不憤不啟,不悱不發(fā)
——數(shù)學(xué)教學(xué)方法探討

廣東省中山市南頭鎮(zhèn)初級中學(xué)(528427) 趙 靜

孔子在《論語-述而》說:“不憤不啟,不悱不發(fā).”朱熹逐字逐句解釋為: 憤,心求通而未得其意.悱,口欲言而未得其貌.啟,謂開其意.發(fā),謂達(dá)其辭.意思是說: 學(xué)生如果不經(jīng)過冥思苦想而又想不通時,就不去啟發(fā)他;如果不經(jīng)過思考并有所體會,想說卻說不出來時,就不去開導(dǎo)他.我覺得,這就是我的教學(xué)主張.

我們很多人應(yīng)該都有這樣的經(jīng)歷,當(dāng)一件事情反復(fù)思索,仍不得其解;或者,心里很明白,但是表達(dá)的時候總不能找到恰當(dāng)?shù)难赞o時,有人在旁邊一指點(diǎn),會猛地一震: 就是這樣嘛,我也是這樣想的! 感覺一下子捅破了那層窗戶紙,豁然開朗,這件事必然印象深刻.如果我們能在數(shù)學(xué)課堂上多給學(xué)生一些這樣的經(jīng)歷,學(xué)生對所想所講所學(xué)也必然會深有體會,牢記于心.下面我通過具體的教學(xué)案例來說明.

1 不憤不啟

案例1剛開始上“圓”這一章時,我告訴學(xué)生:“圓的半徑處處相等.”下面有幾個學(xué)生表示不屑: 半徑相等我們不知道嗎? 老師,我們可是初三的學(xué)生呢! 我笑而不語,現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)作用不大, 我可以等.接下來有一道這樣的例題: 如圖1 所示,AB是⊙O的弦, 半徑OC、OD分別交AB于點(diǎn)E、F,且AE=BF,請你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

圖1

這道題本身不難,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)OE=OF,只是,怎么證明呢? 因?yàn)镺E和OF在同一個三角形OEF中,他們想很自然地想到利用“等角對等邊”來證明,只是,相等的角從哪兒找? 題目給出的條件AE=BF不是沒有用上嗎? 課堂上有了小小的討論聲,有說用“等角對等邊”的、有說用三角形全等的,只是找來找去,似乎都少了一個條件.我見時機(jī)成熟,也不說話,拿起三角板,添了兩條輔助線(如圖2).有學(xué)生在下面大叫:“哦,我知道了,半徑相等! ”馬上又有人說:“還有這種操作? ”我笑了:“為什么沒有? 我剛剛才提醒你們,圓的半徑處處相等.”接下來的證明就很簡單了,而且,學(xué)生們還有了條件反射,一看到圓的證明題,總要小聲嘟囔一句: 要不要連半徑啊? 半徑當(dāng)然不是隨便連,也不是每題都要連的,這是我后面的教學(xué)任務(wù)了.

圖2

案例2二次函數(shù)求最值問題是初中數(shù)學(xué)中的一個既典型又較綜合的問題,碰到最值問題,有的學(xué)生要么干脆不做, 要么不管三七二十一, 直接配方、找頂點(diǎn)坐標(biāo).其實(shí)有一些最值問題,根本與頂點(diǎn)無關(guān),要利用軸對稱來解決問題.有一天的數(shù)學(xué)課,我給出了這樣一道題: 如圖3,已知拋物線經(jīng)過A(4,0),B(2,3),C(0,3)三點(diǎn).

圖3

(1)求拋物線的解析式及對稱軸.

(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使得MA+MB的值最小,并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

題目一給出來,下面好一通計(jì)算,動作快的,不僅求出了解析式和對稱軸,連頂點(diǎn)坐標(biāo)也一并求了出來.只是,對著第(2)問的最小值,又不會做了.我不著急幫他們講這道題,而是給出了另外一道題:

問題1如圖4,A、B在直線l兩側(cè),在l上找一點(diǎn),使得P到A、B的距離之和最短,如何作出點(diǎn)P? 學(xué)生很快答出:連結(jié)AB交l于P,則P為所求點(diǎn).因?yàn)閮牲c(diǎn)之間,線段最短.

圖4

問題2如圖6,A、B在直線l同側(cè),在l上找一點(diǎn),使得P到AB的距離之和最短,如何作出點(diǎn)P? 初二已經(jīng)學(xué)了軸對稱,學(xué)生也不難得出答案: 作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′,連結(jié)AB′交l于C.也就是說,當(dāng)兩點(diǎn)在線段同側(cè)時,先利用軸對稱找到對稱點(diǎn),使得兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè),再連結(jié)兩點(diǎn)即可.

圖5

圖6

圖7

然后我問他們: 假如我把對稱軸直線x=l當(dāng)作上題中的l,你現(xiàn)在會做這第(2)問了嗎? 很多學(xué)生恍然大悟: 原來這道題的模型是軸對稱啊! 只要找到點(diǎn)B關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)C,連接點(diǎn)C就可以了呀! 這樣一來,他們不僅會解決這一道題,再碰到類似題目,也知道把“折線之和最短”轉(zhuǎn)化為“線段最短”來解決.

2 不悱不發(fā)

案例3在教學(xué)七年級數(shù)學(xué)“有理數(shù)加法”時, 課堂前段,我創(chuàng)設(shè)了“足球比賽”的教學(xué)場景,因?yàn)榍榫百N近學(xué)生生活實(shí)際,富有挑戰(zhàn)性,學(xué)生們踴躍參加,學(xué)習(xí)情緒高漲,很快就達(dá)到了教學(xué)的預(yù)期目的, 給出的7 個算式(+3)+(+2)、(-2)+(-1)、(-2)+(-1)、(-3)+(+2)、(+3)+0、(-2)+0、0+0 也很快得出了答案.可是,當(dāng)我要學(xué)生們用自己的話總結(jié)有理數(shù)加法法則時,學(xué)生們你看看我,我看看你,所有的話都變成了“茶壺里的餃子”,要說說不出來.這時,我把7 個算式重新分類,引導(dǎo)學(xué)生從符號和絕對值兩方面思考,同號兩數(shù)相加、異號兩數(shù)相加如何相加? 最終共同得出了有理數(shù)的加法法則: 同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加;絕對值不相等的異號兩數(shù)相加, 取絕對值較大的加數(shù)符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0;一個數(shù)同0 相加,仍得這個數(shù).

這個過程,我們老師的作用就是“發(fā)”,讓學(xué)生體會“生活語言”如何過渡到“數(shù)學(xué)語言”、對數(shù)學(xué)的分類思想有初步的體會,也讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確美.

案例4A城有肥料200 噸,B城有肥料300 噸,現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng),從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為每噸20 元和25 元;從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為每噸15 元和24 元,現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240 噸,D鄉(xiāng)需要肥料260 噸,怎樣調(diào)動總運(yùn)費(fèi)最少? 此題涉及到的已知數(shù)據(jù)較多,學(xué)生容易張冠李戴,造成數(shù)據(jù)上的混亂,我上課時一給出題目,下面已經(jīng)哇哇亂叫.這時,我們老師要幫他們理清思路.要知道我們數(shù)學(xué)除了文字語言、符號語言之外,還有一種語言,叫圖形語言.上面一大堆混亂的數(shù)據(jù),我們可以借肋一張圖表(如圖8)來處理.

圖8

解設(shè)由A城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料x噸,則運(yùn)往D鄉(xiāng)(200-x)噸,從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)(240-x)噸,運(yùn)往D鄉(xiāng)(60+x)噸,總運(yùn)費(fèi)為y元.依題意得:y= 20x+25(200-x)+15(240-x)+24(x+60)=4x+10040,(0

由于一次函數(shù)的值是隨著x的增大而增大, 所以當(dāng)x= 0 時,y的值最小,此時y= 10040(元).所以: 從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0 噸,運(yùn)往D鄉(xiāng)200 噸,從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240 噸,運(yùn)往D鄉(xiāng)60 噸時運(yùn)費(fèi)最少,最少運(yùn)費(fèi)是10040 元.

對于代數(shù)問題,借助一張圖表,靠圖形直觀來“支持”抽象的思維過程,借助幾何圖形、圖表,可以使代數(shù)問題更簡單,更直觀.通過這道題,學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想有了初步的了解,以后解決問題時,又多了一種思路.

“不憤不啟,不悱不發(fā)”在教學(xué)中體現(xiàn)的是啟發(fā)性原則.因?yàn)閷W(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體,我們教師要發(fā)揮引導(dǎo)作用,凸顯學(xué)生的主體地位.在教學(xué)時要抓住學(xué)生處于“憤”“悱”的時機(jī),適時點(diǎn)撥啟發(fā),讓學(xué)生感到柳暗花明、豁然開朗.這樣,學(xué)生自主提出問題、思考問題,主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、探索問題、解決問題的能力才能提高,我們的數(shù)學(xué)教育才能展現(xiàn)勃勃生機(jī)!