運用數(shù)學高考試題綜合難度模型評價課例*

廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學(518000) 蘭海鵬

高中教育目的之一就是為大學輸送人才、為國家篩選人才,評價人才的重要手段之一就是高考試題.為了使教學評價更有價值,高中數(shù)學日常教學的過程性評價必須要結合高考的總結性評價.

以安徽省近3年高考數(shù)學試卷中的涉及到三角函數(shù)兩角和或差的運算公式的題目作為研究對象,通過運用武小鵬(2018)基于AHP 理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型[1]評價課例“兩角差的余弦公式”[2],其他省份的課例需要將研究對象調整為對應高考試卷再進行評價.

1 問題編碼

武小鵬的數(shù)學高考試題綜合難度模型將影響高考試題難度的因素進行系統(tǒng)化分析后, 總結出: 背景因素、是否含參、運算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認知水平共7個難度核心因素,每個核心因素根據(jù)水平的難易程度可進行不同的賦值,并采用不同的編碼進行標識,以防混淆.

安徽省近3年高考數(shù)學試題中涉及到三角函數(shù)兩角和或差的運算公式的題目分別是2019年全國I 卷(理科數(shù)學)第17 題、2019年全國I 卷(文科數(shù)學)第15 題、2020年全國I卷(理科數(shù)學)第9 題、2020年全國I 卷(文科數(shù)學)第18 題、2021年全國乙卷(文科數(shù)學)第4 題.下面對高考試題和課例例題進行編碼,示例如下.

2 研究過程

為了數(shù)據(jù)的直觀和圖表的精簡, 先將5 道高考題按照年份和序號分別重新命名為1917、1915、2009、2018、2104,將4 道例題命名為0001(例1) 、0011(變式1) 、0002(例2) 、0022(變式2), 用、分別表示高考試題和課例例題的難度系數(shù),用N1、N2 分別表示高考試題和課例例題的難度加權平均數(shù).經過編碼后找出9 個問題的7 個核心因素的權重填入表3,并代入公式(1)計算出因素難度系數(shù).

表1 高考試題編碼

表2 課例例題編碼

表3 數(shù)據(jù)對比

其中di表示第i 因素的難度系數(shù), nij表示第i 因素、第j 水平的題數(shù), dij是相對應的權重, n 是題總數(shù),ki=(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83).

將難度系數(shù)代入公式(2)計算出高考題目和課例例題的加權平均數(shù): D1=6.63476,D2=4.3118.

為了清晰地分析數(shù)據(jù),下面制作出高考試題和課例例題的雷達圖.

3 研究結果

從難度加權平均數(shù)的角度來看,課例例題<高考試題,這說明王偉老師設計的課題例題難度低于高考要求.猜測原因可能來自兩個方面: 一方面針對于初學者的授課,王偉老師可能認為應該適度地降低難度;另一方面也可能對高考難度把握不夠,略微依賴經驗.

從難度對比雷達圖可以看出7 個難度核心因素中,高考試題和課例例題在背景因素、是否含參、運算水平這3 方面完全一致,在認知水平、思維方向這2 個方面有些許差異,在知識含量、推理能力這2 方面差異較大.

導致認識水平產生差異的原因是課例例題的題型比較單一,沒有涉及到綜合性三角函數(shù)問題,等后續(xù)教學將三角函數(shù)大多數(shù)知識點講授完畢后可以進行相關的訓練,從而使差異縮小.導致思維方向產生差異的原因是課例例題中只有變式1 涉及到逆向思維,后續(xù)要加強逆向思維的培養(yǎng).導致知識含量產生明顯差異的原因是課例例題的知識點不超過2 個,但是高考試題的知識點普遍超過3 個,可以在課堂小結之后增加一個多知識點習題,供學生課下自行探索.導致推理能力產生明顯差異的原因是課例例題都只是涉及到復雜數(shù)值的運算,而高考試題不僅有復雜數(shù)值的運算還蘊含大量簡單符號運算,日常教學的例題還需要提高學生思考的廣度和深度,需要涉及到公式的變形、代數(shù)式的運算.

高考試題是命題專家集體智慧的結晶,高考試題不僅考察學生數(shù)學知識的掌握情況,還考察著學生的數(shù)學核心素養(yǎng).日常教學如何實現(xiàn)“以主題為引領,促進學科核心素養(yǎng)的落實”,需要我們認真思考、積極探索.本文通過運用綜合難度模型,分析教學例題和高考試題的難度,可以幫助教師深層次反思教學中的不足,調整教學難度,使教學更具有指導性和方向性,符合新課改提倡的“以立德樹人作為根本任務,發(fā)展素質教育”.