強基計劃數(shù)學(xué)備考系列講座(7)
——集合與函數(shù)(下)

王雪芹 王慧興

(1.北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 2.清華大學(xué)附屬中學(xué))

3.9 方程與不等式

強基?？济}注重考查函數(shù)觀點支撐下的解不等式及其應(yīng)用.

例14(清華大學(xué))定義在R 上的函數(shù)f:R→R滿足:f(x3)＝[f(x)]3(?x∈R),f(x1)≠f(x2)(?x1≠x2),則f(0)＋f(－1)＋f(1)的 值是_________.

解析由題設(shè)得f(－1)＝[f(－1)]3,f(0)＝[f(0)]3,f(1)＝[f(1)]3,所以f(0),f(－1),f(1)是方程x3－x＝0的三個根,故

例 15(復(fù)旦大學(xué))已 知g(x)＝,解不等式0＜g(f(x))＜1.

解析按題意,不等式的解集W?(0,＋∞),所以先作劃分:

當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)＝log2x＜0,所以[f(x)＋|f(x)|－2]＝－2,且f(x)＋[f(x)]＜0,從而

所以只需f(x)＋[f(x)]＋4＞0,因為h(t)＝t＋[t]＋4(t＝f(x)＜0)不減,而且當(dāng)時,t＝,則h(－2)＝0,所以滿足g(f(x))＞0的x取值范圍是

任取x∈[2k,2k＋1)(k∈N),則f(x)∈[k,k＋1),[f(x)]＝k,2f(x)－2∈[2k－2,2k),故

當(dāng)2f(x)－2∈[2k－2,2k－1)時,有[2f(x)－2]＝2k－2,所以所以滿足2f(x)－2＜2k－1的x∈[2k,2k＋1)(k∈N)都不滿足題意.

3.10 復(fù)合與迭代

函數(shù)復(fù)合與迭代運算蘊含遞推等豐富的數(shù)學(xué)方法,抓住復(fù)雜函數(shù)關(guān)系中的迭代結(jié)構(gòu),能夠化繁為簡,出奇制勝.

例16解方程

解析把原方程化為

例17(復(fù)旦大學(xué))已知函數(shù)f(x)＝x2－1,則函數(shù)y＝f(f(x))的圖像大致為_________(填圖).

解析由迭代運算y＝f(f(x))＝[f(x)]2－1.如圖4所示,先由函數(shù)f(x)＝x2－1的圖像,作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像,再作出函數(shù)y＝[f(x)]2－1的圖像,經(jīng)向下平移1個單位即得函數(shù)y＝[f(x)]2－1 的圖像,此即復(fù)合函數(shù)y＝f(f(x))的圖像.

圖4

3.11 最值探究

最值探究包含探求單變量函數(shù)最值、多元函數(shù)最值以及復(fù)合最值,當(dāng)然,導(dǎo)數(shù)是最值探究的重要工具,但我們這里主觀上限制不用導(dǎo)數(shù),注重變形路徑.

例19對一切x∈[a,b],|x2－kx－m|≤1成立,求δ＝b－a的最大值.

解析探究含參數(shù)恒成立問題中的參數(shù)條件以及帶參數(shù)最值都是高校特招試題立意的亮點.

例20(北京大學(xué))對一切x,y＞0,都有5x＋,求實數(shù)a的最小值.

對題設(shè)不等式調(diào)結(jié)構(gòu)——分離參數(shù),得a≥?x,y＞0.

點評本題基于換元和減元,把多元情境轉(zhuǎn)換為單變量情境,進而應(yīng)用一元函數(shù)求解多元最值.但利用均值不等式求最值,計算過程要簡捷一些.由,得5x＋,等號成立的條件是,故fmax＝9.

例21(上海交大)函數(shù)f(x)＝|x2－a|在閉區(qū)間[－1,1]上的最大值記作m(a),則m(a)的最小值是_________.

點評本例屬“含參函數(shù)復(fù)合最值”,另一類形如例22,屬于“多函數(shù)復(fù)合最值”.

例22(北京大學(xué))求函數(shù)f(x)＝max{1－x,

解析,x2}(x∈R)的最小值.

任取x∈R,比較三個數(shù),x2的大小,取其最大的與x相對應(yīng),由此建立一個定義在R上的函數(shù),進而利用數(shù)形結(jié)合思想求其最小值可以分段或畫圖處理,當(dāng)然也可合理減元、適度放縮求解.

一方面,因為

所以fmin(x)≥1.

另一方面,由f(0)＝max{1,1,0}＝1,可得fmin(x)≤1.

綜上,fmin(x)＝1.

3.12 抽象函數(shù)

抽象函數(shù)情境能夠有效培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),提升數(shù)學(xué)理解與綜合分析能力,同時歷練抽象函數(shù)問題能為深入分析、求解函數(shù)方程做好鋪墊.

例23(北京大學(xué))定義在(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足兩個條件:①f(x)＞0,?x∈(－1,0);②,x,y∈(－1,1).則f(x)為( ).

解析?x∈(－1,1),取y＝－x,代入②得

在②中,取x＝y(tǒng)＝0,得f(0)＝0,代入③,得f(－x)＝－f(x),?x∈(－1,1),故f(x)是奇函數(shù),選項A 正確,結(jié)合條件①可知選項B不正確.

?x∈(0,1),有－x∈(－1,0),所以

任取－1＜x1＜x2＜1,代入條件②,得

即f(x2)＜f(x1),故f(x)是減函數(shù),選項C正確,B不正確.

綜上,選AC.

3.13 函數(shù)方程

在強基計劃數(shù)學(xué)測試中,立意柯西方程及其變式的函數(shù)方程問題比較常見.

例24求所有函數(shù)f:Z→Z,使得?a,b∈Z,都有f(2a)＋2f(b)＝f(f(a＋b)).

解析f(x)＝0是平凡解,以下設(shè)f(x)不為常數(shù).因為

令F(x)＝f(x)－f(0),則式③可以轉(zhuǎn)化為如下柯西方程:

代入題設(shè)函數(shù)方程得

綜上,f(x)＝0(x∈Z)或f(x)＝2x＋B(x∈Z),其中B是任一整數(shù).

例25(清華大學(xué))給定a∈R,函數(shù)f:R→R 滿足,f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x)(?x,y∈R),則( ).

解析在題設(shè)函數(shù)方程中,取x＝y(tǒng)＝0,由f(0)＝,得f(0)＝f(0)f(a)＋f(0)f(a)＝f(a),所以選項A 正確.

在題設(shè)函數(shù)方程中,取y＝0,?x∈R,得

所以f(a－x)＝f(x)(?x∈R),則題設(shè)函數(shù)方程為

故選項C正確.

任取x∈R,以分別替換題設(shè)函數(shù)方程中的x,y,得

綜上,故選ABC.

點評由已得等式f(x＋y)＝2f(x)f(y)(?x,y∈R),得,則,從而(?x∈R).進而可以化為柯西方程

令ln(2f(x))＝g(x)(x∈R),得g:R→R 滿足柯西方程g(x＋y)＝g(x)＋g(y)(x,y∈R),由柯西方程得其連續(xù)解g(x)＝kx,所以,其中常數(shù)c＝g(1)＝ln(2f(1)).

但已得到的性質(zhì)f(a－x)＝f(x)(?x∈R),表明函數(shù)f:R→R的圖像關(guān)于直線對稱,所以必有c＝1,即

遺憾的是命題者可能是受學(xué)生常態(tài)知識所限,沒有給出連續(xù)性條件,這樣應(yīng)用柯西方程就不夠嚴謹.

例26(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))求所有函數(shù)f:R→R,使得對一切x,y∈R都有

解析按題意,有f(0)＝f(f(x)－f(x))＝f(f(x))＋2f(x)f(x)＋f(f(x))－1＝2f(f(x))＋2[f(x)]2－1,所以

再由①和②,可得?x,y∈R,都有

再由①,可得f(x－f(y))－f(x)＋1＝2xf(y)＋f(f(y)),所以?x,y∈R,都有

故?x∈R,都存在u,v∈R,使得x＝f(u)－f(v)＋1,故對一切u,v∈R,有

代回式①,得?x,y∈R,都有

所以,滿足題設(shè)條件的函數(shù)f:R→R為f(x)＝1－x2(x∈R).

點評本例體現(xiàn)求解函數(shù)方程的基本方法——替換、減元、對稱、同構(gòu)、任意性、必要性與充分性.

3.14 綜合應(yīng)用

強基校考重視函數(shù)應(yīng)用,應(yīng)用型函數(shù)問題多種多樣,多以處理帶參數(shù)不等關(guān)系問題表現(xiàn)函數(shù)應(yīng)用.

例27(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))若函數(shù)f(x)＝(x－1)2＋k2,并且?a,b,c∈(0,1),都存在以f(a),f(b),f(c)為邊的三角形,求k的范圍.

解析把定義域拓展到[0,1],按題意,其等價條件是2k2＝2f(1)＝2fmin(x)≥fmax(x)＝f(0)＝1＋k2?k2≥1?k≤－1或k≥1,故實數(shù)k的取值范圍是(－∞,－1]∪[1,＋∞).

例28(復(fù)旦大學(xué))給定5個函數(shù),其中3個奇函數(shù),2個偶函數(shù),則在這5個函數(shù)中任意取3個,其中既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)的概率是.

4 實戰(zhàn)演練

1.(上海交通大學(xué))若集合M中任意兩個元素的和、差、積、商(分母不為零)都還在M內(nèi),則稱集合M是封閉的.在集合R,Q,?RQ,n∈Z中,封閉的集合個數(shù)是_________.

2.(上海交通大學(xué))已知集合M＝{(x,y)|x(x－1)≤y(1－y)},N＝{(x,y)|x2＋y2≤k}滿足M?N,則實數(shù)k的最小值是_________.

3.(浙江大學(xué))設(shè)M＝{x∈R|f(x)＝x},N＝{x∈R|f(f(x))＝x}.

(1)求證:M?N;

(2)當(dāng)f:R→R 是增函數(shù),是否有M＝N? 證明你的結(jié)論.

4.(上海交通大學(xué))已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)沒有不動點,則它是否有穩(wěn)定點? 證明你的結(jié)論.

5.(上海交通大學(xué))證明:若f(f(x))有唯一不動點,則f(x)也有唯一不動點.

6.(上海交通大學(xué))求集合A＝{a1,a2,…,an}?N*(n≥2),滿足a1＋a2＋…＋an＝a1·a2·…·an.

7.(復(fù)旦大學(xué))命題p:“△ABC的內(nèi)心與外心重合”是命題q:“△ABC是正三角形”的什么條件?

8.(清華大學(xué))《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》和《西游記》四部書陳列在四層架子書柜的不同層上,小趙、小錢、小孫、小李分別借閱了四部書中的一部.現(xiàn)已知:小錢借閱了第一層的書籍,小趙借閱了第二層的書籍,小孫借閱的是《紅樓夢》,《三國演義》在第四層,則( ).

A.《水滸傳》一定陳列在第二層

B.《西游記》一定陳列在第一層

C.小孫借閱的一定是第三層上的書籍

D.小李借閱的一定是第四層上的書籍

9.(上海交通大學(xué))設(shè)常數(shù)c∈(0,1),函數(shù)f(x)的定義域為(0,1),則函數(shù)g(x)＝f(x＋c)＋f(xc)的定義域為________.

10.(清華大學(xué))給定三次函數(shù)p(x)＝x3－3x＋1.

(1)證明:函數(shù)p(x)有三個零點a＜b＜c;

(2)證明:若x＝t是p(x)的一個零點,則x＝t2－2也是p(x)的一個零點;

(3)定義映射f:{a,b,c}→{a,b,c},x|→x2－2,求f(a),f(b),f(c).

11.設(shè)x,y∈R.

(1)若x,y∈(－2,1),求證:2(x2＋xy＋y2)＋3xy＜12;

(2)求證:x2＋xy＋y2＋3(x＋y)＋6＞0;

(3)求證:x2＋xy＋y2－3(x＋y)＋3≥0.

12.(南京大學(xué))已知0≤a＋b,b＋c,c＋a≤1,求的最值.

13.(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))已知a＞0,二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋1,若在任意長度為1的區(qū)間上,存在兩點函數(shù)值之差不小于1,則a的最小值為_________.

15.(上海交通大學(xué))已知方程2x－sinx＝1,則下列判斷:

①方程沒有正數(shù)解;

②方程有無窮多個解;

③方程有一個正數(shù)解;

④方程的實根小于1.

其中錯誤的判斷有________.

A.f(x,y,z)既有最大值也有最小值

B.f(x,y,z)有最大值但無最小值

C.f(x,y,z)有最小值但無最大值

D.前三個答案都不對

A.1 B.2 C.3 D.前三個答案都不對

18.(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))求所有a∈R,使得f(x)＝x3＋ax2－x＋1－a,滿足|f(x)|≥|x|,?x∈[－1,1].

19.(南京大學(xué))求函數(shù)f:R→R,使得f(f(x＋y))＝f(x＋y)＋f(x)f(y)－xy(?x,y∈R).

20.設(shè)實數(shù)a,b,c＞0,若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根,則( ).

(完)