旋轉(zhuǎn)式電渦流阻尼器阻尼非線性模型及其結(jié)構(gòu)減震分析

崔凱強(qiáng)， 汪志昊， 程志鵬， 陳愛玖， 霍洪媛， 周宇翔

(1. 華北水利水電大學(xué) 土木與交通學(xué)院，鄭州 450045； 2. 中國(guó)建筑第八工程局有限公司鋼結(jié)構(gòu)工程公司，上海 200125)

電渦流阻尼具有無(wú)接觸、阻尼系數(shù)調(diào)節(jié)簡(jiǎn)單、安裝維護(hù)方便、耐久性好與噪聲小等優(yōu)點(diǎn)[1]，早期主要用于機(jī)械領(lǐng)域[2-3]，近年來(lái)在土木工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域也得到較為廣泛的研究與應(yīng)用[4-9]，主要涉及豎向永磁式電渦流調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper，TMD)、擺式被動(dòng)與半主動(dòng)永磁式電渦流TMD，以及直接耗能減振阻尼器-電渦流阻尼器(eddy current damper，ECD)等。ECD主要分為板式[10-12]，以及基于滾珠絲杠[13-14]和齒輪齒條[15]傳動(dòng)原理的旋轉(zhuǎn)式(軸向)兩大類。與板式ECD相比，旋轉(zhuǎn)式ECD可有效提升電渦流阻尼的耗能密度[16]。研究表明，板式ECD[17-19]與旋轉(zhuǎn)式ECD電渦流阻尼均體現(xiàn)出阻尼非線性特征。即：阻尼器速度較低時(shí)，電渦流阻尼力與速度近似成正比關(guān)系；而阻尼器速度較高時(shí)，電渦流阻尼力則隨著速度的增加而降低。

大量研究表明，電渦流阻尼非線性與典型的非線性黏滯阻尼存在顯著區(qū)別。目前，描述電渦流阻尼非線性特征的Wouterse模型由于其物理意義明確而得到較為廣泛應(yīng)用。Liang等[20]采用Wouterse模型對(duì)電渦流阻尼進(jìn)行了仿真分析，基于周期耗能相等原則建立了典型黏滯阻尼和電渦流阻尼的等效關(guān)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步開展了單自由度結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真分析，與傳統(tǒng)黏滯阻尼器對(duì)比驗(yàn)證了ECD的可替代性。梁龍騰等[21]通過(guò)割線彈性模量法對(duì)電渦流阻尼器進(jìn)行線性簡(jiǎn)化分析，提出了平衡兩狀態(tài)控制目標(biāo)下的阻尼器參數(shù)合理取值范圍。Zhang等[22]研究了用于大型振動(dòng)控制的軸向電渦流阻尼器性能，通過(guò)與典型黏滯阻尼等尺度對(duì)比分析，電渦流阻尼器表現(xiàn)出良好的減震性能，可實(shí)現(xiàn)對(duì)典型黏滯阻尼等效取代，且當(dāng)速度達(dá)到臨界速度后，電渦流阻尼力開始下降。對(duì)于電渦流阻尼存在的非線性特征，相應(yīng)的精確力學(xué)模型及其對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果影響還有待研究。

為進(jìn)一步明確旋轉(zhuǎn)式電渦流阻尼器非線性特征及其對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果的影響，本文制作了一種旋轉(zhuǎn)式電渦流阻尼器(rotating eddy current damper，RECD)樣機(jī)，開展了樣機(jī)的力學(xué)性能試驗(yàn)和數(shù)值仿真分析，提出了基于魔術(shù)公式[23]的電渦流阻尼力學(xué)模型，并以單自由度結(jié)構(gòu)為例闡明了RECD阻尼非線性對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果的影響規(guī)律。

1 RECD樣機(jī)力學(xué)性能試驗(yàn)

1.1 樣機(jī)工作原理與構(gòu)造

RECD主要利用滾珠絲杠副把軸向兩端連接點(diǎn)的低速直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體板的高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體板在磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生電渦流阻尼力矩，同時(shí)經(jīng)過(guò)滾珠絲杠副的逆?zhèn)鲃?dòng)作用又轉(zhuǎn)化為RECD軸向電渦流阻尼力，有效地提高了電渦流阻尼的耗能效率。樣機(jī)如圖1所示。

RECD中導(dǎo)體板為轉(zhuǎn)子，與滾珠絲桿剛性連接，滾珠絲桿通過(guò)推力軸承固定，當(dāng)RECD兩端連接點(diǎn)受到相對(duì)作用力推動(dòng)滾珠螺母做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，滾珠絲桿因受到滾動(dòng)鋼珠的擠壓而做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)導(dǎo)體板在永磁體間做同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，永磁體為定子，結(jié)合導(dǎo)磁板提供磁場(chǎng)，固定在阻尼器骨架上。其中：導(dǎo)體板選用電導(dǎo)率較高的紫銅板；導(dǎo)磁板選用低碳鋼板；永磁體選用矩形N38型NdFeB，沿上、下導(dǎo)磁板均勻?qū)ΨQ布置，上下對(duì)稱兩塊永磁體記為一組；同一導(dǎo)磁鋼板布置的永磁體磁極相同，但上下導(dǎo)磁鋼板布置的永磁體磁極相反；導(dǎo)磁鋼板表面永磁體中心到絲桿中心距離為36.5 mm；導(dǎo)體板與上下永磁體之間的銅磁間隙取為8 mm。設(shè)計(jì)時(shí)考慮可附加慣性飛輪，慣性飛輪材料為鋼材。RECD樣機(jī)具體參數(shù)，如表1所示。

RECD慣性質(zhì)量的計(jì)算式可表示為

me=(2π/Ld)2(If+Ig)

(1)

式中：Ld為滾珠絲杠的導(dǎo)程；If和Ig分別為慣性飛輪和導(dǎo)體銅板等旋轉(zhuǎn)構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

RECD軸向力可表示為

(2)

1.2 力學(xué)性能測(cè)試方案

RECD樣機(jī)力學(xué)性能試驗(yàn)裝置如圖2所示。試驗(yàn)通過(guò)偏心輪激振機(jī)構(gòu)對(duì)RECD樣機(jī)進(jìn)行簡(jiǎn)諧位移激振，振幅為10 mm，試驗(yàn)工況如表2所示；采用動(dòng)態(tài)信號(hào)采集系統(tǒng)記錄RECD的軸向力和軸向位移信號(hào)。

圖2 RECD樣機(jī)力學(xué)性能測(cè)試系統(tǒng)Fig.2 Mechanical property testing system of the RECD prototype

表2 試驗(yàn)工況Tab.2 The case of testing

1.3 測(cè)試結(jié)果

圖3(a)與圖3(b)分別給出了0.15 Hz低頻激振時(shí)的RECD附加慣性飛輪前后的軸向力時(shí)程曲線，由圖3可知：RECD附加慣性飛輪前后出力變化較小，表明低頻激勵(lì)時(shí)RECD慣性力幅值較小；RECD出力波形呈現(xiàn)出明顯的方波特征，表明低頻激勵(lì)時(shí)RECD摩擦力占主導(dǎo)地位，與文獻(xiàn)[24]滾珠絲杠式慣容器測(cè)試結(jié)果規(guī)律一致，進(jìn)一步識(shí)別得到摩擦力幅值約為25 N。

圖3 RECD軸向力時(shí)程曲線(激振頻率：0.15 Hz)Fig.3 The RECD axial force-time history response

圖4對(duì)比了RECD典型工況的軸向力時(shí)程、軸向力-位移和軸向力-速度關(guān)系曲線的試驗(yàn)與最小二乘法擬合結(jié)果。由圖4可知：二者整體吻合較好，其中工況6擬合識(shí)別得到的RECD的等效慣性質(zhì)量和電渦流阻尼系數(shù)分別為78.75 kg與503.38 N·s/m。

圖4 RECD軸向力試驗(yàn)和擬合結(jié)果對(duì)比(工況6)Fig.4 Comparisons of the RECD axial force between experimental and fitting results (case 6)

圖5進(jìn)一步給出了分離出的各工況對(duì)應(yīng)的RECD電渦流阻尼力與位移關(guān)系曲線。由圖5可知：電渦流阻尼力在各激勵(lì)頻率下的滯回曲線重復(fù)性較好，表明RECD電渦流阻尼力具有較好的輸出穩(wěn)定性與可靠性。圖6進(jìn)一步給出了不同激勵(lì)頻率下識(shí)別得到的等效電渦流阻尼系數(shù)，可見隨著激振頻率增加等效電渦流阻尼系數(shù)逐漸減小，其主要原因是反抗磁場(chǎng)作用和磁滯現(xiàn)象影響程度隨著激振頻率的增加而增大[25]，電渦流阻尼力與速度關(guān)系表現(xiàn)出較為明顯的非線性特征。

圖5 RECD電渦流阻尼力-位移滯回關(guān)系實(shí)測(cè)曲線Fig.5 Experimental hysteresis curves between the eddy-current damping force and displacement of the RECD

圖6 等效電渦流阻尼系數(shù)隨激振頻率的變化曲線Fig.6 Equivalent eddy-current damping coefficient of versus excitation frequencies

2 RECD電渦流阻尼非線性模型

2.1 電磁場(chǎng)有限元仿真

采用COMSOL Multiphysics軟件中準(zhǔn)靜態(tài)方法對(duì)電渦流阻尼進(jìn)行有限元仿真分析，并用單體疊加法對(duì)樣機(jī)模型進(jìn)行數(shù)值分析。首先在AC/DC模塊中建立有限元分析幾何模型，針對(duì)不同材料屬性賦予相應(yīng)參數(shù)值，同時(shí)指定計(jì)算域的偏微分方程，然后對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分和頻域計(jì)算，獲得RECD電渦流阻尼力與速度的關(guān)系。由圖7給出的RECD電渦流阻尼力與速度關(guān)系的有限元仿真與試驗(yàn)對(duì)比結(jié)果可知：二者吻合較好，表明電磁場(chǎng)有限元仿真分析方法的可靠性；電渦流阻尼力隨速度變化表現(xiàn)出明顯的非線性特征，與傳統(tǒng)非線性黏滯阻尼相比，電渦流阻尼超過(guò)臨界速度后存在阻尼力下降趨勢(shì)。

圖7 RECD電渦流阻尼力-速度關(guān)系曲線Fig.7 The curves between the eddy-current damping force and velocity of the RECD

2.2 基于魔術(shù)公式的力學(xué)模型

鑒于魔術(shù)公式對(duì)非線性曲線有較高的適應(yīng)性，本文提出采用魔術(shù)公式建立RECD電渦流阻尼力學(xué)模型，魔術(shù)公式模型為

FM=Dsin[Carctan(Bv-E(Bv-arctan(Bv)))]

(3)

式中：FM為電渦流阻尼力；v為速度；D為峰值因子；C為形狀因子；B為剛度因子；E為曲率因子。

基于RECD電渦流阻尼有限元仿真結(jié)果，采用MATLAB軟件Cftool工具箱Trust-Region算法，識(shí)別結(jié)果得到的魔術(shù)公式相關(guān)參數(shù)為：D=225.6，C=1.942，B=1.325，E=0.391 7，相應(yīng)模型預(yù)測(cè)結(jié)果見圖7“魔術(shù)公式”?？梢姡夯谀g(shù)公式建立的RECD電渦流阻尼力學(xué)模型與有限元仿真結(jié)果吻合度高，所有結(jié)果相對(duì)誤差小于1%，與試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)誤差最大值為12.6%。

圖8給出了當(dāng)RECD電渦流阻尼在振幅為10 mm時(shí)，基于魔術(shù)公式模型得到的不同激振頻率下的RECD電渦流阻尼力-位移滯回關(guān)系曲線，可見隨著激振頻率的增加，RECD電渦流阻尼滯回關(guān)系曲線由橢圓形到矩形，最后到啞鈴型，該現(xiàn)象主要由電渦流臨界速度阻尼力飽和效應(yīng)導(dǎo)致。

圖8 RECD電渦流阻尼力-位移滯回關(guān)系曲線Fig.8 The hysteresis curves between the eddy-current damping force and displacement of the RECD

2.3 魔術(shù)公式與Wouterse模型對(duì)比分析

為進(jìn)一步闡明魔術(shù)公式描述電渦流阻尼非線性特征的優(yōu)越性，與相關(guān)電渦流阻尼非線性研究沿用的Wouterse模型[26]進(jìn)行對(duì)比分析。Wouterse模型為

(4)

式中：FW為電渦流阻尼力；v為速度；Fmax為電渦流阻尼力峰值；vcr為電渦流阻尼力峰值對(duì)應(yīng)的臨界速度，其中參數(shù)Fmax和vcr可通過(guò)試驗(yàn)或有限元仿真得到。本文通過(guò)有限元仿真結(jié)果得出Wouterse模型最大阻尼力Fmax為225.60 N，對(duì)應(yīng)臨界速度vcr為0.89 m/s。

圖9給出了兩種模型預(yù)測(cè)得到的RECD電渦流阻尼力-速度關(guān)系曲線可知：魔術(shù)公式與Wouterse模型對(duì)電渦流阻尼全局特征都有較好描述，但魔術(shù)公式模擬精度更高。

圖9 RECD電渦流阻尼力-速度關(guān)系曲線Fig.9 Relation curves between the eddy-current damping force and velocity

3 RECD對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)減震分析

3.1 模型參數(shù)

為了揭示RECD電渦流阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的減震性能，開展對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)附加電渦流阻尼動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值仿真分析。單自由度結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化分析模型如圖10所示，其參數(shù)為：質(zhì)量m=106.77 kg，剛度k=24.68 kN/m，結(jié)構(gòu)基頻f0=2.42 Hz，結(jié)構(gòu)固有阻尼比ξ0=2.40%，其中RECD只考慮電渦流阻尼效應(yīng)，本節(jié)分析擬采用2.2節(jié)中的魔術(shù)公式力學(xué)模型及其參數(shù)。

圖10 單自由度結(jié)構(gòu)體系分析模型Fig.10 Analysis model of the single-degree-of-freedom structure

為了更好地闡釋RECD電渦流阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的減震效果，將其與黏滯阻尼進(jìn)行對(duì)比分析。黏滯阻尼力學(xué)模型選用線性阻尼模型，建立RECD電渦流阻尼力學(xué)模型中臨界速度前耗能功率與黏滯阻尼在此速度前耗能功率相等的等效方法，等效關(guān)系如圖11所示，確定其等效黏滯阻尼系數(shù)為364.18 N·s/m。

圖11 電渦流阻尼與黏滯阻尼模型等效關(guān)系Fig.11 Equivalent relationship of the eddy-current damping and viscous damping

3.2 頻域響應(yīng)分析

建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程，基于MATLAB-SIMULINK仿真平臺(tái)，采用變步長(zhǎng)四階五級(jí)Runge-Kutta methods求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。

圖12 動(dòng)力因子與頻率比的關(guān)系曲線Fig.12 Relationship curves between dynamic factor and frequency ratio

3.3 地震響應(yīng)分析

地震波具有復(fù)雜的特性，不同的幅值、頻譜特性及持時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)均會(huì)產(chǎn)生較大影響。目前，我國(guó)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中主要采用地震動(dòng)峰值加速度作為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)。本文選用經(jīng)典的El-Centro波對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震響應(yīng)激勵(lì)，并對(duì)比分析不同幅值作用下結(jié)構(gòu)體系的響應(yīng)。圖13(a)為El-Centro波地面加速度時(shí)程曲線，其地震動(dòng)峰值加速度為342 gal；參考文獻(xiàn)[27]對(duì)El-Centro波調(diào)幅，取地震動(dòng)峰值加速度為930 gal，調(diào)幅后的地震波，如圖13(b)所示。

圖13 El-Centro波時(shí)程Fig.13 El-Centro wave

圖14與圖15為不同幅值El-Centro波激勵(lì)下結(jié)構(gòu)附加不同阻尼的位移與加速度時(shí)程響應(yīng)曲線。由圖14、圖15可知：當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度為342 gal時(shí)，附加電渦流阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大位移峰值響應(yīng)0.016 3 m小于附加黏滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大位移峰值響應(yīng)0.019 0 m，而附加電渦流阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大加速度峰值響應(yīng)4.55 m/s2同樣小于附加黏滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大加速度峰值響應(yīng)5.04 m/s2；當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度為930 gal 時(shí)，附加電渦流阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大位移峰值響應(yīng)0.053 7 m大于附加黏滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大位移峰值響應(yīng)0.051 7 m，而附加電渦流阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大加速度峰值響應(yīng)14.46 m/s2同樣大于附加黏滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的最大加速度峰值響應(yīng)13.71 m/s2。由此表明：當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度為342 gal時(shí)，位移和加速度峰值響應(yīng)控制方面，電渦流阻尼均略優(yōu)于黏滯阻尼；而當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度為930 gal時(shí)，位移和加速度峰值響應(yīng)控制方面，黏滯阻尼均略優(yōu)于電渦流阻尼；整體來(lái)看，二者減震效果較為接近。

圖14 El-Centro波激勵(lì)下結(jié)構(gòu)位移時(shí)程響應(yīng)Fig.14 The displacement time history response of structure under excitation of El-Centro wave

圖15 El-Centro波激勵(lì)下結(jié)構(gòu)加速度時(shí)程響應(yīng)Fig.15 The acceleration time history response of structure under excitation of El-Centro wave

圖16與圖17為結(jié)構(gòu)體系在不同幅值El-Centro波激勵(lì)下阻尼器出力響應(yīng)曲線。由圖16、圖17可知：當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度為342 gal時(shí)，電渦流阻尼相比于黏滯阻尼的滯回性能更飽滿，電渦流阻尼表現(xiàn)出近線性力學(xué)特征；當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度為930 gal時(shí)，黏滯阻尼的滯回性能表現(xiàn)更飽滿，電渦流阻尼被激發(fā)的非線性力學(xué)特征顯著；二者減震效果相當(dāng)時(shí)，電渦流阻尼的最大出力小于黏滯阻尼，這對(duì)阻尼結(jié)構(gòu)可起到良好的保護(hù)作用。

圖16 El-Centro波激勵(lì)下阻尼器滯回關(guān)系曲線Fig.16 The hysteresis curves of damper under excitation of El-Centro wave

圖17 El-Centro波激勵(lì)下阻尼器力-速度關(guān)系曲線Fig.17 The damping force versus its velocity under excitation of El-Centro wave

結(jié)構(gòu)附加阻尼比可基于時(shí)程累積耗能比法估算如下式[28]

(5)

式中：ξd為消能減震結(jié)構(gòu)的附加阻尼比；ξ1為消能減震結(jié)構(gòu)的固有阻尼比；Wd為結(jié)構(gòu)消能部件消耗的能量；W1為結(jié)構(gòu)固有阻尼消耗的能量。

圖18與圖19分別給出了結(jié)構(gòu)體系在不同幅值El-Centro波激勵(lì)下的耗能結(jié)果。由圖18、圖19的結(jié)果結(jié)合式(5)可估算出結(jié)構(gòu)體系的附加阻尼比，其中黏滯阻尼結(jié)構(gòu)體系在兩種幅值地震波作用下的附加阻尼比均為11.21%；當(dāng)?shù)卣饎?dòng)峰值加速度取342 gal和930 gal 時(shí)，電渦流阻尼結(jié)構(gòu)體系附加阻尼比分別為17.26%和14.08%。因此，電渦流阻尼結(jié)構(gòu)體系的附加阻尼比大于黏滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的附加阻尼比，電渦流阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果更優(yōu)。

圖18 結(jié)構(gòu)附加黏滯阻尼體系耗能Fig.18 Energy dissipation of the structure with viscous damping

圖19 結(jié)構(gòu)附加電渦流阻尼體系耗能Fig.19 Energy dissipation of the structure with eddy-current damping

4 結(jié) 論

(1) 試驗(yàn)與仿真分析表明，當(dāng)RECD速度較低時(shí)，電渦流阻尼表現(xiàn)為線性；當(dāng)速度超過(guò)臨界速度，電渦流阻尼力則開始下降。

(2) 基于魔術(shù)公式識(shí)別得到的電渦流阻尼模型與有限元仿真結(jié)果的絕對(duì)誤差小于1%，實(shí)現(xiàn)了對(duì)電渦流阻尼非線性特性的精細(xì)化模擬。

(3) RECD對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)減震分析表明，RECD電渦流阻尼呈現(xiàn)典型的非線性黏滯阻尼特征，相對(duì)傳統(tǒng)線性黏滯阻尼器具有一定的減震優(yōu)勢(shì)。