融入壓力分布信息的氣動(dòng)力建模方法

趙旋 張偉偉 鄧子辰

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

引言

傳統(tǒng)上,在飛機(jī)設(shè)計(jì)初期,一般采用風(fēng)洞試驗(yàn)或計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)模擬來(lái)獲得翼型的氣動(dòng)系數(shù).然而,在型號(hào)設(shè)計(jì)過(guò)程中,大量車次的風(fēng)洞試驗(yàn)不管從經(jīng)費(fèi)成本還是時(shí)間周期都難以承受.CFD 仿真在航空工業(yè)中被廣泛用于分析不同飛行器在設(shè)計(jì)過(guò)程中的氣動(dòng)性能.與風(fēng)洞試驗(yàn)或飛行試驗(yàn)相比,這些模擬可以減少時(shí)間和成本.然而,在現(xiàn)代飛機(jī)的氣動(dòng)設(shè)計(jì)階段,高保真CFD 模擬通常是一個(gè)計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)的迭代過(guò)程.數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)代理模型是估計(jì)先驗(yàn)未知函數(shù)分布近似值的有效方法,通常應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題中,因此,代理模型目前開(kāi)始被認(rèn)為是預(yù)測(cè)合理的CFD工具的替代品.

一般來(lái)說(shuō),代理建模是指利用先前獲得的采樣數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)建代理模型,然后使用這些模型來(lái)預(yù)測(cè)設(shè)計(jì)空間中新點(diǎn)處的變量值的一種技術(shù).在金融或保險(xiǎn)等市場(chǎng),使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)的研究也存在不少.例如,在文獻(xiàn)[1]中,對(duì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ANN模型和線性判別分析LDA 等線性預(yù)測(cè)模型在從財(cái)務(wù)報(bào)表數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)企業(yè)信用評(píng)級(jí)方面的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行了比較研究.此外,其他科學(xué)出版物[2-4]關(guān)注于使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行股市預(yù)測(cè).

在航空航天領(lǐng)域,也有代理建模技術(shù)的應(yīng)用,主要用于空氣動(dòng)力學(xué)分析和優(yōu)化.例如,基于Kriging[5-8]和co-Kriging[9-11]的模型已被應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化或多學(xué)科優(yōu)化問(wèn)題,還包括如文獻(xiàn)[12-13]中的不確定性管理和量化.代理模型在優(yōu)化問(wèn)題中使用較多,最初應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中[14],隨著多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化MDO[15]的興起逐漸流行,后來(lái)被應(yīng)用到氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[16].

在氣動(dòng)力建模方面,也存在很多基于代理模型進(jìn)行的研究,特別是在基于CFD、風(fēng)洞和飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的空氣動(dòng)力數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用,可以在設(shè)計(jì)空間中對(duì)新領(lǐng)域進(jìn)行第一階段的探索,而不需要昂貴的模擬、風(fēng)洞或飛行試驗(yàn),從而減少了所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)量.Secco 等[17]設(shè)計(jì)和應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)運(yùn)輸機(jī)的升力和阻力系數(shù).Luo 等[18]提出了一種有監(jiān)督的自學(xué)習(xí)方案——自適應(yīng)空間變換AST,預(yù)測(cè)高超聲速飛行器的氣動(dòng)系數(shù).Yuan 等[19]提出了一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ConvNet 技術(shù)和符號(hào)距離函數(shù)SDF 的通用、靈活的近似模型來(lái)預(yù)測(cè)翼型的氣動(dòng)系數(shù).Peng 等[20]引入了一種新的結(jié)構(gòu)——元素空間卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ESCNN 來(lái)改進(jìn)圖像處理方法.ESCNN 不是將翼型作為圖像處理,而是直接將翼型坐標(biāo)作為輸入,然后輸出氣動(dòng)系數(shù),與傳統(tǒng)CNN 相比,ESCNN 在參數(shù)方面小了幾個(gè)數(shù)量級(jí),但仍達(dá)到了最高水平的預(yù)測(cè)精度.何磊等[21]以三角翼大迎角非定常氣動(dòng)特性為研究對(duì)象,建立了基于LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非定常氣動(dòng)力模型,實(shí)現(xiàn)了對(duì)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的預(yù)測(cè).Andres 等[22]使用了三種不同的航空構(gòu)型,NACA0012 翼型、RAE2822翼型和3D DPW 機(jī)翼,深入比較了不同代理回歸模型對(duì)升力系數(shù)和阻力系數(shù)的預(yù)測(cè)性能.Huang 等[23]建立了預(yù)測(cè)NACA63-215 翼型升阻系數(shù)的反向傳播BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.Liu[24]建立了徑向基函數(shù)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,用于預(yù)測(cè)給定參數(shù)范圍內(nèi)的翼型升阻系數(shù).Wallach 等[25]和Santos等[26]利用多層感知器網(wǎng)絡(luò)MLP 預(yù)測(cè)了NACA23012 的升阻系數(shù)、支線雙噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的阻力系數(shù)和機(jī)翼-機(jī)身組合體的阻力系數(shù).

綜上,多項(xiàng)式響應(yīng)曲面法、Kriging 模型[27]、支持向量回歸SVR[28]、徑向基函數(shù)RBF[29]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[30]等作為常用的代理模型被廣泛應(yīng)用于解決計(jì)算量較大、計(jì)算成本較高的黑箱問(wèn)題中,來(lái)減輕計(jì)算負(fù)擔(dān).這些方法的核心就是輸入與輸出之間的映射模型,通過(guò)樣本集的學(xué)習(xí)對(duì)模型的參數(shù)、構(gòu)架等進(jìn)行調(diào)整,使其具有較好的擬合效果.這種方法可解釋性較低,往往需要較大數(shù)據(jù)量進(jìn)行學(xué)習(xí),然而在一些條件下,樣本獲取的代價(jià)是非常昂貴的,研究者不得不在小樣本約束下開(kāi)展建模工作,但模型的精度和泛化性難以保證.

為了解決小樣本氣動(dòng)力建模的難題,通常有以下兩種方法: 一是通過(guò)引入多源數(shù)據(jù),比如CFD 仿真數(shù)據(jù)、飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[31-32];二是利用多種類型數(shù)據(jù)的特征,將物理知識(shí)或物理規(guī)律引入建模過(guò)程中.無(wú)論是風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)還是數(shù)值模擬,均可以產(chǎn)生壓力分布信息和氣動(dòng)力信息(如升力系數(shù)和力矩系數(shù)),如何在氣動(dòng)力建模過(guò)程中充分利用壓力分布信息來(lái)提高建模的精度、魯棒性和泛化性,成為本文關(guān)注的立足點(diǎn).

1 方法及模型介紹

1.1 本征正交分解技術(shù)

本征正交分解技術(shù)(proper orthogonal decomposition,POD)是常用的一種降維手段,能夠?qū)?fù)雜動(dòng)力學(xué)從高維離散化系統(tǒng)投影到低維系統(tǒng),該方法的本質(zhì)是通過(guò)對(duì)流場(chǎng)樣本進(jìn)行矩陣變換及正交分解,從而得到使樣本殘差最小的若干正交基函數(shù),用于描述流場(chǎng)的主要規(guī)律.基于POD 方法,根據(jù)特征值 λ 大小對(duì)模態(tài)按照能量進(jìn)行排序,可以提取出主要的流動(dòng)模態(tài),通常為了使模型簡(jiǎn)化,采取降維方式,按能量截取一個(gè)維數(shù)為M(M?N)的低維空間,如

通常使得E(M) ≥σ,σ一般選取99%(略小于1),以捕獲絕大部分能量,其中 λ 為特征值大小.論文中按能量截取的維度較低,僅取了前幾階能量較高的POD 基函數(shù).關(guān)于POD 方法的詳細(xì)介紹和推導(dǎo)參見(jiàn)文獻(xiàn)[33].

1.2 Kriging 算法

Kriging 模型是一種源于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法,Kriging 模型最初是由南非采礦工程師Krige 在1951 年提出的一種空間估計(jì)技術(shù),最初應(yīng)用于礦床儲(chǔ)量計(jì)算和誤差估計(jì),經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,逐漸在地質(zhì)、氣象、航空航天、汽車等領(lǐng)域得到發(fā)展和應(yīng)用[34-35].Kriging 模型由于其卓越的非線性函數(shù)插值預(yù)測(cè)能力和誤差估計(jì)功能,正受到越來(lái)越多的關(guān)注.

設(shè)x1,x2,···,xn為樣本集上的一系列變量,為相應(yīng)的響應(yīng)值,則Kriging 函數(shù)定義變量x0處的插值結(jié)果y?(x0) 為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán),即

因此,通過(guò)求解加權(quán)系數(shù) λi就可以得到數(shù)量集中任意位置的參數(shù)估計(jì)值.關(guān)于Kriging 模型的詳細(xì)介紹和推導(dǎo)參見(jiàn)文獻(xiàn)[35].

1.3 CST 參數(shù)化方法

類別形狀函數(shù)變換(class-shape-transform,CST)方法[36]是氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)中一種常用的翼型外形參數(shù)化方法,僅用少量參數(shù)就能準(zhǔn)確地?cái)M合翼型形狀.CST 方法將翼型的縱坐標(biāo)表示為類函數(shù)與型函數(shù)S的乘積

類函數(shù)的定義為

其中,N1和N2為幾何外形類別參數(shù).

1.4 模型框架

基于前述方法,針對(duì)氣動(dòng)力建模問(wèn)題,提出的融入壓力分布信息的學(xué)習(xí)模型架構(gòu)如圖1 所示.

圖1 算法框架流程Fig.1 Algorithm framework process

算法步驟如下:

(1) 樣本獲取: 使用數(shù)值計(jì)算方法(或通過(guò)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn))計(jì)算不同參數(shù)狀態(tài)下翼型的壓力分布及對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)力.

(2) 特征提取: 首先通過(guò)本征正交分解技術(shù)對(duì)壓力分布數(shù)據(jù)進(jìn)行降維,對(duì)壓力分布數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取,即得到壓力分布的POD 基函數(shù),并獲取不同輸入?yún)?shù)對(duì)應(yīng)的POD 系數(shù).

(3) 構(gòu)建代理模型一(POD 系數(shù)建模): 通過(guò)Kriging 算法構(gòu)建輸入?yún)?shù)與壓力分布POD 系數(shù)的映射關(guān)系.

(4) 低精度氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè): 將POD 基函數(shù)與其對(duì)應(yīng)系數(shù)相乘,反算得到壓力分布,積分得到低精度升力系數(shù)和力矩系數(shù)(由于樣本數(shù)量的限制以及通常截取的POD 階數(shù)較低,這里反算得到的壓力分布與實(shí)際存在較大誤差,因此積分得到的氣動(dòng)系數(shù)稱之為低精度數(shù)據(jù)).

(5) 構(gòu)建代理模型二(高精度融合建模): 通過(guò)Kriging 算法構(gòu)建輸入?yún)?shù)、積分得到的低精度氣動(dòng)系數(shù)與直接通過(guò)數(shù)值計(jì)算(或通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn))得到的氣動(dòng)系數(shù)(相對(duì)而言,為高精度數(shù)據(jù))之間的映射關(guān)系.

2 算例驗(yàn)證

為了體現(xiàn)融入壓力分布信息的氣動(dòng)力建模方法的可行性和有效性,我們?cè)谡撐闹斜容^了單純使用Kriging 算法直接構(gòu)建輸入?yún)?shù)和氣動(dòng)系數(shù)的映射關(guān)系(直接建?？蚣?與論文提出的預(yù)測(cè)模型(間接建?？蚣?如圖1 所示)對(duì)氣動(dòng)力的預(yù)測(cè)精度.

為了量化說(shuō)明氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)值與真值的偏差程度,論文中定義誤差如下式

其中,CL,pre和CL,tru分別代表升力系數(shù)預(yù)測(cè)值和真值,CM,pre和CM,tru分別代表力矩系數(shù)預(yù)測(cè)值和真值,eL代表升力系數(shù)絕對(duì)誤差,eM代表力矩系數(shù)絕對(duì)誤差.論文中力矩積分點(diǎn)均位于四分之一弦線處.

在建模的研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn),基于本征正交分解技術(shù)對(duì)壓力分布數(shù)據(jù)特征提取的時(shí)候,應(yīng)該截取多少階的POD 基函數(shù)是一個(gè)問(wèn)題,因?yàn)槠錄Q定著POD 系數(shù)的個(gè)數(shù),從而影響所構(gòu)建第一個(gè)代理模型(輸入?yún)?shù)與POD 系數(shù)的映射關(guān)系),因此我們?cè)跉鈩?dòng)力預(yù)測(cè)的過(guò)程中,研究了不同POD 基函數(shù)的階數(shù)對(duì)于氣動(dòng)力預(yù)測(cè)精度的影響.

2.1 同狀態(tài)變翼型算例

通過(guò)C S T 參數(shù)化方法,基準(zhǔn)翼型選擇NACA0012 翼型,采用12 個(gè)CST 參數(shù)描述翼型表面幾何形狀,在NACA0012 翼型CST 參數(shù)的 ± 30%變化范圍內(nèi)進(jìn)行擾動(dòng),采用拉丁超立方抽樣隨機(jī)抽取樣本翼型,來(lái)流狀態(tài)為(Re=3.0×106,Ma=0.73,α=2.5°).通過(guò)采用課題組自研求解器計(jì)算,使用 AUSM +UP 格式求解NS 方程,計(jì)算了200 組樣本數(shù)據(jù)(包含壓力分布以及氣動(dòng)力系數(shù)),圖2 展示了采樣得到的200 組翼型對(duì)應(yīng)的翼型形狀.

圖2 翼型樣本空間Fig.2 Airfoil samples space

針對(duì)同狀態(tài)變翼型算例,輸入?yún)?shù)為12 個(gè)CST 參數(shù),輸出參數(shù)為升力系數(shù)和力矩系數(shù),我們選取了10 組測(cè)試樣本對(duì)模型進(jìn)行精度評(píng)估,測(cè)試樣本對(duì)應(yīng)的翼型形狀如圖3 所示,test 1～test 10 即選取的10 組測(cè)試樣本對(duì)應(yīng)的翼型的形狀.

圖3 測(cè)試樣本翼型Fig.3 Test sample airfoils

研究過(guò)程中,我們選取了不同數(shù)量的訓(xùn)練樣本,研究了氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差隨訓(xùn)練樣本數(shù)變化的變化趨勢(shì),并且研究了不同階數(shù)的POD 基函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響.如圖4 所示給出了我們所提出的融入分布載荷信息的Kriging 氣動(dòng)力預(yù)測(cè)模型選取不同階數(shù)POD 基時(shí),隨訓(xùn)練樣本總數(shù)變化的氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差曲線,一共選取了1～8 階基函數(shù),給出了8 條氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差曲線,橫坐標(biāo)代表訓(xùn)練樣本數(shù),縱坐標(biāo)代表真值與預(yù)測(cè)值之間的氣動(dòng)系數(shù)絕對(duì)誤差,其中圖4(a)為升力系數(shù)預(yù)測(cè)誤差曲線,圖4(b)為力矩系數(shù)預(yù)測(cè)誤差曲線,兩幅圖進(jìn)行綜合比較,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取前3 階POD 基函數(shù)時(shí)(圖中黑色線條),預(yù)測(cè)精度較高.

圖4 POD 階數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響Fig.4 Effect of POD order on prediction accuracy

圖5 展示了當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)為30 時(shí),通過(guò)本征正交分解技術(shù)得到的壓力分布信息對(duì)應(yīng)的前三階POD 基函數(shù),并在圖6 展示了前4 組測(cè)試樣本對(duì)應(yīng)的原始CFD 仿真結(jié)果以及基于前三階POD 基函數(shù)反算得到的壓力分布,其中黑色虛線代表CFD 仿真結(jié)果,紅色實(shí)線代表經(jīng)過(guò)POD 反算得到的壓力分布.

圖5 訓(xùn)練樣本數(shù)為30 時(shí),前三階壓力分布基函數(shù)Fig.5 The first three-order pressure distribution basis function when training number is 30

圖7 比較了直接建?？蚣?即基于傳統(tǒng)的Kriging 模型,藍(lán)色虛線)和選取前3 階POD 基函數(shù)時(shí)基于論文提出的間接建?？蚣?即融入分布載荷信息的Kriging 模型,紅色實(shí)線)對(duì)于氣動(dòng)力的預(yù)測(cè)精度.可以看到,融入分布載荷信息的氣動(dòng)力建模方法可以有效提升升力系數(shù)預(yù)測(cè)精度,而對(duì)于力矩系數(shù)提升效果不是很明顯.

圖7 直接建模同間接建模誤差對(duì)比Fig.7 Comparison of error between direct modeling and indirect modeling

圖8 和圖9 中給出了訓(xùn)練樣本數(shù)分別為30 和70 時(shí),模型訓(xùn)練10 次,得到的預(yù)測(cè)誤差分布帶的箱線圖.其中,direct_CL和direct_CM分別代表直接建模得到的升力系數(shù)和力矩系數(shù),indirect_CL和indirect_CM分別代表間接建模得到的升力系數(shù)和力矩系數(shù),黑色實(shí)點(diǎn)代表模型每訓(xùn)練一次對(duì)應(yīng)的10 組測(cè)試樣本的預(yù)測(cè)誤差均值,紅色實(shí)點(diǎn)代表位于箱線圖上下邊緣之內(nèi)所有黑點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差均值,箱線圖對(duì)應(yīng)上邊緣為預(yù)測(cè)誤差最大值,下邊緣為預(yù)測(cè)誤差最小值,矩形箱體通過(guò)預(yù)測(cè)誤差的上下四分之一分位數(shù)構(gòu)成,位于箱線圖上下邊緣之外的為根據(jù)分布得到的異常值.同時(shí),表1 給出了論文提出的模型框架(indirect,POD 階數(shù)為3 階)與傳統(tǒng)的Kriging 模型(direct)對(duì)氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差以及提升精度.其中,“absolute error”為絕對(duì)誤差,“relative error”為相對(duì)誤差,“percentage”表示間接建模相比于直接建模預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差降低百分比,為了體現(xiàn)模型的魯棒性,表中數(shù)據(jù)為建模30 次之后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,每次建模均隨機(jī)打亂訓(xùn)練樣本,抽取不同數(shù)量的訓(xùn)練樣本總數(shù)進(jìn)行研究.可以看到,訓(xùn)練樣本數(shù)從20 變化到80 時(shí),我們所提出的融入分布載荷信息的建模方法相比于Kriging 直接建模具有較為明顯的優(yōu)勢(shì),升力系數(shù)的預(yù)測(cè)精度提升17%～30%,力矩系數(shù)的預(yù)測(cè)精度僅有微小提升.通過(guò)氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差的箱線圖進(jìn)行比較,相比于Kriging 直接建模,我們提出的氣動(dòng)力建模方法使得預(yù)測(cè)誤差的分散度得到有效降低并提高建模精度.總體而言,融入分布載荷信息的Kriging 氣動(dòng)力建模方法相比于Kriging 直接建模方法對(duì)于氣動(dòng)力預(yù)測(cè)精度更高,模型的泛化性更強(qiáng),有效縮減學(xué)習(xí)樣本數(shù)量.

圖8 訓(xùn)練樣本數(shù)為30 時(shí),預(yù)測(cè)誤差分布帶Fig.8 Prediction error distribution band when training number is 30

圖9 訓(xùn)練樣本數(shù)為70 時(shí),預(yù)測(cè)誤差分布帶Fig.9 Prediction error distribution band when training number is 70

表1 氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差Table 1 Prediction error of aerodynamic coefficient

2.2 CAS350 翼型變狀態(tài)算例

CAS350 翼型變狀態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于NPU-NF-3 低速風(fēng)洞,改變迎角和雷諾數(shù),通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)獲取了116 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(包含表面壓力分布、升力系數(shù)、力矩系數(shù)),迎角和雷諾數(shù)范圍分別為:α=-10°～18°,Re=1.0×106,1.5×106,3.0×106,4.0 ×106.如圖10 給出了CAS350 翼型外形,并在圖11 給出了Re=1×106時(shí),部分壓力分布樣本數(shù)據(jù).

圖10 CAS350 翼型外形Fig.10 CAS350 airfoil shape

圖11 CAS350 翼型部分壓力分布曲線Fig.11 Partial pressure distribution curves of CAS350 airfoil

針對(duì)亞聲速CAS350 翼型變狀態(tài)算例,輸入?yún)?shù)為迎角和雷諾數(shù),輸出參數(shù)為氣動(dòng)力.研究過(guò)程中通過(guò)獲取不同數(shù)量的樣本數(shù),得到氣動(dòng)力預(yù)測(cè)誤差隨樣本數(shù)量變化趨勢(shì).每次獲取樣本過(guò)程中,均隨機(jī)打亂116 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),截取需要的樣本數(shù)量,將獲取得到的樣本分為兩部分,80%樣本為訓(xùn)練集,用來(lái)訓(xùn)練整個(gè)學(xué)習(xí)模型,20%用作測(cè)試集,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ洼敵龅玫降臍鈩?dòng)系數(shù)的精度.

CAS350 翼型屬于風(fēng)力機(jī)翼型,翼型厚度比較厚,流動(dòng)分離明顯,呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特征,加之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較少,分布范圍比較廣,以及風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)壓數(shù)據(jù)存在噪聲,故在建模過(guò)程中,升力系數(shù)的預(yù)測(cè)誤差稍微大一些.

經(jīng)過(guò)測(cè)試選用4 階POD 基函數(shù)時(shí),氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差最低,如圖12 所示給出了氣動(dòng)系數(shù)誤差隨選取樣本數(shù)變化曲線,橫坐標(biāo)代表樣本數(shù),縱坐標(biāo)代表氣動(dòng)系數(shù)絕對(duì)誤差,圖12(a)為升力系數(shù)絕對(duì)誤差圖,圖12(b)為力矩系數(shù)絕對(duì)誤差圖,圖中數(shù)據(jù)均為樣本多次隨機(jī)打亂之后得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,可以清晰地看到,融入分布載荷信息的Kriging 氣動(dòng)力建模方法可以有效提升升力系數(shù)預(yù)測(cè)精度,對(duì)于力矩系數(shù)也具有一定提升精度效果,且隨著樣本數(shù)據(jù)的增多,提升效果更加顯著.

圖12 直接建模同間接建模誤差對(duì)比Fig.12 Comparison of error between direct modeling and indirect modeling

圖13 給出了當(dāng)樣本數(shù)為116 時(shí),單次建模過(guò)程中的測(cè)試狀態(tài)和測(cè)試誤差,圖13(a)為訓(xùn)練和測(cè)試樣本狀態(tài)范圍,紅色菱形代表訓(xùn)練狀態(tài),黑色實(shí)點(diǎn)代表測(cè)試狀態(tài),圖13(b)為24 個(gè)測(cè)試算例中的升力氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差對(duì)比,圖13(c)為對(duì)應(yīng)的力矩氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差對(duì)比.其中橙色條狀代表間接建模方法,綠色條狀代表直接建模方法,Kriging 直接建模對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù)絕對(duì)誤差平均值分別為0.038 2,0.003 38,融入分布信息的間接建模對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù)絕對(duì)誤差平均值分別為0.021 6,0.003 34.可以看到,對(duì)于升力系數(shù),絕大多數(shù)測(cè)試算例中,橙色條狀明顯低于綠色條狀,從而體現(xiàn)了融入分布信息建模方法相比于直接建模方法能夠使升力系數(shù)預(yù)測(cè)精度得到有效提高,而對(duì)于力矩系數(shù),這種提升效果并不是很明顯.

圖13 樣本數(shù)為116 時(shí),單次建模誤差對(duì)比Fig.13 Comparison of single modeling error when sample numberis 116

圖14 給出了當(dāng)樣本數(shù)為116 時(shí),建模10 次之后得到的氣動(dòng)系數(shù)絕對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果的箱線圖,其中,紅色實(shí)心點(diǎn)代表平均誤差,可以看到,相比于Kriging 直接建模,間接建模能夠顯著降低氣動(dòng)力預(yù)測(cè)誤差,并且降低氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差的分散度,從而有效提高模型的魯棒性.表2 總結(jié)了樣本數(shù)分別為40,80,116,直接建模和間接建模兩種模型的氣動(dòng)力預(yù)測(cè)誤差的絕對(duì)值和相對(duì)值,并給出了氣動(dòng)力預(yù)測(cè)精度提升性能,表中數(shù)據(jù)為建模30 次之后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.由于某些狀態(tài)下,力矩系數(shù)值很小,求得的相對(duì)誤差稍微大點(diǎn),因此表格中添加了力矩系數(shù)的絕對(duì)誤差.可以看到,隨著樣本數(shù)的增多,直接建?？蚣芎烷g接建模框架的預(yù)測(cè)誤差均得到有效降低,且間接建?？蚣芟啾扔谥苯咏？蚣苣軌蚴股ο禂?shù)預(yù)測(cè)誤差降低的更多.綜合以上分析,提出的融入分布信息的氣動(dòng)力建模方法能夠有效提高氣動(dòng)力預(yù)測(cè)精度,尤其表現(xiàn)在升力系數(shù)預(yù)測(cè)精度,且能夠有效降低學(xué)習(xí)樣本的數(shù)量,提升模型的魯棒性.

圖14 樣本數(shù)為116 時(shí),預(yù)測(cè)誤差分布帶Fig.14 Prediction error distribution band when sample number is 116

表2 氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)誤差Table 2 Prediction error of aerodynamic coefficient

3 結(jié)論

論文提出了一種融入壓力分布信息的氣動(dòng)力建模方法,通過(guò)充分利用采樣過(guò)程中所產(chǎn)生的壓力分布信息,提高了建模的精度、魯棒性和泛化性,有效縮減了學(xué)習(xí)樣本的數(shù)量,從而降低樣本獲取的成本,主要結(jié)論如下.

(1)無(wú)論是針對(duì)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還是數(shù)值模擬數(shù)據(jù),論文提出的融入分布載荷信息的氣動(dòng)力建模方法相比于傳統(tǒng)的基于Kriging 模型均能有效提高氣動(dòng)力預(yù)測(cè)精度.

(2)氣動(dòng)力建模過(guò)程中,對(duì)于不同的研究對(duì)象,選取合適階數(shù)的POD 基函數(shù),對(duì)于整個(gè)氣動(dòng)力建?？蚣苤陵P(guān)重要.

(3)在建模過(guò)程中,融入物理信息(壓力分布信息)可以有效降低黑箱模型訓(xùn)練樣本,解決小樣本數(shù)據(jù)下,模型精度不夠,泛化能力較低的難題.

本文在建模過(guò)程中,在構(gòu)建代理模型一和代理模型二時(shí),均采用了Kriging 算法,后續(xù)研究工作考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去構(gòu)建這種映射關(guān)系,可能精度上還會(huì)有所提升,同時(shí)在建模過(guò)程中如果能嵌入一些物理約束或通過(guò)引入多源數(shù)據(jù),應(yīng)該還能夠進(jìn)一步縮小學(xué)習(xí)樣本并提升模型的泛化能力.后續(xù)研究也可以將該方法發(fā)展至三維機(jī)翼氣動(dòng)力建模問(wèn)題.