基于深度學習的混合式教學設計
——以“立體表面最短路徑”教學為例

華南師范大學數(shù)學科學學院(510630) 盧廣藝

義務教育課程標準指出:“要充分考慮信息技術對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響,開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學習資源,把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具,有效地改進教與學的方式,使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去[1].”

為了達到上述目標,隨著信息技術的發(fā)展,混合式教學在現(xiàn)代數(shù)學教學中得到了廣泛的應用.另外,為響應教育部對發(fā)展學生核心素養(yǎng)的要求, 提升學生的核心素養(yǎng),促進學生進行深度學習,筆者將深度學習的理念融入到混合式教學中,幫助學生從“知其然”到“知其所以然”最后再到“何以知其所以然”的跨越,滲透數(shù)學研究的一般方法,實現(xiàn)“授人以魚”向“授人以漁”的轉(zhuǎn)變.

那么何為混合式教學? 譚永平認為,混合式教學模式是以行為主義和建構主義學習理論等為指導,借助現(xiàn)代教育技術、互聯(lián)網(wǎng)技術和信息技術等多種技術手段對教學資源進行優(yōu)化組織、整合、呈現(xiàn)和運用,將傳統(tǒng)面對面的課堂教學、實踐實操教學與網(wǎng)絡在線教學進行深度融合,以尋求兩者優(yōu)勢互補,從而實現(xiàn)最佳教學效率和效果的一種教學模式[2].

何為深度學習? 何玲、黎加厚認為,深度學習是指在理解學習的基礎上, 學習者能夠批判性地學習新的思想和事實,并將它們?nèi)谌朐械恼J知結構中,能夠在眾多思想間進行聯(lián)系,并能夠?qū)⒁延械闹R遷移到新的情境中,做出決策和解決問題的學習[3].

綜上所述,筆者認為,可以通過三方面實現(xiàn)混合式教學和深度學習相結合的教學設計: 在教學資源的選擇上,利用現(xiàn)代教育技術、互聯(lián)網(wǎng)技術和信息技術等多種技術手段設計、選擇教學材料; 在課堂環(huán)節(jié)的設計上,可以將課堂分為:批判、同化、遷移三個環(huán)節(jié),環(huán)環(huán)相扣,循序漸進;在課堂展開方式上,將傳統(tǒng)面對面的課堂教學、實踐實操教學與網(wǎng)絡在線教學進行深度融合.

1 內(nèi)容解析

深度學習是以學科核心內(nèi)容為線索的教學設計,主要目標在于通過對核心知識的理解與掌握的過程,培養(yǎng)學生的高階思維和關鍵能力.某一個具體內(nèi)容所蘊含的高階思維和關鍵能力是什么,怎樣確定一個學習內(nèi)容中應當聚焦的高階思維和關鍵能力,這需要對學習的內(nèi)容進行單元整體分析.核心內(nèi)容的單元整體分析的過程是從學科本質(zhì)的分析和學情分析中,提煉教學主題的核心知識、高階思維和關鍵能力.核心的教學目標的提煉,是對單元內(nèi)容的整體分析的結果[4].

本節(jié)課面向的是八年級下學期的學生,針對數(shù)學連堂課而設計,課時量為2 個課時.從學生的知識儲備看,學生在小學階段就已經(jīng)學習過立體圖形的側(cè)面展開圖,在七年級時學過線段公理,在本章也學習了勾股定理,解決此類問題所需要用到的知識均已學過.

從教學主題的核心知識上看,“立體表面最短路徑”是人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第十七章復習題中的典型問題,需要綜合運用立體圖形側(cè)面展開、線段公理、勾股定理等知識,還能夠與將軍飲馬問題相結合,或者結合分類討論思想來考察,涉及面廣泛,綜合性較強.

從高階思維上看,立體表面最短路徑問題需要將平面問題化歸為立體問題,而化歸的數(shù)學思想貫穿于中學數(shù)學學習與解題中,是極其重要且常用的數(shù)學思想.

從關鍵能力上看,在實現(xiàn)立體與平面的化歸過程中,能夠鍛煉到學生的空間想象能力與邏輯推理能力,在使用勾股定理解決問題的過程中,也能夠鍛煉學生的運算能力.

2 教學重難點

深度學習的重點是培養(yǎng)學科高階思維, 根據(jù)上述分析,本節(jié)課的教學重點是將立體問題化歸為平面問題.

將立體問題化歸為平面問題對于初中生而言是困難的.初中生對于平面與立體之間的關系尚未有深刻的理解,空間觀念尚未成熟,不能靈活運用平面幾何的相關知識解決立體問題.因此,教學難點在于向?qū)W生展現(xiàn)化立為平的數(shù)學本質(zhì).

3 教學目標

基于上述分析,可以設置教學目標如下:

(1)將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)學建模的能力,在運用數(shù)學知識解決生活問題的過程中,感受數(shù)學的有用性,激發(fā)數(shù)學的探究熱情;

(2)在解決問題的過程中,理解通過側(cè)面展開的方式化立為平所蘊含的數(shù)學本質(zhì),掌握化歸的數(shù)學思想,掌握尋找立體表面最短路徑以及運用勾股定理求解線段長度的方法,培養(yǎng)空間想象、邏輯推理和運算能力.

4 教學過程

4.1.1 預備——線上預習, 激活記憶, 數(shù)據(jù)分析準確把握學情

著名行為主義學家桑代克認為:“學習者是否會對某種刺激做出反應,同他是否已做好準備有關.”這就是著名的準備律.為了充分發(fā)揮當代信息技術優(yōu)勢,實現(xiàn)混合式教學,筆者于課前在網(wǎng)絡自學平臺上傳了“立體表面最短路徑預習材料”,材料中包含了“線段公理”、“勾股定理”的相關題目.這樣做不僅可以激活學生對相關知識的記憶,讓學生為第二天的課程做好準備,還可以通過大數(shù)據(jù)分析了解學情,在第二天采取適當?shù)慕虒W策略.經(jīng)過分析,可認為該教學班學生基礎較好,適合開展“立體表面最短路徑”課程的教學,學生在線段公理方面上掌握良好,而在勾股定理方面掌握一般.因此,在課上用到勾股定理時,需要講解得更加細致,以確保學生能夠跟上課堂進度.

4.1.2 批判——小組合作,實物演示,GeoGebra 解釋說明

如果學生不能將習得的知識進行批判性思考,那么他僅僅是在進行淺層學習,并沒有看清問題的本質(zhì),在遇到類似的問題時,仍然可能毫無思路.只有進行批判性思考,仔細斟酌每個步驟的必要性與合理性,才能真正內(nèi)化吸收,實現(xiàn)深度學習.筆者將學生分成若干小組,有利于學生以小組為單位進行討論,實現(xiàn)思維的碰撞,提高深度學習的效果.同時,筆者通過傳統(tǒng)的面授教學、實踐實操教學、信息技術輔助教學相結合的混合式教學方式,幫助學生批判性地學習新知識,實現(xiàn)深度學習.

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境,引導學生建模

問題1一棵半徑為0.5m 的圓柱形小樹下,有一只螞蟻,螞蟻對面,小樹高為1m 處有一滴蜂蜜,為了盡快吃到蜂蜜,螞蟻應該如何規(guī)劃路徑呢? 請問螞蟻至少要走多遠才能吃到蜂蜜?

設計意圖創(chuàng)設真實生動的、符合學生認知的問題情境,激發(fā)學生的學習興趣,讓學生感受數(shù)學就在身邊.

問題2題目給了我們什么信息呢? 你能用數(shù)學語言來表述一下嗎?

設計意圖引導學生讀題,挖掘題目所給的信息,利用已知構建出數(shù)學模型,感受生活與數(shù)學之間的相互轉(zhuǎn)化,體會數(shù)學的有用性.

環(huán)節(jié)二批判思考,實踐實操驗證

問題1同學們可以提出什么方案呢?

追問1你們還記不記得平面上的最短路徑問題是怎樣解決的呢?

追問2如果能化為平面問題來解決,豈不美哉?

設計意圖設計問題鏈,層層遞進,引導學生將立體問題化歸為平面問題解決;重新回顧平面上最短路徑問題,為學生的頓悟提供思路.

問題2剛才我們提到了可以將圓柱的側(cè)面展開,根據(jù)線段公理即可得到最短路徑.但這是平面上的最短路徑,是否會跟立體上的最短路徑長度相等呢? 請同學們用課前準備好的紙筒進行驗證.

追問1在運用紙筒操作的過程中,你能否感受到為什么兩條路徑的長度是相等的呢?

設計意圖引導學生進行批判性思考,并通過實踐實操教學,直觀驗證結論的正確性(如圖1 所示),降低數(shù)學的抽象性.

圖1

環(huán)節(jié)三結論推廣,信息技術演示

問題1同學們也可以思考一下,如果要求立體表面上任意兩點直接的爬行距離,是不是也可以化歸成平面問題來操作呢?

設計意圖如圖2 所示,運用GeoGebra 軟件,實現(xiàn)從特殊到一般的過渡,促進學生深度理解側(cè)面展開與否都不會改變對應線段的長度,實現(xiàn)立體到平面的化歸.

圖2

環(huán)節(jié)四練習鞏固,遷移解決問題;

問題1已知長方體ABCD-A1B1C1D1上的兩頂點A,C1.若AB =7、BC =6、AA1=5,那么A 點到C1點沿正方體表面的最短距離有多長?

設計意圖習題鞏固,加深學生對立體表面最短路徑問題的理解,同時考察了分類討論的思想.

4.1.3 遷移——知識融匯,更換刺激情形,加深問題理解

在深度學習中,遷移是必不可少的環(huán)節(jié).學生在接受新的問題情形的刺激時,通過類比舊情形,結合認知結構中已有的知識,批判性地繼承和改造已有思路,加深對問題的理解.筆者采用變式的策略,運用傳統(tǒng)的面授教學與實踐實操教學促進學習遷移.

環(huán)節(jié)一變式呈現(xiàn),引導學生思考

問題1一個高為10cm,底面半徑為5cm 的圓柱形杯子內(nèi)底部有一滴蜂蜜.一只螞蟻從杯子外部,在蜂蜜正對面的位置出發(fā).問: 螞蟻至少需要爬行多遠才能吃到蜂蜜?

追問1這道題目與前面的題目有什么區(qū)別? 你能夠用數(shù)學語言重新表述題目的意思嗎?

設計意圖將將軍飲馬的知識融入到立體表面最短路徑中,為學習的遷移提供更多的材料,追問時再次引導學生進行數(shù)學抽象和數(shù)學建模,加深學生對數(shù)學建模的熟練程度.

環(huán)節(jié)二分析題意,合理聯(lián)想得出解題思路

問題1由前面的知識我們知道,首先我們需要把圓柱的側(cè)面展開,展開后我們能直接套用前面的方法嗎?

追問1要想從杯子的外側(cè)的A 點到達內(nèi)側(cè)的B 點,是不是必須經(jīng)過杯面的邊緣?

追問2經(jīng)過杯面的邊緣,是不是一定會經(jīng)過線段A1A′1?

設計意圖如圖3 所示,引導學生結合題意想象出螞蟻在側(cè)面展開圖上的運動情況,批判性地繼承舊問題情形的解法,為將軍飲馬的頓悟做鋪墊.

圖3

問題2根據(jù)上面的分析,這不就是從定點出發(fā),經(jīng)過線段上的某一點后到達同側(cè)的另一個點?是不是跟以前學過的將軍飲馬問題是一樣的呢?

設計意圖解構題目,構造學生熟悉的問題刺激情境,引導學生運用已學過的將軍飲馬知識解決問題,促進學習遷移的發(fā)生.

環(huán)節(jié)三GeoGebra 直觀演示,揭示數(shù)學本質(zhì)

問題1解決將軍飲馬問題就是作對稱后連線,但是這個操作在立體表面最短路徑問題上代表什么意思呢?

追問1作對稱可不可以理解成將內(nèi)側(cè)的面翻出來?

設計意圖如圖4 所示,運用GeoGebra 直觀展現(xiàn)作對稱在本題中的數(shù)學意義, 讓學生理解為什么能夠想到作對稱這種方法,以及作對稱能夠解決什么問題,實現(xiàn)“何以知其所以然”的深度學習.

圖4

4.1.4 同化——回顧例題, 提煉思想,由淺入深形成認知結構

同化是深度學習中不可缺少的一個環(huán)節(jié).在同化環(huán)節(jié),教師需要回顧課堂內(nèi)容,提煉數(shù)學思想,幫助學生習得課堂核心概念與解題方法,鞏固課堂所學,幫助學生內(nèi)化課堂知識,重組與發(fā)展學生的認知結構.

問題同學們,經(jīng)過前面兩道例題的學習,相信你們對立體表面最短路徑問題已經(jīng)有了一定的認知,那么對于這類問題,你們最大的感受是什么?

設計意圖讓學生成為課堂總結的主人,借助他們之口說出“化立為平”、“化曲為直”的化歸思想,加深學習印象.

4.1.5 推廣——錯例辨析, 課外推廣, 批判思考提升認知高度

授人以魚不如授人以漁,教學不是只教導學生解決某一題的方法,而是要教導學生舉一反三,通過舊問題推廣到新問題,并探討出新問題的解法.為促進學生研究數(shù)學的熱情,筆者對問題進行了改編,并在線上學習平臺上傳了相應的學習材料供感興趣的學生自行學習.

環(huán)節(jié)一批判錯例,促進學習遷移

問題1一圓柱體的底面半徑為1cm,高為3cm,若螞蟻要從點A沿著圓柱體的表面爬行到點A對面正上方的點C,最短路徑是多長? 我們現(xiàn)在先來看一個同學做出的答案.

設計意圖從錯例出發(fā),培養(yǎng)學生敢于質(zhì)疑的數(shù)學學習態(tài)度,鍛煉學生分類討論的數(shù)學思想.

環(huán)節(jié)二簡要分析,提供資源自學

問題1根據(jù)剛才的分析,我們知道,螞蟻可以選擇經(jīng)過不同的面爬行到C點,因此最短路徑的方案需要根據(jù)選擇的面而定,那究竟是怎么爬才是最短的呢? 在這里我們只利用GeoGebra 進行演示,詳細的證明過程將上傳到學習平臺,大家有興趣可以課后自行學習.

設計意圖由于需要用到的知識比較復雜,不要求每個學生都掌握,我們在課上只進行GeoGebra 演示,如圖5 所示,并在自學平臺上上傳了課外拓展包,允許學有余力的學生課后進行自主學習,進一步了解難度更高的知識.

圖5

5 教學反思

筆者認為,基于混合式教學的深度學習教學設計有以下特征:

5.1 評價方式有效性

混合式教學給傳統(tǒng)的教學評價方式帶來了新的挑戰(zhàn).混合式教學的背景下,教師可利用網(wǎng)絡工具進行在線分析,并結合線下教學的實際情況綜合評價教學效果,這就需要形成一套成熟的評價體系.

5.2 認知過程漸進性

在深度學習下,學生需要經(jīng)歷批判、同化、遷移三個階段,在三個階段中循序漸進,形成深層次的認知.另外,這三個層次不是相互獨立的,而是互相滲透、互相包含的.

5.3 教學方式多樣性

在基于深度學習的混合式教學模式上,教師需要融合多種教學方式促進學生學習.在教學過程中,教師可將傳統(tǒng)面對面的課堂教學、實踐實操教學與網(wǎng)絡在線教學進行深度融合,各取所長,充分發(fā)揮混合式教學的優(yōu)勢.