數(shù)學(xué)建模取向的跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)
——以“體育運(yùn)動(dòng)與心率”為例

鄒 堯，傅蘭英

（浙江省杭州市保俶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校；浙江省杭州市西湖區(qū)教育發(fā)展研究院）

一、學(xué)習(xí)模型：以核心素養(yǎng)發(fā)展為中心

1.以數(shù)學(xué)建模突破項(xiàng)目難點(diǎn)

函數(shù)模型是一種重要的工具與數(shù)學(xué)語言，它從數(shù)學(xué)的角度分析變量與變量之間的關(guān)系、建立函數(shù)表達(dá)式.通過建立“體重與無氧閾心率”的函數(shù)模型，使學(xué)生經(jīng)歷選擇模型、收集數(shù)據(jù)、求解模型、檢驗(yàn)優(yōu)化、應(yīng)用模型的數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法與步驟.選取以數(shù)學(xué)建模為主要環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的基本要領(lǐng)后，再讓學(xué)生獨(dú)立開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)，以數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.以跨學(xué)科創(chuàng)造新的理解

跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)是指學(xué)生對兩個(gè)或兩個(gè)以上學(xué)科的知識體系和認(rèn)知方法在理解基礎(chǔ)上的整合，從而創(chuàng)造出新的理解的學(xué)習(xí)過程.本項(xiàng)目為跨學(xué)科研究項(xiàng)目，在整個(gè)研究過程中，數(shù)學(xué)的角度就是分析變量與變量之間的關(guān)系、建立表達(dá)式，現(xiàn)實(shí)的角度就是研究引發(fā)心率變化的主要要素是什么，這些要素的影響程度如何.其中，運(yùn)用體育、數(shù)學(xué)、生物等多學(xué)科的知識，研究體育運(yùn)動(dòng)與心率問題，提升學(xué)生的跨學(xué)科核心素養(yǎng).

3.以項(xiàng)目學(xué)習(xí)激發(fā)自我實(shí)現(xiàn)

本項(xiàng)目以跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)的教學(xué)形式、評價(jià)體系，開展研究性學(xué)習(xí)，形成可遷移的實(shí)踐模型.從生活中發(fā)現(xiàn)問題——體育運(yùn)動(dòng)時(shí)心率會(huì)發(fā)生變化；從小組討論聚焦問題的提出——影響心率變化的要素有哪些；從數(shù)學(xué)建模中分析問題——找到變量之間的關(guān)系；從團(tuán)隊(duì)協(xié)作中解決問題——怎樣運(yùn)動(dòng)更健康、更有效.融合數(shù)學(xué)建模思想，借助信息技術(shù)工具的支持，運(yùn)用生物學(xué)知識儲(chǔ)備，進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)的收集處理等，從課內(nèi)到課外，讓學(xué)生以全域視野獲取相關(guān)信息，開展合作探究，在成果的形成過程中，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力與團(tuán)隊(duì)協(xié)作素養(yǎng).具體開展路徑與其中蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)如圖1所示.

圖1 “體育運(yùn)動(dòng)與心率”項(xiàng)目開展路徑與核心素養(yǎng)

二、學(xué)習(xí)背景：以問題驅(qū)動(dòng)推進(jìn)項(xiàng)目學(xué)習(xí)

1.項(xiàng)目背景與教學(xué)重、難點(diǎn)

本項(xiàng)目的實(shí)施對象為九年級學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這三種模型，具備實(shí)施本項(xiàng)目的知識基礎(chǔ)，也具有一定的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、團(tuán)結(jié)協(xié)作等能力，并且經(jīng)歷過拓展性課程、STEAM課程，接觸過項(xiàng)目化學(xué)習(xí).但對于數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)，相對較為陌生，學(xué)習(xí)具有一定的難度.

由此，確定了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題；經(jīng)歷思考發(fā)現(xiàn)、提出問題、協(xié)作分析、解決問題的學(xué)習(xí)過程.

教學(xué)難點(diǎn)：建立數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)據(jù)分析和信息技術(shù)求解模型、檢驗(yàn)與優(yōu)化模型.

2.驅(qū)動(dòng)型問題與項(xiàng)目概念

本項(xiàng)目從體育運(yùn)動(dòng)的諸方面提出與健康或者安全有關(guān)的問題.例如，怎樣運(yùn)動(dòng)才能達(dá)到鍛煉身體的目的？怎樣健康、安全地進(jìn)行體育鍛煉？于是確定了本項(xiàng)目的驅(qū)動(dòng)性問題：怎樣科學(xué)地進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

本項(xiàng)目需要學(xué)生具備的數(shù)學(xué)核心概念為模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念、應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識；跨學(xué)科概念為心率與運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)對健康的促進(jìn)、合理運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識.

3.項(xiàng)目化學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過運(yùn)動(dòng)中心率的變化發(fā)現(xiàn)問題，根據(jù)影響心率變化的要素提出問題；

（2）經(jīng)歷選擇模型、收集數(shù)據(jù)、求解模型、檢驗(yàn)優(yōu)化、應(yīng)用模型的數(shù)學(xué)建模全過程；

（3）掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法，會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題；

（4）通過查閱文獻(xiàn)提出問題，設(shè)計(jì)、實(shí)施方案，合作學(xué)習(xí)解決問題.

三、學(xué)習(xí)實(shí)踐：以數(shù)學(xué)建模構(gòu)建項(xiàng)目學(xué)習(xí)

環(huán)節(jié)1：分析現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)問題

運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們會(huì)感覺到心臟跳動(dòng)得更快.

問題1：運(yùn)動(dòng)時(shí)影響心率的要素有哪些？

追問1：這些要素的影響程度如何？

追問2：怎樣運(yùn)動(dòng)更健康、更有效？

學(xué)生查閱生物、體育學(xué)科的相關(guān)資料，對體育運(yùn)動(dòng)與心率的關(guān)系有一定的知識儲(chǔ)備.

環(huán)節(jié)2：思考討論，提出問題

在學(xué)生查閱資料、了解問題后，進(jìn)行分組，在小組內(nèi)交流自己的思考，最終整理分析，提出想要深入研究的問題.在課堂上，學(xué)生進(jìn)行小組分工，制作PPT，匯總大家收集到的資料與觀點(diǎn)；課后尋找更多的資料，完善自己的PPT，準(zhǔn)備匯報(bào)；在下一節(jié)課中，提出小組要研究的問題，并分析理由.

各小組分別提出了“運(yùn)動(dòng)時(shí)間與心率的關(guān)系”“運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度與心率的關(guān)系”“體育運(yùn)動(dòng)與無氧閾心率”“跑步速度與心率的關(guān)系”等問題.研究“體育運(yùn)動(dòng)與無氧閾心率”的小組采訪了某醫(yī)院康復(fù)醫(yī)學(xué)科的一名醫(yī)生，具體采訪內(nèi)容如圖2所示.

圖2 醫(yī)學(xué)專家采訪內(nèi)容

從以上采訪中，我們可以得出結(jié)論：平時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，控制心率在無氧閾心率附近，既安全、健康，又能達(dá)到更好的鍛煉效果.

在聽取各組匯報(bào)后，學(xué)生在思維碰撞中得出：如果能獲得一個(gè)人的無氧閾心率值，又能找到運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間與心率對應(yīng)的關(guān)系，那么，當(dāng)這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)心率為無氧閾心率值時(shí)，就可以得出對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值，而這就是這個(gè)人適宜鍛煉的速度、強(qiáng)度與時(shí)間.

綜上，建立了本項(xiàng)目的四個(gè)子項(xiàng)目：“無氧閾心率”“運(yùn)動(dòng)速度與心率”“運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度與心率”“運(yùn)動(dòng)時(shí)間與心率”，確定了內(nèi)容與目標(biāo).若要得出適宜的運(yùn)動(dòng)速度、強(qiáng)度與時(shí)間等，需要先從子項(xiàng)目1“無氧閾心率”開始研究.

【設(shè)計(jì)意圖】由本項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)性問題引導(dǎo)學(xué)生分析問題，學(xué)生在課后通過查閱資料、走訪專家、小組討論，提出了很多可供研究的切入點(diǎn).項(xiàng)目中涉及一些跨學(xué)科知識，由于學(xué)生的知識儲(chǔ)備不同，學(xué)生在處理跨學(xué)科問題時(shí)會(huì)遇到一定的挑戰(zhàn).經(jīng)歷充足時(shí)間的資料查閱、專家采訪等，學(xué)生對生物與體育學(xué)科的知識儲(chǔ)備有所提升.在研究過程中，學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)并提出問題，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考、提出問題的能力；再由小組協(xié)作討論交流，明確本項(xiàng)目的研究對象與任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

環(huán)節(jié)3：數(shù)學(xué)建模，分析問題

1.定性分析，選擇模型

問題2：如何獲得無氧閾心率呢？

師生活動(dòng)：教師布置任務(wù)，學(xué)生自己查閱文獻(xiàn)資料，查找獲得無氧閾心率的方法.課堂上，學(xué)生分小組分享交流，最后由小組長總結(jié)分析.各組學(xué)生提出的方法如圖3所示.

圖3 學(xué)生查找的四種獲得無氧閾心率的方法

通過大家的總結(jié)、分析，發(fā)現(xiàn)“個(gè)體無氧閾心率推算值計(jì)算公式法”最為簡便，由公式“無氧閾心率=k1+k2×年齡+k3×身高+k4×基礎(chǔ)心率+k5×體表面積”（其中k1，k2，k3，k4，k5為已知常數(shù)），代入年齡、身高、基礎(chǔ)心率、體表面積即可獲得無氧閾心率.

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式中的“體表面積”“基礎(chǔ)心率”不易測得，提出疑問，再次查閱資料、小組討論后，發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)心率與體重的負(fù)三分之一次方成正比，體表面積常用S=0.007 1×身高+0.013 3×體重-0.197 1來計(jì)算，即體表面積和基礎(chǔ)心率都可以用含身高、體重的關(guān)系式來計(jì)算、估計(jì).

將年齡記為15，推導(dǎo)出僅用身高、體重來估計(jì)無氧閾心率的表達(dá)式：（H代表身高，W代表體重）.

師生活動(dòng)：有學(xué)生發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)心率與身高可以僅用體重來估計(jì).學(xué)生經(jīng)過思維碰撞，提出問題——無氧閾心率是否也可以由體重來估計(jì)？于是，需要先找到身高和體重的關(guān)系.

課堂中，學(xué)生用平板電腦上網(wǎng)查閱得出H=k6W+k7，整理后得到無氧閾心率關(guān)于體重的函數(shù)模型無氧閾心率=，整個(gè)推導(dǎo)過程如圖4所示.

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過分析研究對象，思考解決“建立無氧閾心率與體重關(guān)系”的核心問題.從無氧閾心率的獲得方法中發(fā)現(xiàn)，可以通過函數(shù)模型估計(jì)出無氧閾心率的值，這種方法較其他實(shí)驗(yàn)測量法更方便.同時(shí)，在數(shù)學(xué)表達(dá)式推導(dǎo)的過程中，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，運(yùn)用平板電腦在課堂上補(bǔ)充需查閱的資料，結(jié)合信息技術(shù)提高學(xué)習(xí)效率.

2.數(shù)據(jù)收集，求解模型

問題3：能否運(yùn)用模型，代入自己的體重求出無氧閾心率的值？

追問1：為什么這個(gè)函數(shù)模型不能直接應(yīng)用？

追問2：用怎樣的方法獲得a，b，c的值？

師生活動(dòng)：通過代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可算出系數(shù)a，b，c的值.

追問3：我們要收集數(shù)據(jù)，那么要收集誰的數(shù)據(jù)？

師生活動(dòng)：如果要研究我國15歲的學(xué)生，網(wǎng)上有數(shù)據(jù)可以采用；如果要研究特定的人群，如本校九年級學(xué)生，就可以選擇采用學(xué)生的數(shù)據(jù).數(shù)學(xué)模型中a，b，c的意義非常重要，這里用到統(tǒng)計(jì)的方法獲得時(shí)，要注意強(qiáng)調(diào)其意義.

學(xué)生討論商議，選擇“簡易無氧閾測定法”，通過帶上心率測量手環(huán)，全力跑1000米，跑步過程中最大心率值記為無氧閾心率，多測幾次，取平均值.學(xué)生來到操場佩戴好手環(huán)開始跑步測試，并記錄最高心率.體重的收集在課前一周，要求學(xué)生早上起床時(shí)記錄，并計(jì)算出一周中的平均體重.

追問4：在得到數(shù)據(jù)后，我們通過幾組數(shù)據(jù)得出系數(shù)a，b，c的值？

追問5：三組數(shù)據(jù)就能求出系數(shù)a，b，c的值，可是這樣求出的a，b，c的值合理嗎？

追問6：我們能求出多少組a，b，c的值？應(yīng)該如何處理這么多組系數(shù)呢？

師生活動(dòng)：教師在學(xué)生收集數(shù)據(jù)后，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)去完善之前的數(shù)學(xué)模型.在求解a，b，c的過程中，“取平均”是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的方法，可引導(dǎo)學(xué)生采用這種方法求解a，b，c的值，可得無氧閾心率=.

而除此之外，還有很多估算系數(shù)的方法，如用MATLAB軟件計(jì)算系數(shù).教師用MATLAB軟件將數(shù)據(jù)代入后，得出數(shù)學(xué)表達(dá)式.

【設(shè)計(jì)意圖】計(jì)算對于部分學(xué)生來說本就是薄弱環(huán)節(jié)，對于這個(gè)新的函數(shù)關(guān)系式，體重的負(fù)三分之一次方的運(yùn)算就先難住了他們.采用計(jì)算器、iPad中的計(jì)算軟件，都可以化繁為簡，解決學(xué)生計(jì)算困難的問題.同時(shí)，加強(qiáng)信息技術(shù)的使用指導(dǎo)，對未來學(xué)生自行開展研究做好鋪墊.

3.檢驗(yàn)優(yōu)化，應(yīng)用模型

問題4：如何檢驗(yàn)所求數(shù)學(xué)模型的合理性？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，提出檢驗(yàn)方法.例如，通過對比用關(guān)系式計(jì)算出來的無氧閾心率與實(shí)際測得的心率，研究它們之間的關(guān)系；學(xué)生在GeoGebra軟件上繪制數(shù)學(xué)模型的函數(shù)圖象（如圖5），再將數(shù)據(jù)描點(diǎn)進(jìn)行對比，通過擬合程度來驗(yàn)證；收集九年級其他班級學(xué)生的數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)描點(diǎn)，觀察其擬合程度等.

圖5 GeoGebra軟件中繪制的函數(shù)圖象

追問1：有什么優(yōu)化模型的方法？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，計(jì)算時(shí)將“取平均”改用“取方差最小”的方法等，同時(shí)數(shù)據(jù)的獲得要控制誤差，還可以去掉一些有明顯誤差的數(shù)據(jù).

追問2：在檢驗(yàn)優(yōu)化模型后，模型可以怎樣應(yīng)用？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答：我們九年級的學(xué)生只要知道自己的體重，代入公式后，就可以計(jì)算出自己的無氧閾心率，平時(shí)跑步保持在這個(gè)心率既安全、健康，又能達(dá)到最好的鍛煉效果.

【設(shè)計(jì)意圖】在初步得出模型后，模型是否符合實(shí)際意義？模型是否能夠廣泛應(yīng)用？而模型的檢驗(yàn)、優(yōu)化是必不可少的一個(gè)重要環(huán)節(jié).模型檢驗(yàn)的方法不唯一，可代數(shù)運(yùn)算，也可幾何直觀.學(xué)生通過小組討論得出檢驗(yàn)與優(yōu)化方案，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題的能力.

4.歸納總結(jié)，反思凝練

問題5：探索以上數(shù)學(xué)建模的全過程，我們經(jīng)歷了哪些步驟？

師生活動(dòng)：與學(xué)生一起梳理，并利用如圖6所示的框圖表示數(shù)學(xué)建模的一般過程.

圖6 數(shù)學(xué)建模的一般過程

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是梳理與歸納數(shù)學(xué)建模的全過程，帶領(lǐng)學(xué)生回顧從選擇模型開始到模型的應(yīng)用，總結(jié)經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建模步驟與方法，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)建模的概念.本環(huán)節(jié)既完成了子項(xiàng)目1的研究任務(wù)，又為學(xué)生小組合作開展子項(xiàng)目2～4的研究提供了方法.

環(huán)節(jié)4：團(tuán)隊(duì)協(xié)作，解決問題

類比子項(xiàng)目1的研究方法，小組合作開展后續(xù)的研究.

1.子項(xiàng)目1：無氧閾心率的進(jìn)一步研究

經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程，研究“無氧閾心率”小組進(jìn)一步對無氧閾心率的函數(shù)模型進(jìn)行研究.通過推理運(yùn)算，得出無氧閾心率關(guān)于基礎(chǔ)心率、身高、體表面積的函數(shù)模型.具體推理和運(yùn)算過程如圖7所示.在這三個(gè)模型中，該小組選擇較為簡潔的關(guān)于基礎(chǔ)心率的模型進(jìn)行計(jì)算.在收集了數(shù)據(jù)后，計(jì)算得出的數(shù)據(jù)差異很大，通過分析、總結(jié)，小組學(xué)生繼續(xù)優(yōu)化數(shù)據(jù)的收集，若最終計(jì)算出的模型不符合實(shí)際情況，將重新選擇模型.

圖7 無氧閾心率關(guān)于基礎(chǔ)心率、身高、體表面積的函數(shù)模型推導(dǎo)過程

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)是對課堂中僅選擇“無氧閾心率與體重”模型的拓展，在課后小組學(xué)生選擇了其余三個(gè)模型“無氧閾心率與基礎(chǔ)心率”“無氧閾心率與身高”“無氧閾心率與體表面積”進(jìn)行函數(shù)的推導(dǎo)與計(jì)算檢驗(yàn).這是學(xué)生在類比數(shù)學(xué)建模過程的嘗試，是學(xué)生對于“選擇模型”的全面理解.同時(shí)，在得出模型與實(shí)際不符時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生分析與判斷問題的能力.

2.子項(xiàng)目2：運(yùn)動(dòng)速度與心率

研究“運(yùn)動(dòng)速度與心率”的小組通過查閱資料，發(fā)現(xiàn)跑步時(shí)攝氧量與速度之間存在一定關(guān)系.在《ACSM運(yùn)動(dòng)測試與運(yùn)動(dòng)處方指南》中得到：攝氧量=0.2×速度+3.5；在《健身走和跑能量消耗評價(jià)模型的構(gòu)建》中得到：在最大攝氧量范圍內(nèi)，心率y（次/min）與攝氧量VO2呈線性相關(guān).所以該小組推導(dǎo)出心率與跑步速度的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kv+b（k，b為參數(shù)，且k≠0），呈一次函數(shù)的關(guān)系.推導(dǎo)過程與公式如圖8所示.

圖8 跑步時(shí)心率關(guān)于跑步速度的函數(shù)模型推導(dǎo)過程

為了計(jì)算出函數(shù)中的系數(shù)，該小組學(xué)生抽取九年級一個(gè)班級的40名學(xué)生，讓其佩戴上能測量心率的手環(huán)，測得不同跑步速度時(shí)所對應(yīng)的心率.在測得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，取平均值，并將其表示在平面直角坐標(biāo)系中，通過Excel擬合函數(shù)，繪制出了函數(shù)圖象，如圖9所示.我們可以得到，本校九年級學(xué)生心率與跑步速度之間的關(guān)系為y=10.4x+80.3.

圖9 跑步時(shí)心率關(guān)于跑步速度的擬合函數(shù)圖象

為了檢驗(yàn)函數(shù)模型的準(zhǔn)確性，該組學(xué)生抽取九年級另外一個(gè)班級的40名學(xué)生，測得在相應(yīng)速度下心率的平均值，在計(jì)算與繪圖之后，繪制的點(diǎn)在得出的函數(shù)圖象附近，即求得的數(shù)學(xué)模型符合實(shí)際情況.

得出結(jié)論：結(jié)合課堂上得出的無氧閾心率與體重的模型，我們可以將體重代入，計(jì)算出其無氧閾心率，此為運(yùn)動(dòng)時(shí)的適宜心率，再將心率代入心率與速度的函數(shù)模型，計(jì)算出適宜的跑步速度，大幅提高運(yùn)動(dòng)效率.

3.作業(yè)與任務(wù)設(shè)計(jì)

類比數(shù)學(xué)建模的方法，開展子項(xiàng)目3（運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度與心率）、子項(xiàng)目4（運(yùn)動(dòng)時(shí)間與心率關(guān)系）的研究，并將得出的結(jié)論應(yīng)用于生活，解決生活中的實(shí)際問題.

四、學(xué)習(xí)成果：以項(xiàng)目學(xué)習(xí)解決實(shí)際問題

在建立數(shù)學(xué)模型后，模型的應(yīng)用為項(xiàng)目學(xué)習(xí)的意義所在.學(xué)生整合所有小組得出的模型等結(jié)論，并進(jìn)行拓展，提出運(yùn)動(dòng)指南.

1.健身房里的運(yùn)動(dòng)處方

學(xué)生為健身房里的健身教練與運(yùn)動(dòng)愛好者提供運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)與模型的支持，可通過模型計(jì)算等方法，得出運(yùn)動(dòng)參考與指南.以某位15歲的青少年為例，他的運(yùn)動(dòng)方案如圖10所示.

圖10 某位15歲青少年的運(yùn)動(dòng)方案

同時(shí)，針對不同年齡的運(yùn)動(dòng)愛好者，重新收集數(shù)據(jù)建立模型，為更多的人群提供更健康、更有效的運(yùn)動(dòng)方案.健身教練能更精準(zhǔn)地掌握學(xué)員情況，為不同的學(xué)員制訂個(gè)性化運(yùn)動(dòng)計(jì)劃.例如，學(xué)生為健身房設(shè)計(jì)了運(yùn)動(dòng)建議海報(bào)，如圖11所示.

圖11 為健身房設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)建議海報(bào)

2.研發(fā)app“我的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃師”

app在生活中的應(yīng)用十分廣泛，“我的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃師”為運(yùn)動(dòng)愛好者開啟健康、有效的運(yùn)動(dòng)指南.app圖標(biāo)如圖12所示.

圖12 app“我的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃師”圖標(biāo)

大部分人因工作忙沒時(shí)間去健身房健身，沒有私教指導(dǎo)，不知道如何安全、正確地健身；網(wǎng)絡(luò)上攻略太多，不知道采取哪種方式更健康、有效，鍛煉效果不佳.

運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)建模得出的模型，在app中輸入個(gè)人相關(guān)信息的數(shù)據(jù)，能產(chǎn)生精準(zhǔn)的個(gè)性化評估與運(yùn)動(dòng)計(jì)劃.

五、學(xué)習(xí)評價(jià)：以評價(jià)量規(guī)把握學(xué)習(xí)方向

1.數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)評價(jià)

通過經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，歸納與掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，并且會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).學(xué)生在課后能獨(dú)立開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，運(yùn)用在課堂中經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建模步驟，以及歸納掌握的方法，能用自己建立的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，從這樣的學(xué)習(xí)反饋中可以分析學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況.

2.項(xiàng)目化學(xué)習(xí)評價(jià)

（1）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)過程性評價(jià).

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)過程性評價(jià)關(guān)注的是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的狀況.在學(xué)生完成每個(gè)項(xiàng)目后，可對照項(xiàng)目化學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)評價(jià)表對學(xué)生的水平進(jìn)行量化的考核.“數(shù)學(xué)建模過程”的評價(jià)量規(guī)如表1所示.

表1 數(shù)學(xué)建模過程評價(jià)量規(guī)

（2）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)總結(jié)性評價(jià).

為了更好地促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展，在項(xiàng)目結(jié)束時(shí)，每名學(xué)生都會(huì)收到一張個(gè)性評價(jià)單，個(gè)性評價(jià)單由兩個(gè)部分組成：分項(xiàng)等級評價(jià)單和綜合評價(jià)單.綜合評價(jià)部分會(huì)根據(jù)學(xué)生的各項(xiàng)目得分情況形成一張雷達(dá)圖，如圖13所示.整個(gè)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)迭代的層進(jìn)式的過程.

圖13 學(xué)生項(xiàng)目化學(xué)習(xí)綜合評價(jià)部分形成的雷達(dá)圖

六、學(xué)習(xí)反思：以跨學(xué)科走向意義整合

1.項(xiàng)目成效

在本次項(xiàng)目的成效中，通過分析研究對象，在數(shù)學(xué)表達(dá)式推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力；收集數(shù)據(jù)，計(jì)算模型，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；對模型的檢驗(yàn)與優(yōu)化過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力；整個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).經(jīng)歷此次項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的“四能”，達(dá)到“三會(huì)”的目的.

2.項(xiàng)目收獲

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷迭代的過程，學(xué)生在各個(gè)研究環(huán)節(jié)中都會(huì)遇到問題與挑戰(zhàn).項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的意義就在于每名學(xué)生都是一個(gè)“心智自由的學(xué)習(xí)者”，而發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的過程，就是幫助學(xué)生成長的腳手架.我們要引導(dǎo)學(xué)生從失敗中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，利用好“失敗資源”，為項(xiàng)目學(xué)習(xí)奠基，讓高階學(xué)習(xí)發(fā)生.

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)有別于傳統(tǒng)的教學(xué)，打破了教師固有的學(xué)科本位，改變了由教師設(shè)計(jì)到實(shí)施的教學(xué)模式.項(xiàng)目化學(xué)習(xí)應(yīng)給予學(xué)生可選擇的空間，同時(shí)更具有包容性，盡可能提供多元的學(xué)習(xí)實(shí)踐，以滿足學(xué)生的多元需求.教師在項(xiàng)目設(shè)計(jì)過程中可通過支架與工具的搭建，支持各項(xiàng)目的完成，如資源型支架、交流型支架、活動(dòng)型支架等.

3.項(xiàng)目反思

在數(shù)學(xué)課堂中，開展項(xiàng)目化學(xué)習(xí)雖然有困難，但我們可以去做一些有意義的嘗試，讓學(xué)生在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，在以項(xiàng)目化為載體的教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、靈動(dòng)性，形成可遷移的思維方式，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，讓每個(gè)孩子成為心智自由的學(xué)習(xí)者.

七、課例點(diǎn)評

“體育運(yùn)動(dòng)與心率”是一節(jié)綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的項(xiàng)目學(xué)習(xí)課題，極具挑戰(zhàn)性與研究價(jià)值.本課例結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理，有完整的實(shí)施過程，清晰的探求思路，體現(xiàn)了項(xiàng)目學(xué)習(xí)的基本樣態(tài)與跨學(xué)科研究新視角.

1.基于生活情境，建立項(xiàng)目研究方向

本項(xiàng)目以“怎樣運(yùn)動(dòng)更健康、有效”為驅(qū)動(dòng)性問題，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注民生健康問題，并從現(xiàn)實(shí)的角度思考和提出問題：體育運(yùn)動(dòng)與心率存在什么關(guān)系？以此為總項(xiàng)目，分化出幾個(gè)子項(xiàng)目，以目標(biāo)任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式引領(lǐng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法，經(jīng)歷制訂問題解決方案并解決問題的過程，從而解釋核心問題.

2.基于學(xué)生綜合素養(yǎng)，借助所學(xué)探究未知

本課例充分體現(xiàn)了項(xiàng)目學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)教學(xué)存在不同，即過程的體驗(yàn)性和探究的復(fù)雜性.學(xué)生已具備函數(shù)知識、統(tǒng)計(jì)知識，具有一定的邏輯推理能力，以及STEAM項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在項(xiàng)目實(shí)施過程中，教師挖掘?qū)W生潛力，鼓勵(lì)學(xué)生合作探究、大膽質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新，合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過豐富的學(xué)習(xí)資源探尋不同視角，多維度思考，進(jìn)而探究得到體育運(yùn)動(dòng)與無氧閾心率的關(guān)系，真正體會(huì)用數(shù)學(xué)的方法發(fā)現(xiàn)生活規(guī)律的樂趣，培養(yǎng)創(chuàng)新思維與實(shí)踐能力.

3.基于未來發(fā)展需求，完善科學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生能夠自主完成簡單實(shí)際問題的建模，應(yīng)用較為簡單，這并未凸顯出函數(shù)的強(qiáng)大功能.本項(xiàng)目抓住了體育運(yùn)動(dòng)與心率的復(fù)雜情境、多變量之間的依賴關(guān)系，將“定性分析，選擇模型”“數(shù)據(jù)收集，求解模型”“檢驗(yàn)優(yōu)化，應(yīng)用模型”“歸納總結(jié)，反思凝練”等標(biāo)準(zhǔn)化項(xiàng)目實(shí)施流程有機(jī)地嵌入其中，體現(xiàn)了“函數(shù)”主題項(xiàng)目學(xué)習(xí)的一般路徑和基本方法.通過對問題的系統(tǒng)探究，科學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，檢驗(yàn)優(yōu)化應(yīng)用模型，開發(fā)的項(xiàng)目產(chǎn)品服務(wù)于生活，凸顯了項(xiàng)目研究的系統(tǒng)思維.

項(xiàng)目學(xué)習(xí)對教師的“專業(yè)知識是否可以駕馭引領(lǐng)科學(xué)探究”提出了新挑戰(zhàn).而優(yōu)質(zhì)項(xiàng)目的開發(fā)，項(xiàng)目學(xué)習(xí)路徑的優(yōu)化，激勵(lì)著教師在專業(yè)領(lǐng)域不斷學(xué)習(xí)，只有教師做到“知行合一”“高位審視”，才能引領(lǐng)學(xué)生行穩(wěn)致遠(yuǎn).