一道教材習(xí)題引發(fā)的深度思考

湖北省宜昌市夷陵中學(xué)(443000) 楊鄭國 王寶玲 張雅思

1 問題提出

具有思考價值的數(shù)學(xué)問題是激活學(xué)生高階思維的源泉,也是開展深度學(xué)習(xí)的載體.人教A 版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)”(以下統(tǒng)稱“新教材”)必修第一冊第141 頁的“拓廣探索”中有一道習(xí)題令筆者記憶猶新.

題目比較下列各題中三個值的大小:

(2)log23,log34,log45.

新教材的習(xí)題共有“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合運用”、“拓廣探索”三個層次,其中“拓廣探索”中的習(xí)題具有探究性、創(chuàng)造性和開放性.這是新教材中新增的一道比較對數(shù)值大小的習(xí)題,其中底數(shù)、真數(shù)都不相同.習(xí)題形式簡潔,指向明確,內(nèi)涵豐富,入口很寬,能很好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維.現(xiàn)將該題的探究過程與同行交流,以期拋磚引玉.

2 解法探究

解法1

則log34>log45,所以log23>log34>log45.

評注通過換底公式把問題轉(zhuǎn)化為比較同底數(shù)的對數(shù)值大小的問題,在比較與3 的大小時進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆趴s,運用基本不等式將乘積ln 3 ln 5 化為一個具體對數(shù)的平方的構(gòu)造.本題也可以用作商法進(jìn)行比較.

解法3當(dāng)a > 1 時, 函數(shù)y = logax 的增長速度越來越慢, 故log23-log22 > log24-log23, 當(dāng)b > a > 1時, 在區(qū)間[m,n] 上函數(shù)y = logax 的變化量大于函數(shù)y = logbx 的變化量,則log24-log23 > log34-log33,故log23-log22>log34-log33,則log23>log34,同理可得log34>log45,所以log23>log34>log45.

評注借助對數(shù)增長的變化規(guī)律來解決問題,也是解法2 的幾何解釋,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.

解法4令f(x) = logx(x + 1),x > 1, 由換底公式,得由x > 1,知f′(x) < 0,則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(2)>f(3)>f(4),即log23>log34>log45.

評注觀察三個對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)的特點,構(gòu)造函數(shù),以導(dǎo)數(shù)為工具研究單調(diào)性,借助函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.

評注運用二分法的思想,巧妙地尋找中間值,并借助中間值來比較大小.

解法6

所以log23>log34>log45.

解法82x= 3,3y= 4,4z= 5, 由2x+ 1 = 3y=(2 + 1)y> 2y+ 1, 則x > y, 同理可得y > z, 所以log23>log34>log45.

評注通過指對互化,借助二項式定理進(jìn)行放縮,從相等關(guān)系中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系.

3 引申拓廣

3.1 結(jié)論推廣

推論1設(shè)n ∈ N*, 且n > 1, 則logn(n + 1) >logn+1(n+2),即logn+1n

證明

則logn(n+1)>logn+1(n+2).

推論2設(shè)a>b>1,m>0,則logba>logb+m(a+m),即logab

證明

推論3設(shè)0 < b < a < 1,m > 1, 則logba >logb+m(a+m),即logab

證明

3.2 變式探究

比較下列對數(shù)值的大小:

(1)log0.20.3,log0.30.4,log0.40.5;

(2)log36,log3.16.1,log3.26.2;

(3)log34,log45,

(4)log35,log58,log711.

3.3 鏈接高考

(2013年新課標(biāo)II 卷理科第8 題) 設(shè)a = log36,b =log510,c=log714,則( )

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

(2017年新課標(biāo)I 卷理科第11 題)設(shè)x,y,z 為正數(shù), 且2x=3y=5z,則( )

A.2x<3y <5z B.5z <2x<3y

C.3y <5z <2x D.3y <2x<5z

(2020年全國III 卷理科第12 題)已知55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則( )

A.a

C.b

(2021年全國乙卷理科第12 題) 設(shè)a = 2 ln 1.01,b =ln 1.02,c=-1,則( )

A.a

C.b

4 幾點感悟

4.1 注重挖掘教材

在實際教學(xué)中,廣大一線教師能以“四個理解”為目標(biāo),積極探索課堂教學(xué)的改革與創(chuàng)新,但在急功近利的考試氛圍影響下,課后作業(yè)大多以練案或教輔資料為主,教材習(xí)題的功能被弱化或邊緣化.殊不知,新教材作為教育教學(xué)專家集體智慧的結(jié)晶,歷經(jīng)千錘百煉,具有權(quán)威性、系統(tǒng)性、示范性和功能性,是教師開展教學(xué)活動最重要、最寶貴的資源.新教材中的例題與習(xí)題更是教師在解題教學(xué)中的關(guān)注點和著力點.教師應(yīng)充分挖掘教材內(nèi)容,創(chuàng)造性地利用教材內(nèi)容,使學(xué)生在掌握“四基”、提高“四能”的過程中,學(xué)會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考,形成數(shù)學(xué)的思維方式,發(fā)展理性思維,養(yǎng)成科學(xué)精神.

4.2 加強(qiáng)解后反思

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出: 反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力.沒有反思,學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平.解后反思是指在解決了數(shù)學(xué)問題后,通過對題目特征、解題思路、解題結(jié)論、解題思想的概括與反思,是對解決問題的思維過程進(jìn)行再認(rèn)識、再創(chuàng)造的批判性審視.解題后可對問題進(jìn)行變式拓展和適度推廣,讓學(xué)生完整地經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程,從更高的觀點、更寬的視野、更理性的眼光去思考數(shù)學(xué)問題,真正達(dá)到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果.