某薪又?，可以讓某些環(huán)節(jié)更自然，這時學生是自發(fā)吸收了，而不是老師強制輸入的。例如弧度制、任意角三角函數(shù)的定義，在了解數(shù)學史之后，站在函數(shù)的角度去講授這門課，而不是單純地覺得是銳角三角函數(shù)的推廣，甚至連自己都納悶為什么要這么定義。

四、研究結論

通過研究，發(fā)現(xiàn)HPM 教學實踐對高中數(shù)學教師基于數(shù)學史的專門內(nèi)容知識有一定影響，但是對不同的教師影響程度不一致。 本研究的基本結論是：

1.教師通過HPM 教學實踐后，HSCK 水平提高的原因是：

（1）教師對研究者分享的數(shù)學史料能按照史料適切性的五項原則挑選出與教學內(nèi)容緊密相連的材料。

（2）能認真學習已有HPM 案例，對“HPM 視角下的高中三角學序言課”的教學設計進行了多次討論和實施。

（3）實踐后，教師能積極進行課后總結，反思數(shù)學史料選擇是否合適、史料融入的方式是否恰當?shù)取?/p>

2.教師通過HPM 教學實踐后，HSCK 水平?jīng)]有提高的原因是：

（1）對研究者分享的數(shù)學史料能認真學習并按照自己對史料的理解挑選出與教學內(nèi)容緊密相聯(lián)系的材料。

（2）學習已有HPM 案例，研究HPM 案例中數(shù)學史融入的方式和數(shù)學史在教學環(huán)節(jié)中所起的作用。

（3）教師對HPM 理論理解不深刻，在HPM 教學實踐中沒有做到把數(shù)學史料自然地融入教學過程中，達不到史料與教學內(nèi)容的有機結合；HPM 教學實踐經(jīng)歷太少。

3.教師通過HPM 教學實踐后，HSCK 水平降低的原因是：

（1）教師對數(shù)學史的認識有偏差，認為數(shù)學史就是講數(shù)學家的故事。

（2）不能把概念的歷史發(fā)展和歷史上定理的證明方法有機地融入課堂中。

（3）對HPM 理論了解不多。

（4）沒有經(jīng)歷過HPM 教學實踐實施的過程。

五、啟示

從以上分析可以看出，教師把數(shù)學史融入教學中需要經(jīng)歷四個主要的過程：了解HPM、理解HPM、經(jīng)歷HPM 和實施HPM。了解HPM 是指教師通過聽有關HPM 的報告， 學習有關HPM 的書籍，對HPM 產(chǎn)生了興趣，對HPM 有了一些了解；理解HPM 是指幫助教師學習數(shù)學史料并進行充分理解，選出適當?shù)臄?shù)學史料；經(jīng)歷HPM 是指教師通過學習HPM 案例，觀摩HPM 課堂，對HPM 進行了解學習的過程； 實施HPM 指的是教師對選定的主題進行數(shù)學史融入教學過程的設計和實施的過程。

圖2 HPM 實踐促進教師HSCK 發(fā)展的模型

不同的教師可能經(jīng)歷不同的過程，如第一次參加HPM 教學實踐的教師要經(jīng)歷這四個過程：并不止一次在理解HPM、經(jīng)歷HPM 和實施HPM 過程中進行循環(huán)；有了HPM 經(jīng)歷的教師可能在實施過程中進行自身循環(huán)。每一次的循環(huán)都應該是在研討和反思中進行的，研討也應該是在學科組（校內(nèi)）、研究組團隊（不同學校）和研究共同體（一線教師、教研人員和高校研究者）中進行的。

通過該模型可以分析教師教學實踐后產(chǎn)生的不同效果，如T12 老師教授“HPM 視角下的高中三角學序言課”的過程是這三個過程的循環(huán)，他們都經(jīng)歷了理解HPM、經(jīng)歷HPM 和實施HPM 的過程；但zp 的四名教師以前沒有接觸過HPM， 在準備“HPM 視角下的高中三角學序言課”前只是聽了一個有關HPM 的報告，他們經(jīng)歷了理解數(shù)學史料和實施的過程，所以相比較而言這四名教師對HPM缺少一些理解。