“問”中見立意
——對“多邊形的內(nèi)角和”一課的簡析

林祥華

（福建省廈門市教育科學(xué)研究院）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中對“多邊形的內(nèi)角和”內(nèi)容目標(biāo)的表述是：探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.其中，“探索”是描述過程目標(biāo)的行為動詞.《標(biāo)準(zhǔn)》中給出的“探索”的含義是：獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別與聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識.

因此，對于“多邊形的內(nèi)角和”一課的教學(xué)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多邊形內(nèi)角和公式的形成過程，從而使學(xué)生理解該公式的來龍去脈，感悟過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷過程的重要載體是能力素養(yǎng)立意的、能引發(fā)學(xué)生深度思考的問題.

對于“多邊形的內(nèi)角和”一課，張璇老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）設(shè)計的問題具有顯著的亮點(diǎn).

一、亮點(diǎn)

1.教學(xué)片斷展示

以探索多邊形內(nèi)角和公式的過程為例，執(zhí)教教師提出的問題與學(xué)生的部分反饋如下.（記錄來自課堂教學(xué)視頻.）

問題1：三角形是最簡單的多邊形，我們是從哪些方面研究三角形的性質(zhì)的？

學(xué)生反饋：研究三角形的邊、角，以及高線、中線、角平分線等特殊線段.

問題2：三角形的內(nèi)角和是180°，且不會隨著三角形的大小和形狀發(fā)生改變，始終是一個定值.那么任意多邊形的內(nèi)角和是多少？它有什么規(guī)律？

追問：多邊形有無數(shù)種，你打算怎么研究呢？

生1：我先想到四邊形，在四邊形中較為特殊的是正方形和長方形，其內(nèi)角和都是360°.

問題3：任意四邊形的內(nèi)角和是多少呢？為什么？

學(xué)生經(jīng)過小組合作交流，分別有如下反饋.

生2展示方法1：如圖1，連接一條對角線，將四邊形分割成兩個三角形.

圖1

追問：還有其他方法嗎？

生3展示方法2：如圖2，連接兩條對角線，交于點(diǎn)P，將四邊形分割成四個三角形.

圖2

生4展示方法3：方法2中的點(diǎn)P可以是四邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，如圖3所示，分別連接四邊形內(nèi)一點(diǎn)P與各頂點(diǎn).

圖3

生5展示方法4：如圖4，將點(diǎn)P移到四邊形的一條邊上，分別連接點(diǎn)P與四邊形的另兩個頂點(diǎn).

圖4

生6展示方法5：如圖5，將點(diǎn)P移到四邊形外，分別連接點(diǎn)P與四邊形的各頂點(diǎn).

圖5

問題4：以上幾種方法有什么相同之處？

學(xué)生反饋：這幾種方法都是把四邊形分成三角形，利用三角形的內(nèi)角和計算四邊形的內(nèi)角和.

教師提示：這些三角形都至少有一個公共頂點(diǎn).

問題5：這幾種方法有什么不同之處？

學(xué)生反饋：三角形公共頂點(diǎn)的位置不同；分出的三角形的內(nèi)角和與四邊形的內(nèi)角和的關(guān)系不一樣.

追問：方法1中的點(diǎn)P在什么位置？

學(xué)生反饋：在四邊形的頂點(diǎn)處.

問題6：四邊形是特殊的多邊形，能不能沿用四邊形的研究經(jīng)驗來研究多邊形的內(nèi)角和呢？

經(jīng)過小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生分別展示了以探索四邊形內(nèi)角和的方法1和方法3得到五邊形、六邊形的內(nèi)角和，并將相應(yīng)的方法直接應(yīng)用于n邊形.

生7展示新的方法：在五邊形中連接一條對角線，將五邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為一個四邊形的內(nèi)角和與一個三角形的內(nèi)角和之和，再以同樣的方法得到六邊形的內(nèi)角和，但不能直接應(yīng)用該方法得到n邊形的內(nèi)角和.

追問1：能不能結(jié)合生7的研究思路幫他想想辦法？

追問2：我們是否可以從“數(shù)”的角度看看有什么規(guī)律？

追問3：（從“數(shù)”的規(guī)律得到的）結(jié)論與其他方法得到的結(jié)論一致嗎？

問題7：這三種方法有什么相同之處？

問題8：這幾種方法各有什么特點(diǎn)？

問題9：大家的作法當(dāng)中沒有將公共頂點(diǎn)選取在邊上或者形外的作法，為什么？

學(xué)生反饋：用其他方法探究n邊形的內(nèi)角和比較復(fù)雜.

問題10：關(guān)于n，有什么要求？

問題11：對于n邊形內(nèi)角和公式，你還有哪些思考與發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生反饋：每增加一條邊，內(nèi)角和增加180°；知道內(nèi)角和就知道邊數(shù)，相反，知道邊數(shù)就知道內(nèi)角和，邊數(shù)和內(nèi)角和是相互確定的；多邊形的內(nèi)角和是關(guān)于多邊形的邊數(shù)的一次函數(shù)；多邊形的邊數(shù)確定，內(nèi)角和也隨之確定，且不隨多邊形的形狀、大小而改變.

2.亮點(diǎn)分析

品味上述11個問題及其追問，不難發(fā)現(xiàn)如下亮點(diǎn).

（1）邏輯性強(qiáng).

如表1，11個問題與知識形成過程中的不同環(huán)節(jié)相呼應(yīng).

表1 問題與各教學(xué)環(huán)節(jié)對應(yīng)表

本節(jié)課中，執(zhí)教教師所提的問題邏輯性強(qiáng)主要體現(xiàn)在以下兩個方面.

第一，同一環(huán)節(jié)內(nèi)部的問題層層遞進(jìn).例如，在環(huán)節(jié)1中，問題1將已學(xué)的三角形與多邊形建立聯(lián)系，通過追問，明確多邊形的研究思路；問題2基于聯(lián)系明確本節(jié)課的研究內(nèi)容——多邊形的內(nèi)角和；問題2的追問基于聯(lián)系，明確多邊形內(nèi)角和的研究方法，即從簡單的四邊形到復(fù)雜的n邊形、從特殊的四邊形到一般四邊形.執(zhí)教教師通過提出層層遞進(jìn)、邏輯連貫的問題，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃多邊形內(nèi)角和的研究路徑.

第二，前后環(huán)節(jié)之間以問題自然銜接.例如，問題3將問題2中學(xué)生反饋的“正方形與長方形的內(nèi)角和都是360°”自然遷移到任意四邊形；問題6將環(huán)節(jié)2中對四邊形內(nèi)角和的研究結(jié)論和研究方法自然遷移到多邊形.

問題之間的邏輯性體現(xiàn)了執(zhí)教教師對知識的邏輯、學(xué)生認(rèn)知的邏輯、思維的邏輯的深刻理解，也體現(xiàn)了課堂上對學(xué)生反饋的即時領(lǐng)會和反應(yīng)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有向有序、條理明晰、過渡流暢、自然連貫，這對學(xué)生今后獨(dú)立進(jìn)行有邏輯的認(rèn)知和研究起到了很強(qiáng)的示范作用.

（2）思維含量高.

本節(jié)課中，執(zhí)教教師所提的問題不是“是不是？”“好不好？”等只需要學(xué)生簡單判斷的問題，而是“是什么？”“如何？”“為什么？”等指向綜合、分析、評價、創(chuàng)造的高階思維問題.

例如，問題2的追問要求學(xué)生自主思考、規(guī)劃探究多邊形內(nèi)角和的方法與路徑；問題4和問題5要求學(xué)生回顧反思，理解、感悟探究四邊形內(nèi)角和方法的本質(zhì)；問題11要求學(xué)生從不同角度深刻理解多邊形內(nèi)角和公式中量之間的關(guān)系.

這些問題的思維含量高，對學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性，執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生在其最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行深度思考，使數(shù)學(xué)活動的過程真正發(fā)揮發(fā)展思維、發(fā)展能力素養(yǎng)的價值.

（3）恰時恰點(diǎn).

顯然，執(zhí)教教師的設(shè)問抓住了多邊形內(nèi)角和公式的研究路徑、研究方法及其本質(zhì)等重點(diǎn)和難點(diǎn).更難得的是，善于捕捉學(xué)生課堂生成中的思維點(diǎn)進(jìn)行追問.

例如，在環(huán)節(jié)3，生7展示了新的方法，但在推廣到n邊形時遇到困難，執(zhí)教教師以追問2引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度探求規(guī)律，感受數(shù)形結(jié)合思想，以追問3引導(dǎo)學(xué)生用已有的結(jié)論驗證新方法的合理性，進(jìn)一步感受不同方法之間的本質(zhì)聯(lián)系.

又如，課堂上學(xué)生沒有選擇探索四邊形內(nèi)角和的方法3、方法4和方法5，執(zhí)教教師不失時機(jī)地提出問題9，引導(dǎo)學(xué)生對不同方法進(jìn)行評價與選擇.

這些追問充分挖掘了課堂生成中潛藏的發(fā)展學(xué)生思維的育人價值，是數(shù)學(xué)課堂中非常寶貴的資源.

（4）體現(xiàn)發(fā)展性.

執(zhí)教教師提出的問題不僅僅著眼于本節(jié)課的知識，還關(guān)注學(xué)生后續(xù)的獨(dú)立思考和學(xué)習(xí).本節(jié)課中，教師所提的問題具有較強(qiáng)的發(fā)展性，主要體現(xiàn)在如下幾個方面.

第一，關(guān)注知識與方法的整體連貫.例如，問題2的追問，要求學(xué)生基于過去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗規(guī)劃多邊形的研究路徑，從而更深刻地感受幾何圖形研究方法和研究路徑的連貫、一致，有利于培養(yǎng)學(xué)生基于數(shù)學(xué)知識的整體性自主發(fā)現(xiàn)和探求新知.

第二，關(guān)注學(xué)法的指導(dǎo)與遷移.例如，通過問題4和問題5培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會回顧反思，通過比較、分析不同方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，理解方法的本質(zhì)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理性認(rèn)識.又如，通過問題11培養(yǎng)學(xué)生多角度觀察、理解所學(xué)知識的意識與習(xí)慣.

當(dāng)然，從發(fā)展性的角度考慮，個別問題的思維空間還可以更大一些.

例如，將問題1設(shè)為“我們學(xué)習(xí)過什么樣的多邊形？我們是從哪些方面研究它的性質(zhì)的？”，使學(xué)生主動從已有的知識經(jīng)驗中尋找聯(lián)系、建立聯(lián)系.

又如，將問題3設(shè)為“同學(xué)們想到正方形、長方形的內(nèi)角和都是360°，那么大家會提出什么樣的猜想呢？”，讓學(xué)生基于特殊與一般的思想，自己提出猜想.

再如，將問題7和問題8設(shè)為“同學(xué)們展示了探索多邊形內(nèi)角和的三種方法，接下來，我們該做什么呢？”，引導(dǎo)學(xué)生主動遷移問題4和問題5中滲透的學(xué)法.

教師的提示少了，學(xué)生思維的空間就會更大，有助于發(fā)展學(xué)生積極主動、富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思考.

總的來說，這11個問題及追問，簡潔有力，反映了執(zhí)教教師具備較高的設(shè)問立意、較強(qiáng)的問題設(shè)計能力和課堂應(yīng)變能力，這對于發(fā)展學(xué)生的能力素養(yǎng)意義深遠(yuǎn).從課堂上邏輯清晰、不乏深刻的學(xué)生反饋可見一斑.

二、建議

多邊形內(nèi)角和的研究建立在四邊形基礎(chǔ)上，因此環(huán)節(jié)2是本節(jié)課的重點(diǎn).而該環(huán)節(jié)對學(xué)生來說有兩個難點(diǎn)：如何想到點(diǎn)P可以是四邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)？如何想到點(diǎn)P可以在四邊形外？

之所以對學(xué)生來說是難點(diǎn)，是因為學(xué)生需要突破已有思維經(jīng)驗的局限.但這兩個難點(diǎn)中也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維策略、思想方法，有較豐富的育人價值.

課堂上，生4和生6直接給出自己的方法，而多數(shù)對這兩個難點(diǎn)存在困惑的學(xué)生沒有機(jī)會領(lǐng)會其中的思維策略和思想方法，頗有些遺憾.

筆者認(rèn)為，教師可以用以下兩種方式進(jìn)行處理.

第一，在回顧反思時設(shè)問.在問題4后追問“所分割成的三角形有什么共同特點(diǎn)？”以引導(dǎo)學(xué)生從圖形的基本元素進(jìn)行觀察、比較，發(fā)現(xiàn)這些三角形都有一邊分別是四邊形的邊，進(jìn)而關(guān)注三角形中該邊所對的頂點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它們是同一個點(diǎn)，使學(xué)生不僅感受到這樣的分割方法可以將三角形內(nèi)角和與四邊形內(nèi)角和建立直接聯(lián)系，還有助于學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注到這個點(diǎn)的位置可以不同.

在問題5后追問“不同方法中，三角形頂點(diǎn)的位置可以分為幾類？”以引導(dǎo)學(xué)生在分類過程中感受點(diǎn)在形內(nèi)、形上、形外這三種情況所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯上的“自然”，感受基于運(yùn)動觀念看圖形的位置（關(guān)系），這樣的思維經(jīng)驗對于學(xué)生將來進(jìn)行獨(dú)立、系統(tǒng)的理性思考很有幫助.

第二，在學(xué)生展示反饋時追問.在學(xué)生給出結(jié)論時，教師可以追問“你是怎么想到的？”再結(jié)合學(xué)生的回答對其中隱含的思維策略和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行揭示.

事實上，小組合作是課堂上常用的一種學(xué)習(xí)方式，但同時容易出現(xiàn)“替代思維”的現(xiàn)象.也就是，思維水平高的學(xué)生直接給出答案，解決了難點(diǎn)，而其他學(xué)習(xí)相對有困難的學(xué)生只聽到了結(jié)論，失去思考、感悟的機(jī)會.

若教師在這些難點(diǎn)上進(jìn)行追問和揭示，引導(dǎo)學(xué)生“究其理，悟其道”，是否會更有利于學(xué)生思維的發(fā)展，也更能使學(xué)生體會到設(shè)問的立意？

三、結(jié)束語

綜觀本節(jié)課，執(zhí)教教師不僅在問題設(shè)計上下了很多功夫，對情境的應(yīng)用也令人眼前一亮.

本節(jié)課不僅引入了宇航員的座椅和杯墊、蜻蜓的翅膀、鉆石的切割面、蜂巢等實際情境，還簡單介紹了有關(guān)多邊形內(nèi)角和的數(shù)學(xué)文化，既讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)的文化與價值，也滲透了核心價值觀，發(fā)揮了情境的德育功能.重要的是，這些情境非常自然地融合于課堂，且教師介紹情境時語言真誠、富有感染力，使得情境雖多，卻沒有給人生硬堆砌、牽強(qiáng)附會之感，這一點(diǎn)頗值得借鑒和學(xué)習(xí).

總之，本節(jié)課的問題設(shè)計精妙、課堂生成精彩，執(zhí)教教師教態(tài)清新自然，課堂氛圍充分體現(xiàn)了“情緒上的輕松投入，思維上的張弛有度”.從學(xué)生的問題反饋和課堂練習(xí)情況來看，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度較高，反映了執(zhí)教教師優(yōu)秀的教學(xué)素養(yǎng)，從而成就了一堂高質(zhì)量的好課.