基于胡聿賢譜的帶支撐廣義Maxwell 阻尼隔震結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析1)

鄒萬(wàn)杰 劉美華 李創(chuàng)第 葛新廣

(廣西科技大學(xué)土木工程學(xué)院,廣西柳州 545006)

引言

減隔震聯(lián)用技術(shù)已廣泛應(yīng)用于橋梁、鐵路、建筑結(jié)構(gòu)等土木工程領(lǐng)域,隔震裝置可以延長(zhǎng)結(jié)構(gòu)自振周期,阻尼器消耗地震能量,在基礎(chǔ)隔震層設(shè)置阻尼器能抑制隔震層和上部結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的過(guò)大位移,有效減小建筑結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)[1-3].黏彈性阻尼器耗能能力強(qiáng),為了精確模擬黏彈性阻尼器的本構(gòu)關(guān)系,國(guó)內(nèi)外研究人員提出了各種黏彈性阻尼器力學(xué)模型,包括Maxwell 模型[4]、一般積分模型[5]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[6-7]、廣義Maxwell 模型[8]等.其中廣義Maxwell 模型由多個(gè)Maxwell 單元和一個(gè)彈簧單元并聯(lián)組成,各Maxwell 單元有不同的彈簧模量和黏壺黏度,因而具有不同的松弛時(shí)間,能更完善地模擬黏彈性阻尼器的力學(xué)松弛行為[9-10].阻尼器常通過(guò)消能支撐連接于建筑結(jié)構(gòu),支撐是保證結(jié)構(gòu)有效耗能的重要構(gòu)件,當(dāng)?shù)卣鹱饔脮r(shí),阻尼器和支撐都能起到消能減震作用[11-13].

地震地面運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性,時(shí)域法和頻域法是目前求解隨機(jī)地震響應(yīng)的兩種主要方法[14-16].當(dāng)?shù)卣饎?dòng)功率譜根據(jù)Fourier 變換轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)協(xié)方差函數(shù)表示時(shí),用時(shí)域法分析有時(shí)更容易獲得隨機(jī)地震響應(yīng)的解.在工程中常用的地震動(dòng)隨機(jī)激勵(lì)模型中,白噪聲模型由于在數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)單性,更容易獲得協(xié)方差函數(shù)[17],白噪聲模型假設(shè)在整個(gè)地震過(guò)程中地震動(dòng)各頻率成分強(qiáng)度是恒定的,并不能準(zhǔn)確反映地震動(dòng)的頻譜特征.Kanai-Tajimi 模型過(guò)分夸大低頻地震動(dòng)能量,不適用于低頻結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)分析.胡聿賢模型[18]通過(guò)引入低頻減量參數(shù),將Kanai-Tajimi 譜的特低頻部分進(jìn)行合理弱化處理,從而使功率譜密度函數(shù)在零頻處不再有奇異點(diǎn),且滿足連續(xù)兩次可積的條件,保證了導(dǎo)出的地面速度方差和地面位移方差有界,因此,采用胡聿賢模型模擬隨機(jī)地震作用更具有合理性.胡聿賢模型協(xié)方差函數(shù)比較復(fù)雜,但可通過(guò)濾波方程將胡聿賢譜激勵(lì)等效轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)求解地震響應(yīng),從而解決胡聿賢模型直接用于時(shí)域分析難于求解的問(wèn)題,再由Dirac 函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)用時(shí)域法分析基于白噪聲激勵(lì)的動(dòng)力響應(yīng)將得到極大簡(jiǎn)化[19-20].

復(fù)模態(tài)法是常用的時(shí)域分析方法,復(fù)模態(tài)法可以將系統(tǒng)精確解耦為獨(dú)立的復(fù)模態(tài)變量方程[21-23],虛擬激勵(lì)法和傳遞函數(shù)法是頻域分析的兩種代表性方法.虛擬激勵(lì)法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)需對(duì)功率譜從零到無(wú)窮大范圍內(nèi)進(jìn)行積分[24-25],傳遞函數(shù)法利用拉普拉斯變換,獲得結(jié)構(gòu)特征值與特征向量,從而在非擴(kuò)階系統(tǒng)中得到瞬態(tài)響應(yīng)的解析解[26].譜矩和方差是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的重要參數(shù)[27-29],利用復(fù)模態(tài)法求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)需要擴(kuò)階,擴(kuò)階之后會(huì)因變量個(gè)數(shù)劇增而使計(jì)算效率變低,虛擬激勵(lì)法和傳遞函數(shù)法計(jì)算得到的譜矩表達(dá)式含積分項(xiàng),需逐步積分計(jì)算確定譜矩值,會(huì)因積分步長(zhǎng)和積分區(qū)間選擇不唯一導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果具有不確定性,從而會(huì)影響計(jì)算精度.

為此,本文為了同時(shí)提高在胡聿賢譜激勵(lì)下帶支撐廣義Maxwell 阻尼隔震結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的精度與效率,基于復(fù)模態(tài)法的精確性,并且兼顧擴(kuò)階之后的計(jì)算效率,通過(guò)重構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程,再運(yùn)用復(fù)模態(tài)法解耦該聯(lián)立方程,最后通過(guò)簡(jiǎn)化系統(tǒng)響應(yīng)協(xié)方差表達(dá)式,得到系統(tǒng)響應(yīng)功率譜和譜矩表達(dá)式,從而提出了一種擴(kuò)階之后簡(jiǎn)明的結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析分析方法.與虛擬激勵(lì)法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了系統(tǒng)響應(yīng)功率譜和0～2 階譜矩的正確性.

1 隔震系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

1.1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)上部n層結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣分別為M,K,C,每層層間質(zhì)量、剛度、阻尼分別為mi,ki,ci(i=1,2,···,n);隔震層的質(zhì)量、剛度、阻尼分別為mb,kb,cb;隔震層設(shè)置帶支撐廣義Maxwell 阻尼器PG(t),隔震層相對(duì)地面位移為xb,上部結(jié)構(gòu)相對(duì)隔震層的位移為x.在隨機(jī)地震激勵(lì)x¨g(t) 作用下,基礎(chǔ)耗能隔震結(jié)構(gòu)力學(xué)模型如圖1 所示,上部結(jié)構(gòu)與隔震層的運(yùn)動(dòng)方程分別為

圖1 基礎(chǔ)耗能隔震結(jié)構(gòu)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of base energy dissipation isolated structure

1.2 帶支撐廣義Maxwell 阻尼器等效本構(gòu)關(guān)系

廣義Maxwell 阻尼器由一個(gè)線性彈簧單元和多個(gè)Maxwell 阻尼單元并聯(lián)組成,該模型參數(shù)足夠多,對(duì)黏彈性阻尼器本構(gòu)關(guān)系試驗(yàn)擬合精度高.廣義Maxwell 阻尼器與支撐串聯(lián)設(shè)置在隔震層,將整體串聯(lián)系統(tǒng)作為等效阻尼器,以考慮支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,帶支撐廣義Maxwell 阻尼器力學(xué)模型如圖2 所示.由于阻尼器與支撐串聯(lián)連接,故支撐受力Pd(t)、廣義Maxwell 阻尼器受力PQ(t)[8]與等效阻尼器受力PG(t) 三者相等,力的平衡關(guān)系為

圖2 帶支撐廣義Maxwell 阻尼器力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of generalized Maxwell damper with braces

式中,kd和k0分別為支撐剛度和廣義Maxwell 阻尼器平衡剛度;xd和xQ分別為支撐位移和廣義Maxwell 阻尼器位移;pj為第j個(gè)Maxwell 阻尼單元的阻尼力;j=1,2,···,r,r為廣義Maxwell 阻尼器中標(biāo)準(zhǔn)Maxwell 阻尼單元的個(gè)數(shù).

阻尼器位移xQ與隔震層位移xb和支撐位移xd之間滿足如下關(guān)系

由式(3)、式(5)和式(6),得阻尼器位移為

將式(7)代入式(4),得等效阻尼器受力PG(t) 為

將式(8)代入式(7),阻尼器位移xQ可改寫(xiě)為

廣義Maxwell 阻尼器中,各Maxwell 阻尼單元微分本構(gòu)關(guān)系為[8]

將式(10)代入式(11),將式(11)改寫(xiě)為

為了便于后續(xù)復(fù)模態(tài)擴(kuò)階,將式(12)寫(xiě)成矩陣形式

將式(13)進(jìn)一步簡(jiǎn)寫(xiě)為

1.3 重構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

胡聿賢譜在零頻處不存在奇異點(diǎn),因此,導(dǎo)出的地面均方速度和均方位移有界,胡聿賢譜濾波方程描述如下[18]

式中,為基巖運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)加速度分別為地面相對(duì)基巖運(yùn)動(dòng)的加速度、速度和位移; ξg和ωg分別為基巖以上場(chǎng)地土的阻尼比和卓越頻率;μ為中間變量為對(duì) μ 求三次導(dǎo)數(shù); ωc 為低頻截止頻率; w(t) 為白噪聲隨機(jī)過(guò)程.根據(jù)式(15),將原上部結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程式(1)改寫(xiě)為式(16);根據(jù)式(8)和式(15),將原隔震層運(yùn)動(dòng)方程式(2)改寫(xiě)為式(17)

式中,I1=[1,1,···,1]1×r.

引入狀態(tài)變量

聯(lián)立阻尼器微分本構(gòu)方程式(14),胡聿賢譜濾波方程式(15)、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程式(16)和式(17),得到非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)

式中,o1為元素均為 0 的n×1 階向量;o2為元素均為0的n×n階矩陣;o3為元素均為 0 的n×r階矩陣;o4為元素均為 0 的r×1 階向量;E為n階單位矩陣;N=2n+r+7,N為矩陣M0和K0的階數(shù),n為樓層總數(shù),r為標(biāo)準(zhǔn)Maxwell 阻尼單元的個(gè)數(shù).

2 系統(tǒng)響應(yīng)的Duhamel 積分表達(dá)式

采用復(fù)模態(tài)法求解式(19),矩陣M0和K0可由右特征向量矩陣U和左特征向量矩陣V對(duì)角化,系統(tǒng)的特征值構(gòu)成一個(gè)對(duì)角矩陣q,q滿足關(guān)系

式中,z為廣義復(fù)模態(tài)變量.

將方程(19)化為如下形式

式中,η=(VTM0U)-1VTγ.

由于q為對(duì)角矩陣,且z中的元素相互獨(dú)立,式(22)可以寫(xiě)為具有獨(dú)立復(fù)模態(tài)變量的一階方程分量形式

式中,zk,qk和 ηk分別為z,q和 η 的第k個(gè)分量.

已經(jīng)通過(guò)濾波方程式(15)將胡聿賢譜激勵(lì)等效轉(zhuǎn)化為基于白噪聲激勵(lì)來(lái)表示,由于白噪聲激勵(lì)功率譜表達(dá)式簡(jiǎn)單,更容易獲得協(xié)方差函數(shù),當(dāng)?shù)卣饎?dòng)激勵(lì)相關(guān)函數(shù)可以用解析函數(shù)表示時(shí),用Duhamel積分法求解更易于得到系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的解析解.因此,用Duhamel 積分法求解式(23),式(23)的Duhamel積分表達(dá)式為

根據(jù)式(18)、式(21)和式(24),通過(guò)狀態(tài)變量y中不同行對(duì)應(yīng)的響應(yīng)模態(tài)uj,可求得上部結(jié)構(gòu)、隔震層、阻尼器以及支撐系列響應(yīng)的Duhamel 積分表達(dá)式,如式(25)～式(35)和式(37)～式(39)所示.

上部結(jié)構(gòu)第i層相對(duì)于隔震層的位移xi和速度x˙i的Duhamel 積分表達(dá)式為

式中,ul(l=n+3+i,1+i)為右特征向量矩陣U的第l行向量; λl.k為系統(tǒng)響應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù),λl,k=ul,kηk;i=1,2,···,n,n為上部結(jié)構(gòu)的樓層總數(shù).

隔震層相對(duì)于地面的位移xb和速度的Duhamel積分表達(dá)式為

上部結(jié)構(gòu)第i層的層間位移 Δxi和層間速度Δx˙i的Duhamel 積分表達(dá)式為

上部結(jié)構(gòu)第i層的層間位移角 θi和層間位移角變化率的Duhamel 積分表達(dá)式為

式中,hi為結(jié)構(gòu)第i層的樓層高度.

由式(8),等效阻尼器阻尼力PG的Duhamel 積分表達(dá)式為

由式(3)、式(5) 和式(33),支撐位移xd的Duhamel 積分表達(dá)式為

將式(27)和式(34)代入式(6),得阻尼器位移xQ的Duhamel 積分表達(dá)式為

將式(11)代入式(10),阻尼器位移變化率可表示為

將式(36)寫(xiě)成Duhamel 積分形式

由式(6)、式(28)和式(37),支撐位移變化率的Duhamel 積分表達(dá)式為

由式(3)、式(5)和式(38),阻尼力變化率的Duhamel 積分表達(dá)式為

上述系列響應(yīng)式(25)～式(35)及式(37)～式(39)均為Duhamel 積分形式,僅各個(gè)響應(yīng)模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)不同,故將它們寫(xiě)成統(tǒng)一表達(dá)式

式中,Xk(t) 為X(t) 的響應(yīng)分量,其表達(dá)式為

式中,βk為系統(tǒng)響應(yīng)X(t) 對(duì)應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù),系統(tǒng)系列響應(yīng)模態(tài)強(qiáng)度系數(shù) βk的具體解析表達(dá)式如式(42a)～式(48b)所示.統(tǒng)一變量符號(hào) βk可分別指下文的

上部結(jié)構(gòu)第i層相對(duì)隔震層位移xi和速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

隔震層相對(duì)地面位移xb和速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

上部結(jié)構(gòu)第 層層間位移 Δxi和層間速度的i模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

上部結(jié)構(gòu)第i層層間位移角 θi和層間位移角變化率的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

阻尼器阻尼力PG和阻尼力變化率的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

支撐位移xd和支撐位移變化率的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

阻尼器位移xQ和阻尼器位移變化率的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)分別為

3 響應(yīng)方差

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論[17],響應(yīng)X(t) 的協(xié)方差可表示為

式中,E[·] 為數(shù)學(xué)期望.

將式(41)代入式(49),得系統(tǒng)響應(yīng)分量的協(xié)方差為

要進(jìn)一步對(duì)式(50) 求積分,必須先得到激勵(lì)w(t)的協(xié)方差表達(dá)式,由于w(t) 是白噪聲隨機(jī)過(guò)程,故其協(xié)方差函數(shù)可表示為

式中,δ(·) 為Dirac 函數(shù).

將式(51)代入式(50),可將式(50)重寫(xiě)為

利用Dirac 函數(shù)的性質(zhì),對(duì)式(52)的積分部分進(jìn)行運(yùn)算可得

將式(53)代入式(49),系統(tǒng)響應(yīng)X(t) 的協(xié)方差最終可簡(jiǎn)化為

令式(54)中 τ=0,即得系統(tǒng)響應(yīng)方差

式中,βk與 βj的具體表達(dá)式詳見(jiàn)式(42a)～式(48b).將式(42a)～式(48b)分別代入式(55),可得系統(tǒng)系列響應(yīng)方差.

4 響應(yīng)功率譜與譜矩

根據(jù)Wiener-Khinchin 關(guān)系[17],平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度是其相應(yīng)協(xié)方差函數(shù)的Fourier 變換,即

將式(54)代入式(56)并對(duì)積分部分進(jìn)行運(yùn)算,得系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜SX(ω) 為

式中,βk與 βj的具體表達(dá)式詳見(jiàn)式(42a)～式(48b).將式(42a)～式(48b)分別代入式(57),可得系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜函數(shù),例如,將式(42a)代入式(57),可得上部結(jié)構(gòu)第i層樓的位移功率譜表達(dá)式為:Sxi=

系統(tǒng)響應(yīng)的i階譜矩 κX,i定義為[17]

令式(58)中i=0,并對(duì)積分部分進(jìn)行運(yùn)算,得系統(tǒng)響應(yīng)的0 階譜矩為

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論[17],系統(tǒng)響應(yīng)的方差等于0 階譜矩,式(59)驗(yàn)證了本文方法的正確性.系統(tǒng)響應(yīng)的2 階譜矩等于相應(yīng)變化率的0 階譜矩,因此,系統(tǒng)響應(yīng)的2 階譜矩可表示為

令式(58)中i=1,可得系統(tǒng)響應(yīng)的1 階譜矩為

計(jì)算0 階譜矩和1 階譜矩時(shí),βk與 βj的具體值由式(42a)、式(43a)、式(44a)、式(44b)、式(45a)、式(45b)、式(46a)、式(47a)以及式(48a)確定.計(jì)算2 階譜矩時(shí),βk與 βj的具體值由相應(yīng)系統(tǒng)系列響應(yīng)變化率式(42b)、式(43b)、式(44c)、式(44d)、式(45c)、式(45d)、式(46b)、(47b)以及式(48b)確定.

5 算例

為了驗(yàn)證本文方法求解地震響應(yīng)的正確性,將其和虛擬激勵(lì)法對(duì)一棟10 層鋼筋混凝土基礎(chǔ)耗能隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析.基礎(chǔ)耗能隔震結(jié)構(gòu)力學(xué)模型如圖1 所示,上部結(jié)構(gòu)各層的層高h(yuǎn)1,h2,···,h10=3.6 m,各層質(zhì)量m1,m2,···,m10=310 t,各層的層間剛度k1,k2,···,k10=170 MN/m,結(jié)構(gòu)阻尼比 ξ=0.05,結(jié)構(gòu)的阻尼采用Rayleigh 阻尼,兩個(gè)比例系數(shù)分別為a0=0.262和a1=0.007 2.隔震層質(zhì)量mb=440 t,隔震層剛度kb=30 MN/m,隔震層阻尼比 ξb=0.1,支撐剛度kd=1.5kb.隔震層設(shè)置廣義Maxwell 阻尼器,廣義Maxwell 阻尼器中Maxwell 阻尼單元的個(gè)數(shù)r=2,阻尼器平衡剛度k0=1.2 MN/m,兩個(gè)Maxwell 分支單元的剛度和松弛時(shí)間分別為抗震設(shè)防烈度為8 度,Ⅱ類場(chǎng)地,胡聿賢譜中低頻截止頻率ωc=2 rad/s,根據(jù)文獻(xiàn)[30],胡聿賢譜激勵(lì)的其他參數(shù)為:場(chǎng)地頻率 ωg=15.71 rad/s,場(chǎng)地阻尼比 ξg=0.72,功率譜強(qiáng)度因子S0=61.93 cm2/s3.

5.1 激勵(lì)與響應(yīng)功率譜驗(yàn)證

由式(15a)和式(15b),地面運(yùn)動(dòng)加速度可表示為

根據(jù)式(18)、式(21)和式(24),將地面加速度表示為Duhamel 積分形式

地面加速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)為

將式(64)代入式(57),得本文方法地面加速度功率譜為

胡聿賢地震動(dòng)模型的傳統(tǒng)功率譜表達(dá)式為[13]

本文方法與虛擬激勵(lì)法都是根據(jù)各響應(yīng)功率譜求解地震響應(yīng),因此,有必要驗(yàn)證激勵(lì)功率譜與各響應(yīng)功率譜的正確性.根據(jù)式(65)和式(66),繪制本文方法和傳統(tǒng)胡聿賢地震動(dòng)模型功率譜曲線,如圖3所示;根據(jù)式(57)和附錄式(A16)、附錄式(A17),繪制本文方法和虛擬激勵(lì)法得到的各響應(yīng)功率譜曲線,如圖4～圖11 所示.

圖3 地面加速度功率譜Fig.3 Power spectrum of ground acceleration

圖4 第 5 層絕對(duì)位移功率譜Fig.4 Power spectrum of absolute displacement of 5th floor

圖5 第5 層層間位移功率譜Fig.5 Power spectrum of inter-storey displacement of 5th floor

圖6 第5 層層間位移角功率譜Fig.6 Power spectrum of inter-storey drift angle of 5th floor

圖7 隔震層位移功率譜Fig.7 Power spectrum of isolated displacement

圖8 阻尼力功率譜Fig.8 Power spectrum of the damping force

圖9 阻尼器位移功率譜Fig.9 Power spectrum of damping displacement

圖10 支撐位移功率譜Fig.10 Power spectrum of bracing displacement

圖11 隔震層速度功率譜Fig.11 Power spectrum of isolated velocity

由圖3 可知,本文方法與傳統(tǒng)表達(dá)式繪制的胡聿賢地面加速度功率譜曲線完全吻合,驗(yàn)證了本文方法計(jì)算地面加速度功率譜的正確性,表明通過(guò)濾波方程將胡聿賢譜激勵(lì)等效轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)進(jìn)行求解,只是物理上的轉(zhuǎn)換,并不會(huì)改變地震激勵(lì)的相關(guān)特性.由圖4～圖11 可知,本文方法與虛擬激勵(lì)法繪制的系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜曲線完全吻合,驗(yàn)證了本文方法計(jì)算系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜和模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)的正確性.由式(57)可知,本文所得系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜表達(dá)式均為模態(tài)強(qiáng)度系數(shù) βk、系統(tǒng)特征值qk、功率譜頻域變量 ω 以及譜強(qiáng)度因子S0相同規(guī)律的組合,其中項(xiàng)為二次正交形式,功率譜的二次正交化可使系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜形式保持一致,只是各響應(yīng)模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)不同,式(57)體現(xiàn)了本文功率譜表達(dá)式的簡(jiǎn)潔性,并且從功率譜表達(dá)式可直觀看出功率譜強(qiáng)度大小和峰值隨 ω 的變化情況.

5.2 譜矩計(jì)算精度和效率

為了驗(yàn)證本文方法計(jì)算系統(tǒng)系列響應(yīng)0～2 階譜矩的正確性,與虛擬激勵(lì)法計(jì)算的系統(tǒng)系列響應(yīng)0～2 階譜矩進(jìn)行對(duì)比分析.因?yàn)樘摂M激勵(lì)法計(jì)算譜矩是對(duì)其功率譜進(jìn)行數(shù)值積分,譜矩計(jì)算精度與選擇的積分步長(zhǎng)和積分區(qū)間密切相關(guān),積分區(qū)間越大同時(shí)積分步長(zhǎng)越小,所得譜矩值就越精確.由系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜圖4～圖11 可知,功率譜的卓越頻率均在50 rad/s 以內(nèi),因此,將頻域積分上限取為 300 rad/s,已足夠高過(guò)響應(yīng)功率譜的卓越頻率.在積分區(qū)間[0,500]內(nèi),通過(guò)逐步縮小積分步長(zhǎng)確定譜矩值,為提高計(jì)算結(jié)果的精度,虛擬激勵(lì)法積分步長(zhǎng)分3 種情況取值,分別為: ①Δω=0.01 rad/s ;② Δω=0.15 rad/s ;③Δω=0.25 rad/s.圖12～圖14 為上部結(jié)構(gòu)和隔震層絕對(duì)位移的0～2 階譜矩值,其中,隔震層譜矩值為隔震層相對(duì)于地面的譜矩值,上部結(jié)構(gòu)譜矩值為上部結(jié)構(gòu)相對(duì)于隔震層的譜矩值;圖15～圖17 為上部結(jié)構(gòu)層間位移角的0～2 階譜矩值.

圖12 結(jié)構(gòu)位移0 階譜矩Fig.12 Zero-order spectral moment of displacement

圖13 結(jié)構(gòu)位移1 階譜矩Fig.13 First-order spectral moment of displacement

圖14 結(jié)構(gòu)位移2 階譜矩Fig.14 Second-order spectral moment of displacement

圖15 層間位移角0 階譜矩Fig.15 Zero-order spectral moment of inter-storey drift angle

圖16 層間位移角1 階譜矩Fig.16 First-order spectral moment of inter-storey drift angle

圖17 層間位移角2 階譜矩Fig.17 Second-order spectral moment of inter-storey drift angle

為了與虛擬激勵(lì)法取不同積分區(qū)間的0～2 階譜矩值進(jìn)行對(duì)比,以計(jì)算阻尼器位移譜矩值為例,將頻域積分步長(zhǎng)統(tǒng)一取為 Δω=0.001 rad/s,通過(guò)逐步增大積分區(qū)間確定譜矩值,虛擬激勵(lì)法積分區(qū)間分3 種情況取值,分別為: ④ [0,100]; ⑤[0,200];⑥ [0,300].表1 為阻尼器位移0～2 階譜矩值,表中的誤差為虛擬激勵(lì)法與本文方法譜矩值的絕對(duì)誤差,反映的是虛擬激勵(lì)法隨著積分區(qū)間的增大,所得譜矩值與本文方法譜矩值的變化情況.

表1 阻尼器位移0～2 階譜矩計(jì)算效率及誤差Table 1 Calculation efficiency and accuracy of 0～2 spectral moments of damping displacement

由圖12～圖17 可知,隨著頻域積分步長(zhǎng) Δω 的減小,虛擬激勵(lì)法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)位移和層間位移角的0～2 階譜矩值更逼近本文方法得到的譜矩值;由表1 可知,隨著積分區(qū)間的增大,虛擬激勵(lì)法計(jì)算得到的阻尼器位移0～2 階譜矩值同樣更逼近本文方法得到的譜矩值,這逼近的變化趨勢(shì)表明了本文所得譜矩值的精確性.基于同一CPU 計(jì)算結(jié)構(gòu)位移和層間位移角的0～2 階譜矩值,本文方法一共耗時(shí)0.188 s,虛擬激勵(lì)法3 種情況分別耗時(shí): ①0.499 s,② 0.839 s,③4.305 s,虛擬激勵(lì)法隨著頻域積分步長(zhǎng)的減小耗時(shí)逐漸增加;由表1 可知,虛擬激勵(lì)法隨著頻域積分區(qū)間的增大,譜矩計(jì)算精度越高,但耗時(shí)也基本成相同數(shù)量級(jí)增加,積分區(qū)間每增大 100 rad/s,耗時(shí)就增大 3 s 左右.本文方法耗時(shí)均低于虛擬激勵(lì)法6 種情況耗時(shí),由此可見(jiàn),盡管本文通過(guò)復(fù)模態(tài)擴(kuò)階求解,但由于所得響應(yīng)為不帶積分的解析解,計(jì)算效率得到極大提高.

5.3 阻尼器減震效果

為研究隨支撐剛度變化耗能系統(tǒng)的系列響應(yīng)方差,令支撐剛度kd=rbkb,rb為支撐剛度與隔震層剛度的比值,rb按照以下6 種工況取值,分別為0.1,0.5,1.5,5,10,50.表2 為6 種工況下得到的阻尼力方差阻尼器位移方差支撐位移方差隔震層相對(duì)地面位移方差、最大層間位移角方差以及結(jié)構(gòu)相對(duì)隔震層總位移方差

由表2 計(jì)算結(jié)果可知,隨著rb的增大,阻尼器所提供的阻尼力和阻尼器位移增大,支撐位移、隔震層位移、最大層間位移角以及結(jié)構(gòu)總位移減小,也即: 通過(guò)適當(dāng)增加支撐剛度,能有效減小結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng).對(duì)于本算例,當(dāng)比值rb超過(guò)1.5 時(shí),隔震層位移、最大層間位移角和結(jié)構(gòu)相對(duì)隔震層的總位移不再改變,也即: 當(dāng)支撐剛度增加到一定限度時(shí),結(jié)構(gòu)的耗能減震效果基本趨于穩(wěn)定.進(jìn)行消能支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí),在結(jié)構(gòu)變形滿足抗震規(guī)范要求的情況下,支撐剛度可以最小化以提高經(jīng)濟(jì)性.

表2 系統(tǒng)系列響應(yīng)方差Table 2 System series response variances

6 結(jié)論

本文對(duì)帶支撐耗能隔震系統(tǒng)進(jìn)行研究,以胡聿賢譜為激勵(lì)做了一個(gè)完整的求解過(guò)程,為同時(shí)提高響應(yīng)分析的精度與效率,提出求解帶支撐耗能隔震系統(tǒng)隨機(jī)地震響應(yīng)的簡(jiǎn)明解析解法,得出以下結(jié)論.

(1)通過(guò)對(duì)比地面加速度功率譜密度函數(shù),驗(yàn)證了地面激勵(lì)等效轉(zhuǎn)化(通過(guò)濾波方程將胡聿賢譜激勵(lì)轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì))的正確性.

(2)本文所得譜矩解和方差解為無(wú)積分運(yùn)算的解析解,對(duì)于給定相應(yīng)參數(shù),計(jì)算的0～2 階譜矩值是精確解,虛擬激勵(lì)法最精確的譜矩值和本文方法最為接近,驗(yàn)證了譜矩表達(dá)式的精確性,同時(shí)有顯著的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì),所得譜矩解可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析.

(3)支撐剛度對(duì)阻尼器減震效果有重要影響,支撐剛度越大,阻尼器減震效果越好,當(dāng)支撐剛度大到一定程度時(shí),阻尼器減震效果基本趨于穩(wěn)定.

附錄 耗能隔震系統(tǒng)的虛擬激勵(lì)法

根據(jù)虛擬激勵(lì)法[31],式(1)和式(2)可分別表示為

式(A1)和式(A2)中,需要求解的未知數(shù)有3 個(gè),分別是xb(ω),x(ω) 和PG(ω).將通過(guò)等效阻尼器力的平衡關(guān)系和Maxwell 阻尼器微分本構(gòu)關(guān)系,將PG(ω) 轉(zhuǎn)化為用xb(ω) 表示,變換過(guò)程如式(A3)～式(A10)所示.

由式(4)和式(8)阻尼力的平衡關(guān)系,可得

由式(11)Maxwell 阻尼微分本構(gòu)關(guān)系,可得

由式(A4),得p j(ω) 與xQ(ω) 的關(guān)系為

將式(A5)代入式(A3),得xb(ω) 與xQ(ω) 的關(guān)系為

將式(A6)改寫(xiě)為

將式(A8)代入式(A5),得p j(ω) 與xb(ω) 的關(guān)系為

將式(A9)代入式(A3),得等效阻尼器受力PG(ω) 為

聯(lián)立式(A1)、式(A2)和式(A10),即可求出xb(ω),x(ω)和PG(ω) 的頻域解.

隔震層位移頻域解xb(ω)為

將式(A11)代入式(A8),即得阻尼器位移頻域解xQ(ω)的表達(dá)式;將式(A11)代入式(A10),即得等效阻尼器受力頻域解PG(ω) 的表達(dá)式.

上部結(jié)構(gòu)位移頻域解x(ω) 為

式中,xb(ω) 是已知項(xiàng),其具體表達(dá)式詳見(jiàn)式(A11).

由式(3)、式(5)和式(A10),支撐位移頻域解xd(ω) 為

第i層的層間位移頻域解 Δxi為

式中,xi(ω) 可由式(A12)計(jì)算得到.

第i層的層間位移角頻域解 θi(ω) 為

至此,系統(tǒng)系列響應(yīng)頻域解可由式(A8)、式(A10)～式(A15) 計(jì)算得到,將頻域解xQ(ω),PG(ω),xb(ω),xi(ω),xd(ω),Δxi(ω),θi(ω) 用統(tǒng)一符號(hào)X(ω) 表示.

系統(tǒng)系列響應(yīng)功率譜可表示為

式中,X*(ω) 是X(ω) 的共軛項(xiàng).

系統(tǒng)系列響應(yīng)速度功率譜可表示為

譜矩的定義如式(60)所示,對(duì)于虛擬激勵(lì)法,將功率譜密度乘以 ωi并積分即可求得譜矩.將式(A16)代入式(60),系統(tǒng)系列響應(yīng)的0～2 階譜矩可表示為

式中,i=0,1,2 分別表示系統(tǒng)響應(yīng)的零階、一階和二階譜矩.