從一道強(qiáng)基計劃“關(guān)聯(lián)”函數(shù)圖像試題談起

劉文明

(山東省德州市臨邑第一中學(xué))

“關(guān)聯(lián)”函數(shù)的圖像識別問題重點(diǎn)考查的是函數(shù)圖像,在2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計劃試題中就涉及了此類問題.

母題已知f(x)的圖像如圖1所示,則f(f(x))的大致圖像為( ).

圖1

解析注意到f(1)＝f(－1)＝0,f(0)＝－1,f(x)為偶函數(shù),所以f(f(x))為偶函數(shù),故A,D 錯誤.當(dāng)x0∈(0,1)時,f(x0)∈(－1,0),此時f(f(x0))＜0,所以C錯誤,故選B.

設(shè)函數(shù)y＝f(u)的定義域?yàn)镈f,函數(shù)u＝g(x)的定義域?yàn)镈g,且g(x)的值域Rg?Df,則y＝f(g(x))(x∈Dg)稱為由函數(shù)u＝g(x)與函數(shù)y＝f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈g.

從母題中可以看出,這類試題命制的模式是根據(jù)所給函數(shù)的圖像,判斷復(fù)合后函數(shù)的圖像.這類題目的特點(diǎn)是給出一個函數(shù)的圖像,然后判斷與其相關(guān)的新函數(shù)圖像.

這道試題的命題思路,引發(fā)了筆者的思考,這類“關(guān)聯(lián)”式函數(shù)圖像試題還存在哪些其他的命題模式,下面筆者沿著這一思路進(jìn)行探究.

例1函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖2所示,則函數(shù)的圖像大致是( ).

圖2

解析由函數(shù)y＝f(x)的圖像知,當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)≥1,所以.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,所以)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減.結(jié)合各選項(xiàng)知C正確.

點(diǎn)評本題通過所給函數(shù)的圖像,讓學(xué)生識別底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)圖像,較好地考查了學(xué)生的推理論證能力.

例2已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖3所示,則其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能是( ).

圖3

解析由題意知函數(shù)y＝f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,則其導(dǎo)函數(shù)在(0,＋∞)上恒小于0,排除B和D.又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(－∞,0)上先單調(diào)遞增,后單調(diào)遞減,再單調(diào)遞增,則其導(dǎo)函數(shù)在(－∞,0)上先大于0,后小于0,再大于0,排除C,故選A.

點(diǎn)評雖然本題也是一道“關(guān)聯(lián)”函數(shù)圖像問題,但與例1有本質(zhì)上的區(qū)別,這道題將函數(shù)圖像與導(dǎo)函數(shù)的圖像進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合,需要學(xué)生熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

例3設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖像如圖4所示,則函數(shù)y＝f(x)的圖像可能為( ).

圖4

解析由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知,函數(shù)y＝f′(x)的符號從左至右依次為負(fù)、正、負(fù),則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性從左至右依次為單調(diào)遞減、單調(diào)遞增、單調(diào)遞減,排除A,B.

由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知,函數(shù)y＝f′(x)為偶函數(shù),即f′(－x)＝f′(x),構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x),則g′(x)＝f′(x)－f′(－x)＝0,所 以f(x)＋f(－x)＝a(a為常數(shù)),則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱,排除D.

綜上,故選C.

點(diǎn)評根據(jù)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的符號與原函數(shù)y＝f(x)單調(diào)性之間的關(guān)系,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)這個隱含條件即可得出正確的答案.

例4在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)(a＞0 且a≠1)的圖像可能是( ).

解析當(dāng)0＜a＜1時,函數(shù)y＝ax過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減,則函數(shù)過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增,函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減,D 選項(xiàng)符合.當(dāng)a＞1時,函數(shù)y＝ax過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增,則函數(shù)過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減,函數(shù)且單調(diào)遞增,各選項(xiàng)均不符合.故選D.

點(diǎn)評本題是兩個函數(shù)的圖像識別問題,它們之間的關(guān)聯(lián)性在于通過變量a構(gòu)建了橋梁.在討論a的不同取值情況時,需要分別討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像的單調(diào)性和變量a的聯(lián)系,再結(jié)合選項(xiàng)得出正確結(jié)論.對函數(shù)的圖像和性質(zhì)掌握不扎實(shí),容易導(dǎo)致判斷失誤.

(完)