應用畫圖策略 促進幾何直觀

孔雪峰

[摘 要]“幾何直觀”與畫圖策略有著密切的聯系。應用“幾何直觀”有助于降低問題的難度，促進學生的數學能力高速發(fā)展。應用“幾何直觀”的一個策略就是畫圖，通過畫圖，讓問題變得直觀、簡單，從而輕松解決問題。

[關鍵詞]畫圖策略；幾何直觀；再認識；實踐

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0050-02

“幾何直觀”是課程標準的一個關鍵詞，它不同于畫圖策略卻又與畫圖策略有著密切的聯系。如何應用畫圖策略，促進學生的幾何直觀能力發(fā)展呢？下面，筆者結合自己的教學實踐談談幾點思考。

一、一場爭議引發(fā)的思考

在學校組織學習課程標準的一次沙龍活動中，有教師提出：“《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出的幾何直觀就是我們教學的畫圖策略，幾何直觀只是一個新名詞?！痹S多教師紛紛附和，也有教師提出了自己的不同看法：“幾何直觀不僅包括畫圖，還包括演示和操作。”筆者不禁思考，無論是畫圖策略還是幾何直觀，都跟圖有著千絲萬縷的關系，可畫圖策略和幾何直觀真的是一回事嗎？

二、對畫圖策略和幾何直觀的再認識

1.從內在實質來看

畫圖策略是一種策略方法，是指解題者在解題過程中運用畫圖的方式，畫出與題意相關的示意圖，并通過圖形進行觀察、推理和思考的方法，是解決數學問題的一種重要手段。

幾何直觀是一種能力與思維模式?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果?！?/p>

2.從涉及對象來看

畫圖策略中的“圖”在小學階段主要包括示意圖、線段圖、韋恩圖以及面積圖，而幾何直觀中的“圖”是一種表征符號，可以是看得到的幾何直觀演示，也可以是畫出來的各種圖像，還可以是建立在大腦中的直觀表象。因此，幾何直觀中的“圖”比畫圖策略中的“圖”廣，它包括畫圖策略中的“圖”。

3.從應用范圍來看

畫圖策略主要是借助圖形描述和解決一些實際問題，而幾何直觀借助圖形描述的問題范圍更寬泛，包括算術、代數、幾何、統(tǒng)計等各個方面的問題，全面涵蓋了小學數學的四大領域。因此，幾何直觀的應用范圍比畫圖策略要大。

4.從目標指向來看

無論是畫圖策略還是幾何直觀，都是利用圖形來分析和解決問題”，但畫圖策略的最終目標直接指向解決問題本身，而幾何直觀則更側重于獲取有效信息以及解決問題的思路與途徑，目標指向數學思維能力的形成。

從以上四個方面可以看出，畫圖策略與幾何直觀有區(qū)別也有聯系。畫圖策略是符合小學生心智的，圖像表征能有效促進理解概念、探索規(guī)律、解決問題，從而培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

三、應用畫圖策略促進幾何直觀的實踐

1.經歷“圖”的抽象過程，發(fā)展學生的直觀感知

在低年級學生剛剛接觸畫圖策略時，教師應該引導學生經歷“真實情境—再現情境—結構圖示（關系圖示）—圖形表象”的過程。如，教學蘇教版第三冊“比一個數多或少幾的實際問題”時，教師可以設計以下四個環(huán)節(jié)。

第一環(huán)節(jié)，真實情境。讓學生借助實物，動手擺花片，并在擺的過程中思考如何才能更容易看出“多”和“少”，初步體驗“對齊”。

第二環(huán)節(jié)，再現情境。將實物的花片變成圖形，將花片的數量變成圖形的數量。這一環(huán)節(jié)的圖形已經有著符號化的意義，它仍然保留著“花片”的影子——幾個花片對應著相應圖形的個數。這一環(huán)節(jié)發(fā)揮了替代物的作用，也突顯了對應思想。

第三環(huán)節(jié)，結構圖示。脫離“花片”這一具體形式，以圖形的數量代替花片的數量。這一環(huán)節(jié)的圖示更加突出的是結構——第一行圖形可以分成與第二行圖形數量一樣多的一部分以及多出來的另一部分。正因為本環(huán)節(jié)脫離了具體的情境，是抽象層面的圖示，因此本環(huán)節(jié)的圖示具有普適性。

第四環(huán)節(jié)，圖形表象。要求學生看圖并用手比畫哪一部分是一樣多的、哪一部分是多出來的，問題求的是哪一部分，通過比畫建立比多比少的結構化表象。

讓學生在一系列活動中獲得過程性的體驗和一些感性的認識，這些都有利于發(fā)展學生的直觀感知。

2.掌握“圖”的多種表征，發(fā)展學生的直觀理解

教師要根據學生年齡特點和已有的知識經驗出發(fā)，有計劃、有步驟地引導學生利用合適的“圖”來表征數學問題，幫助學生獲得清晰直觀的表象，理解數量之間的關系，逐步建構實際問題的視覺表征系統(tǒng)，培養(yǎng)準確感知現實世界的能力。

（1）示意圖。示意圖是大體描述物體的形狀、相對大小、物體之間的關系的圖示，它的優(yōu)點是簡單明了、重點突出，缺點是忽略了很多細節(jié)。例如，教學蘇教版第一冊第106頁的思考題“從前往后數，第5只是小鹿，從后往前數，第8只是小鹿，一共有多少只動物？”時，我讓學生自己動手畫一畫，要求通過畫出的圖形能很快地數出一共有多少只動物。學生畫出的示意圖如下圖所示（黑色的圓代表小鹿）。

（2）線段圖。線段圖是將幾條線段組合在一起，用來表示問題中的數量關系，幫助學生分析題意、解答問題的一種平面圖形，它能夠把抽象問題具體化，是一種半抽象的圖形。例如，教學蘇教版第十一冊第84頁例3“林陽小學去年有24個班級，今年的班級數比去年增加了[14]，今年一共有多少個班級？”時，我引導學生畫線段圖分析：先找到單位“1”——去年的班級數，然后根據今年的班級數比去年增加了[14]，畫出表示今年班級數的線段。學生畫出的線段圖如下圖所示。

這是一個稍復雜的實際問題，學生通過畫線段圖直觀理解了去年的班級數與今年的班級數之間的關系，從而順利地解決了問題。

（3）樹形圖。樹形圖是以父子層次結構來組織對象的一種表達方式。在教學“搭配”時，使用樹形圖會更加直觀。例如，教學蘇教版第八冊第51頁“想想、做做”第二題“3件上衣，2條褲子，3條裙子，一共有多少種不同的穿法？”時，學生畫圖出樹形圖（如下圖），問題很快就迎刃而解。

（4）韋恩圖。韋恩圖是用封閉曲線（內部區(qū)域）表示集合及其關系的圖形。例如，三年級一班有20人訂閱《小學生數學報》，有15人訂閱《小學生作文》，全班共有30人訂閱雜志，兩種雜志都訂閱的有多少人？用韋恩圖（如下圖）來表示，學生就能直觀理解重疊部分表示的是兩種雜志都訂閱的學生。

（5）長方形圖。長方形圖也叫矩形圖或面積圖，它是一種遷移、應用很廣的圖示方法。例如，原計劃買15個籃球，每個50元，實際每個漲價5元，而且多買了5個，實際比原計劃多花了多少錢？將這樣的問題用長方形圖（如下圖）來描述題意，學生驚奇地發(fā)現題目變簡單了。

3.探索“圖”內在的奧秘，發(fā)展學生的直觀洞察

對于畫圖策略，不僅要求學生能根據題意用恰當的圖形去形象表征數學問題，還要充分發(fā)揮直觀推理在問題解決過程中的作用，鼓勵學生借助直觀進行想象和猜測，進而洞察數學對象的結構與關系。

（1）探索“圖”的變化規(guī)律

例如，“周長都是16厘米的長方形，長和寬各取多少時，面積最大？”學生利用方格紙畫圖（如下圖），首先認識到周長為16厘米的長方形有很多個，然后通過把這些圖有序排一排，漸漸能悟到：當長和寬差距變小時，長方形的面積就會變大；當長和寬差距變大時，長方形的面積就會變??；當長和寬相等時，長方形的面積最大。這樣的發(fā)現是學生通過畫圖和看圖獲得的一種直觀認知，含有一定程度的猜測。這樣的經歷將有利于培養(yǎng)學生更高層次的幾何直觀能力——直觀洞察，有利于發(fā)現直觀載體的深層意義與內在的本質。

（2）探索“圖”的隱藏信息

例如，蘇教版教材第八冊“解決問題的策略”中有一道題：“小營村原來有一個寬20米的長方形魚池，后來因擴建公路，魚池的寬減少了5米，這樣魚池的面積就減少了 150平方米?，F在魚池的面積是多少平方米？”

多數學生畫圖（如下圖）后這樣計算：150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）。只有極少數的學生根據畫出的圖直接列式計算：150×3=450（平方米）。很多學生都不理解后面這種解法，經過其他學生的講解，他們才恍然大悟。

是畫圖給了學生直觀的刺激，讓學生直觀地看到現在的面積與減少面積之間的關系，進而跳過常規(guī)的面積計算方式，直接解決問題。這一過程未經充分邏輯推理，卻能洞察事物的“骨象”，直接把握對象的全貌和本質，使學生的幾何直觀能力向前邁進了一大步。

（責編 吳美玲）