“三步”至簡(jiǎn),淬煉導(dǎo)學(xué)價(jià)值*
——以蘇科版“代數(shù)式”章前導(dǎo)學(xué)課為例

江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 周 煉

1 數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約文化與章前導(dǎo)學(xué)的關(guān)系

1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科與簡(jiǎn)約文化的相關(guān)概述

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),作為各種自然科學(xué)與現(xiàn)代人工智能、大數(shù)據(jù)技術(shù)的基礎(chǔ)學(xué)科,數(shù)學(xué)與人類的進(jìn)步、發(fā)展密切相關(guān),廣泛地運(yùn)用于生產(chǎn)、生活的方方面面.然而看似包羅萬象、千姿百態(tài)的數(shù)學(xué)之所以能夠有如此廣厚的包容度恰恰是因?yàn)槠鋬?nèi)核的極致簡(jiǎn)約,相較于其他學(xué)科特有的抽象性、概括性、一般性等描述客觀事物專有的表征方式讓數(shù)學(xué)成為了觀察、描述、體會(huì)這個(gè)物質(zhì)世界與人類精神世界溝通的重要語言橋梁.除了在數(shù)學(xué)學(xué)科中,簡(jiǎn)約的理念還滲透在各個(gè)領(lǐng)域,比如中歐洲現(xiàn)代主義建筑大師密斯凡德羅(Ludwig Mies VAN Der Rohe)曾表明過他的設(shè)計(jì)主張: 少就是多,“少”不是空洞而是精簡(jiǎn),“多”不是擁擠而是充實(shí).偉大的意大利畫家弗拉·安吉利科(FraAngelico)曾說過:“真正的財(cái)富包括怎樣用很少的東西來獲得快樂.”無論是密斯對(duì)于建筑藝術(shù)“簡(jiǎn)約”的執(zhí)著還是弗拉對(duì)于美術(shù)繪畫“簡(jiǎn)約”的追求都與數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值取向不謀而合.特級(jí)教師許衛(wèi)兵在2006年也曾提出“簡(jiǎn)約數(shù)學(xué)教學(xué)”主張,歷經(jīng)16年探索形成了豐富的教學(xué)成果, 帶動(dòng)并輻射了多地的數(shù)學(xué)教學(xué)改革,在教育業(yè)界形成了一定的影響力.

1.2 簡(jiǎn)約文化與章前導(dǎo)學(xué)之間的契合點(diǎn)

章前導(dǎo)學(xué)課區(qū)別于常見的“章起始課”、“章頭課”,更加凸顯“導(dǎo)學(xué)”特征,這是一種以導(dǎo)為主線,學(xué)為主體的新課型,強(qiáng)調(diào)解決真實(shí)而復(fù)雜的問題,對(duì)教材中的章頭圖與章引言進(jìn)行課程資源開發(fā),讓章內(nèi)容隱存于情境之中,讓策略、方法型知識(shí)融合于活動(dòng)之中.章前導(dǎo)學(xué)課不在于通過一節(jié)課使學(xué)生對(duì)整章有具體、全面、深刻的認(rèn)識(shí),旨在引導(dǎo)學(xué)生在情境中體會(huì)和感受,自主建構(gòu)出本章乃至涉及本章內(nèi)容的其他章的大致研究方向,生長(zhǎng)出概貌樣的知識(shí)輪廓,或是以能引發(fā)認(rèn)知沖突與矛盾的基本問題激起學(xué)生的探索欲,繼而以飽滿的熱情投入到接下來的學(xué)習(xí)中去.隨著當(dāng)今課程改革對(duì)于單元教學(xué)的大力推廣,關(guān)于章起始課的研究也層出不窮,以至于被貼上各種標(biāo)簽后被賦予了太多超出其本身所能承載的使命,事實(shí)上在僅45 分鐘的課堂內(nèi)想要的東西越多往往就會(huì)越偏離初衷,最終演變?yōu)橐粓?chǎng)以“導(dǎo)學(xué)”名義對(duì)學(xué)生“強(qiáng)行”灌輸知識(shí)的綁架行為,這種急功近利的結(jié)果反而會(huì)將學(xué)生渴求知識(shí)的欲望扼殺在搖籃里.為了避免單元教學(xué)趨于形式化與盲從化,以簡(jiǎn)約的理念去偽存真、重新設(shè)計(jì)章起始課勢(shì)在必行,下文便結(jié)合“代數(shù)式”章前導(dǎo)學(xué)課詳細(xì)闡述如何貫徹簡(jiǎn)約理念設(shè)計(jì)教學(xué)以及形成的“三步”至簡(jiǎn)導(dǎo)學(xué)范式.

2 章前導(dǎo)學(xué)視角下課例的教材分析

本節(jié)課是蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第三章“代數(shù)式”的章前導(dǎo)學(xué)課,本章是在學(xué)習(xí)完“有理數(shù)”后對(duì)數(shù)與式的進(jìn)一步探究,同時(shí)也為后續(xù)研究方程、不等式、函數(shù)奠定了基礎(chǔ).作為整章的章前導(dǎo)學(xué)課,教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā),選擇學(xué)生熟悉的素材作為情景引入,引導(dǎo)學(xué)生在具體數(shù)量關(guān)系的探索中體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想方法,在尋求變化規(guī)律的過程中感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)邏輯,在實(shí)踐中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí).在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí),可以將“導(dǎo)學(xué)”視角放大一些, 除了引導(dǎo)學(xué)生在具體事例的探索中體會(huì)求代數(shù)式的值、合并同類項(xiàng)、整式的加減對(duì)進(jìn)一步探索代數(shù)式的必要性,同時(shí)也要著眼于幫助學(xué)生在代數(shù)式中挖掘與方程、不等式、函數(shù)有關(guān)的要素,初步獲得方程、不等式、函數(shù)的感性認(rèn)識(shí).

3 “三步”至簡(jiǎn)理念下章前導(dǎo)學(xué)課的教學(xué)探索

3.1 簡(jiǎn)入——實(shí)踐淬煉主題

實(shí)踐1高鐵是指設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)高、可供列車安全高速行駛的鐵路系統(tǒng),居世界第一.若統(tǒng)一將高鐵平均速度視為300km/h,你能根據(jù)曾經(jīng)用過的一張高鐵票上的信息估算出本次出行的路程嗎?

實(shí)踐2請(qǐng)課前自行設(shè)計(jì)圖紙制作一個(gè)有蓋的圓柱體紙盒,你能通過測(cè)量設(shè)計(jì)時(shí)的相關(guān)圖形估算這個(gè)圓柱體紙盒的體積嗎?

導(dǎo)學(xué)分析分析“高鐵票”上的信息與做一個(gè)圓柱體紙盒這兩個(gè)活動(dòng)均來源于教材中的章前圖,但教材只給出了兩幅圖(動(dòng)車和圓柱體)和兩個(gè)公式(S = vt 和V = πr2h),未有過多的闡述.從二次開發(fā)教材的角度出發(fā),筆者本想再多介紹一些關(guān)于高鐵的發(fā)展史與多面體的相關(guān)知識(shí),引發(fā)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)在物理、工程、藝術(shù)等學(xué)科中的廣泛應(yīng)用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)是能反映事物內(nèi)部與外部聯(lián)系,溝通抽象世界與現(xiàn)實(shí)世界的必要手段.但課堂時(shí)間、容量有限, 與此相比聚焦單元基本問題的提出與基本框架的建立是導(dǎo)學(xué)課更為重要的價(jià)值追求,所以讓情境從簡(jiǎn)呈現(xiàn)、去粗取精,在學(xué)生自主動(dòng)手、親身經(jīng)歷中使得思維涌動(dòng)起來,充分激發(fā)學(xué)生的求知欲望.根據(jù)課堂上的匯報(bào)結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生的計(jì)算結(jié)果雖然各不同,但無一例外地使用了兩個(gè)相同的公式,一個(gè)是S = vt,描述的是當(dāng)物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)走過的路程等于速度與時(shí)間的積;一個(gè)是V = πr2h,描述的是圓柱的體積均為π 與底面半徑的平方與圓柱高的積.在此基礎(chǔ)上可以讓學(xué)生繼續(xù)思考這兩個(gè)公式有什么特點(diǎn),學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這些公式不僅都由字母和數(shù)字通過運(yùn)算符號(hào)構(gòu)成,而且都用一種簡(jiǎn)約的形式描述著某種規(guī)律,以數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫量與量之間的關(guān)系.之后還有學(xué)生聯(lián)想到曾經(jīng)學(xué)過的S = πr2(圓面積公式)、S =(三角形面積公式)、V = abh(長(zhǎng)方體體積公式)等都有類似的作用,于是最終確定研究上述公式中等號(hào)右邊的式子(簡(jiǎn)單介紹其為代數(shù)式)為本章探索的主題.

3.2 簡(jiǎn)構(gòu)——問題淬煉內(nèi)涵

用火柴棒按以下的方式搭“小魚”.

問題1搭1 個(gè)小魚需要火柴棒多少根;搭2 個(gè)小魚需要火柴棒多少根;搭3 個(gè)小魚需要火柴棒多少根;那么,搭100個(gè)小魚需要火柴棒多少根?

問題2你能用一個(gè)式子來描述以上規(guī)律嗎?

問題3用80 根火柴棒能搭多少個(gè)小魚? 不少于1000根至少能搭多少個(gè)小魚? 你能用式子描述這樣的問題嗎?

問題4當(dāng)小魚的數(shù)量增大或減小時(shí),火柴棒的根數(shù)是否隨之改變? 它們之間有什么聯(lián)系嗎?

導(dǎo)學(xué)分析用火柴棒搭小魚的實(shí)驗(yàn)依舊取材于課本,縱觀整個(gè)初中學(xué)段“搭小魚實(shí)驗(yàn)”在教材中共出現(xiàn)5 次, 分別是“代數(shù)式”章前圖、“3.3 求代數(shù)式的值”、“4.1 從問題到方程”、“11.5 用一元一次不等式解決問題”、“6.1 函數(shù)”,與此對(duì)應(yīng)的分別是代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)的概念引入或應(yīng)用導(dǎo)例.在導(dǎo)學(xué)課中選擇一個(gè)能橫跨四個(gè)領(lǐng)域知識(shí)并設(shè)置有梯度的問題可以在不分散學(xué)生過多注意力的情況下分別感受代數(shù)式與方程、不等式、函數(shù)之間的關(guān)系.這其中無論是深化代數(shù)式內(nèi)涵的問題1,或是初步嘗試用方程、不等式描述等量關(guān)系與不等量關(guān)系的問題2、3,還是從變量的變化規(guī)律中獲得函數(shù)感性認(rèn)識(shí)的問題4,都將初中階段“數(shù)與代數(shù)”的大致輪廓呈現(xiàn)了出來,為最后的“簡(jiǎn)出”添磚加瓦.事實(shí)上“數(shù)與代數(shù)”在整個(gè)課程體系中相較于“圖形與幾何”、“概率與統(tǒng)計(jì)”的占比更大,在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)建?！钡群诵乃仞B(yǎng)也與“數(shù)與代數(shù)”密切相關(guān),而代數(shù)式又是數(shù)與代數(shù)的知識(shí)起點(diǎn),在剛接觸“式”的概念時(shí)通過導(dǎo)學(xué)課以精簡(jiǎn)、邏輯連貫、遷移性強(qiáng)的問題引申出更多內(nèi)涵,既能讓學(xué)生站在高處領(lǐng)悟用字母表示數(shù)的代數(shù)價(jià)值,又不越過“超前學(xué)習(xí)”的紅線,最大程度提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力與熱情,充分發(fā)揮導(dǎo)學(xué)課的前建構(gòu)作用.

3.3 簡(jiǎn)出——發(fā)散淬煉體系

發(fā)散1上一章在“有理數(shù)”中我們研究了數(shù), 在“代數(shù)式”中你認(rèn)為我們會(huì)類似地研究有關(guān)式的哪些內(nèi)容,請(qǐng)用精簡(jiǎn)的結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)出來.

發(fā)散2請(qǐng)秉持著簡(jiǎn)約的理念按照由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序設(shè)計(jì)一些特殊的代數(shù)式并以此尋求你在后續(xù)學(xué)習(xí)中想要研究的內(nèi)容.

導(dǎo)學(xué)分析式是數(shù)的一般表征, 數(shù)是式的特殊情形, 數(shù)與式既有質(zhì)的區(qū)別,也存在著很多相似之處,如何把握好這種差異與共性并通過新舊對(duì)象的分析、綜合、對(duì)比、類比讓已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與待探索的未知領(lǐng)域之間形成良性遷移、同頻共振,既是本章的導(dǎo)學(xué)取向,也是培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)等關(guān)鍵能力的良好契機(jī).“代數(shù)式”的前一章“有理數(shù)”是以數(shù)的運(yùn)算為主線,以加法、減法、乘法、除法與乘方運(yùn)算的順序逐一展開的,學(xué)生在學(xué)完“有理數(shù)”后能深刻地體會(huì)到數(shù)的學(xué)習(xí)主要是運(yùn)算法則與運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí),那么式呢? 發(fā)散1便搭建了數(shù)式遷移的橋梁,引導(dǎo)學(xué)生思考從有理數(shù)到代數(shù)式在路徑研究、類比建構(gòu)等方面應(yīng)該如何從特殊到一般,通過合乎情理的猜想與嘗試以結(jié)構(gòu)圖的形式將知識(shí)關(guān)聯(lián)簡(jiǎn)約地呈現(xiàn)出來,從而把握代數(shù)式研究的大致方向.研究的對(duì)象盡量簡(jiǎn)單明了、易上手,設(shè)計(jì)發(fā)散2 正是防止學(xué)生從相對(duì)復(fù)雜的多項(xiàng)式、分式入手,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生先從最簡(jiǎn)單的單項(xiàng)式開始研究,隨后再逐步加大難度,其中所選代數(shù)式始終要以簡(jiǎn)約為標(biāo)準(zhǔn).如果說運(yùn)算法則與運(yùn)算規(guī)律是一條主線,那么從簡(jiǎn)單到復(fù)雜地選取研究對(duì)象則是一條支線,為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)“整式加減”、“冪的運(yùn)算”、“整式乘法”、“分式”、“二次根式”等章節(jié)埋下了伏筆.

4 關(guān)于簡(jiǎn)約理念下章前導(dǎo)學(xué)課的兩點(diǎn)思考

4.1 簡(jiǎn)約的情境設(shè)計(jì)更能點(diǎn)明章前導(dǎo)學(xué)的主題

首先章前導(dǎo)學(xué)課這一課型聽起來并不“簡(jiǎn)約”,因?yàn)椤罢隆焙w的范圍太廣,“導(dǎo)”涉及的素材又強(qiáng)調(diào)解決真實(shí)而復(fù)雜的問題,致力于讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有用的,其內(nèi)涵指向的豐富多元必然要求在情境設(shè)置方面簡(jiǎn)約呈現(xiàn),否則干擾因素過多會(huì)使整節(jié)課主次不明、導(dǎo)學(xué)重點(diǎn)不突出.三步至簡(jiǎn)中的“簡(jiǎn)入”便是要求教師進(jìn)一步貼近學(xué)生的生活,體會(huì)學(xué)生的思維方式,用最精簡(jiǎn)的語言激發(fā)學(xué)生的共鳴,簡(jiǎn)明有效地引導(dǎo)學(xué)生從興趣引領(lǐng)過渡到數(shù)學(xué)思考,很多看似真實(shí)、有趣、滲透文化的情境設(shè)計(jì)實(shí)則雜亂臃腫,只有把導(dǎo)學(xué)的主體聚焦于學(xué)生的真切體驗(yàn)才能幫助學(xué)生迅速抓住導(dǎo)學(xué)主題,從繁冗走向凝煉、從膚淺走向深刻、從雜亂走向清晰.例如在本課例中舍棄了大段關(guān)于高鐵、幾何體的相關(guān)文化闡述,轉(zhuǎn)而注重學(xué)生親身經(jīng)歷的過程,讓學(xué)生在動(dòng)手中感受代數(shù)式的研究?jī)r(jià)值.事實(shí)上,數(shù)學(xué)本就是對(duì)于客觀事物抽象的高度概括,是一種有序多級(jí)的語言表征活動(dòng),是透過現(xiàn)象看本質(zhì)的學(xué)科視角,是抽絲剝繭般地以簡(jiǎn)馭繁的過程,當(dāng)教師能夠看到情境背后的簡(jiǎn)約要素時(shí),當(dāng)學(xué)生能從情境中獲取關(guān)鍵問題并引發(fā)深度思考時(shí),其實(shí)就已經(jīng)抓住了整章的研究主干.

4.2 簡(jiǎn)約理念下的章前導(dǎo)學(xué)課應(yīng)具備生長(zhǎng)的力量

章前導(dǎo)學(xué)課是對(duì)整章知識(shí)的引領(lǐng)與建構(gòu),區(qū)別于分課時(shí)的導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)更能體現(xiàn)整體性、結(jié)構(gòu)性與展望性.具體來說,分課時(shí)導(dǎo)學(xué)針對(duì)的是單一知識(shí)或具體教學(xué)目標(biāo),以顯性目標(biāo)與基礎(chǔ)目標(biāo)為主,致力于知識(shí)的掌握與能力的提升,并讓教學(xué)活動(dòng)順利、高效地開展,而章前導(dǎo)學(xué)指向的則是以章為單位的整體意義建構(gòu),其立足于隱性目標(biāo)與長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)的達(dá)成,以知識(shí)遷移與相互催生為導(dǎo)向,在對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)回顧與運(yùn)用過程中形成對(duì)未知領(lǐng)域研究?jī)r(jià)值的深度思考,由學(xué)什么向?yàn)槭裁磳W(xué)、怎么學(xué)、學(xué)到什么程度的話語體系轉(zhuǎn)變,而具備這樣要求的導(dǎo)學(xué)課一定是簡(jiǎn)約的、直擊內(nèi)核的、體現(xiàn)大觀念的.比如本課例中“用火柴棒搭小魚實(shí)驗(yàn)”衍生出來的一系列極簡(jiǎn)的問題鏈簡(jiǎn)明扼要地構(gòu)建了一個(gè)相對(duì)完整的代數(shù)知識(shí)體系(簡(jiǎn)構(gòu)),進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的深度思考,使學(xué)生對(duì)代數(shù)的不同領(lǐng)域產(chǎn)生濃厚的興趣,打破章內(nèi)研究的壁壘,以章為生長(zhǎng)點(diǎn)沿著一條清晰的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)逐漸延伸, 實(shí)現(xiàn)了長(zhǎng)遠(yuǎn)意義的建構(gòu);再比如類比有理數(shù)的研究路徑讓學(xué)生提出關(guān)于代數(shù)式的研究方案,并通過極簡(jiǎn)的思維導(dǎo)圖將數(shù)式之間的共性與差異淋漓盡致地展現(xiàn)出來后,又以簡(jiǎn)約的理念讓學(xué)生依次提出關(guān)于冪、整式、分式的研究設(shè)想,這在以上關(guān)于數(shù)式研究通性通法的主線基礎(chǔ)上又“生長(zhǎng)”出了各路支線,并大致勾勒出未來可能要研究?jī)?nèi)容的雛形(簡(jiǎn)出).此時(shí)章前課被賦予的意義早已超越了代數(shù)式本身所能帶來的思考,這既是打通初中學(xué)段代數(shù)橋梁的一次契機(jī),又引發(fā)了一場(chǎng)關(guān)乎素養(yǎng)發(fā)展的頭腦風(fēng)暴,而且簡(jiǎn)約的教學(xué)過程、問題設(shè)計(jì)并不會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),點(diǎn)到為止的引導(dǎo)、恰到好處的提煉只會(huì)讓學(xué)生心中好奇心的火苗越燒越旺.