世界的遞歸性與辯證法

潘天群

我們周遭的世界由事物構(gòu)成，這些事物也是我們的思維對(duì)象。事物的當(dāng)下狀態(tài)是該物先前狀態(tài)的新的呈現(xiàn)，而當(dāng)下狀態(tài)又在以一定的方式構(gòu)建它的未來，即事物均以“遞歸”（recursive）的方式在世界中展現(xiàn)。個(gè)體的人亦復(fù)如是：在與世界的交往中個(gè)體的人過往的交往方式構(gòu)成新的交往的基礎(chǔ)，而每一次新的交往又為個(gè)體更新的交往積累經(jīng)驗(yàn)。然而，不同于數(shù)學(xué)中的遞歸，事物通過不斷否定自己而實(shí)現(xiàn)整體性的遞歸性發(fā)展，這正是黑格爾的辯證法所要表明的。本文要探討的是世界的遞歸性（recursivity）以及它與辯證法的關(guān)聯(lián)。

一、事物的遞歸及其內(nèi)部動(dòng)力

遞歸（recursion）是數(shù)學(xué)中以及邏輯學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)基本術(shù)語。簡(jiǎn)單說來，如果一個(gè)計(jì)算過程，它的每一步計(jì)算都要調(diào)用前一步或前幾步給定的或者已經(jīng)計(jì)算出來的結(jié)果，那么這樣的計(jì)算便是遞歸的。遞歸函數(shù)是一個(gè)通過調(diào)用自己而被定義在自然數(shù)上的函數(shù)，如由f（0）=1，f（1）=1，f（n+2）=f（n）+f（n+1）確定的斐波那契數(shù)列，它的第三項(xiàng)及以后的每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)相加而成①自Cristopher Moore（1996），人們開始探索基于實(shí)數(shù)上的遞歸函數(shù)類及其理論基礎(chǔ)，其中微分遞歸操作數(shù)被提出，如Manuel Campagnolo（2002）、José Félix Costa（2009）等人的工作。這里所討論的遞歸還是傳統(tǒng)上的，即遞歸是基于可數(shù)無窮的自然數(shù)之上的。。在遞歸函數(shù)中函數(shù)自身被不斷調(diào)用而生成新的函數(shù)值，因而遞歸機(jī)制是一個(gè)遞進(jìn)（progressive）機(jī)制，即新的數(shù)由遞歸規(guī)則被遞進(jìn)地生成。這里不關(guān)心數(shù)學(xué)中的遞歸，而關(guān)心時(shí)間與空間中的事物的遞歸性：事物后續(xù)狀態(tài)遵循一定的規(guī)則由前面的狀態(tài)“發(fā)展”或者遞進(jìn)地生成而來。

任何事物都是有限之物，即都有一個(gè)與之交互的環(huán)境，因而每個(gè)事物的遞歸是在它所在的環(huán)境中進(jìn)行的。于是，事物的遞歸可以這樣形式地描述：某個(gè)事物A，A 所處的環(huán)境變量E（E是外部變量），A的狀態(tài)變量X在不同階段展現(xiàn)為X0，X1，X2，…；其中X0為初始狀態(tài)。遞歸規(guī)則為Xn+1=f（Xn，E），即Xn+1由先前狀態(tài)Xn與E 共同確定。這樣，事物的遞歸性可以表示成一個(gè)由初始狀態(tài)、第n階段的狀態(tài)和遞歸規(guī)則的三元組：（X0，Xn，Xn+1=f（Xn，E）），即一個(gè)特定事物的遞歸函數(shù)為（X0，Xn，Xn+1=f（Xn，E））②在多個(gè)事物構(gòu)成的系統(tǒng)中事物間存在“相互調(diào)用”從而構(gòu)成復(fù)雜的遞歸，此時(shí)這個(gè)系統(tǒng)中的某個(gè)特定事物在某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，依賴于上一狀態(tài)的自己及系統(tǒng)內(nèi)其他事物的狀態(tài)。本文僅考慮作為整體的單個(gè)物的遞歸。。

物的遞歸函數(shù)（X0，Xn，Xn+1=f（Xn，E））刻畫了這樣的情況，事物面臨著開放的環(huán)境，它的任一時(shí)刻的狀態(tài)部分地依賴于自身的先前狀態(tài)，部分地依賴于外部環(huán)境，即事物的狀態(tài)由事物本身與環(huán)境共同決定。我們可以用計(jì)算機(jī)來仿真不同類型的環(huán)境變量作為輸入?yún)?shù)的事物的遞歸狀態(tài)。

有三點(diǎn)需要說明：第一，物的遞歸函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值是事物的某個(gè)整體性狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)包括事物呈現(xiàn)的形狀、性質(zhì)以及事物所含的物質(zhì)數(shù)量等。第二，同類事物可以看成是在環(huán)境變量給定的情況下遞歸規(guī)則Xn+1=f（Xn，E）相同，而初始值的不同使同類事物產(chǎn)生出差異性，而不同類事物則可以看成是遞歸規(guī)則不同。第三，若上述遞歸函數(shù)中E為常量C，即環(huán)境不再是一個(gè)影響事物的變量，則它退化成（X0，Xn，Xn+1=f（Xn，C）），該事物的未來狀態(tài)由初始狀態(tài)唯一地確定，這種遞歸便退化成了數(shù)學(xué)中的遞歸。

讀者可能注意到，物的遞歸函數(shù)中沒有時(shí)間變量，而只有前后相繼的不同狀態(tài)。萬物在遞歸中沒有統(tǒng)一的自然數(shù)可以依賴，更沒有連續(xù)性的時(shí)間作為隱藏的變量控制著不同的事物的發(fā)展進(jìn)程,不同事物的遞歸有自己的“遞歸節(jié)奏”。時(shí)間是我們加于世界的先驗(yàn)形式，通過時(shí)間萬物的變化次序能夠得到理解。

世界中的萬物其遞歸性是顯然的。占據(jù)著時(shí)間與空間的事物在任一時(shí)刻的任一具體呈現(xiàn)內(nèi)含了它的過往，同時(shí)又在構(gòu)建每個(gè)事物自己的未來。在這個(gè)過程中每個(gè)事物在時(shí)間中體現(xiàn)了前后相繼性與差異性，但是每個(gè)事物又保持著自身的同一性。我們兩次踏進(jìn)的是同一條河流，因?yàn)榈诙翁みM(jìn)的河流是上次河流的延續(xù)；但我們又懷疑我們踏進(jìn)的是否是同一條河流，因?yàn)楹恿髟谧兓小?/p>

事物的整體性以及整體性的穩(wěn)定性使得事物的某些性質(zhì)存在延續(xù)性，從而一個(gè)事物有別于其他事物，這就是說事物在變化中保持“同一性”。到達(dá)終點(diǎn)的忒休斯之船，而不是由神靈將那些在海中被船員丟棄的船的組件拼湊起來的那條“可能的船”，被認(rèn)為與出發(fā)時(shí)的船是“同一條船”，因?yàn)楸恍蘩淼拇诿恳蛔兓卸季S持著作為船的本性；而假若中途神靈給忒休斯一模一樣的新船，而把忒休斯及其他希臘勇士中途換下來的船用海浪帶到終點(diǎn)，則我們不能說忒休斯的新船為原來的船。事物整體性質(zhì)的穩(wěn)定性或者延續(xù)性使事物成為自身，而不是亞里斯多德所說的本質(zhì)屬性。

事物在其發(fā)展過程中保持“同一”，不是說它的物質(zhì)構(gòu)成及其數(shù)量或者性質(zhì)保持不變。事物無時(shí)無刻都在與環(huán)境中的其他物質(zhì)發(fā)生物質(zhì)、能量與信息的交互直至死亡。然而，在事物發(fā)展中存在“同一機(jī)制”——事物在發(fā)展中努力成為自身而抵抗破解，這可以看成是事物的“同一律”。在邏輯學(xué)中同一律、不矛盾律和排中律被認(rèn)為是“思維三律”。邏輯學(xué)家通過挑戰(zhàn)或者修改不矛盾律及排中律而發(fā)展出新的邏輯，前者如次協(xié)調(diào)邏輯，后者如多值邏輯。然而，同一律，即A 是A，是難以被挑戰(zhàn)的，因?yàn)槿粼谒季S中同一性不被遵守，A 變成非A，我們的思維會(huì)發(fā)生混亂而無法進(jìn)行進(jìn)一步言說。因而，思維保持同一性是一個(gè)基本要求。而在實(shí)在層次上，同一性可以看成是一個(gè)形而上學(xué)預(yù)設(shè)。例如，生物能夠從環(huán)境中識(shí)別自身與環(huán)境并有延續(xù)自身的一個(gè)機(jī)制。

在遞歸中事物整體地參與到該事物的未來構(gòu)建，而沒有任何一個(gè)部分游離于遞歸進(jìn)程之外。這是事物遞歸中的全體參與性。全體參與性即整體性。任何一個(gè)事物的部分是整體中的部分，而整體又離不開其各個(gè)部分。春天來臨，樹木的嫩芽長(zhǎng)成樹葉，它們進(jìn)行著光合作用，而光合作用生成的營(yíng)養(yǎng)提供給整個(gè)樹木。在事物整體性遞歸中，事物的前后變化中某些性質(zhì)被繼承，一些新的性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生；盡管如此，它們是同一個(gè)事物。一棵小樹，經(jīng)過春天和夏天的成長(zhǎng)，在秋天高大了許多；然而，我們?nèi)哉f它與春天的樹木是同一棵，因?yàn)樵摌淠臼钦w性地向前發(fā)展的。

遞歸是事物繼承與變化的外在表現(xiàn)，而發(fā)生遞歸的動(dòng)力則在其內(nèi)部。這里要區(qū)分兩種規(guī)則：一是事物狀態(tài)的外在的遞歸規(guī)則，二是事物內(nèi)在的“行動(dòng)規(guī)則”。事物狀態(tài)的遞歸規(guī)則是事物變化的外在表現(xiàn)，它不是變化的內(nèi)在動(dòng)力；使事物發(fā)生變化的內(nèi)在動(dòng)力是事物內(nèi)部的“行動(dòng)規(guī)則”，這里的行動(dòng)不表示事物具有像人那樣的意向性，而僅指事物針對(duì)外部環(huán)境的不同的變化而做出的不同反應(yīng)。兔子群體數(shù)量變化服從某種遞歸規(guī)則，但之所以有這樣的遞歸性是因?yàn)橥米由眢w內(nèi)部的如發(fā)情、生育等的生物動(dòng)力等規(guī)則性的生物因素。我們往往從事物內(nèi)部的行動(dòng)規(guī)則來理解其外在的遞歸性，科學(xué)家正是這么做的。

事物的行動(dòng)規(guī)則是事物本身操作自身及外部事件的行動(dòng)指令，這些行動(dòng)指令是內(nèi)在于事物本身、與事物的物質(zhì)構(gòu)成有關(guān)?；睒浜蜕浞N子胚胎在同樣的土壤中和同樣的氣候條件下，長(zhǎng)成不一樣的樣子，因?yàn)榕咛ブ袧摬氐男畔⒁?guī)定它們按照既定的方式發(fā)展“自己”。種子胚胎中內(nèi)在信息便是規(guī)則，這樣的內(nèi)在信息或者規(guī)則在它們的生命母體即上一棵樹中完成了這樣的信息編制。宇宙中的萬物無例外地會(huì)隨著時(shí)間而消亡，而生命體不過是能夠?qū)⒆约旱慕Y(jié)構(gòu)信息保存下來并進(jìn)行復(fù)制以抵抗自身的消亡，但從更大時(shí)間尺度來說，這種復(fù)制本身也會(huì)走向消亡。談?wù)撌挛锏男袆?dòng)規(guī)則意味著賦予自然界的事物以一定的主體性，或者說事物都被看成預(yù)先設(shè)置了主動(dòng)應(yīng)對(duì)環(huán)境的“程序”。這里的看法是計(jì)算主義的。

自然物內(nèi)在地?fù)碛袑?duì)本身物質(zhì)的性質(zhì)及針對(duì)外部事件刺激下的各種操作規(guī)則，這些規(guī)則表現(xiàn)為事物在空間上和時(shí)間上的延展規(guī)則，因而，任何一個(gè)事物內(nèi)含的決定事物變化的行動(dòng)規(guī)則是一個(gè)集合，即一個(gè)事物內(nèi)含一個(gè)行動(dòng)“規(guī)則系統(tǒng)”。某種樹木的樹干、樹枝及樹葉分別以特定的形狀生長(zhǎng)且相互連接，在時(shí)間上它們以某種順序自我成長(zhǎng)同時(shí)相互支持；而它們?cè)诃h(huán)境中遇到雨水、陽光和風(fēng)沙等不同的狀況，它們有不同的操作規(guī)則。

然而，事物的行動(dòng)規(guī)則系統(tǒng)是“不完全的”。完全性（completeness）是邏輯學(xué)中的一個(gè)基本概念。一個(gè)形式系統(tǒng)是完全的，如果其所有的語義有效式能夠被語法地證明。這里，我們把邏輯學(xué)中的完全性概念做一個(gè)拓展：如果一個(gè)規(guī)則系統(tǒng)對(duì)其所處的環(huán)境下與它有關(guān)聯(lián)的所有可能出現(xiàn)的狀況都能夠有一個(gè)“有效應(yīng)對(duì)”，那么它就是完全的。在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中一個(gè)程序，相對(duì)于其目標(biāo)，應(yīng)當(dāng)被設(shè)計(jì)能夠處理所有可能出現(xiàn)的情況，否則這樣的程序是不完全的，或者至少有漏洞的（bug）。由于內(nèi)嵌式程序運(yùn)行的環(huán)境是人工的，完全性是程序設(shè)計(jì)的最低要求。由于環(huán)境是開放的，世界中的事物內(nèi)部的有限數(shù)量的規(guī)則系統(tǒng)不可能是完全的。對(duì)于任何事物，隨時(shí)有“意外”發(fā)生。“意外”不一定意味著“死亡”，但當(dāng)事物內(nèi)含的規(guī)則無法應(yīng)對(duì)某種“意外”的時(shí)候，事物將不能為其所是，其“死亡”便來臨?！八劳觥笔鞘澜缛f物的共同命運(yùn)，這也表明萬物內(nèi)含的行動(dòng)規(guī)則都是不完全的。

事物內(nèi)部的行動(dòng)規(guī)則構(gòu)成事物變化的內(nèi)部動(dòng)力。本文談?wù)撌挛锏男袆?dòng)規(guī)則而不談?wù)撘?guī)律，不是說事物的變化中沒有規(guī)律。一個(gè)植物就像一個(gè)工廠，綠葉遇到光能的作用時(shí)它內(nèi)部的葉綠素執(zhí)行一系列相應(yīng)的操作，將植物中的水和空氣中的二氧化碳轉(zhuǎn)變成糖類和氧氣，這是植物在為自身的“生存目的”而執(zhí)行的一系列指令，而其中的能量轉(zhuǎn)化與守恒、各種元素之間的作用關(guān)系等則是規(guī)律。因此，規(guī)律是宇宙中普遍的或者基本的運(yùn)行法則，而規(guī)則是個(gè)性化的事物“利用”規(guī)律使自己成為自己的行動(dòng)指令。科學(xué)家不僅僅要研究宇宙中物質(zhì)的規(guī)律，也要研究各個(gè)事物運(yùn)行的內(nèi)在行動(dòng)規(guī)則。

上面分析的是事物的內(nèi)部的行動(dòng)規(guī)則，它們的外在表現(xiàn)便是由遞歸規(guī)則Xn+1=f（Xn，E）刻畫的遞歸性。事物的遞歸性表現(xiàn)在事物的多個(gè)方面上，數(shù)學(xué)對(duì)事物的量和形的遞歸都有刻畫。曼德勃羅（B.Mandelbrot）創(chuàng)立的分形（fractal）理論或者分形幾何，關(guān)心的是“形的遞歸”：在形的遞歸中“形的遞歸規(guī)則”生成了部分和整體的自相似的幾何形狀。數(shù)的遞歸能夠刻畫事物狀態(tài)量的遞歸性，而分形幾何能夠刻畫事物形狀的遞歸性。而在設(shè)計(jì)方法論中，曾勇和程耿東給出了人類設(shè)計(jì)中的遞歸推理特征，他們認(rèn)為，每一步設(shè)計(jì)方案是下一步更加完美的設(shè)計(jì)方案的基礎(chǔ)，一個(gè)完善的方案在遞歸中完成①Zeng Yong,Cheng G.D.,“On the Logic of Design”,Design Studies,1991,No.12,pp.137-141.。若我們把設(shè)計(jì)者內(nèi)化為設(shè)計(jì)之中——這是完全可以想象的，設(shè)計(jì)者便成為一個(gè)設(shè)計(jì)智慧體。給出設(shè)計(jì)方案便是該類智能體的唯一行為，這樣的行為是遞歸的，而使設(shè)計(jì)智能體產(chǎn)生遞歸性的是智能體的關(guān)于設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)機(jī)制。

有兩個(gè)特殊的遞歸規(guī)則。第一種，某個(gè)事物在某個(gè)狀態(tài)以后，其后續(xù)狀態(tài)保持“不變”，即事物保持為“常態(tài)”?！俺B(tài)”是遞歸的平庸態(tài)或者不足道態(tài)（triviality）。我們用C表示這種“常態(tài)”或者“平庸態(tài)”。用函數(shù)表示為（Xk=C，Xk+1=Xk）：從k狀態(tài)開始后的每一個(gè)狀態(tài)都是常態(tài)C。處于這樣的遞歸態(tài)中的事物，變化消失了，事物自身所含的變化或者發(fā)展的力量便是事物自身的否定性，處于平庸態(tài)的事物其否定性徹底喪失了。這樣的“事物”若從開始便是這樣的狀態(tài)，我們說，它可能只是一個(gè)暫時(shí)的集合體，而不能稱為“一個(gè)事物”。變化是事物的本性，一個(gè)事物蛻變?yōu)槌B(tài)，表明它失去了“變化”，此時(shí)它便喪失了作為一個(gè)事物的本性。平庸態(tài)的事物只存在于理念（包括數(shù)學(xué)中）世界中，而現(xiàn)實(shí)世界中的萬物都處于變化之中。

第二種，某個(gè)事物在某個(gè)狀態(tài)后其后續(xù)狀態(tài)為“無”，即事物作為它自己被徹底終止，而成為“空無”。這是事物的“空無態(tài)”，我們用Φ 表示這種“空無態(tài)”。用遞歸函數(shù)表示即為（Xk=Φ，Xk+1=Xk）：從k階段開始，事物便為空無態(tài)。事物達(dá)到空無態(tài)時(shí)事物自身招致最大的否定性。世界中的萬物是有限的，這個(gè)有限性不僅在空間的占據(jù)上是有限的，在時(shí)間的占據(jù)上也是有限的，即事物最終都走向空無態(tài)?？諢o的后續(xù)狀態(tài)還是空無，從這個(gè)意義上說，這種“無”的特殊狀態(tài)是第一種的特例。

“平庸”和“空無”是兩種特殊的遞歸狀態(tài)，事物的遞歸往往介于它們之間。遞歸是自然物（包括作為個(gè)體的人本身以及人類社會(huì)）的自然屬性，這個(gè)自然屬性在事物的歷史進(jìn)程中得以體現(xiàn)。

要說明的是，前面已經(jīng)表明遞歸中操作是“遞進(jìn)地”被執(zhí)行著，或者潛在地被執(zhí)行著，初始值或者前面的執(zhí)行結(jié)果通過規(guī)則生成新的值，遞歸性即遞進(jìn)性（progression）。從前面斐波那契數(shù)列的簡(jiǎn)單例子中就可以看到這點(diǎn)。這里要說明的是，之所以我們稱之為遞歸或者調(diào)用自身，是因?yàn)樵谖覀冃闹杏小耙?guī)則優(yōu)先”這種理念：規(guī)則在先且被給定，它通過不斷地“后退調(diào)用”已知的或者已經(jīng)計(jì)算得到的實(shí)體（數(shù)值或者事物）而生成新的實(shí)體。而如果我們以“實(shí)體優(yōu)先”理解遞歸，那么，新的實(shí)體能夠在給定的初始的實(shí)體通過規(guī)則不斷地“向前遞進(jìn)”地生成。這樣，遞歸可以理解成規(guī)則給定下的“后退”（backward）尋找且運(yùn)算“自己（實(shí)體）”，而遞進(jìn)則是實(shí)體給定下通過規(guī)則“向前”（forward）不斷地生成自己。

二、離散性的世界觀

事物的遞歸性表明，事物根據(jù)內(nèi)含的規(guī)則針對(duì)外部環(huán)境中的事件的發(fā)生而計(jì)算并行動(dòng)著，這意味著事物的變化是離散的。因而，與事物遞歸性發(fā)展相應(yīng)的世界觀是離散性的世界觀。這里的離散性是指事物的外部環(huán)境是離散地變化的，事物相對(duì)于環(huán)境的變化也是離散的。

連續(xù)性或離散性概念描述的是兩個(gè)量變化之間的關(guān)系。某個(gè)量x的變化相對(duì)于另外的某個(gè)量α的某個(gè)區(qū)間上是連續(xù)的，如果在該區(qū)間中的任一個(gè)地方當(dāng)α的變化趨于0時(shí)x的變化量也趨近于0。我們慣常的變化往往被理解為某個(gè)量相對(duì)于時(shí)間上的變化，這樣的變化可以是事物整體位置相對(duì)于時(shí)間的變化，事物的整體或者其部分形狀相對(duì)于時(shí)間的變化。我們預(yù)設(shè)了時(shí)間在連續(xù)地向前流逝。然而，我們見到的不是具體的時(shí)間，而只是各種發(fā)生的事件，而每個(gè)事物面對(duì)環(huán)境中的事件執(zhí)行著某個(gè)程序，這種變化是非連續(xù)的。常溫下的種子維持著活力，遇到雨水發(fā)芽，遇到高溫則失去成長(zhǎng)的能力……它的體內(nèi)擁有的行動(dòng)規(guī)則根據(jù)外部環(huán)境中的不同事件進(jìn)行不同的操作。我們往往因無法分辨那種跳躍性，而猜測(cè)事物是連續(xù)的。

由于數(shù)學(xué)與近代科學(xué)的發(fā)展，“世界是連續(xù)的”成了我們的信念并且已經(jīng)教條化。牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》不僅開啟了用數(shù)學(xué)研究物理世界規(guī)律的方法，而且給我們提供了連續(xù)性的世界觀。近代數(shù)學(xué)與物理學(xué)在世界連續(xù)性信念上是相互支持的。在數(shù)學(xué)教科書中我們學(xué)了許多連續(xù)函數(shù)以及它們的性質(zhì)，我們熟知且習(xí)慣于它們。微積分中能夠微分的一定是連續(xù)的，而在某個(gè)區(qū)間某個(gè)函數(shù)除了有限個(gè)點(diǎn)或者最多可數(shù)無窮個(gè)點(diǎn)處不連續(xù)外其余地方要連續(xù)，它才能夠可積（黎曼積分）。非連續(xù)函數(shù)，它們的性質(zhì)被認(rèn)為怪異，處理起來麻煩，而不被我們喜歡。在物理學(xué)中，我們用微分方程表達(dá)物理系統(tǒng)的狀態(tài)及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，以至于拉普拉斯說，如果我們知道某個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及該系統(tǒng)的規(guī)律，則我們能夠知道它未來任何時(shí)刻的狀態(tài)。

連續(xù)性信念在我們認(rèn)識(shí)世界中作用巨大，然而，它并非真理。微觀物理學(xué)告訴我們微觀世界中粒子及其變化是非連續(xù)的：粒子的衰變是釋放一個(gè)個(gè)微小粒子（如α粒子）進(jìn)行的，原子核外電子通過層級(jí)躍遷而釋放或吸收普朗克常數(shù)的整數(shù)倍的能量，等等。而分形理論告訴我們，實(shí)際上事物的形狀不是連續(xù)的，而是離散的，比如海岸線，分形幾何被認(rèn)為是大自然的幾何。

事物的發(fā)展是離散的還是連續(xù)的，往往取決于我們的心中的預(yù)設(shè)。一窩兔子中兔子的數(shù)量在指數(shù)增長(zhǎng)，該兔子群體是遞歸性的，也是離散的：任何一個(gè)時(shí)段的兔子數(shù)量是下一個(gè)時(shí)段的兔子數(shù)量的基礎(chǔ)。如果我們把兔子數(shù)量看成一個(gè)總體，那么這個(gè)總體是離散地變化的。我們不愿意把一窩兔子看成是一個(gè)整體，因?yàn)槲覀冎酪桓C兔子只是一個(gè)個(gè)兔子的集合，沒有一個(gè)性質(zhì)能夠作為本質(zhì)而將這窩兔子?xùn)|西與其他東西區(qū)別開來。然而，假若我們根本無法識(shí)別個(gè)別的兔子，而將一堆兔子看成一個(gè)整體——這是完全可能的，此時(shí)兔子的整體便是在離散地增長(zhǎng)與變化。事實(shí)上我們觀察微生物或者未知世界的“某個(gè)對(duì)象”時(shí)，我們就是這么做的。

如果世界的變化是連續(xù)的，那么我們要找的便是這樣的以連續(xù)函數(shù)所表示的規(guī)律，在這方面我們做得已經(jīng)很成功了。而如果世界的變化是離散的，那么，為了認(rèn)識(shí)事物的遞歸性，我們需要做的便是尋找事物內(nèi)部的行動(dòng)規(guī)則——根據(jù)環(huán)境而做出應(yīng)對(duì)的行動(dòng)指令。事物或者事物的部分可假定保持不變，除非遇到外部的觸發(fā)事件。事物的變化可以看成是其內(nèi)部的行動(dòng)指令對(duì)外部的事件的“應(yīng)對(duì)”。而由于外部事件或者發(fā)生或者不發(fā)生，因此事物的變化是離散的。

離散的世界觀是非決定論的。事物的變化是事物質(zhì)料參與的遞歸，質(zhì)料本身的慣性使事物在發(fā)展中保持著“持續(xù)性”。一只雞的可能的體型、重量等依賴于環(huán)境，而無論在何種環(huán)境下它不可能長(zhǎng)成雞之外的其他形狀的動(dòng)物。但是，事物某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)與規(guī)則影響或者構(gòu)建事物后續(xù)的狀態(tài)，但這不等于說，它是完全被決定了的。數(shù)學(xué)中我們所討論的遞歸函數(shù)是被遞歸規(guī)則及初始函數(shù)值所完全決定。而世界中的事物其環(huán)境是開放的，因而事物在某個(gè)時(shí)刻遇到某個(gè)外部事件是偶然的，事物在任何時(shí)刻的狀態(tài)是偶然的。我們無法將事物的遞歸函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間上的連續(xù)的、能夠唯一地確定事物未來任意時(shí)刻的狀態(tài)的函數(shù)，除非環(huán)境變量是在先被給定的。設(shè)想基因等各方面完全一樣的兩個(gè)新生嬰兒，他們?cè)诓煌沫h(huán)境中成長(zhǎng)，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間，無論是長(zhǎng)相還是行為方式可能會(huì)變得顯著不同，原因在于環(huán)境中的變量會(huì)影響到孩子的每一步成長(zhǎng)，而每一步的些微差異又影響到下一步的變化。這就是說環(huán)境使得事物呈現(xiàn)偶然性與獨(dú)特性。這正如許煜（Hui Yuk）說：“遞歸性不僅是機(jī)制的重復(fù)；它由回到自身以便決定自身的環(huán)形運(yùn)動(dòng)所刻畫，而每個(gè)運(yùn)動(dòng)都是向偶然性開放的，這因而決定了它的獨(dú)特性?！雹資uk Hui,Recuisivity and Contingency,London:Rowman&Littlefield International Ltd.,2019,p.4.

需要說明的是，即使環(huán)境變量能夠被預(yù)先給定，在已知事物的遞歸規(guī)則情況下，我們也無法預(yù)先計(jì)算出事物的未來狀態(tài)，正如非線性（復(fù)雜性）科學(xué)告訴我們的迭代運(yùn)算高度依賴于初始值；在有些情況下迭代運(yùn)算對(duì)初始值高度敏感，而出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。遞歸盡管不同于迭代，每次遞歸都是事物本身的一次展現(xiàn)，但事物的遞歸是否會(huì)出現(xiàn)混沌則是一個(gè)需要我們進(jìn)一步分析的話題。

三、辯證法：刻畫事物遞歸性的本體論和作為遞歸性算法的思維方法

哲學(xué)家們希望用盡量少的概念構(gòu)建普遍性的理論以解釋世界，黑格爾的辯證法便是這樣的理論。黑格爾的辯證法既是本體論又是認(rèn)識(shí)論：作為本體論，辯證法認(rèn)為，事物中矛盾推動(dòng)事物不斷否定自己；而作為認(rèn)識(shí)論，我們根據(jù)正反合這樣的辯證思維對(duì)事物的認(rèn)識(shí)越來越深化。

作為本體論，黑格爾說：“持續(xù)性辯證法是現(xiàn)實(shí)世界中一切運(yùn)動(dòng)、一切生命，一切事業(yè)的推動(dòng)原則……舉凡環(huán)繞著我們的一切事物，都可以認(rèn)作辯證法的例證?！雹诤诟駹枺骸缎∵壿嫛?，賀麟譯，北京：商務(wù)印書館1997年版，第177-179頁。在黑格爾那里，辯證法的對(duì)象是有限物?！胺灿邢拗铮粨P(yáng)棄自身?！雹酆诟駹枺骸缎∵壿嫛罚?76頁。無限之物不在時(shí)空之中、沒有邊界，它們是我們所無法思維與敘說的。他說：“有限物作為某物，并不是與別物毫不相干地對(duì)峙著，而是潛在地就是它自己的別物，因而引起自身的變化?！雹芎诟駹枺骸缎∵壿嫛?，第206頁。事物被我們所思維，在我們的思維中它們被我們識(shí)別并被區(qū)別于其他事物。事物區(qū)別于其他事物，這個(gè)區(qū)別不僅僅指某個(gè)時(shí)刻它所擁有的各個(gè)組成以及關(guān)系，而且包括操縱這些組成及關(guān)系的規(guī)則與力量。這種區(qū)別可以說是事物本質(zhì)上的區(qū)別。這樣的事物在時(shí)間與空間中產(chǎn)生，在時(shí)空中生成與變化，同時(shí)又消亡。

黑格爾認(rèn)為是矛盾推動(dòng)事物的發(fā)展。黑格爾說：“凡有限之物都是自相矛盾的，并且自相矛盾而自己揚(yáng)棄自己。”⑤黑格爾：《小邏輯》，第177頁。變化與發(fā)展便是黑格爾所說的否定性，事物的否定便是事物蘊(yùn)藏這使自己改變當(dāng)下狀態(tài)的力量。黑格爾說：“花朵開放的時(shí)候花蕾消逝，人們會(huì)說花蕾是被花朵否定了的?！雹藓诟駹枺骸毒瘳F(xiàn)象學(xué)》，賀麟、王玖譯，北京：商務(wù)印書館1979年版，第2頁。在很多人看來矛盾是不能客觀地存在的，因而說矛盾推動(dòng)事物的否定性，是荒唐的，這也是許多人反對(duì)黑格爾的原因。推動(dòng)事物發(fā)展的或者使事物產(chǎn)生與當(dāng)下狀態(tài)不同的不是矛盾——事實(shí)上矛盾是不能存在的，而是事物本身內(nèi)部的規(guī)則（規(guī)律），即否定性——事物的不同狀態(tài)——是結(jié)果，不是原因?；ɡ倥c花朵是花的前后相繼的兩種不同狀態(tài)，是花及支撐花的整個(gè)植物的內(nèi)部的力量使得花蕾變成了花朵，說花朵讓花蕾不再是花蕾是錯(cuò)誤地將結(jié)果看作了原因。

黑格爾的辯證法中含有遞歸性，因?yàn)檗q證法強(qiáng)調(diào)事物的繼承與發(fā)展。同時(shí)這里的遞歸性含有辯證元素，因?yàn)槭挛飶囊粋€(gè)狀態(tài)X1轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗庖粋€(gè)的狀態(tài)X2，無論是X1還是X2，我們都說它是該事物的具體呈現(xiàn)。從X1到X2的這樣的轉(zhuǎn)變便是A 自身否定性的體現(xiàn)，通過這種否定A 得以發(fā)展或者變化。在這樣的過程中，事物的自我否定性體現(xiàn)在該事物在時(shí)間上的不同，但同時(shí)保持著自身的同一性。對(duì)之，許煜說：“遞歸既是結(jié)構(gòu)的又是操作上的，存在與生成的對(duì)立通過遞歸被揚(yáng)棄。揚(yáng)棄保持了這種對(duì)立（正題與反題）因而也提升它們到一個(gè)第三者（合題）?！雹資uk Hui,Recuisivity and Contingency,pp.4-5.

在黑格爾那里，理性與實(shí)在是同一的，因而在黑格爾那里辯證法既是思維的規(guī)律又是實(shí)在的規(guī)律。我們的理性通過自身的力量達(dá)到對(duì)事物的最終真理的認(rèn)識(shí)，此時(shí)辯證法可以被理解為理性思維的方法。理性執(zhí)行著辯證思維，這是可理解的，而將理性看成是事物的否定性的推動(dòng)力量則是錯(cuò)誤的——推動(dòng)事物發(fā)展的不是理性的力量，而應(yīng)當(dāng)是事物自身的規(guī)律（規(guī)則）。下面我們來看辯證法作為思維的規(guī)律的遞歸性。

辯證法的結(jié)構(gòu)是，從正題到反題，到合題——新的正題，新的反題……我們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)中任何一個(gè)階段的認(rèn)識(shí)——正題還是反題抑或其合題——都是對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，而任何一個(gè)都是不完滿的；要達(dá)到對(duì)事物終結(jié)真理的認(rèn)識(shí)，需要一個(gè)無限的辯證過程。黑格爾的辯證法就是一個(gè)思維的遞歸性算法。

我們引進(jìn)“否定”和“綜合”為兩個(gè)操作算子：“否定”是一元運(yùn)算元，其運(yùn)算對(duì)象是正題，而“綜合”是二元操作數(shù)，它的運(yùn)算對(duì)象是正題與反題。假定初始的正題是f0，f0的反題便是f0-，由f0和f0-的“合題”為f（1f0，f0-），相應(yīng)地，f（1f0，f0-）的反題為f（1f0，f0-）-，簡(jiǎn)寫為f1-。一般地，對(duì)于第n個(gè)階段的正題fn和其反題fn-，其合題為fn+（1fn，fn-）。辯證法便是這樣一個(gè)遞歸過程：

在辯證過程中，給定初始正題f0，遞歸便能夠進(jìn)行了：給定的初始正題f0，它的反題通過正題的否定而產(chǎn)生f0-，而合題f（1f0，f0-）是通過對(duì)f0，f0-的“綜合”而產(chǎn)生。辯證法的遞歸性公式可以表示成一個(gè)四元組的遞歸函數(shù)：通過遞歸，新的正反合三元素便不斷地產(chǎn)生。

對(duì)于上面將辯證法刻畫成遞歸性算法，有三點(diǎn)需要說明。

辯證法在本體論上所說的否定，指的是同一個(gè)事物的變化，而無論是否定、還是否定之否定，事物還是同一個(gè)事物；這就是為什么黑格爾說事物的否定之否定是揚(yáng)棄——揚(yáng)棄是同一個(gè)事物的自身的不斷發(fā)展。

第二，合題（synthesis）不是正題和反題的合取。一個(gè)正題fn和它的反題fn-的合題fn+（1fn，fn-）是綜合，而不是形式邏輯意義上的合取，因而，合題同樣不能從正題與反題中邏輯地得到，任一合題fn+（1fn，fn-）也自然不是（邏輯）矛盾。在辯證思維中合題吸取了正題和反題的“部分真理內(nèi)容”，而實(shí)際的事物狀態(tài)中后續(xù)狀態(tài)體現(xiàn)了原來狀態(tài)的繼承同時(shí)有新的變化。因而在合題fn+（1fn，fn-）中有足夠的空間容納正題和反題，不同的人能夠創(chuàng)造性地得到不同的合題。即使正題與反題從形式上是“不同的”，其合題是更高層次的綜合，而不是矛盾。國(guó)內(nèi)國(guó)外學(xué)者試圖通過對(duì)經(jīng)典邏輯的修正給出次協(xié)調(diào)邏輯,如達(dá)·科斯塔、普利斯特等人的形式化工作。他們通過對(duì)否定詞的改造，在系統(tǒng)中允許有意義的“矛盾”，這種做法確實(shí)豐富了邏輯學(xué)研究，尤其是辯證邏輯的研究，這一點(diǎn)正如桂起權(quán)等所認(rèn)為：“次協(xié)調(diào)邏輯為辯證邏輯的形式化提供了比較現(xiàn)實(shí)并且極有希望的新途徑。”①桂起權(quán)、陳自立、朱福喜：《次協(xié)調(diào)邏輯與人工智能》，武漢：武漢大學(xué)出版社2002年版，第111頁。這些學(xué)者同時(shí)給矛盾以本體論解釋，如普利斯特所做的那樣②Graham Priest,“Paraconsistency and Dialetheism”,Handbook of the History of Logic,2007,Vol.8,pp.129-204.。然而，這些工作只是黑格爾意義上的辯證邏輯的初步探索，因?yàn)椤熬C合”是有豐富內(nèi)容的思維過程，而不是普利斯特的簡(jiǎn)單的“雙真命題”所能夠刻畫的。

這里，每一階段的正題可以看作是對(duì)事物的“局部認(rèn)識(shí)”，而反題是在正題基礎(chǔ)上與正題不同的認(rèn)識(shí)，因而是對(duì)正題的“否定”。反題也是對(duì)事物的局部認(rèn)識(shí)，也是關(guān)于事物的部分真理。這樣，合題中的真理性比正題、反題的真理性“要多”。通過不斷的正反合，主體對(duì)事物的認(rèn)識(shí)走向最終的真理。波普爾（Karl Popper）反對(duì)辯證法，但是在認(rèn)識(shí)論上波普爾至少承認(rèn)辯證法的詮釋性作用的：“必須承認(rèn)，對(duì)思想史的這樣一種辯證詮釋有時(shí)可能是完全令人滿意的?！雹鄄ㄆ諣枺骸恫孪肱c反駁》，傅季重譯，上海：上海譯文出版社1990年版，第450頁。當(dāng)然，波普爾強(qiáng)調(diào)試錯(cuò)法，因?yàn)樵谒磥砜茖W(xué)中最重要的是創(chuàng)新，因而他認(rèn)為試錯(cuò)法比辯證法更好，“用試錯(cuò)法做詮釋可以說比用辯證法做詮釋的范圍稍微廣泛一些?！雹懿ㄆ諣枺骸恫孪肱c反駁》，第449頁。波普爾的猜想與反駁的也是一個(gè)思維算法，然而這個(gè)算法中只強(qiáng)調(diào)否定性而否認(rèn)繼承性。

第三，辯證法可以有多種形式，而不僅僅是Dia=（f0，fn，fn-，fn+（1fn，fn-））這樣的簡(jiǎn)單三段式。對(duì)于任何一個(gè)正題，它能夠有多個(gè)反題，因而其合題不是簡(jiǎn)單的正題與一個(gè)反題的綜合。比如對(duì)于正題f0，人們找到了f0的兩個(gè)反題f0-1，f0-（2當(dāng)然反題可能不止兩個(gè)），此時(shí)，在此基礎(chǔ)上的合題是對(duì)前三項(xiàng)的綜合f（1f0，f0-1，f0-2）……因此，我們可以構(gòu)造多種遞歸形式的辯證法。

遞歸性體現(xiàn)在人類的思維及各種活動(dòng)之中，思維活動(dòng)中的遞歸性在一定意義上說就是繼承與發(fā)展。正反合辯證法是這樣一個(gè)遞歸性算法：當(dāng)有了正題之后，人們會(huì)考慮它的局限性，因而會(huì)考慮或者試圖給出與之不同的反題，而一旦有了正題與反題，人們自然會(huì)試圖對(duì)之進(jìn)行綜合。對(duì)于辯證思維，辯證法沒有告訴我們?nèi)绾谓o出初始的正題，它也沒有告訴我們?nèi)绾蔚玫椒搭}以及在有了反題之后如何進(jìn)行綜合。因而，辯證法可以用在解釋性的方法論，而不能用作指導(dǎo)性的或者預(yù)測(cè)性的方法論。

辯證法只是人類的“一種”思維算法，人類還有其他不同于辯證法的思維算法，如波普爾的證偽方法或者“試錯(cuò)法”，以及拉卡托斯（Imre Lakatos）的科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論，這些思維算法或者具有遞歸性或者沒有遞歸性。哪種思維算法更好、更有助于我們認(rèn)識(shí)真理？這本身也是一個(gè)重大的認(rèn)識(shí)論問題。

四、結(jié)束語

本文提出事物的遞歸性并對(duì)之進(jìn)行了刻畫，同時(shí)分析了遞歸性與辯證法之間的融通。事物的遞歸性表明事物的變化中的繼承與發(fā)展。辯證法可以刻畫事物的這種遞歸性。辯證法中的否定性應(yīng)該理解成變化，而這種變化本身不能構(gòu)成推動(dòng)事物的力量，它們是結(jié)果；事物本身的內(nèi)部規(guī)則遞歸性的使用是事物否定性產(chǎn)生的原因。

事物通過自身內(nèi)部的行動(dòng)規(guī)則在環(huán)境中遞歸性地延展自身。這種遞歸性是對(duì)世界進(jìn)行科學(xué)研究的世界觀，同時(shí)也能夠是方法論：我們要確定不同事物的遞歸性特點(diǎn)并尋找內(nèi)部的行動(dòng)規(guī)則。我們給出的世界的遞歸性的觀點(diǎn)，不是在提供一個(gè)絕對(duì)真理，只是嘗試地給出一個(gè)新的世界觀與方法論，希望這樣的觀點(diǎn)對(duì)我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)我們身處的世界有所幫助。