基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念形成教學(xué)方式
——以“復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)實錄與反思為例*

董榮森

(江蘇省懷仁中學(xué) 214196)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自省級重點中學(xué)高二普通班，基礎(chǔ)相對來說比較好，具有一定的自主學(xué)習(xí)能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力．

1.2 目標(biāo)要求

(1)通過解方程遇到具體問題認(rèn)識復(fù)數(shù)，理解引入復(fù)數(shù)的必要性；了解數(shù)系的擴(kuò)充過程：自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實數(shù)—復(fù)數(shù)．

(2)認(rèn)識虛數(shù)單位，掌握復(fù)數(shù)概念，實部、虛部相關(guān)概念，理解兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

(3)類比有理數(shù)集和實數(shù)集的關(guān)系，認(rèn)識實數(shù)集和復(fù)數(shù)集的關(guān)系，理解實數(shù)是復(fù)數(shù)的一種形式；通過從實數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充過程和方法，提升抽象概括及邏輯推理素養(yǎng)．

2 設(shè)計理念

本節(jié)課的設(shè)計以杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論為基礎(chǔ)與依據(jù)，緊緊圍繞活動(Action)、過程(Process)、對象(Objcet)、圖式(Schema)等四個階段設(shè)計教學(xué)，選擇數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)方式(圖1)．即通過創(chuàng)設(shè)豐富典型的例證性情境，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行操作或活動，發(fā)現(xiàn)真問題(情境驅(qū)動、活動階段)；引導(dǎo)學(xué)生自主探究提出問題，抽象問題的本質(zhì)屬性，形成初步概念(主體活動、過程階段)；組織學(xué)生合作構(gòu)建，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)分析問題，對概念的深化與理解(立體互動、對象階段)；強(qiáng)化知識遷移，運(yùn)用概念解決問題，形成智慧(智慧靈動、圖式階段)進(jìn)行課堂教學(xué)，努力讓學(xué)生建構(gòu)復(fù)數(shù)的概念．

圖1

3 教學(xué)實錄

3

.

1 創(chuàng)設(shè)情境、發(fā)現(xiàn)問題(活動階段)

情境

16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡丹在《大術(shù)》中提出如下問題：將10分成兩部分，使其乘積為40．他寫道：“顯然，該問題是不可能的．不過我們可以用這樣的方式來求解：平分10，得5，自乘，得25，減去乘積自身(即40)，得-15，從5中減去或加上該數(shù)的平方根，即得乘積為40的兩部分，即和卡丹因此成了數(shù)學(xué)史上第一個使用負(fù)數(shù)平方根的人．-15怎么可以有算術(shù)平方根呢？依據(jù)我們已有的經(jīng)驗，負(fù)數(shù)不能開平方．

問題1

負(fù)實數(shù)到底能不能開平方呢？即方程

x

+

a

=0(

a

>0)有沒有解？

生1：在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方；在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解．

評析

通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情境，設(shè)置適合學(xué)生認(rèn)知的問題引發(fā)其思考，引導(dǎo)其身臨其境地去感受數(shù)學(xué)家們勇于探究、勇于創(chuàng)新的精神，體會數(shù)系的每次擴(kuò)充都與實際需求密切相關(guān)，感受人類理性思維在社會發(fā)展中的作用．

3

.

2 自主探究、提出問題(過程階段)

師：我們知道

x

+1=0在實數(shù)集中無解，聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集擴(kuò)充的過程，你能給出一種方法，適當(dāng)擴(kuò)充實數(shù)集，使這個方程有解嗎？

活動1 理解數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實踐與社會發(fā)展的需要．

師：通過預(yù)習(xí)與查閱資料，你能敘述一下數(shù)的發(fā)展史嗎？

生2：因為計數(shù)的需要，所以產(chǎn)生了自然數(shù)．

生3：為了表示具有相反意義的量引入負(fù)數(shù)，于是數(shù)集由自然數(shù)集擴(kuò)充為整數(shù)集．

生4：為了測量與分配的需要，引入了分?jǐn)?shù)，于是數(shù)集由整數(shù)集擴(kuò)充為有理數(shù)集．

生5：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，于是數(shù)集由有理數(shù)集擴(kuò)充為實數(shù)集．

師：你遇到過在實數(shù)集范圍內(nèi)解不了的方程嗎?

生6：遇到過，如一元二次方程

ax

+

bx

+

c

=0，當(dāng)

Δ

=

b

-4

ac

<0時，方程無解．

評析

讓學(xué)生對數(shù)集擴(kuò)充的歷史有所了解，感受數(shù)學(xué)的發(fā)展是生產(chǎn)實踐與社會發(fā)展的需要；讓學(xué)生從已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中自主探究實數(shù)集擴(kuò)充的必要性．

活動2 理解數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要．

師：在自然數(shù)集中，方程

x

+1=0有解嗎？

生7：沒有解，在整數(shù)集中有解．

師：在整數(shù)集中，方程2

x

-1=0有解嗎？

生8：沒有解，在有理數(shù)集中有解．

師：在有理數(shù)集中，方程

x

=2有解嗎？

生9：沒有解，在實數(shù)集中有解．

師：在實數(shù)集中，方程

x

+1=0有解嗎？生10：在實數(shù)集中，方程

x

+1=0無解，需要一個新的數(shù)集．

評析

讓學(xué)生從求解方程的需要，理解數(shù)系擴(kuò)充的必要性，從而自然引入虛數(shù)單位i．

活動3 引入新數(shù)——虛數(shù)單位i．

師：我們需要引入一個數(shù)，使它是方程

x

+ 1=0的解．如何引入？談?wù)勀愕目捶ǎ?p>生11：可以引入虛數(shù)單位i，它的平方等于 -1，即i=-1；它可以與實數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘法運(yùn)算律仍然成立．

師：把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實數(shù)之間仍然能像實數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法滿足分配律．那么，實數(shù)集經(jīng)過擴(kuò)充后，得到新的數(shù)集由哪些數(shù)組成呢？

生12：形如

a

+

b

i(

a

,

b

∈

R

)的數(shù)組成新的數(shù)集．

評析

數(shù)系經(jīng)過擴(kuò)充后要保證原來的運(yùn)算律仍然成立，依據(jù)這個原則，新的數(shù)集的表達(dá)是一個很好的切入點．學(xué)生經(jīng)過抽象過程認(rèn)識到虛數(shù)單位，為實現(xiàn)復(fù)數(shù)概念的構(gòu)建作鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念教學(xué)中螺旋上升的思維過程，得出對象概念，實現(xiàn)認(rèn)識上的飛躍．

3

.

3 建構(gòu)概念、分析問題(對象階段)

活動4 理解復(fù)數(shù)的概念．

師：形如

a

+

b

i(

a

,

b

∈

R

)的數(shù)，其中的

a

,

b

分別叫做什么？生13：形如

a

+

b

i(

a

,

b

∈

R

)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中

a

叫做復(fù)數(shù)的實部，

b

叫做復(fù)數(shù)的虛部．師：形如

a

+

b

i(

a

,

b

∈

R

)的數(shù)包括所有實數(shù)嗎？它還包括哪些你原來沒有遇到過的新數(shù)呢？生14：包括所有實數(shù)，當(dāng)

b

=0時，

a

+

b

i為實數(shù)；當(dāng)

b

≠0時，

a

+

b

i為虛數(shù)，這是我們遇到的新數(shù)．師：兩個復(fù)數(shù)相等的條件是什么？對于

a

,

b

,

c

,

d

∈

R

，

a

+

b

i=

c

+

d

i得滿足什么條件？生15：由

a

+

b

i=

c

+

d

i得

a

=

c

，

b

=

d

．

評析

通過以上問題促成學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的準(zhǔn)確理解；通過合作構(gòu)建，為抽象出的復(fù)數(shù)概念賦予形式化的定義及符號表示，并讓學(xué)生將復(fù)數(shù)主動納入數(shù)系中．

活動5 類比實數(shù)集，認(rèn)識復(fù)數(shù)集．

師：復(fù)數(shù)集

C

與實數(shù)集

R

之間有什么關(guān)系？生16：每個實數(shù)都是虛部為0的復(fù)數(shù)，所以實數(shù)集

R

是復(fù)數(shù)集

C

的真子集．師：依據(jù)復(fù)數(shù)

a

+

b

i中

a

,

b

的取值，如何給復(fù)數(shù)分類？生17：對于復(fù)數(shù)

a

+

b

i(

a

,

b

∈

R

)，當(dāng)且僅當(dāng)

b

=0時，復(fù)數(shù)

a

+

b

i是實數(shù)

a

；當(dāng)

b

≠0時，復(fù)數(shù)

z

=

a

+

b

i叫做虛數(shù)；當(dāng)

a

=0且

b

≠0時，

z

=

b

i叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

b

=0時，

z

就是實數(shù)0．

評析

類比實數(shù)集，更清楚地認(rèn)識復(fù)數(shù)集，感受數(shù)集的再次擴(kuò)充．復(fù)數(shù)概念的抽象，其中虛數(shù)、純虛數(shù)等概念容易混淆，細(xì)致的介紹說明可以幫助學(xué)生理解辨析，深刻理解復(fù)數(shù)的概念，有利于掌握復(fù)數(shù)的本質(zhì)

.

將復(fù)數(shù)放在整個數(shù)系發(fā)展的歷史長河中去認(rèn)識，能夠更加全面地認(rèn)識復(fù)數(shù)概念，有利于下一階段在頭腦中更好地構(gòu)建復(fù)數(shù)圖式．

3

.

4 數(shù)學(xué)應(yīng)用、解決問題(圖式階段)

例1

已知(2

x

-1)+i=

y

-(3-

y

)i，其中

x

,

y

∈

R

，求

x

與

y

．

生18：據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得方程組解得

方法規(guī)律：若

a

,

b

,

c

,

d

∈

R

，則

a

+

b

i=

c

+

d

i?

a

=

c

,

b

=

d

．特別地，

a

+

b

i=0?

a

=

b

=0．

評析

通過復(fù)數(shù)相等的運(yùn)用，將復(fù)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實部與實部、虛部與虛部的比較，實現(xiàn)了復(fù)數(shù)到實數(shù)的轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想．跟蹤訓(xùn)練：(2

x

-1)i+i=

y

-(3-

y

)i，其中

x

,

y

∈

R

，求

x

與

y

．生19：先計算i=-1，所以(2

x

-1)i+i=(1-2

x

)+i．根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件可得解得

例2

復(fù)數(shù)

m

=

a

+

b

i中實部

a

、虛部

b

滿足什么條件時，復(fù)數(shù)

z

=

m

+1+(

m

-1)i是：

(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？

師：因為

m

∈

C

，所以

z

=

a

+

b

i+1+(

a

+

b

i-1)i=(

a

+1-

b

)+(

a

+

b

-1)i是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定

m

滿足的條件．生20：設(shè)

m

=

a

+

b

i，則

z

=

a

+

b

i+1+(

a

+

b

i-1)i=(

a

+1-

b

)+(

a

+

b

-1)i．(1)當(dāng)

a

+

b

-1=0時，復(fù)數(shù)

z

是實數(shù)；(2)當(dāng)

a

+

b

-1≠0時，復(fù)數(shù)

z

是虛數(shù)；(3)當(dāng)

a

+1-

b

=0且

a

+

b

-1≠0時，復(fù)數(shù)

z

是純虛數(shù)．方法規(guī)律：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決問題，首先應(yīng)設(shè)

m

=

a

+

b

i，再結(jié)合已知條件將相關(guān)復(fù)數(shù)也變成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的關(guān)系．

評析

通過對實部和虛部的運(yùn)算，加深對復(fù)數(shù)概念的理解和運(yùn)用．設(shè)出復(fù)數(shù)也體現(xiàn)了方程思想，提升學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．變式訓(xùn)練：復(fù)數(shù)

z

=

m

+1+(

m

-1)i滿足實部、虛部均大于1，求

m

的取值范圍．生21：根據(jù)題意有故

m

>2．

例3

已知

x

∈

C

，求方程

x

+

x

+4=0的根．師：用一元二次方程的求根公式來求解．

x

+

x

+4=0的

Δ

=1-16=-15，由求根公式可知

方法規(guī)律：一元二次方程的根在數(shù)集擴(kuò)充后仍然可以用求根公式來求，這是數(shù)系擴(kuò)充后仍然成立的結(jié)論．

評析

在實際應(yīng)用中體會引進(jìn)虛數(shù)的必要性．隨著數(shù)系的擴(kuò)充對方程的解有了新的認(rèn)識，這便是擴(kuò)充數(shù)集的意義；求根公式仍然適用，這也是數(shù)集擴(kuò)充的基本思想．變式訓(xùn)練：

x

∈

C

，方程

x

+

x

+4=0的兩根為

x

,

x

，則

x

+

x

=-1，

x

x

=4仍然成立嗎？只說結(jié)論，不必證明．師：既然求根公式仍然可用，即根與系數(shù)的 關(guān)系也仍然成立，故

x

+

x

=-1，

x

x

=4成立．

評析

通過例題講解與變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生記憶和構(gòu)建復(fù)數(shù)概念形成的知識網(wǎng)絡(luò)，有利于更好地形成概念圖式．當(dāng)然這個圖式還需要在后續(xù)階段反復(fù)學(xué)習(xí)，以不斷完善、強(qiáng)化與穩(wěn)固．

4 回顧與反思

(1)活動階段：通過創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生親身體驗，發(fā)現(xiàn)問題，感受概念產(chǎn)生背景

“活動階段”是概念引入階段，以學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過創(chuàng)設(shè)情境提出問題，讓學(xué)生參與各種“活動”主動構(gòu)建，親身體驗、感受概念的直觀背景和概念之間的關(guān)系．

在本節(jié)課的“活動階段”環(huán)節(jié)中，以學(xué)生已有的自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等概念知識為基礎(chǔ)，認(rèn)真分析復(fù)數(shù)概念的具體內(nèi)容以及其在數(shù)系中的位置，通過創(chuàng)設(shè)情境提出問題，設(shè)計合適的“活動”，讓學(xué)生參與各種“活動”主動構(gòu)建，親身體驗、感受復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的直觀背景和數(shù)系擴(kuò)充的過程，了解引入復(fù)數(shù)的必要性，對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)具有舉足輕重的作用．在數(shù)系的擴(kuò)充過程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，學(xué)生在活動階段中通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用．

(2)過程階段：引導(dǎo)學(xué)生主動探究，提出問題，抽象出數(shù)學(xué)概念

“過程階段”是概念定義階段，應(yīng)該是讓學(xué)生對“活動”進(jìn)行思考，通過一定的抽象得出概念所特有的性質(zhì)，從而對所授的概念形成一個較直觀的理解．

在本節(jié)課的“過程階段”教學(xué)環(huán)節(jié)中，提出問題：“解方程時實數(shù)集不夠用，怎么辦?”有學(xué)生會回答：“把實數(shù)集擴(kuò)充”．于是繼續(xù)問：“你怎么想到的?怎么擴(kuò)充?”接下來從方法論的角度啟發(fā)學(xué)生：“我們遇到新的問題怎么解決?人類解決問題最本原的方法是什么?實際上我們通常是從已有方法尋找未知方法，從已有知識尋找未知知識，從已經(jīng)解決的問題尋找解決新問題的方法！”接下來提問“你怎么想?”以引導(dǎo)學(xué)生找已知的知識和方法.找已經(jīng)解決的問題.啟發(fā)學(xué)生：有沒有遇見過類似的問題?把問題交給學(xué)生，先思考后交流，不僅僅要讓學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的初步概念、定義、分類、相等的條件等知識，更重要的是理解復(fù)數(shù)這個數(shù)學(xué)概念建立的思想方法．

(3)對象階段：讓學(xué)生合作構(gòu)建，分析問題，深化對概念的理解

“對象階段”是概念分析階段，應(yīng)該是“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予形式化的定義及符號表示，使其達(dá)到精致化，成為一個具體的“對象”，并由學(xué)生主動將其納入已有的概念體系，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象進(jìn)行新的活動．

在“對象階段”環(huán)節(jié)中，教師給學(xué)生提供探究的線索，讓學(xué)生通過合作構(gòu)建來思考并分析問題：1)以往學(xué)習(xí)中有沒有遇見過類似的問題？2)如果遇見過，解決了什么問題？怎樣解決的？3)解決的過程有什么共同的特點(規(guī)律)？這些“線索”其實都是問題，而不是現(xiàn)成的線索；這些問題只提供了一個尋找線索的方法，真正的線索還需學(xué)生自己去尋找，而在尋找過程中所應(yīng)用的類比思想和對方法論的認(rèn)識無疑使學(xué)習(xí)中的“結(jié)果與過程”“客觀與主觀”“靜態(tài)與動態(tài)”“外在與內(nèi)化”有機(jī)地結(jié)合到了一起，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為深入理解概念、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)．

(4)圖式階段：進(jìn)行概念的運(yùn)用，解決問題，強(qiáng)化知識遷移形成智慧

“圖式階段”是概念運(yùn)用階段，是“對象”階段中對概念本質(zhì)和概念體系進(jìn)一步理解，經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)揭示概念本質(zhì)和實例化，與其他概念、規(guī)則、圖形等建立起聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式．在“圖式階段”環(huán)節(jié)中，通過應(yīng)用復(fù)數(shù)有關(guān)概念解決數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)概念以及它與已學(xué)過的實數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中建立起一定的概念圖式，以便在解決問題時能夠迅速調(diào)?。?/p>