思維型課堂引領(lǐng)下的教學(xué)嘗試與探索*
——以“二次函數(shù)零點的分布問題”為例

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510620) 許 健

1 思維型課堂

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準2017年版》特別提出:“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力, 它是數(shù)學(xué)教育的基本目標之一,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時,不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程,而這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn),有助于學(xué)生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進行思考和做出判斷,數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用.”

數(shù)學(xué)思維能力主要指四個方面的內(nèi)容: 會觀察、實驗、比較、猜想、分析、抽象和概括;會用歸納、演繹、類比進行推理;會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點;運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法,辨明數(shù)學(xué)關(guān)系.可見,數(shù)學(xué)的教育不再只是停留在基本知識的學(xué)習(xí)、基本技能的掌握上,還應(yīng)發(fā)展學(xué)生的基本思想、豐富學(xué)生的基本經(jīng)驗,培養(yǎng)其嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維能力,創(chuàng)新意識和終生學(xué)習(xí)能力,而數(shù)學(xué)思維能力的養(yǎng)成可以形成很大的助力.

林崇德認為:“教師和學(xué)生的核心活動是思維,要著眼于課堂教學(xué)中的思維活動,在聚焦思維結(jié)構(gòu)的智力理論的基礎(chǔ)上構(gòu)建思維型課堂.思維型課堂教學(xué)理論包括認知沖突、自主建構(gòu)、自我監(jiān)控和應(yīng)用遷移四個方面的基本原理;明確課堂教學(xué)目標,突出知識形成過程,聯(lián)系已有知識經(jīng)驗,重視非智力因素培養(yǎng),訓(xùn)練思維品質(zhì)以提高智力能力,創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境,分層教學(xué)因材施教七個方面是課堂的基本要求.”筆者認為思維型的課堂是具有“數(shù)學(xué)味”的課堂,思維型的課堂不是教會學(xué)生玩技巧,而是在探索中找到?jīng)_突,在師生交互、生生交流中迸發(fā)出新的火花的課堂;思維型課堂是滿是“邏輯味”的課堂,思維的活動是課堂的關(guān)鍵,而這些活動離不開嚴密的邏輯作為支撐,所以一條清晰的邏輯線索是思維型課堂必備的;思維型課堂是“反思與精進”的課堂,新事物、新思維的形成總是難以避開——猜想、嘗試、發(fā)現(xiàn)漏洞、完善系統(tǒng)這一步驟,在課堂上引導(dǎo)學(xué)生不停地反思、不斷地精進,著力形成一套完整、完備的知識系統(tǒng).

2 思維型課堂指引下的教學(xué)實踐與思考

2.1 構(gòu)建認知沖突,激發(fā)自主思考

認知沖突是指認知主體已有認知結(jié)構(gòu)與新知識或新情境之間不能包容,或不同認知主體對某一問題存在不同看法時心理上所產(chǎn)生的矛盾或沖突.認知沖突最早出現(xiàn)在皮亞杰的認知發(fā)展理論中的“認知不平衡”,皮亞杰認為:“個體的認知發(fā)展是在認知不平衡時通過同化或順應(yīng)兩種方式來達到認知平衡的,認知不平衡有助于學(xué)生建構(gòu)自己的知識體系”.心理學(xué)家費斯廷格的認知不協(xié)調(diào)理論認為人類需要內(nèi)在的一致性.認知的沖突應(yīng)是知識學(xué)習(xí)的開端,內(nèi)心的需求更能激發(fā)學(xué)生自主調(diào)整、學(xué)習(xí)的意識和思維層面的思索與探究.

問題1.1已知二次函數(shù)y =x2+(m-3)x+m 有兩個零點,求m 的取值范圍;

問題1.2已知二次函數(shù)y =x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(0,+∞)有兩個零點,求m 的取值范圍;

問題1.3已知二次函數(shù)y =x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(1,+∞)有兩個零點,求m 的取值范圍;

問題1.4已知二次函數(shù)y =x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(0,1)、(1,2)內(nèi)各有一個零點,求m 的取值范圍;

設(shè)計意圖1、問題1.1、1.2、1.3 學(xué)生可以借助已有的數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗求解,通過這三個問題喚醒學(xué)生已有的知識和方法;2、通過前三個問題讓學(xué)生意識到二次函數(shù)的零點問題實際上與一元二次方程的根的分布一致,且不能僅靠判別式得出結(jié)論;3、在處理問題1.3 時,學(xué)生會采用根與系數(shù)關(guān)系進行求解,在這里強調(diào)兩個根大于1 的正確等價形式;4、問題1.4 是在前3 個問題的基礎(chǔ)上自然而然產(chǎn)生的,但其產(chǎn)生讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)再用已有的方法和經(jīng)驗解決問題存在計算和表達上的繁瑣與阻礙,借此引起認知上的沖突,激發(fā)對新方法、新思路的思考與探尋;

2.2 回顧新獲知識,形成自我建構(gòu)

《論語》中的“不憤不啟,不悱不發(fā)”則指出了在認知沖突下的學(xué)習(xí)者的困境——“心求通而未能,口言語而不得”,同時指導(dǎo)教師重視教育教學(xué)的“適時性”——學(xué)生遇到困難想要努力解決時,此時的點播才是最有力的,也更能激起自主建構(gòu)新知識的強烈意識, 認知建構(gòu)在這樣的情況下悄然發(fā)生.維果斯基在說明教學(xué)與發(fā)展之間的關(guān)系時,提出了“最近發(fā)展區(qū)”理論,也即找到學(xué)生的知識生長點,而生長點不是憑空產(chǎn)生的,應(yīng)建立在已有的知識、經(jīng)驗、能力之上.教材的編寫具有科學(xué)且嚴密地邏輯關(guān)系,教學(xué)中教師應(yīng)該更重視教材的前后知識的內(nèi)在邏輯,以幫助學(xué)生進行更系統(tǒng)的知識建構(gòu)和能力成長.

二次函數(shù)的零點分布問題出現(xiàn)在函數(shù)與方程的習(xí)題中,這不僅是一個簡單的題型聯(lián)系,應(yīng)該還存在知識方法與思考方式的內(nèi)在聯(lián)系,帶領(lǐng)學(xué)生回顧最新獲取的知識,并將其特殊化,尋求新問題的突破方法.

師: 我們一起來回顧零點判斷的一個定理——零點存在性定理: 如果函數(shù)y = f(x) 在區(qū)間[a,b] 上的圖像是一條連續(xù)的曲線,且有f(a)f(b) < 0,那么函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在c ∈(a,b),使得f(c) = 0.關(guān)于零點存在性定理需辯析兩個關(guān)鍵問題: 一是連續(xù)的函數(shù)與閉區(qū)間的意義;二是該定理的運用的限制,即函數(shù)值異號可判斷有零點,零點的個數(shù)的確定還不夠充分,同時函數(shù)值同號難以成為判斷零點有無的條件.當我們把這個定理放在特殊的函數(shù)背景下,又會產(chǎn)生什么樣的變化呢? 現(xiàn)在請大家一起思考和討論: 在二次函數(shù)f(x) = ax2+bx+c 下,如果f(m)f(n)<0 時,在區(qū)間(m,n)內(nèi)的零點個數(shù)能否確定?

生: 零點只有一個.

師: 為什么在二次函數(shù)的背景下,可以得到確定的零點個數(shù)呢?

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生利用最近學(xué)過的知識對二次函數(shù)的零點問題進行探究,學(xué)以致用,增強知識的連貫性和邏輯性,同時,通過該問題的探究強化運用零點存在性定理不可確定零點的個數(shù),但結(jié)合單調(diào)性可以解決一些簡單函數(shù)的零點個數(shù),為以后研究更難一些的零點問題埋下方法和思想的伏筆.

師: 反過來,若二次函數(shù)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有一個零點,是否可以得到f(m)f(n)<0,為什么?

生: 如果該二次函數(shù)有且僅有一個零點,則f(m)f(n)>0.

師: 在這里請大家注意一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根, 則其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x 軸有且僅有一個交點,則此時其只有一個零點.還能不能找出其他的反例呢?

生: 如果邊界值恰好為零點,另一個零點在區(qū)間(m,n)內(nèi),此時f(m)f(n)=0,但其仍滿足區(qū)間(m,n)內(nèi)有一個零點.

師: 二次函數(shù)在區(qū)間(m,n) 內(nèi)有一個零點是f(m)f(n) < 0 的必要不充分條件, 那么可否通過添加某些條件,使其為充要條件?

生: 若該二次函數(shù)有兩個零點,且零點不在邊界值取到,則結(jié)論成立.

師: 非常好! 總結(jié)一下: 若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c有兩個零點,則在區(qū)間(m,n)內(nèi)的有一個零點且m,n 不為零點?f(m)f(n)<0;

設(shè)計意圖在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用之前,應(yīng)有嚴謹?shù)臄?shù)理邏輯作為支撐,未建立嚴謹?shù)倪壿嬛安豢蓙y用關(guān)系;通過對零點存在性定理在二次函數(shù)下的應(yīng)用,明確其具體的條件和用法,為下一步的表達打下邏輯基礎(chǔ);數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和邏輯性在教學(xué)中一定要著重體現(xiàn),數(shù)學(xué)體系的形成不是一蹴而就,而是經(jīng)過了一系列嚴謹?shù)倪壿嬐评矶鴣?提醒學(xué)生在形成自主建構(gòu)時,必須先有嚴密的推理,理清楚每一部的邏輯是否科學(xué),才能保證自主建構(gòu)的正確與穩(wěn)定.

2.3 辨析完善新知,實現(xiàn)自我監(jiān)控

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維自我監(jiān)控,是為了保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高效和成功,而在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,對學(xué)習(xí)對象積極主動的計劃、檢驗、調(diào)節(jié)和管理,自我監(jiān)控是自我意識在思維中的體現(xiàn),是思維結(jié)構(gòu)的頂點或最高形式;自我監(jiān)控是知識內(nèi)化的過程,是對對象的認識和深入理解、辨析,特別是檢驗與調(diào)節(jié)環(huán)節(jié),強調(diào)了學(xué)生主體,是學(xué)生在學(xué)、在體會,也反映了學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的批判意識.杜威認為:“反思思維的功能是把含糊的、可疑的、矛盾的、某種失調(diào)的情境變成清晰的、有條理的、安定的及和諧的情境”.學(xué)生學(xué)習(xí)時,應(yīng)注意對新的知識保持足夠的好奇、思考和完善,最終準確和靈活地運用所學(xué)的知識.

問題2.1: 請利用總結(jié)出的結(jié)論,解決問題1.4: 已知二次函數(shù)y = x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(0,1)、(1,2)內(nèi)各有一個零點,求m 的取值范圍;

追問因為該二次函數(shù)有兩個零點,其判別式應(yīng)為正數(shù),以上列出的不等式組能否體現(xiàn)出該要求? 能不能結(jié)合其他的信息,進一步的確定各個函數(shù)值的符號呢?

設(shè)計意圖運用知識、熟悉知識是認知建構(gòu)的基礎(chǔ),但建構(gòu)的新方法、新知識也應(yīng)注意與之前的知識保持一致協(xié)調(diào),追問則出于此,呈現(xiàn)了自我監(jiān)控時的過程;讓學(xué)生意識到二次函數(shù)只要出現(xiàn)了兩個函數(shù)值異號的情況則必有兩個零點.

小結(jié)根據(jù)問題1.4 的求解過程發(fā)現(xiàn): 如果二次函數(shù)有兩個零點,只需確定兩個有解區(qū)間,進而求出參數(shù)的范圍,即二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c 的兩個零點位于區(qū)間(m,n),(p,q)內(nèi),則即可求出參數(shù)的取值范圍.

問題2.2回到“問題1.3: 已知二次函數(shù)f(x) =x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(1,+∞)有兩個零點,求m 的取值范圍”.該題條件給出的是在一個區(qū)間內(nèi)有兩個零點,大家能否將其轉(zhuǎn)化為兩個有解區(qū)間?

生: 二次函數(shù)的零點一定位于對稱軸的兩邊,則我們可以把區(qū)間拆分成兩個有解區(qū)間,即為(1,對),(對,+∞)兩個有解區(qū)間;

師: 非常好,那么按照總結(jié)出的方法可得: f(1)f(對) <0,f(對)f(+∞) < 0; 是否有這兩個條件就夠了? 怎么理解f(對),f(+∞)?

師: 轉(zhuǎn)化的結(jié)果非常有意思,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴謹和統(tǒng)一.大家可以嘗試運用該方法求解問題1.1 和問題1.2,分享一下你的收獲?

設(shè)計意圖確定了處理該問題的一般邏輯思路后,拋出問題2.2.這個的看上去不嚴格吻合的問題,引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)的知識將問題轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性;在轉(zhuǎn)變的過程中遇到了對稱軸的位置的判斷和無窮大處的函數(shù)值問題,需要同學(xué)對這些問題進行思考和辨析; 感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性,通法不是解決某一個題目、某一個問題的方法,而是解決某一類問題的辦法,學(xué)生學(xué)習(xí)過程中要研究通性通法,學(xué)會觸類旁通、舉一反三.

2.4 知識遷移應(yīng)用,助力知識內(nèi)化

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會出現(xiàn)“懂而不會”的情況,“懂”指得是“知道”和“了解”,這是學(xué)習(xí)的淺層階段;而“會”在懂得前提下,要求的是“理解、領(lǐng)悟”與“應(yīng)用”,學(xué)生需要達到會說、會認和會做,它建立在熟練地操作和不斷地反思之上.實際上,其對應(yīng)了學(xué)習(xí)中智力和能力,智力是認識,是保證有效地認識客觀事務(wù)的穩(wěn)固的心理特征的綜合;能力偏于活動,保證順利地進行實際活動的穩(wěn)固的心理特征的綜合.課堂的目標應(yīng)該定位在“會”上,達成的是學(xué)生能力的提升,方法的理解、知識的應(yīng)用、解題的體驗是課堂不可或缺的部分.

練習(xí)1已知二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m 的兩個零點一個大于1,一個小于1,求m 的取值范圍;

練習(xí)2已知二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m 的兩個零點一個大于3,一個小于1,求m 的取值范圍;

練習(xí)3已知二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(1,3)有兩個零點,求m 的取值范圍;

練習(xí)4已知二次函數(shù)f(x)=(m-2)x2-(3m+6)x+6m 在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個零點,求m 的取值范圍;

設(shè)計意圖練習(xí)題組的三個問題是二次函數(shù)的兩個零點問題的三種不同的形式,檢驗學(xué)生對于知識的掌握程度,思維的靈活程度;練習(xí)4 的參數(shù)出現(xiàn)在了二次項系數(shù)里,知識背景有所不同,借此來檢驗學(xué)生對知識的掌握程度,反映其應(yīng)用遷移能力.

2.5 體驗思考過程,總結(jié)思維方法

韋特海默在《創(chuàng)造性思維》中指出:“產(chǎn)生創(chuàng)造性思維的最大敵人就是,在處理相關(guān)信息時,通過回憶過去已經(jīng)掌握了的知識或某些事實,通過不辭辛苦的態(tài)度,盲目地應(yīng)用學(xué)習(xí)過了的那些零碎的東西,而不是從信息的本來面目,從結(jié)構(gòu)上,從結(jié)構(gòu)要求上統(tǒng)領(lǐng)全局”.知識的零碎對學(xué)生的學(xué)習(xí)是有傷害性的,當你在雜亂無序的地方尋找你想要的東西總是需要花費更多的時間,甚至難以找出,但知識如圖書館里的書一樣,按照某種邏輯方式進行擺放,并有一定的檢索方式,就能幫讀者或管理人員快速且準確的找到想要的書籍.教學(xué)中,我們也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生整理這些零碎的知識,總結(jié)歸納學(xué)習(xí)的方法,明確其內(nèi)在的線索,為再創(chuàng)造鋪下基石.

師: 本節(jié)課圍繞著二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c 的兩個零點問題進行討論,請同學(xué)們討論并嘗試總結(jié)該問題的處理方式以及注意事項;

生: 問題的關(guān)鍵在于尋找出兩個有解區(qū)間,特別注意的是對稱軸是天然的零點分界線,然后只需兩端函數(shù)值異號即可.但是本方法適用于明確兩個零點時使用,那么如果在某個區(qū)間內(nèi)僅有一個零點,應(yīng)該怎么處理呢?

變式: 已知二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(1,3)有且僅有一個零點,求m 的取值范圍;

設(shè)計意圖與學(xué)生一起總結(jié)知識與方法,了解其原理、背景和步驟,并思考其可能的變式形式;二次函數(shù)的零點問題還存在其他的情形,如在某個區(qū)間內(nèi)有一個零點或沒有零點,解決這些問題,才算全面分析了二次函數(shù)的零點問題,所以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)向下思考,完善整個體系,為學(xué)生自主設(shè)問做了示范.

3 教學(xué)評價及反思

3.1 教學(xué)評價

本節(jié)課是在思維型課堂引領(lǐng)下的教學(xué)設(shè)計,教學(xué)的目標分為兩部分: 知識層面上是學(xué)會處理二次函數(shù)零點分布這類問題的方法,思維層面上是掌握思索問題或處理問題的一般思維過程: 發(fā)現(xiàn)問題,產(chǎn)生沖突——回顧已知,發(fā)現(xiàn)聯(lián)系——建立邏輯,嘗試解決——總結(jié)歸納,形成知識——應(yīng)用遷移,變式發(fā)散,但這不是一個“順序結(jié)構(gòu)”,而應(yīng)是“循環(huán)結(jié)構(gòu)”.

知識層面的評價是通過學(xué)生上課的師生對話及生生互動和練習(xí)的結(jié)果進行評估,如通過學(xué)生完成練習(xí)1、練習(xí)2、練習(xí)3 來檢驗學(xué)生的知識和方法的掌握情況;思維層面的評價通過學(xué)生的設(shè)問和追問來評價,所以學(xué)生能夠在關(guān)鍵點上提出關(guān)鍵性的問題可以作為一項評價的標準,另外通過學(xué)生解決變式問題和開放性問題的結(jié)果作為評價的另一項標準,如跟蹤變式“已知二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m 在區(qū)間(1,3)有且僅有一個零點,求m 的取值范圍;”及課后的結(jié)構(gòu)不良型練習(xí)“已知二次函數(shù)f(x) = mx2+(m-3)x+2在區(qū)間____(填寫區(qū)間)有____(填寫個數(shù))個零點,求m 的取值范圍”的求解情況對課堂的生成進行評價.

3.2 課堂反思

思維型課堂是一個以知識學(xué)習(xí)驅(qū)動思維活動的課堂.本節(jié)課將學(xué)生學(xué)過的初中基礎(chǔ)知識和基本的解題經(jīng)驗作為導(dǎo)入, 制造沖突, 引發(fā)思考.為了讓學(xué)生專注于變化, 設(shè)計時力求“變中求穩(wěn)、控制變量”, 變的是背景和思考方式方法, 如題目中變化的區(qū)間, 變化的交點個數(shù), 初中的判別式法和根與系數(shù)關(guān)系的方法變化為零點存在性定理的應(yīng)用與分析;穩(wěn)定的是思維材料的穩(wěn)定和思維過程的穩(wěn)定,函數(shù)f(x) = x2+(m-3)x+m 的零點是整節(jié)課的研究對象;思維過程則是通過辨析用“一以貫之”的方式進行不同情況的思考和處理,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有清晰的邏輯串聯(lián),而清晰的邏輯更能保證學(xué)生對知識的認識與理解,思維方法的建立和思維能力的提升.

思維型課堂是一個思維迸發(fā)、包容并蓄的課堂.結(jié)合備課的材料,本節(jié)課的教學(xué)大多采用數(shù)形結(jié)合的方式進行探究和討論.在探究二次函數(shù)的零點問題與零點存在性定理的關(guān)系時使用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法,然后用一條代數(shù)的邏輯線解決該問題,以便學(xué)生建立清晰的思維全面的解決該問題,但方法的選擇上和融合還可以進一步的探究和實踐;同時,思維型課堂應(yīng)創(chuàng)造足夠的空間讓學(xué)生盡情的表達自己的想法,這也對老師提出了更高的要求.

關(guān)注學(xué)生的學(xué)法應(yīng)該成為思維課堂重視的一個重要環(huán)節(jié),思維型課堂符合“立德樹人”的理念,是培養(yǎng)學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)乃至終生學(xué)習(xí)能力的課堂,它要求學(xué)生有更多的思考和嘗試,但學(xué)生是否具備了這些能力? 是否能夠在教師的引導(dǎo)下產(chǎn)生這些思考? 教師應(yīng)該關(guān)注這些問題,當然這不是一節(jié)課或幾節(jié)課能夠解決的,所以更需要持續(xù)地關(guān)注和引導(dǎo),讓學(xué)生清楚自己在這樣的課堂下扮演的角色,掌握學(xué)法,以達成理想的效果.