基于概念教學的初中數(shù)學教學課堂優(yōu)化

廣東省東莞市樟木頭中學(523621) 曾長青

1 概念教學概述

概念教學是數(shù)學教學的內(nèi)容之一,其目的是使學生掌握數(shù)學概念的含義,形成對數(shù)學的基本的、概括性的認識[1].即需要認清楚概念的內(nèi)涵與外延,以及概念的數(shù)學表達.與此同時還需要了解各概念之間的關系,比如正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的關系,從而構(gòu)建自己的知識結(jié)構(gòu)體系.如果可以了解概念來源的背景,那么就可以更好的理解與應用.數(shù)學概念的教學有賴于對數(shù)學概念的認識.

概念教學通?？梢詮母拍顏碓吹谋尘斑M行介紹,表明概念存在的土壤,讓學生明白之所以引入這個數(shù)學概念不是我們憑空想象的而是現(xiàn)實所需要的.其次就是在各種對象中,歸納出具有本質(zhì)屬性的共同點,最后在經(jīng)過歸納抽象得到一般的概念.這種從一般到抽象的教學方式易于被初中生理解與接受,也更加容易闡述概念的所包含的外延.

事實運用中,也并非如此.因為概念之間有些是存在從屬關系的,比如說三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關系,當然也有其所特有的性質(zhì).所以從以往學過的概念來介紹新的概念也是一個不錯選擇,可以從舊的概念導入新的概念.

2 初中數(shù)學課堂的教學現(xiàn)狀

當前,初中數(shù)學課堂教學不可以避免的隨著中考走,在對數(shù)學概念的教學上, 數(shù)學教師都在使用不同的技術手段,把抽象的數(shù)學具體化,形象化,能夠讓學生感受到數(shù)學,目的只有一個就是幫助學生充分理解并掌握數(shù)學概念;除此之外還要設計一定量的練習題,讓學生更好的理解與鞏固所學過的知識.

筆者結(jié)合自身的數(shù)學教學體驗,認為初中數(shù)學的概念教學可以從如下幾個方面加以優(yōu)化:

(1)新概念是舊概念的特例

初中的數(shù)學的知識點涉及了實數(shù)的運算,平面幾何,代數(shù)以及概率等等方面的內(nèi)容.我們在引入一個新概念的時候,所先考慮的不是直接來介紹這個概念,而是在已經(jīng)學過的概念之內(nèi)有沒有類似的或是從從屬的關系,比如在引入菱形的概念時,只需要在平行四邊形的基礎之上添加一個條件就可以得到菱形這個新的概念了.這樣一來的,可以使學生感到菱形這個事物我之前就遇到過只是沒有特別留意而已,它就是一種形狀特殊的平行四邊形,所有平行四邊形的性質(zhì)它都具備.在這樣的前提下,教師再來介紹菱形所特有的性質(zhì)時,就水到渠成了.學生無論在理解還是接受上都是相對比較的簡單的.

(2)新概念綜合舊概念,引入新思想

新的概念之所以是新的,里面肯定是蘊含了新的數(shù)學思想或至少也是對之前所學概念的總結(jié)與提升,肯定不是簡單的組合.比如銳角三角函數(shù)的定義中,就整合了直角三角相似,是對直角三角形相似作了一個提升,而不是一個簡單的組合應用.不僅如此在數(shù)學思想的處理上也得到了進一步的提升.相似是從幾何的角度來研究圖形,而三角函數(shù)則是從代數(shù)的角度來研究圖形.盡管這兩者的基礎是相同的,但從此就分道揚鑣, 三角函數(shù)將會從代數(shù)的角度來研究圖形了.這一點在講授三角函數(shù)時,特別需要向?qū)W生說明.但由于初中生知識及所遇到的問題有限,一下很難理解在這個方向上的含義.

(3)新概念打破舊的觀念

函數(shù)是初中重要的一個概念, 最常見的就是一次函數(shù),二次函數(shù)以及反比例函數(shù),學生對函數(shù)的認識第一就是計算函數(shù)在某一的函數(shù)值,并且函數(shù)需要有自變量,稍微遠一點的就是函數(shù)還可以用描點法來作圖.但對于銳角三角函數(shù)確完全不是這樣,第一個容易迷糊的地方就是銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的,但是函數(shù)的變量是什么? 是直角三角形的邊長嗎? 這些都是學生容易迷糊的地方.另外,之前學過的函數(shù)都可以計算它在一點處的函數(shù)值,但三角函數(shù)就沒有那么輕松了.之前很長時間建立起來的對函數(shù)的認知,很有可能在三角函數(shù)這里一一被打破,這也是對函數(shù)內(nèi)涵更加深入的了解.可以對函數(shù)的理解提升一個層次.

3 初中數(shù)學課堂基于概念教學的應用[2]

基于上述初中數(shù)學概念教學,此處選擇初中數(shù)學的銳角三角函數(shù)為專題進行結(jié)合性講述.

案例1從函數(shù)的概念引入銳角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)是函數(shù)的一種特種類型,首先是函數(shù),因此具有之前介紹過的函數(shù)的一般性質(zhì).但這里有其特殊性,主要體現(xiàn)在下面幾點:

其一: 是函數(shù)的名字并且有專有的符號,銳角三角函數(shù)有正弦(sin),余弦(cos),正切(tan)三種(事實有六種,初中只介紹三種).

其二: 就是三角函數(shù)的變量的角度,初中階段角度的度量單位是度數(shù),它與實數(shù)相比還是有點不同的,實數(shù)是不帶單位的.而角度是有單位的,到高中之后就可以用弧度來表示角度,而弧度是沒有單位的.這樣就可以在坐標系里畫點了.我們知道坐標系是不帶單位的.

案例2在直角三角形ABC 中,∠C =90°,設∠A=α,則根據(jù)三角函數(shù)的定義有sin α =cos α =

這里把三個三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長之比,容易給人造成一種錯覺,就是三角函數(shù)的變量是直角三角形的三邊,而不是角度了.事實上,只要有一個內(nèi)角相等的直角三角形都是相似的,這樣相似比就是確定的.所以與三角形的大小選擇無關,但與角度α 有關.

這樣三角函數(shù)從自于直角三角形的相似,但其本身是屬于代數(shù)分析的,不屬于幾何領域,這一點事實上就為研究幾何提供了一種新的思路,就是三角分析.這點在初中很難體會的到,畢竟在初中還是以純幾何的方式來研究幾何的.

除此之外, 直角三角形模型還可以給出另一個重要的三角關系,這也是所有三角變換的源頭,即由勾股定理可知:= 1 ?(sin α)2+(cos α)2= 1 即正余弦的平方和為1.

案例3接上例,怎樣計算特殊角的三角函數(shù)值,利用兩個特殊的直角三角形,即等腰直角三角形與帶30 度角的直角三角形(就是一副三角板).

根據(jù)三角函數(shù)的定義,容易得到下表的特殊角的三角函數(shù)值：

注這里需要強調(diào)一下, 什么是特殊角與已知角的區(qū)別.所謂特殊角,是指角度為30 度,45 度,60 度的銳角;而已知角呢,就是已知這個角的某個三個函數(shù)值,比如對于銳角α,β,γ 有這樣的話α,β,γ就都可以稱為是已知角了.只不是我們不知道它們到底是多少度角而已.

同時,也給出了記憶特殊角三角函數(shù)值的方法,不用去死記硬背,只要把這兩個直角三角形記住,再加上三角函數(shù)的定義,就可以直接從圖上讀出每一個特殊角的三角函數(shù)值.

案例4考慮如下圖形, 即是延長CB 到D, 使得AC =CD,試計算∠D 正切值.

事實上,此時∠D =15°,這樣一來,我們就可以把15 度角的三角函數(shù)值都給算出來了,只需要利用定義就可以做到.這樣自然就會向?qū)W生提出一個問題,還有那些角度是可以通過這樣的方式來計算的,更多類型可參考[3].

總之,概念教學是初中數(shù)學的一個重點也是難點,我們的目的就是使新的概念容易被學生所接受與理解,在初中階段,學生之間的差異還是很大的,這就更要求數(shù)學教師設法把抽象的數(shù)學概念講得通俗易懂,讓不同基礎的學生都可以掌握新的概念,學習新的知識.數(shù)學概念的教學還有很多的工作需要廣大數(shù)學教師的不懈努力才行.