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    Helmholtz聲學超材料帶隙特性分析

    2022-10-09 08:43:20鐘可欣孫維鵬趙道利劉園園馬薇譚婷
    哈爾濱工程大學學報 2022年9期
    關鍵詞:截止頻率帶隙內(nèi)腔

    鐘可欣, 孫維鵬, 趙道利, 劉園園, 馬薇, 譚婷

    (1.西安理工大學 水利水電學院,陜西 西安 710048; 2.上海交通大學 機械與動力工程學院, 上海 200240)

    聲學超材料(acoustic metamaterials,AMs)是具有亞波長周期性的人工結(jié)構(gòu)材料[1]。彈性波在聲學材料中傳播時,受內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響,存在一種特殊的色散關系,為人為調(diào)控彈性波提供了可能[2]。

    振動帶來的影響不容忽視[3],聲學超材料的出現(xiàn),為減振降噪等問題的解決提供了新思路[4]。Li等[5]設計了一種具有復合周期棒芯的新型彈性夾層超材料板, 利用有限元和譜元混合方法(FE-SEHM)計算了其動剛度矩陣,通過數(shù)值模擬和實驗驗證了其頻率響應曲線。Jin等[6]提出了一種由層狀蜂窩元結(jié)構(gòu)組成的隔振器,基于布拉格散射和局部共振帶隙對工程結(jié)構(gòu)的噪聲和振動問題進行了研究。Gao等[7]提出了一種具有2個諧振器的二維聲子晶體,研究了其帶隙特性。Oudich等[8]提出了一種具有復合散射體結(jié)構(gòu)的聲子晶體。Wang等[9]采用有限元方法研究了具有開口和閉口諧振腔的聲子晶體板。Guenneau等[10]設計了一種具有雙“C”諧振器的二維圓柱結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)在低頻下有很好的負折射效果。Popa等[11]提出了一種具有主動聲學超材料的體系結(jié)構(gòu),其具有的負折射率、負有效質(zhì)量密度和顯著的非均勻性的特性可用于設計負折射率介質(zhì)和具有可調(diào)增益和吸收特性。Gardezi等[12]數(shù)值模擬了由2個疊層鋼板中互相連通的空腔組成的聲學超材料的扭轉(zhuǎn)行為。Mei等[13]提出了一種薄膜聲學超材料,選擇性完全吸收100~1 000 Hz內(nèi)的低頻聲音。Jiang等[14]設計并實現(xiàn)了一種超寬帶超材料的吸聲材料。Li等[15]提出了一種散射體為雙面階梯諧振器的超材料,通過數(shù)值分析和實驗驗證了低頻寬帶彈性波的衰減和振動抑制。

    近年來,具有Helmholtz諧振腔的聲學超材料成為學者們的研究熱點之一。Helmholtz諧振器是最基本的聲學模型之一,在吸聲降噪等領域被廣泛應用。典型的Helmholtz諧振器由一個頸部和一個空腔組成。Fang等[16]設計了一種由剛性壁腔和一側(cè)開一個小孔組成的Helmholtz諧振器,在共振頻率附近具有負值的有效動模量,所研究的頻率范圍在20~50 kHz,該結(jié)構(gòu)可用于負折射和超透鏡領域。Han等[17]提出了一種具有剛性壁的新型Helmholtz型聲子晶體,該結(jié)構(gòu)由矩形腔體和“W”型空氣通道組成,當晶格常數(shù)為62 mm時,第一完全帶隙最小為12 Hz,帶寬為14.6 Hz。Zhang等[18]設計了一種由腔體、連接頸部、頂部金屬膜和穿孔板組成的Helmholtz諧振器(HHRs),采用數(shù)值模擬的方法對聲輻射性能進行了研究。Li等[19]研究了Helmholtz諧振器嵌入流體基質(zhì)的二維(平行的剛性狹縫管)/三維(剛性球型)聲子晶體的聲傳輸特性。Hu等[20]提出了一種由二維Helmholtz諧振器陣列組成的聲子晶體,該晶體組成的聲透鏡具有較好的聚焦效果。Hu等[21]推導出流體中二維和三維Helmholtz諧振器聲學超材料的有效質(zhì)量密度和有效體積模量的解析式。Liu等[22]提出了一種由周期排列的耦合Helmholtz諧振器組成的寬帶聲能收集器,所提出的結(jié)構(gòu)可以在頻率范圍為460~680 Hz下獲得較高的輸出電壓。

    以往對于Helmholtz諧振腔聲學超材料的研究,其帶隙范圍主要集中在500 Hz以下或者大于10 kHz,完全帶隙范圍在1 000~5 000 Hz的研究相對較少,因此在本文研究的完全帶隙范圍選擇在該范圍內(nèi)。提出了一種由Helmholtz諧振腔構(gòu)成的新型聲學超材料,采用有限元方法對其能帶結(jié)構(gòu)及其傳輸譜進行計算,并結(jié)合振動模態(tài)分析局域共振帶隙的產(chǎn)生機理。其次,通過對Helmholtz諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行設計,實現(xiàn)對彈性波的調(diào)控,最大可將完全帶隙帶寬拓寬至316.1 Hz,頻率范圍主要在1 000~4 000 Hz,所提出的結(jié)構(gòu)對Helmholtz聲學超材料的設計與研究提供理論指導。

    1 模型及計算方法

    1.1 有限元模型

    提出了一種由Helmholtz諧振腔和鋁板組成的聲學超材料,如圖1所示,圖1(a)為該超材料的三維單元結(jié)構(gòu)圖、圖1(b)為xoz平面上的剖面圖、圖1(c)為該單元組成的6×6有限周期超胞結(jié)構(gòu)、圖1(c)為布里淵區(qū)。單元結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)為a=10 mm,基體厚度為t=0.4 mm,Helmholtz諧振腔內(nèi)頸高度為h、半徑為r1、內(nèi)腔高度為h、半徑為r2,Helmholtz諧振腔體厚度為s。如表1為本文在計算中使用的材料參數(shù)。

    表1 材料參數(shù)Table1 Material parameter

    1.2 能帶結(jié)構(gòu)計算方法

    對于圖1所提出的聲學超材料,其能帶結(jié)構(gòu)可以基于基爾霍夫薄板理論作為控制方程來求解,其控制方程為[23]:

    (1)

    fj為諧振器施加在位置rj+R上的荷載,存在:

    fj(rj+R)=fj(rj)exp(-ik·R)

    (2)

    (3)

    式中S為單胞的面積。由于彈簧振子是基于單胞的力學近似,故有:

    fj(rj)=-Kj(uj-w(rj))=-ω2mjuj

    (4)

    式中uj、Kj和mj分別為彈簧振子在該位置的振動位移、彈性剛度和質(zhì)量。

    聯(lián)合上述公式即可對聲學超材料的能帶結(jié)構(gòu)進行計算,也即:

    SD[(kx+Gx)2+(ky+Gy)2]2wG+

    exp[i(k+G)·rj]=Sρhω2wG

    (5)

    -Kj{∑G′wG′exp[-i(k+G′)·rj]-uj}=ω2mjuj

    (6)

    2 帶隙形成機理

    為進一步說明所提出的Helmholtz聲學超材料的帶隙形成機理,使用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics對特定的單元結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)及傳輸譜進行計算。選取結(jié)構(gòu)參數(shù)r1=2.5 mm,r2=3 mm,h=4.5 mm,s=1.4 mm的Helmholtz聲學超材料進行計算,其傳輸譜計算公式為[24]:

    (7)

    式中:out(solid.disp)為給定的位移激勵;in(solid.disp)為輸出的位移響應。本文考慮在x方向上存在10個單元結(jié)構(gòu)組成的有限陣列,在y方向上仍應用周期性邊界條件來表示無限個單元結(jié)構(gòu),在陣列結(jié)構(gòu)的一端沿z方向給出一個位移激勵,得出位移響應即可獲得該結(jié)構(gòu)的傳輸譜。

    如圖2為選定的Helmholtz聲學超材料的能帶結(jié)構(gòu)圖和傳輸譜,圖中陰影部分(2 449.3~2 758.4 Hz)為該結(jié)構(gòu)的完全帶隙,而方向帶隙的頻率范圍為2 269.8~2 449.3 Hz和2 758.4~3 143.2 Hz,從圖中可以看出,完全帶隙、方向帶隙和傳輸譜的頻率范圍基本吻合,在完全帶隙和方向帶隙的頻率范圍內(nèi),輸出的位移激勵小于輸入的位移激勵,彈性波在傳播過程中受到了衰減,也即在完全帶隙頻率范圍內(nèi)可以很好地抑制彈性波。在完全帶隙的頻率范圍內(nèi),出現(xiàn)了2條平直帶,即2 629.8 Hz和2 632 Hz。

    如圖3(a)~(e)為圖2能帶結(jié)構(gòu)圖中點a~f的振動模式,a點位于完全帶隙的起始頻率上,其振動模式為Helmholtz諧振腔的扭轉(zhuǎn)模式,而基板保持靜止狀態(tài),也即彈性波主要作用在Helmholtz諧振腔上。b點和c點是禁帶中的本征模,不同波矢幾乎對應于相同的本征頻率,從而導致平直帶的出現(xiàn),根據(jù)聲學超材料的局域共振機制,禁帶的出現(xiàn)不僅取決于局域本征模和共振“平帶”,還取決于共振帶與基板Lamb模之間的模式耦合[15]。b點和c點在z方向振動幾乎為0,沒有和基板的Lamb模耦合,也即未對低頻帶隙造成影響。d點位于完全帶隙的截止頻率上,其Helmholtz諧振腔處于扭轉(zhuǎn)模式,而基板在z方向存在很小的振動。e點的振動模式為基板沿著z方向向上運動,內(nèi)頸沿著z方向向下運動。f點在帶隙的下邊界,對應于帶隙的固有頻率,其振動模式為沿著z方向垂直運動。

    圖2 能帶結(jié)構(gòu)及傳輸譜Fig.2 Band structure and transmission spectrum

    圖3 振動模式Fig.3 Mode of vibration

    3 完全帶隙影響因素分析

    局域共振單元可以等效為“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng),帶隙的起始頻率(固有頻率)與諧振器的等效剛度和等效質(zhì)量有關;而計算帶隙的截止頻率時,局域共振單元等效為“質(zhì)量-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng),與等效剛度和散射體與基板質(zhì)量有關[25]。故在分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對超材料能帶結(jié)構(gòu)的影響時,分別研究Helmholtz諧振腔內(nèi)頸半徑r1、內(nèi)腔半徑r2、內(nèi)頸(內(nèi)腔)高度h等結(jié)構(gòu)參數(shù)對完全帶隙的起始頻率、截止頻率和帶寬的影響。

    如圖4所示,當h=4 mm,s=1 mm時,圖4(a)~(c)分別為當控制r1為3.5 mm、3 mm和2.5 mm時,完全帶隙起始頻率和截止頻率隨內(nèi)腔半徑r2的變化曲線圖,圖4(d)為帶寬隨r1、r2的變化曲線圖。從圖2(a)~(c)可以看出,當改變r1的值從1~3 mm、改變r2的值為2.5~3.5 mm時,Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率均在2 000~3 000Hz內(nèi)。當r2不變時,完全帶隙的起始頻率和截止頻率隨著r1的增大而增大;當r1不變時,完全帶隙的起始頻率和截止頻率隨著r2的增大而減小。由此可得,Helmholtz聲學超材料的起始頻率和截止頻率與內(nèi)頸半徑r1呈正相關,與內(nèi)腔半徑r2呈負相關。從圖4(d)可得,Helmholtz聲學超材料帶寬隨著內(nèi)徑r1的增大而增大,隨著內(nèi)腔半徑r2的增大而減小,當r1=2 mm,r2=2.5 mm時,帶寬最大值為226.5 Hz。由此可得,當內(nèi)頸半徑r1不變時,減小內(nèi)腔半徑r2可以獲取更寬的帶隙;當內(nèi)腔半徑r2不變時,增加內(nèi)頸半徑r1可以獲取更寬的帶隙,但增加內(nèi)頸半徑r1或減小內(nèi)腔半徑r2時,完全帶隙的起始頻率和截止頻率均會增加。

    圖4 r1、r2對完全帶隙的影響Fig.4 Effect ofr1 andr2 on absolute band gap

    圖5為當r1=2.5,r2=3,s=1時,研究改變內(nèi)頸、內(nèi)腔高度h對完全帶隙起始頻率、截止頻率和帶寬的影響。由圖5可得,Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率隨著h的增大而減小,起始頻率由3 665.9 Hz減小到1 497.8 Hz,截止頻率由3 709 Hz減小到1 674.1 Hz,而帶寬隨著h的增大而增大,當增大到5.5 mm時達到最大值(265.6 Hz),接著隨著h的增大而減小,由此可見,內(nèi)頸和內(nèi)腔h與完全帶隙的帶寬并不呈正相關,但和完全帶隙的起始和截止頻率呈負相關,在進行結(jié)構(gòu)設計時,選取最優(yōu)的h值不僅可以節(jié)省材料,還能獲得更寬的帶隙。

    圖5 h對完全帶隙的影響Fig.5 Effect ofh on absolute band gap

    固定r1=2.5 mm、r2=3 mm,研究腔體厚度s對能帶結(jié)構(gòu)的影響時分為2個方案,首先是保持Helmholtz諧振腔腔體大小不變,向兩端增加s值(0.4~1.4 mm),如圖6(a),研究其對能帶的影響;接著保持r1+s和r2+s的值不變,改變腔體大小,也即向內(nèi)增加s的值,如圖6(b),研究其對能帶的影響。

    圖6 不同方案對比Fig.6 Comparison chart of different solutions

    如圖7為方案1和方案2中s對完全帶隙的影響。從圖7(a)可知,當保持Helmholtz諧振腔的空氣腔體大小不變時,隨著腔體厚度s增大,Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率增大,起始頻率從2 055 Hz增大到2 481.4 Hz,截止頻率從2 155.3 Hz增大到2 815.6 Hz,起始頻率增大的速率小于截止頻率,故而隨著s增大,帶寬也逐漸增大,當s增大到1.4 mm時,帶寬最大值為334.2 Hz。從圖7(b)可知,改變Helmholtz諧振腔的空氣腔體大小,也即隨著s的增大,Helmholtz諧振腔的空氣腔體減小,Helmholtz聲學超材料的帶隙起始頻率和截止頻率增大,其帶寬也隨之增大,起始頻率從2 071.2 Hz增大到2 403 Hz,截止頻率從2 094.8 Hz增大到2 633 Hz,當s增大到1.4 mm時,帶寬最大值為230 Hz。由此可得,隨著s的增大,方案1和方案2的完全帶隙起始頻率增加速率差不多,但方案2的完全帶隙截止頻率的增加速率小于方案1的截止頻率,因此方案1的帶寬增長速率大于方案2的增長速率。所以在Helmholtz諧振器的結(jié)構(gòu)設計中,在消耗相同的材料的情況下,選擇方案1可以獲得更寬的帶隙范圍。

    圖7 腔體厚度s對完全帶隙的影響Fig.7 Effect ofs on absolute band gap

    4 結(jié)論

    1)單元結(jié)構(gòu)的完全帶隙的起始頻率和截止頻率與內(nèi)頸半徑和腔體厚度呈正相關,與內(nèi)腔半徑和腔體高度呈負相關;

    2)單元結(jié)構(gòu)的完全帶隙頻率范圍與內(nèi)頸半徑和腔體厚度呈正相關,與內(nèi)腔半徑呈負相關,而隨著腔體高度的增加,帶隙逐漸增大,在最佳高度時帶隙寬度達到最大值。因此,在對超材料進行設計時,合理的選擇單元結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)可以調(diào)控其在不同頻率范圍下對彈性波的抑制。

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