專題教學(xué)的設(shè)計(jì)與反思
——向量數(shù)量積的幾何意義在解題中的應(yīng)用

上海市嘉定區(qū)中光高級(jí)中學(xué)(201800) 季井先

1 基本情況

1.1 學(xué)情分析

本次授課的對(duì)象是一所普通高中平行班的高三學(xué)生,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力較一般.學(xué)生已經(jīng)掌握了向量數(shù)量積的定義和投影的概念, 能夠解決常規(guī)的向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題,但是還需要深入理解向量數(shù)量積的幾何意義,并能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析和解決問(wèn)題.

1.2 教學(xué)內(nèi)容分析

一方面,普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和上海市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求強(qiáng)調(diào)“掌握向量加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算,并理解向量運(yùn)算的幾何意義”[1];另一方面,向量?jī)?nèi)容豐富,在試題中常常以小題形式出現(xiàn),短小精干,問(wèn)題具有一定的綜合性,而貫穿其中的主要就是向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用.

本課是高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課,向量數(shù)量積的運(yùn)算是常見(jiàn)的考點(diǎn),學(xué)生能夠利用“定義法”、“建系法”(向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示)及“基表示法”(利用平面向量分解定理,選擇一組基并表示相應(yīng)的向量)來(lái)解決常規(guī)的向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題.但需要學(xué)生真正理解向量數(shù)量積的幾何意義的內(nèi)涵[2],掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,并能夠自覺(jué)運(yùn)用該思想解題,需要教師揭示其中蘊(yùn)含的幾何意義.因此,本節(jié)專題教學(xué)通過(guò)由淺入深、由常規(guī)到復(fù)雜、一法解多題,引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的幾何意義的策略求解問(wèn)題,深化學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的幾何意義的理解,助力學(xué)生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握向量數(shù)量積的概念,經(jīng)歷常規(guī)的向量數(shù)量積問(wèn)題的求解過(guò)程;

(2)掌握向量數(shù)量積的幾何意義及其在解題中的應(yīng)用;

(3)進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)重點(diǎn)向量數(shù)量積的幾何意義的理解.

教學(xué)難點(diǎn)向量數(shù)量積的幾何意義在解題中的應(yīng)用.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 一題多解,方法初探

師: 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算,請(qǐng)大家求解下面問(wèn)題.

師: 生1 利用“建系法”,先建立平面直角坐標(biāo)系,然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.生2 利用了“基表示法”,先選擇合適的一組基,然后利用平面向量分解定理用這組基來(lái)表示相應(yīng)的向量,最后將題目轉(zhuǎn)化為基向量之間的運(yùn)算.還有其他方法嗎?

師: 很好,生3 利用了向量數(shù)量積的幾何意義,將兩向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在該向量的方向上的投影的乘積,方法獨(dú)到! 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.請(qǐng)同學(xué)們嘗試?yán)眠@種方法解決下面的問(wèn)題吧.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生既可以利用“建系法”、“基表示法”等常規(guī)方法來(lái)求解向量數(shù)量積問(wèn)題;也可以利用向量數(shù)量積的幾何意義來(lái)求解.在落實(shí)基本知識(shí)、常規(guī)方法的基礎(chǔ)上,還能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí),深化對(duì)向量數(shù)量積的幾何意義的理解.

2.2 方法遷移,一法解多題

例2如下圖2,在圓C中,點(diǎn)A、B在圓上,則的值( )

圖2

A.只與圓C的半徑有關(guān)

B.既與圓C的半徑有關(guān),又與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)

C.只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)

D.是與圓C的半徑和弦AB的長(zhǎng)度均無(wú)關(guān)的定值

圖3

師: 生4 利用了向量數(shù)量積的幾何意義,顯然這種方法解題更簡(jiǎn)單明了.

師: 例2、例3 兩道題都利用了向量數(shù)量積的幾何意義,將兩個(gè)向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在該向量的方向上的投影的乘積,即相應(yīng)投影的最值問(wèn)題.再利用平面幾何性質(zhì),討論并求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),投影的取值范圍,進(jìn)而求出向量數(shù)量積的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖讓同學(xué)們充分體會(huì)到向量數(shù)量積的幾何意義在向量數(shù)量積求值、取值范圍上的強(qiáng)大應(yīng)用.并在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.3 綜合應(yīng)用、深入探究

例5如下圖7,已知點(diǎn)M,N在以AB為直徑的圓上,若AB=5,AM=3,BN=2,則=____.

圖7

圖8

師: 這位同學(xué)仍然利用了向量數(shù)量積的幾何意義,不過(guò)計(jì)算量有一點(diǎn)大.還有其他方法嗎?

生8:

例6如圖9, 已知半圓O的直徑AB= 4, ΔOAC是等邊三角形,若點(diǎn)P是邊AC(包含端點(diǎn)A、C)上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在弧BC上, 且滿足OQ⊥OP, 則的最小值為_(kāi)___.

圖9

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和探索,當(dāng)一些題目無(wú)法直接利用向量數(shù)量積的幾何意義時(shí),可以先利用向量的運(yùn)算等方法轉(zhuǎn)化為熟悉的向量數(shù)量積類型,進(jìn)而再利用向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解.這有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、思維能力,并能夠充分鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

圖10

2.4 鞏固練習(xí)

3 教學(xué)反思

這節(jié)專題復(fù)習(xí)課以向量的數(shù)量積為落腳點(diǎn),以向量數(shù)量積的幾何意義的解題策略為抓手,通過(guò)具體例題為載體,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)形結(jié)合”的探索之旅,不僅夯實(shí)了向量數(shù)量積的知識(shí),提升了學(xué)生解決問(wèn)題的能力,又培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

在向量的數(shù)量積中, 我們不僅要重視向量數(shù)量積的定義——代數(shù)式運(yùn)算,還要注重向量數(shù)量積的幾何意義的應(yīng)用.向量數(shù)量積的幾何意義建立了中學(xué)數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何的聯(lián)系,為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了工具.在解題過(guò)程中如果能夠充分、靈活地應(yīng)用向量數(shù)量積的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,往往能夠拓展解題思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算、提高解題速度、收到較好的解題效果,從而有效的提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.