拋物線中一類直線過定點(diǎn)問題的探究與推廣*

江蘇省常州市第二中學(xué)(213000) 王 強(qiáng)

圓錐曲線是高中平面解析幾何研究的主要對(duì)象,平面解析幾何的研究方法是通過建立幾何圖形的代數(shù)方程(或不等式),實(shí)施代數(shù)運(yùn)算,并由代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果得到幾何圖形的性質(zhì).類比、聯(lián)系、特殊化、推廣、化歸等是數(shù)學(xué)研究中的常用方法,只要我們善于類比和推廣,會(huì)發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中有很多相似的結(jié)論,它如同一座金礦等待我們?nèi)ラ_采.

定點(diǎn)問題是高考和?？嫉某？純?nèi)容,既要求學(xué)生具有扎實(shí)的學(xué)科知識(shí)和嫻熟的運(yùn)算能力,又突出呈現(xiàn)對(duì)方法的靈活選擇和算法的合理優(yōu)化,能夠全面地考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 2022年揚(yáng)州市高三期末解析幾何解答題考的是拋物線中的一類定點(diǎn)問題,本文對(duì)此類定點(diǎn)問題進(jìn)行了探究與推廣,給出了拋物線中的一般化結(jié)論,進(jìn)一步將結(jié)論推廣到橢圓和雙曲線,推廣的過程中應(yīng)用GeoGebra進(jìn)行了輔助驗(yàn)證.

1 探究由來,橫向推廣

試題呈現(xiàn)(2022年揚(yáng)州高三期末考試數(shù)學(xué)第21題)已知拋物線y2= 2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求拋物線的方程;

(2)過點(diǎn)P(1,1)作兩條動(dòng)直線l1,l2分別交拋物線于點(diǎn)A,B,C,D.設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m,試判斷直線m是否經(jīng)過定點(diǎn),并說明理由.

第一問答案為y2= 4x,第二問答案為定點(diǎn),因第二問是下面定理1當(dāng)p = 2, x0= 1,y0= 1,的特殊情形,證法相似此處省略證明.

將上述拋物線第二問的結(jié)論一般化,得到如下定理1.

定理1設(shè)拋物線C : y2= 2px(p＞0), P(x0,y0)是平面上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作兩條動(dòng)直線l1,l2分別交拋物線于點(diǎn)A,B,C,D.設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m,則直線m過定點(diǎn).

證明當(dāng)過點(diǎn)P的斜率為0時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意.當(dāng)過點(diǎn)P的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l1: x - x0= m1(y - y0),直線l2: x - x0=m2(y - y0).聯(lián)立y2= 2px和x - x0= m1(y - y0)得y2- 2pm1y + 2pm1y0- 2px0= 0.設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),則y1+ y2= 2pm1, y1y2= 2pm1y0- 2px0, x1+ x2=m1(y1+ y2- 2y0) + 2x0= 2pm- 2m1y0+ 2x0,

則以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(yy2) = 0即將式①中的各項(xiàng)代入式②整理化簡得

同理,以CD為直徑的圓的方程為

2 縱向推廣,完善結(jié)論

對(duì)于一個(gè)好問題,著名教育家波利亞曾這樣比喻:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都是成堆地生長的,找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個(gè)”.當(dāng)我們幸運(yùn)地發(fā)現(xiàn)第一朵蘑菇后,可以通過推廣、類比、一般化等數(shù)學(xué)研究方法發(fā)現(xiàn)周圍更大地蘑菇.我們可以進(jìn)一步思考,將拋物線換成橢圓或雙曲線,是否也有類似的結(jié)論,經(jīng)過探究得到定理2.

定理2設(shè)橢圓C := 1(a＞b＞0), P(x,y)00是平面上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作兩條動(dòng)直線l1,l2分別交橢圓于點(diǎn)A,B,C,D.設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m,則直線m過定點(diǎn)

證明當(dāng)直線l1,l2的斜率均存在且不為0,則設(shè)直線l1: y - y0= k1(x - x0)直線l2: y - y0= k2(x - x0),聯(lián)立= 1(a＞b＞0)和y - y0= k1(x - x0)得

設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),則

因?yàn)橹本€l1,l2的斜率均不為0,可設(shè)= m,則2直線l1: x-x0= m1(y-y0),直線l2: x-x0= m2(y-y0).聯(lián)立橢圓C和x - x0= m1(y - y0)得

則易得:

則以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(yy2) = 0,即

將式⑤和⑥代入整理得式⑦

同理,以CD為直徑的圓的方程為式⑧

進(jìn)一步整理式⑨得

令

解得

當(dāng)直線l1或l2的斜率為0時(shí),不妨設(shè)l1的斜率為0,此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為x2+(y - y0)2= a2(1-),此方程即是式⑦k = 0時(shí)對(duì)應(yīng)的方程.

當(dāng)直線l1或l2的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)l1的斜率不存在,此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為(x - x0)2+ y2=,此時(shí)結(jié)合式⑧,兩式相減可得直線m的方程為

代入(?)式檢驗(yàn)始終滿足上面的方程(此處證明不再贅述),因而定理2得證.

特別地,當(dāng)a = b時(shí),此時(shí)橢圓C的方程即為圓的方程,由定理2可推得定理3.

定理3設(shè)圓C : x2+ y2= a2(a＞0), P(x0,y0)是平面上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作兩條動(dòng)直線l1,l2分別交圓于點(diǎn)A,B,C,D.設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m,則直線m恒過定點(diǎn)P(x0,y0).

3 技術(shù)輔助,解后反思

通過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)雙曲線中也有這樣神奇的結(jié)論,從而得到下面的定理4,并借助GeoGebra進(jìn)行了驗(yàn)證,有興趣的讀者可以類比定理2的證明方法推證定理4.

定理4設(shè)雙曲線C := 1(a＞0,b＞0),P(x0,y0)是平面上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作兩條動(dòng)直線l1,l2分別交雙曲線于點(diǎn)A,B,C,D.設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m,則直線m過定點(diǎn)

章建躍教授提出“四個(gè)理解”是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵,“理解技術(shù)”就是要懂得如何有效利用技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教.本探究中充分發(fā)揮動(dòng)態(tài)幾何軟件GeoGebra的輔助功能,在定理猜想中利用GeoGebra的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能對(duì)一般情況進(jìn)行驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)研究的可行性;在定理證明后利用GeoGebra軟件的數(shù)值計(jì)算功能對(duì)定理結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,確定結(jié)論的可靠性.

從這類直線過定點(diǎn)問題的研究中筆者深切感受到GeoGebra軟件不僅是一個(gè)幾何圖形動(dòng)態(tài)展示的強(qiáng)大工具,更是一個(gè)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的有效利器,也為探究性作業(yè)的設(shè)計(jì)和完成提供了自主探究的平臺(tái).在新課改中我們應(yīng)加強(qiáng)提升自身的信息技術(shù)素養(yǎng),更好地利用技術(shù)促進(jìn)教與學(xué),這也是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的必經(jīng)之路.