提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的探索

許志超

（德化第一中學(xué)鵬祥分校 福建泉州 362500）

一、課堂教學(xué)融匯數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)離不開數(shù)和形，它們緊密聯(lián)系、互相依賴，可相互轉(zhuǎn)化。數(shù)輔助形、形幫助數(shù)，有助于尋找解題思路時(shí)直觀形象，能做到優(yōu)化解題思路。

例：y=x2+(1-a)x+1(1≤x≤3)是關(guān)于x的二次函數(shù)，y在x=1時(shí)取得最大值，求a的取值范圍。

分析：y=x2+(1-a)x+1圖象的位置隨著a的變化而變化。我們知道幾何畫板軟件是“數(shù)形結(jié)合”思想體現(xiàn)的有力工具，函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)演示既直觀又形象，從動(dòng)態(tài)演示可知，該二次函數(shù)在取值范圍內(nèi)的最值可分三種情況討論。選擇幾何畫板動(dòng)態(tài)演示下的三幅靜態(tài)圖，畫示意圖如下：

方法一：觀察圖①，函數(shù)值y是遞增的，觀察圖②，此時(shí)圖象兩端點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，觀察圖③，y值是遞減的，所以只要時(shí)，y值最大，因此有方法一：，解得，a ≥ 5。

①

②

③

方法二：觀察圖象①、②、③，函數(shù)圖象的端點(diǎn)到對(duì)稱軸距離遠(yuǎn)的，函數(shù)值y就取得最大值；特別的，當(dāng)x=1和x=3時(shí)的函數(shù)圖象端點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離一樣遠(yuǎn)，函數(shù)值y在x=1和x=3時(shí)，都取得最大值。因此可列如下不等式：解得，a≥5。

方法三：觀察圖象①不符合題意，圖象②、③符合題意，可算出圖象兩端點(diǎn)的y值y1=1+(1-a)+1=3-a，y2=9+3(1-a)+1=13-3a，所以只要3-a≥3-3a時(shí)，符合題意，解得a≥5。

總之，幾何畫板能創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”情景，讓抽象、枯燥的數(shù)式轉(zhuǎn)化成了圖形實(shí)驗(yàn)環(huán)境，選擇幾何畫板動(dòng)態(tài)演示下的不同情形靜態(tài)圖，能把已知條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化成直白的圖象關(guān)系，從而使數(shù)學(xué)解題方法更加優(yōu)化。

二、課堂教學(xué)生活化

數(shù)學(xué)來源于生活，與生活密不可分。數(shù)學(xué)是有趣的，我們可以在游戲中用數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)。同學(xué)們喜歡充滿樂趣的“生活數(shù)學(xué)問題”，因此課堂教學(xué)可以從“生活中的數(shù)學(xué)”入手[2]。

例：中國歷史上有一個(gè)膾炙人口的“田忌賽馬”故事，這是賽馬賭勝的“三局兩勝制”游戲。該游戲有兩方參加比賽，一方是齊王的上、中、下三匹馬X1、Y1、Z1，另一方是田忌的上、中、下三匹馬X2、Y2、Z2，可用不等式表示這些馬比賽勝負(fù)：X1＞X2＞Y1＞Y2＞Z1＞Z2（注：X＞Y表示X、Y馬比賽，X馬勝）。田忌在劣勢(shì)的情形下，采納了他身旁孫臏的辦法對(duì)陣：即對(duì)陣（X1Z2，Y1X2，Z1Y2），田忌勝出。現(xiàn)在，齊王首局出“下馬”被田忌知道了，那么他獲勝的機(jī)會(huì)是多少？可分析如下：

第一局出馬情況為Z1Y2，田忌獲勝；

那么比賽所有等可能的對(duì)陣為：（Z1Y2，X1X2，Y1Z2），（Z1Y2，X1Z2，Y1X2），（Z1Y2，Y1X2，X1Z2），（Z1Y2，Y1Z2，X1X2），共四種等可能情況，其中獲勝的有以下兩種（Z1Y2，X1Z2，Y1X2），（Z1Y2，Y1X2，X1Z2），∴P（田忌獲勝）=。

學(xué)生們通過對(duì)“田忌賽馬”故事的有趣思考、樂于思考，對(duì)引入?yún)?shù)、不等式概念、必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件概率有了更深的理解，數(shù)學(xué)中零星的知識(shí)串在了一起，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，促使他們熱愛數(shù)學(xué)，樂學(xué)數(shù)學(xué)，知道了日常生活中的許多事蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理。

三、課堂教學(xué)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與聯(lián)想，一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維

“轉(zhuǎn)化與聯(lián)想”是初中數(shù)學(xué)解題的核心思想，它能夠激活學(xué)生思維，擴(kuò)展思路，能有效避免學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)死記硬背公式、生搬硬套的呆滯做法，能用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去解決難度較大的數(shù)學(xué)問題，下面通過典型例題解析“轉(zhuǎn)化與聯(lián)想”解題方法的應(yīng)用。

（1）求證：∠P=45°

（2）在（1）的條件下，作DN⊥GP于點(diǎn)N，連接CN、BP，取BP的中點(diǎn)M，連接MN，求證：

（1）解法分析如下

方法一：欲證∠P=45°，連接BD交GP于Q時(shí)，∠GBQ=45°，又在△GBQ與△DPQ中，∠GQB與∠DQP是一組相等的對(duì)頂角，所以結(jié)論成立時(shí)，有△GBQ～△DPQ。反過來，要證△GBQ～△DPQ，只要證∠BGQ=∠PDQ。

題目的已知條件AG=BF=EF要如何用呢？

設(shè)AG=BF=EF=a，BG=b，

在斜三角形QDP中，過點(diǎn)E作EH⊥BD于H，

所以∠BGQ=∠PDQ。

方法二：欲證∠P=45°，聯(lián)想到過點(diǎn)F作FI‖PD交AD于I，∠P可轉(zhuǎn)化∠GFI，因?yàn)锳D‖BC，所以四邊形IDEF是平行四邊行，所以ID=EF=BF=AG；在正方形ABCD中，AD=AB，∠A=∠B=90°，所以AI=BG；又聯(lián)想到連接GI時(shí)，可證△AGI ?△BFG(SAS)，所以GI=GF，∠1=∠3。又因?yàn)椤?+∠2=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠FGI=180°-（∠2+∠3）=90°，所以△GFI是等腰直角三角形，所以∠GFI=45°，所以∠P=45°。

點(diǎn)評(píng)：在解數(shù)學(xué)題時(shí)，不是一審題，就馬上有思路，一些問題的思路是在對(duì)問題條件和結(jié)論的不斷轉(zhuǎn)化中得出來的，在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行豐富聯(lián)想得出來的。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，運(yùn)用聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，解題效率會(huì)大大提高。

（2）解法分析如下：

方法二：考慮在圖形內(nèi)作輔助線，由∠NPD=45°，DN⊥PN可知△PND是等腰直角三角形，聯(lián)想到試著作NQ⊥PD于Q，則PQ=QD，又BM=MP，聯(lián)想到三角形中位線，連接MQ、BD。觀察圖形，欲證可證△MNQ～△CND，那么可轉(zhuǎn)化為

點(diǎn)評(píng)：正向、逆向思維相結(jié)合，善于挖掘圖形的特殊性，在聯(lián)想中滲透轉(zhuǎn)化思想，把綜合強(qiáng)的問題轉(zhuǎn)化分解為幾個(gè)基本問題，讓學(xué)生親身體驗(yàn)轉(zhuǎn)化過程，將數(shù)學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系，形成脈絡(luò)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

四、課堂教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)模型

例：如圖，OP平分∠AOB，OC=OD，連接PC、PD，試說明△PCO ?△PDO.

分析：易證△PCO ?△PDO(SAS)

又當(dāng)PC‖OD時(shí)，四邊形PCOD是菱形；

當(dāng)PC⊥OA時(shí)，四邊形PCOD是菱形；

當(dāng)PC⊥OP時(shí)，△CDO是等腰三角形。

這就是角平分線的相關(guān)模型，我們可以利用其中的模型啟發(fā)解題思路。比如：如圖，∠ABC=45°，PB平分∠ABC，PD⊥BC于D，若BD=3，則PD的長(zhǎng)是多少？分析：欲求PD，可作PE⊥AB于E，構(gòu)造角平分線模型，則PD=PE，延長(zhǎng)DP交AB于F，則DF=BD=3，

設(shè)DP=PE=X，則在Rt△PEF中，∠EFP=45°，

運(yùn)用模型思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生從思維的“已有經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)探尋解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題模型思維，避免解題容易出錯(cuò)，解題速度慢等問題。