因素反向變動時的因素分析

郝大明

（國新證券股份有限公司，北京 100020）

一、引言

一種現(xiàn)象的變化，往往取決于若干因素。確定各因素在數(shù)量上的變化對總量因素變化的影響程度，是因素分析法的任務(wù)，也是統(tǒng)計分析的任務(wù)之一。

20世紀50年代和80年代，中國統(tǒng)計學(xué)界曾圍繞共變效應(yīng)的分解分配問題展開熱烈討論。劉都慶（1958）指出：“目前統(tǒng)計學(xué)界所爭論的同度量因素的確定與指數(shù)體系的選擇等問題，歸根到底實質(zhì)上就是此種共同影響（包括與其相適應(yīng)的絕對值）的處理問題。”非常遺憾，60多年過去了，學(xué)術(shù)界始終沒有就共變效應(yīng)的分解分配問題達成一致，與此相關(guān)的因素分析方法也不了了之。

關(guān)于共變效應(yīng)的分解分配，有學(xué)者提出共變效應(yīng)平均分配的思路，顯然這有失公平。楊啟梓（1983）認為共變效應(yīng)不能根據(jù)其形成原因再進行分解。劉都慶（1958）提出按因素純粹影響的絕對值比例分解共變效應(yīng)，但這種方法僅適用于因素同向變動的情況，因素反向變動時并不成立。徐國祥（1985）提出按個體指數(shù)與總體指數(shù)的對數(shù)比例分解共變效應(yīng)的微積分因素分析法，陳善林和徐國祥（1990）提出按單純因素影響的絕對值比例分解共變效應(yīng)的絕對值比例因素分析法，但這兩種方法均是標準的按因素影響比例分解共變效應(yīng)的變形，不僅不及后者準確，還因形式復(fù)雜使其應(yīng)用價值長期無法發(fā)揮出來。

本文將提出因素反向變動時共變效應(yīng)歸并的方法，并通過因素分析的典型例子，指出這一方法的科學(xué)性、合理性、準確性。

二、按因素影響分解共變效應(yīng)

按因素影響分解共變效應(yīng)，就是按共變效應(yīng)的形成原因，將共變效應(yīng)分解并分配到各因素影響中去。①這里設(shè)計為2個因素函數(shù)的乘積形式，主要考慮簡捷性和適用性。一是因素反向變動的考慮，取最少因素個數(shù)；二是共變效應(yīng)考慮，取乘積形式，更復(fù)雜的函數(shù)形式最終可化為乘積形式；三是如果有2個以上因素結(jié)合在一個指標中同時發(fā)生作用，首先可以結(jié)合指標的內(nèi)容，將指標區(qū)分為2個方面進行分析，然后對2個方面再進行個別分析，根據(jù)其含義進一步分析其內(nèi)部關(guān)系，如此順序擴展。參見余緒纓和陳仁棟1955年發(fā)表的《關(guān)于連鎖替代法在分析工作中的應(yīng)用問題》一文。

因素x和因素y對z的共變效應(yīng)，共變效應(yīng)是各因素指標增量的乘積之和。

（一）因素同向變動時共變效應(yīng)的分解分配

當(dāng)f（x），f（y）同為增長，即X·＞0，Y·＞0時，按因素影響比例分解并歸并共變效應(yīng)比較合理。

圖1 兩因素增量分析（同時增長）

影響的比例或因素變化率的比例，對共變效應(yīng)（x1-x0）（y1-y0）（CHFK）進行分解。

（二）因素反向變動時共變效應(yīng)的分解分配

圖2 兩因素增量分析（X.＞0且Y.＜0）

以圖示法解釋因素反向變動時，共變效應(yīng)歸于正變化因素影響。

當(dāng)因素x增長，因素y減少，有兩種變化過程。一是如圖3所示，因素y先減少、因素x后增長的情況，因素y減少的影響是x0（y1-y0），因素x增長的影響是（x1-x0）y1，整個過程與共變效應(yīng)無關(guān)。

圖3 兩因素增量分析（因素y先減少，因素x后增長）

二是如圖4所示，因素x先增長、因素y后減少的情況。這種情況下，單純因素x增長的影響是（x1-x0）y0，單純因素y減少的影響是x0（y1-y0）。

圖4 兩因素增量分析（因素x先增長，因素y后減少）

比較上述兩種變化，雖過程不同，但結(jié)果相同，即因素x增長的總影響是單純因素x增長的影響加上因素 x 與因素 y 的共變效應(yīng)（x1-x0）y1=（x1-x0）y0+（x1-x0）（y1-y0），因素y減少的總影響與單純因素y減少的影響均是x0（y1-y0）。

三、按因素影響分解分配共變效應(yīng)進行因素分析舉例

按因素影響分解分配共變效應(yīng)的方法，最直接的應(yīng)用是進行因素分析，即將分解后的共變效應(yīng)分配到各因素影響中，這將從根本上保證因素分析的準確性。

這里，舉陳善林和徐國祥（1990）的例子如下：假定 x0=1，x1=4，y0=4，y1=2，如圖 5 所示，求因素 x和因素y變動對總體變動的影響。

圖5 兩因素增量分析（反向變動）

（一）按因素影響分解分配共變效應(yīng)方法的計算過程

絕對數(shù)分析。如圖5，原面積x0y0為8，現(xiàn)面積x1y1為8。

單純因素 x變動的影響值為（x1-x0）y0=（4-2）×4=8，即右邊2個正方形面積之和。

單純因素y變動的影響值為x0（y1-y0）=2×（2-4）=-4，即左上角1個正方形面積。

共變效應(yīng)（x1-x0）（y1-y0）=（4-2）×（2-4）=-4，即右上角1個正方形面積。

因素x變動的總影響值等于單純因素x變動的影響值（右邊2個正方形面積8）與共變效應(yīng)（右上角1個正方形面積-4）之和（值為4），實際只有右下角1個正方形面積。

因素y變動的總影響值與單純因素y變動的影響值相等，為左上角一個正方形面積（值為-4）。

共變效應(yīng)為X.Y.=1×（-0.5）=-0.5（或 -50%）。

因為X.＞0，共變效應(yīng)全部歸因素x變動的影響，因素 x的影響為X.+X.Y.=1+（-0.5）=0.5（或 50%）。

因素y的影響仍為Y.=-0.5=-50%。

（二）絕對值比例因素分析法的計算過程

下面仍以圖5的例子，嚴格按照陳善林和徐國祥（1990）的以絕對值比例因素分析法計算，討論這一方法的準確性。

影響值：K2=x0y1-x0y0=2× 2-2× 4=-4

（4）共變效應(yīng)的影響率：e=k-（k1+k2）=0-（1-0.5）=-0.5

影響值：E=K-（K1+K2）=0-（8-4）=-4

比較以上2種方法，很明顯，絕對值比例因素分析法將本來應(yīng)該歸并到一種因素的共變效應(yīng)，按純粹影響的絕對值比例分解后分配到了兩種因素中，由此產(chǎn)生了較大誤差。

（三）微積分因素分析法的計算過程

徐國祥（1985）提出按個體指數(shù)與總體指數(shù)的對數(shù)比例分解分配共變效應(yīng)，按照這一方法，陳善林和徐國祥（1990）提出此例的解法如下：

比較第2種和第3種方法，因素反向變動時，徐國祥（1985）提出的微積分因素分析法，實際上是按個體指數(shù)的對數(shù)比例將共變效應(yīng)分解后分配給了兩種因素，使計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差①徐國祥（1985）提出的微積分因素分析法，當(dāng)因素同向變動時，除了兩個因素變化率相同的情況外，仍不及按因素影響比例分解分配共變效應(yīng)準確，因為只有在非常小的情況下才成立，但這終究還是近似。。

比較以上3種方法，當(dāng)因素反向變動時，第1種方法無疑是正確的，第2種和第3種方法均將本來應(yīng)該歸并到一種因素的共變效應(yīng)，按純粹影響的絕對值比例或個體指數(shù)的對數(shù)比例分解后分配到了兩種因素中，由此產(chǎn)生了較大誤差。當(dāng)因素同向變動時，第1種方法是標準的按因素影響比例分解共變效應(yīng)方法，第2種方法和第3種方法均是第1種方法的變形，第2種方法和第1種方法結(jié)果相同，但并無取絕對值的必要，第3種方法除了二種因素變化率相同的情況外，與前兩種方法相比存在較大誤差。

四、討論與結(jié)論

通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和圖示相結(jié)合的方法，發(fā)現(xiàn)當(dāng)因素反向變化時，共變效應(yīng)歸于正變化因素的影響，從而使共變效應(yīng)的分解分配這一難題得到解決。

對一個已經(jīng)發(fā)生變化的總體，其變動是客觀的，對其變動的反映包括數(shù)量方面的指數(shù)反映和因素影響分析也應(yīng)當(dāng)是唯一的。當(dāng)因素同向變動時，按因素影響比例分解共變效應(yīng)就合理性和準確性而言是最好的，而當(dāng)因素反向變動時，共變效應(yīng)的歸屬是確定的，因此，按因素影響分解分配共變效應(yīng)具有科學(xué)性、合理性、準確性，從而具備唯一性。應(yīng)用于因素分析的實證計算充分證明了這一點。◆