意蘊(yùn)悠長(zhǎng) 自然流暢
——對(duì)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”一課的品賞與評(píng)析

鄭 瑄

（浙江省寧波市江北區(qū)教育局教研室）

張曉鵬老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）在“第十二屆初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)”（以下簡(jiǎn)稱“展示活動(dòng)”）中，為全國(guó)同仁們呈現(xiàn)了“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”一課的教學(xué)及陳述分享，令筆者印象深刻，并且由此生發(fā)了有關(guān)教育教學(xué)的諸多思考.本文表達(dá)的正是筆者對(duì)這一教學(xué)展示課的欣賞與品析、感悟與感動(dòng)，期盼得到思想的碰撞與謬誤的指正.

一、教學(xué)理解

1.教材解讀

“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）九年級(jí)上冊(cè)第21章第2.4節(jié)的內(nèi)容.該內(nèi)容作為選學(xué)內(nèi)容，不作為考試要求.各個(gè)版本初中數(shù)學(xué)教材對(duì)此內(nèi)容的呈現(xiàn)方式略有不同，如表1所示.

表1 各版本教材中一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系編排對(duì)比分析表

續(xù)表

對(duì)于“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”一課，以上版本教材中的相同之處為：大多安排在“一元二次方程”一章的章末；證明方法基本上采用求根公式法.

不同之處為：導(dǎo)入的方式各有千秋；例題及習(xí)題的編排位置等大同小異.

特別關(guān)注：人教版《〈義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)〉教師教學(xué)用書》教材教師教學(xué)用書中有如下建議，雖然“21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”是選學(xué)內(nèi)容，但從一元二次方程理論的完整性、初高中知識(shí)銜接等角度考慮，本節(jié)內(nèi)容都是需要學(xué)生學(xué)習(xí)的.因此，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地完成本節(jié)內(nèi)容的教學(xué).

2.課程標(biāo)準(zhǔn)分析

早年，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系作為必學(xué)內(nèi)容在教材中呈現(xiàn).后來(lái)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將這部分內(nèi)容作為選學(xué)內(nèi)容，打上“*”，不作為考試要求.

現(xiàn)在，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在這塊內(nèi)容的處理上有所回歸，調(diào)整為必學(xué)內(nèi)容.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此內(nèi)容的要求為：了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.學(xué)生要能利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，要關(guān)注基于代數(shù)的邏輯推理，如根與系數(shù)的關(guān)系的論證.

特別指出，本節(jié)課——一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，也正是本次展示活動(dòng)8個(gè)指定課題之一.展示活動(dòng)對(duì)這一指定課題的要求如下.

內(nèi)容與要求：知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能通過(guò)系數(shù)表述方程的根，能用方程的根表示系數(shù).

教學(xué)提示：了解一元二次方程一般表達(dá)式ax2+bx+c=0（a≠0）的關(guān)鍵是用字母表示方程的系數(shù)，可以寫出方程根的一般表達(dá)式；知道這樣的表達(dá)是算術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的關(guān)鍵步驟.要在一般觀念的引領(lǐng)下引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出研究方程的根與系數(shù)關(guān)系的問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行一般性推理得出根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）的猜想，并能通過(guò)代數(shù)推理論證給出證明，在此過(guò)程中感悟符號(hào)表達(dá)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，積累用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗(yàn).

3.教學(xué)思考

客觀地說(shuō)，對(duì)教學(xué)實(shí)施而言，由于之前一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是選學(xué)內(nèi)容，不作為考試要求，因此教師在教學(xué)中處理這塊知識(shí)內(nèi)容時(shí)存在著如下一些現(xiàn)象：有些教師將其作為閱讀材料，有些教師讓學(xué)生自學(xué)，有些教師甚至直接放棄教學(xué)，但也有些教師嚴(yán)格按照教材呈現(xiàn)的知識(shí)有序地進(jìn)行教學(xué)，還補(bǔ)充一些利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的知識(shí)解決一些經(jīng)典習(xí)題，等等.

對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，教師可以思考以下問(wèn)題：

（1）教，還是不教？

（2）教，教到何種程度？

（3）教學(xué)目標(biāo)如何定位？重點(diǎn)、難點(diǎn)究竟何在？

進(jìn)而引發(fā)如下更深層次的思考：

（4）何以想到要去發(fā)現(xiàn)和探究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系？（來(lái)自逆向思維的啟示：譬如乘法公式與因式分解、幾何圖形的性質(zhì)與判定等，抑或其他？）

（5）為何確定兩根之和與兩根之積為研究對(duì)象？

（而非兩根之差與兩根之商？）

（6）研究方法、證明思路從何而來(lái)？每一種證明其合理性何在？（來(lái)自數(shù)學(xué)歷史文化進(jìn)程相似性的類比.）

（7）方程的根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)形式嗎？（來(lái)自培養(yǎng)研究意識(shí)、研究方法、研究能力的目標(biāo)啟思.）

事實(shí)上，在平常的教學(xué)中，盡管這是一節(jié)選學(xué)內(nèi)容，但還是有許多教師對(duì)這節(jié)課感興趣，對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行深入地思考、實(shí)踐和研究，并且為其撰文、發(fā)表觀點(diǎn).為什么？以筆者的理解，這是一節(jié)以數(shù)學(xué)探究為載體，幾乎經(jīng)歷了探究全過(guò)程（感覺—提問(wèn)—觀察—猜想—發(fā)現(xiàn)—?dú)w納—驗(yàn)證—推理—結(jié)論）的一節(jié)課，還有什么比探索新知、發(fā)現(xiàn)新奇、收獲新得更令人癡迷而向往的呢？執(zhí)教教師正是對(duì)于本節(jié)課秉持十分審慎而認(rèn)真的態(tài)度，以專業(yè)的學(xué)術(shù)精神來(lái)對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行詮釋.

二、亮點(diǎn)賞析

可以用明快的詞語(yǔ)概括本節(jié)課：意蘊(yùn)悠長(zhǎng)，自然流暢.

意蘊(yùn)悠長(zhǎng)：悠，表達(dá)著時(shí)間；而長(zhǎng)，表達(dá)著空間.本節(jié)課中蘊(yùn)含著悠長(zhǎng)的數(shù)學(xué)歷史文化，又彰顯著數(shù)學(xué)探究過(guò)程充滿理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

自然流暢：理解數(shù)學(xué)——順應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科教育教學(xué)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律；理解學(xué)生——順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的生長(zhǎng)、成長(zhǎng)、發(fā)展規(guī)律，在這雙重信念的追求之下架起理解教學(xué)的橋梁，讓數(shù)學(xué)教育教學(xué)自然生發(fā)，靜水深流.

通常來(lái)說(shuō)，對(duì)于“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)，最便捷的教學(xué)方法是快速找到一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，然后以較多的時(shí)間來(lái)進(jìn)行形成性、鞏固性、拓展性的練習(xí)和強(qiáng)化訓(xùn)練.而“引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出研究方程根與系數(shù)關(guān)系的問(wèn)題”（即來(lái)自指定課題的教學(xué)建議），這一知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程恰恰會(huì)被忽視和輕視.忽視，即無(wú)意識(shí)；輕視，導(dǎo)致重點(diǎn)轉(zhuǎn)移.

在此環(huán)節(jié)，從諸多公開課及文章文獻(xiàn)中可以看出廣大同仁的行動(dòng)和作為.例如，給定一些一元二次方程，計(jì)算兩根之和與兩根之積以發(fā)現(xiàn)規(guī)律；為了追求數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，計(jì)算兩根的和、差、積、商，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律；已知一元二次方程，計(jì)算關(guān)于其兩根的對(duì)稱代數(shù)式；利用求根公式直接計(jì)算兩根之和與兩根之積；因式分解觀察法；設(shè)而不求法；等等.

所有的種種努力都希冀探索、發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，方法各有千秋，背后都有其數(shù)學(xué)思考和歷史淵源.例如，韋達(dá)、拉克洛瓦的設(shè)而不求；歐拉的因式分解，19世紀(jì)以來(lái)教材中的求根公式法.

本節(jié)課中，執(zhí)教教師的教學(xué)思考與設(shè)計(jì)非常令筆者欣賞.具體體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

1.引人入勝的問(wèn)題提出

問(wèn)題情境：已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是一元二次方程x2-1 234x+5 678=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求這個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積.

教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)為用學(xué)過(guò)的方法解這個(gè)方程會(huì)很麻煩，于是思考是否還有其他方法，不解方程是否能快速求出矩形的周長(zhǎng)和面積，即求方程的兩根之和與兩根之積.

盡管這個(gè)方程本身有些許不自然的人為痕跡，但是它引發(fā)了學(xué)生的思考，不動(dòng)聲色地指向了今天的課題，即兩根之和、兩根之積與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系.這樣的行為避免了教師的主觀和指令，而且它還有良好的數(shù)學(xué)歷史文化意蘊(yùn).

古巴比倫泥板書上出現(xiàn)了歷史上第一批一元二次方程，其中一個(gè)問(wèn)題為：一塊矩形田地面積為55，長(zhǎng)邊比短邊多6，問(wèn)長(zhǎng)邊多長(zhǎng)？后續(xù)，有教師將其改編為“已知矩形的周長(zhǎng)與面積，求長(zhǎng)和寬”的問(wèn)題；而今，執(zhí)教教師在教學(xué)中又賦予其新的生命力和生長(zhǎng)力.如何自然而科學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生擁有探究意識(shí)、找準(zhǔn)研究方向的重中之重.

2.耐人尋味的過(guò)程探究

正因?yàn)閱?wèn)題提出得自然合理，所以使得探究活動(dòng)1及探究活動(dòng)2的填表、觀察、猜想各司其職，使表格目標(biāo)明確，使觀察一目了然，使猜想接近真相.

探究的過(guò)程，是逐步走近真理的過(guò)程，更是數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的過(guò)程.本節(jié)課中，如下幾個(gè)細(xì)節(jié)較為出色.

其一，執(zhí)教教師的整個(gè)探究過(guò)程的設(shè)計(jì)邏輯清晰、框架合理、設(shè)計(jì)精妙、脈絡(luò)自然，給予學(xué)生以數(shù)學(xué)研究途徑與方法的指引，并且使得數(shù)學(xué)探究的思維可視化，還為學(xué)生在今后其他知識(shí)內(nèi)容的探究甚至其他領(lǐng)域的探究提供了可供遷移的素材.

其二，執(zhí)教教師在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、領(lǐng)略各種證明方法（因式分解法、求根公式法）的探究過(guò)程中，不僅開闊了學(xué)生的視野，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行一般性推理的能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)推理能力.對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的歸納，也同樣自然而為——從二次項(xiàng)系數(shù)為1到不為1所彰顯的從特殊到一般思想，以及系數(shù)不為1時(shí)各種推導(dǎo)方法之間的轉(zhuǎn)化思想，均在教學(xué)中自然而然地生成.

其三，也是令筆者最為感動(dòng)的——師生互動(dòng).教師的詢問(wèn)與學(xué)生的呼應(yīng)很精彩.我們依稀看見執(zhí)教教師正帶領(lǐng)學(xué)生一步一步地走向科學(xué)之路.同時(shí)，執(zhí)教教師十分注重細(xì)節(jié)的處理.

例如，如下對(duì)話.

師：對(duì)于分子，你是怎么處理的？

生：可以運(yùn)用平方差公式.

師：能直接除嗎？

生：能直接除，因?yàn)閍≠0.

驀然聯(lián)想到蘇軾在《文說(shuō)》中有言：吾文如萬(wàn)斛泉源，不擇地而出，在平地滔滔汩汩，雖一日千里無(wú)難.及其與山石曲折、隨物賦形而不可知也.其中，隨物賦形，是否可以這樣理解——水遇到平地，是緩緩而流；遇到阻隔，則婉轉(zhuǎn)環(huán)繞；遇到陡峭之處，疾瀉而下；遇到沙土腐葉，浸潤(rùn)其中.所謂“以生為本”是也.

三、教育省思

本節(jié)課中有一個(gè)細(xì)節(jié)發(fā)人深省.教學(xué)片斷如下.

師：請(qǐng)編寫一個(gè)方程，來(lái)驗(yàn)證剛才的猜想對(duì)不對(duì)？

生1：2x2+3x+9=0.

師：找一個(gè)更簡(jiǎn)單的二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程.

生1：x2+2x+3=0.

……

其實(shí)這個(gè)細(xì)節(jié)值得關(guān)注.學(xué)生列舉的兩個(gè)方程，其實(shí)它們的根的判別式都小于0，這很有價(jià)值.在本節(jié)課中，有三次涉及判別式Δ：一次是在開課伊始回顧求根公式時(shí)；一次是在典例示范時(shí)直接給出；還有一次是在最后小結(jié)時(shí)用一句話提點(diǎn)，但稍有飄忽.教師在此處是否可以有所設(shè)疑？有所留白？因?yàn)楫?dāng)Δ＜0時(shí)，兩根之和與兩根之積確實(shí)可以由計(jì)算得到，但仔細(xì)考量，在初中階段，兩根之和與兩根之積并無(wú)意義.而在更大的數(shù)域范圍內(nèi)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系仍然成立.況且本節(jié)課所說(shuō)的根與系數(shù)的關(guān)系僅僅只是韋達(dá)定理的一種特殊情況，它有更為廣闊的天地.

圣·埃克蘇佩里撰寫的《小王子》一書中有這樣一段話：如果你要造船，不要招攬人來(lái)搬木柴，不要給人指派任務(wù)和工作，而是要教他們?nèi)タ释菑V袤的大海.

而設(shè)疑和留白，也許會(huì)激發(fā)更為深遠(yuǎn)的好奇之心、探究之意和品賞之樂(lè)！

四、結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課中，執(zhí)教教師立于本源之地，在一般觀念的引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出研究方程的根與系數(shù)關(guān)系的問(wèn)題，并通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、推理、歸納以經(jīng)歷探究的全過(guò)程，最終使學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)，更多的是數(shù)學(xué)研究意識(shí)、研究方法和研究能力.而由此引發(fā)的數(shù)學(xué)探究的態(tài)度和精神，必將超越知識(shí)的存在而根植于學(xué)生的心中，此乃數(shù)學(xué)獨(dú)特的育人價(jià)值和希望所在.這樣的課例展示具有啟發(fā)與示范作用.而本文品賞與評(píng)析的要義也正基于此.

為期兩天半的展示活動(dòng)是全國(guó)初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研討的盛會(huì).于筆者而言，觀摩與學(xué)習(xí)的同時(shí)，更增添了檢審與省思，進(jìn)一步引發(fā)了我們數(shù)學(xué)教師的哲學(xué)思考：數(shù)學(xué)教育教學(xué)究竟要帶給學(xué)生什么？

為人師者，立德樹人；數(shù)學(xué)教育，任重而道遠(yuǎn).