“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)

張曉鵬

（內(nèi)蒙古興安盟烏蘭浩特市第十二中學(xué)）

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第21章“一元二次方程”第2.4節(jié)，主要內(nèi)容是探究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法和根的判別式，本節(jié)課的內(nèi)容是對(duì)一元二次方程的兩根與系數(shù)之間的關(guān)系的深化，是今后繼續(xù)探究一元二次方程根的情況的重要工具，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也有著更加廣泛的應(yīng)用.因此，盡管本節(jié)課是選學(xué)內(nèi)容，卻起著承上啟下的作用.

二、學(xué)生學(xué)情分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是九年級(jí)學(xué)生，在此之前，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法及根的判別式，雖然學(xué)生的學(xué)習(xí)能力存在差異，但大部分學(xué)生已經(jīng)會(huì)解一元二次方程，且九年級(jí)學(xué)生已具備一定的邏輯推理能力.因此，在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法后，自主探究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是完全可能的.

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

（2）能夠借助問(wèn)題的引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)、歸納并證明一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在探究過(guò)程中，感受由特殊到一般地認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律.

（3）通過(guò)探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察、分析、綜合判斷的能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性和勇于探索的精神.

四、教學(xué)策略分析

《標(biāo)準(zhǔn)》提出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)的、活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程.認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)情境法、啟發(fā)引導(dǎo)法、示范講解法等教學(xué)方法來(lái)突出教師的主導(dǎo)作用，通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、相互交流、合作探究，積極參與教學(xué)活動(dòng)，感悟知識(shí)的形成過(guò)程，發(fā)揮學(xué)生在課堂中的主體地位，以及教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥的示范角色，真正實(shí)現(xiàn)以教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向的“教、學(xué)、評(píng)一體化”.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.復(fù)習(xí)回顧，思考舊知

回顧學(xué)過(guò)的一元二次方程知識(shí)，思考下列問(wèn)題.

（1）一元二次方程的一般形式是什么？

（2）一元二次方程的求根公式是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題的方式來(lái)復(fù)習(xí)舊知，讓學(xué)生都能夠積極回答問(wèn)題，活躍課堂氛圍，激活學(xué)生的思維，并在問(wèn)題的指引下導(dǎo)入新課，進(jìn)入探究主題，從而不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲望和學(xué)習(xí)熱情，為本節(jié)課一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的探究之路做好前期的預(yù)熱.教師根據(jù)學(xué)生的回答，適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)和深化，為本節(jié)課進(jìn)一步深入探究一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的其他形式及推理證明做鋪墊.

2.問(wèn)題情境，導(dǎo)入新課

問(wèn)題1：已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是方程x2-1 234x+5 678=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求這個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積.

追問(wèn)：方程x2-1 234x+5 678=0的系數(shù)較大，用學(xué)過(guò)的方法解這個(gè)方程比較煩瑣，是否還能用其他方法，不解方程也能快速求出矩形的周長(zhǎng)和面積？

【設(shè)計(jì)意圖】由于方程的系數(shù)較大，計(jì)算難度較大，激發(fā)學(xué)生對(duì)于本節(jié)課內(nèi)容的探究欲望.同時(shí)，讓學(xué)生理解“數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活”，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

3.觀(guān)察猜想，推理探究

活動(dòng)1：探究一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況.

思考1：填寫(xiě)表1，猜想二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

表1

問(wèn)題2：觀(guān)察表1中的兩個(gè)方程的兩根的和、兩根的積與系數(shù)有什么關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

教師引導(dǎo)：利用因式分解法解方程可知，若方程x2+px+q=0（p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，則方程可以表示為(x-x1)(x-x2)=0的形式.將方程化簡(jiǎn)為一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0，比較一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可得出結(jié)論x1+x2=-p，x1x2=q.

【設(shè)計(jì)意圖】為了讓學(xué)生在課堂中進(jìn)行深層次的探究和發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生真正成為課堂的主體，同時(shí)兼顧不同層次的學(xué)生，細(xì)化了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的形成過(guò)程，先讓學(xué)生研究二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況，形成一個(gè)比較簡(jiǎn)單的結(jié)論，再遷移推廣到一般情況，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，給學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)乃季S階梯，讓學(xué)生的思維呈螺旋式上升.

活動(dòng)2：探究一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況.

思考2：填寫(xiě)表2，思考一元二次方程二次項(xiàng)的系數(shù)不為1時(shí)，根與系數(shù)之間又有怎樣的關(guān)系.形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程，如果b2-4ac≥0，兩根為x1，x2，結(jié)合前面的結(jié)論，猜想x1，x2與各項(xiàng)系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系.

表2

師生活動(dòng)：學(xué)生每4人為一個(gè)小組進(jìn)行合作探究，并驗(yàn)證猜想出的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

歸納：二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：兩根的和為一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，兩根的積為常數(shù)項(xiàng).

關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根x1，x2與系數(shù)p，q的關(guān)系是x1+x2=-p，x1x2=q.

問(wèn)題3：如何進(jìn)行推理驗(yàn)證？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)計(jì)算二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程的兩根之和與兩根之積，啟發(fā)學(xué)生從中探究和發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，為進(jìn)一步探究一般規(guī)律做鋪墊，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

問(wèn)題4：觀(guān)察方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根的和、兩根的積與系數(shù)有什么關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

師生活動(dòng)：學(xué)生先自行計(jì)算出方程的兩個(gè)根，然后每4人為一個(gè)小組計(jì)算兩根的和與兩根的積，最后小組討論本組的猜想結(jié)果.教師深入小組給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和點(diǎn)撥，充分發(fā)揮學(xué)生在探究活動(dòng)中的主體地位.

學(xué)生通過(guò)小組討論，能得出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為

追問(wèn)：這個(gè)結(jié)論是否正確呢？我們能否對(duì)這個(gè)結(jié)論加以證明？

4.推理證明，加深理解

思路1：因?yàn)閍x2+bx+c=0（a≠ 0），

【設(shè)計(jì)意圖】《標(biāo)準(zhǔn)》指出，符號(hào)意識(shí)是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.在初中階段，建立數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)有利于學(xué)生更好地理解符號(hào)的使用.符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)既是重要的知識(shí)載體，又為知識(shí)的模型化奠定了基礎(chǔ).

思路2：對(duì)于ax2+bx+c=0（a≠ 0），

師生共同歸納得到：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠ 0）的兩個(gè)根x1，x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系為.

【設(shè)計(jì)意圖】在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生能夠想到把a(bǔ)x2+bx+c=0（a≠0）根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究根與系數(shù)的關(guān)系，而的根與系數(shù)的關(guān)系就是前面研究x2+px+q=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)的根與系數(shù)的關(guān)系.在以上一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和生成過(guò)程中，教師的啟發(fā)和引導(dǎo)為學(xué)生搭建了思維的腳手架，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和符號(hào)意識(shí).在探究的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)自主發(fā)現(xiàn)、合作探究，體驗(yàn)成功的喜悅，讓知識(shí)本身散發(fā)出它內(nèi)在的生命力和吸引力.

5.定理背景，滲透數(shù)學(xué)史

師生活動(dòng)：教師為學(xué)生播放微視頻，介紹一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的產(chǎn)生與發(fā)展的歷史.

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用信息技術(shù)手段，采用微視頻的形式，通俗而不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟榻B一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的產(chǎn)生與發(fā)展歷史，既有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明歷史發(fā)展進(jìn)程中的重要意義，又可以讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和探索的心路歷程.

6.運(yùn)用新知，解決問(wèn)題

（1）問(wèn)題再現(xiàn)，體驗(yàn)方法.

例1已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是方程x2-1 234x+5 678=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求這個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積.

【設(shè)計(jì)意圖】利用本節(jié)課所學(xué)的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，學(xué)生可以輕松解決這道例題，考查學(xué)生對(duì)新知的掌握情況.

（2）基礎(chǔ)練習(xí)，熟練應(yīng)用.

練習(xí)：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個(gè)根x1，x2的和與積.

①x2-6x-15=0；②5x-1=4x2.

強(qiáng)調(diào)：在運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要先將一元二次方程化為一般形式，找準(zhǔn)系數(shù)a，b，c，使用兩根之和時(shí)不要漏掉負(fù)號(hào).在初中階段，教師要強(qiáng)調(diào)一定要在方程有根的情況下才能使用根與系數(shù)的關(guān)系.這是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)題，讓學(xué)生初步運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，鞏固新知.

（3）例題分析，優(yōu)化解法.

例2已知方程x2-(k+1)x+4=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.

師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生用不同方法求出k的值和方程的另一個(gè)根.按照“簡(jiǎn)單分析—獨(dú)立解答—黑板板演—點(diǎn)評(píng)歸納”的活動(dòng)形式完成這道題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解決例2，進(jìn)一步達(dá)成讓學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、學(xué)會(huì)方法的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)具體問(wèn)題的理解能力、分析能力，以及解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運(yùn)用情況.在解題過(guò)程中啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用不同的方法解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生比較不同解法的差異和優(yōu)缺點(diǎn)，體現(xiàn)新知的應(yīng)用價(jià)值.

（4）變式練習(xí)，拓展提高.

拓展：設(shè)x1，x2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值.

【設(shè)計(jì)意圖】拓展題是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決的常見(jiàn)題型.教師可以發(fā)散學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生把未知轉(zhuǎn)化成已知的根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題.

7.課堂小結(jié)，歸納提升

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

（2）運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意哪些易錯(cuò)點(diǎn)？

（3）在這節(jié)課的探究過(guò)程中，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法？

【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)本節(jié)課知識(shí)的形成過(guò)程和結(jié)果，使學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識(shí)，生成整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維邏輯架構(gòu).同時(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，便于學(xué)生理解和掌握知識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

8.布置作業(yè)，分層落實(shí)

必做題：不解方程，求下列方程兩根的和與積.

（1）x2-3x=15； （2） 3x2-2=1-4x；

（3） 5x2-1=4x2； （4） 2x2-x+2=3x+1.

選做題：已知方程x2+kx+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1和x2，且x12+x22=4，求k的值.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)布置分層作業(yè)，使不同層次的學(xué)生都能有所收獲.讓優(yōu)等生和中等生“吃得飽”的同時(shí)，將數(shù)學(xué)思維拓展提升；讓學(xué)困生能夠“吃得了”，將基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)牢固.

六、教學(xué)反思

1.搭建符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的思維之梯

對(duì)于“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”一課的教學(xué)，有的教師往往直接給出幾個(gè)特殊的一元二次方程，讓學(xué)生直接計(jì)算兩根之和、兩根之積，然后得到猜想，最后用求根公式證明猜想.但教師忽略了一個(gè)事實(shí)：為什么只計(jì)算兩根之和、之積，而不計(jì)算兩根之差、兩根之商？這樣的教學(xué)無(wú)形中有一定的指向性，不便于學(xué)生從多角度、多方向思考問(wèn)題，不利于對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

本節(jié)課中，創(chuàng)設(shè)求矩形的周長(zhǎng)和面積的問(wèn)題情境引入探究主題，這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，有利于學(xué)生明晰為什么要探究一元二次方程的兩根之和與兩根之積.

2.滲透數(shù)學(xué)思想

本節(jié)課的教學(xué)是在“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，練習(xí)為主線(xiàn)”的教學(xué)理念下進(jìn)行的，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究、合作交流、大膽猜想、動(dòng)手實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深方向發(fā)展，用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生在探索、發(fā)現(xiàn)中體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，在和諧、愉快的氛圍中快樂(lè)地學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的自信心.