加強(qiáng)代數(shù)推理 發(fā)展理性思維
——以“有理數(shù)的乘法（1）”的教學(xué)為例

陳世文，張宗余

（浙江師范大學(xué)附屬嘉善實(shí)驗(yàn)學(xué)校；浙江省教育廳教研室）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀與運(yùn)算能力.特別強(qiáng)調(diào)，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中要加強(qiáng)推理能力的培養(yǎng)，理解邏輯推理在形成數(shù)學(xué)概念、法則、定理和解決問題中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規(guī)則；對(duì)于一些簡(jiǎn)單問題，能通過特殊結(jié)果推斷一般結(jié)論；感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣.如何在代數(shù)教學(xué)中，尤其是運(yùn)算法則教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，發(fā)展理性思維，是我們需要實(shí)踐與思考的一個(gè)話題.下面以“有理數(shù)的乘法（1）”的教學(xué)為例進(jìn)行說明.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“有理數(shù)的乘法（1）”選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第2章“有理數(shù)的運(yùn)算”的第3節(jié)，是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)充后學(xué)習(xí)的又一種運(yùn)算.前面學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減運(yùn)算，經(jīng)歷了“從生活實(shí)例抽象—從數(shù)學(xué)角度推理—抽象歸納法則”這一學(xué)習(xí)過程，積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).但在有理數(shù)的乘法運(yùn)算中，生活中很少有學(xué)生容易理解的兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的實(shí)例，其發(fā)現(xiàn)、推理的過程比較復(fù)雜、抽象，需要經(jīng)歷從“生活—數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)—數(shù)學(xué)”的二次抽象，以及“數(shù)”與“形”的多角度推理表征.因此，這對(duì)學(xué)生來說是難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的抽象能力、推理能力等提出了較高的要求.但這也是發(fā)展學(xué)生的抽象能力、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體.

二、制訂素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教學(xué)目標(biāo)的確定要充分考慮核心素養(yǎng)在教學(xué)中的達(dá)成.每一個(gè)特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容都具有培養(yǎng)相關(guān)核心素養(yǎng)的作用，要注重建立具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)，在制訂教學(xué)目標(biāo)時(shí)將核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)體現(xiàn)在教學(xué)要求中，要處理好核心素養(yǎng)與“四基”“四能”的關(guān)系.基于以上理念和課程內(nèi)容，針對(duì)本節(jié)課，制訂如下素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo).

（1）掌握有理數(shù)的乘法法則，發(fā)展運(yùn)算能力與推理能力.

（2）經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)算式，通過對(duì)數(shù)學(xué)算式的關(guān)聯(lián)類比、抽象、推斷出一般結(jié)論與乘法法則的過程，發(fā)展抽象能力和推理能力.

（3）從“數(shù)”與“形”多角度探索“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”的代數(shù)推理，發(fā)展推理能力和幾何直觀.

（4）理解邏輯推理在形成數(shù)學(xué)法則和解決問題過程中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規(guī)則，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.情境引入，現(xiàn)實(shí)抽象

圖1中顯示的是位于三峽白鶴梁的用做水位測(cè)量標(biāo)志的線刻石魚.

圖1 三峽白鶴梁線刻石魚

（1）假設(shè)水位按每小時(shí)3厘米的速度上升，經(jīng)過2小時(shí)后水位上升多少？

（2）假設(shè)水位按每小時(shí)3厘米的速度下降，經(jīng)過2小時(shí)后水位下降多少？

師：若把水位上升記為正，水位下降記為負(fù)，由此你能得到怎樣的算式？

學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)可知：第（1）小題中，水位上升了6厘米，據(jù)此可得算式3×2=6；第（2）小題中，水位下降了6厘米，據(jù)此可得算式（-3）×2=-6.

追問：你還能列舉出生活中類似的實(shí)例并用數(shù)學(xué)算式來表示嗎？

學(xué)生繼續(xù)從“盈利、虧損”“進(jìn)貨、出貨”等生活實(shí)例中抽象出4×2=8，（-4）×2=-8，4×（-2）=-8和5×3=15，（-5）×3=-15，5×（-3）=-15等系列式子.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象.通過從生活實(shí)例中抽象出類似于3×2=6，（-3）×2=-6和3×（-2）=-6等式子，激活學(xué)生的思維，喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生自然地進(jìn)行認(rèn)知體系的再建構(gòu)、再擴(kuò)充，感受“正數(shù)×負(fù)數(shù)”和“負(fù)數(shù)×正數(shù)”的存在性與合理性.

2.探究緣由，嘗試推理

師：剛才我們從生活實(shí)例中抽象出了（-3）×2=-6和3×（-2）=-6，你能從數(shù)學(xué)角度解釋所列算式（-3）×2=-6，3×（-2）=-6的正確性嗎？

學(xué)生類比3×2=3+3=6或3×2=2+2+2=6，推理得出（-3）× 2=（-3）+（-3）=-6，3 ×（-2）=（-2）+（-2）+（-2）=-6.

【設(shè)計(jì)意圖】回歸乘法的意義，類比3×2=6，推理得到（-3）×2=-6和3×（-2）=-6，注重知識(shí)的類比推理，使學(xué)生初步感受代數(shù)推理的方法，形成理性思維和理性精神.

師：剛才同學(xué)們從“數(shù)”的角度解釋了（-3）×2=-6和3×（-2）=-6，你還能從“形”的角度解釋一下嗎？

學(xué)生類比3×2=3+3，是從原點(diǎn)出發(fā)向右移3個(gè)單位長度后，再移3個(gè)單位長度，那么（-3）×2就是從原點(diǎn)出發(fā)向左移3個(gè)單位長度后，再移3個(gè)單位長度，所以（-3）×2=-6，用數(shù)軸表示如圖2所示.同理，3×（-2）=-6就是從原點(diǎn)出發(fā)向左移3次2個(gè)單位長度，用數(shù)軸表示如圖3所示.

圖2 用數(shù)軸表示（-3）×2

圖3 用數(shù)軸表示3×（-2）

【設(shè)計(jì)意圖】從3×2=6出發(fā)，從“形”的角度繼續(xù)類比推理（-3）×2=-6和3×（-2）=-6，從“數(shù)”到“形”，在發(fā)展學(xué)生推理能力的同時(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步感受“正數(shù)×負(fù)數(shù)”和“負(fù)數(shù)×正數(shù)”運(yùn)算的合理性.

3.關(guān)聯(lián)類比，抽象結(jié)論

師：觀察前面抽象得到的三組算式，每組算式的后兩個(gè)算式與第一個(gè)算式的不同，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）3× 2=6，（-3）× 2=-6，3×（-2）=-6；

（2）4× 2=8，（-4）× 2=-8，4×（-2）=-8；

（3）5×3=15，（-5）×3=-15，5×（-3）=-15.

教師引導(dǎo)學(xué)生從因數(shù)和積的符號(hào)變化觀察思考，得出結(jié)論：兩個(gè)數(shù)相乘，當(dāng)改變其中一個(gè)數(shù)的符號(hào)時(shí)，其積就變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×正數(shù)”的符號(hào)運(yùn)算、形式推理，然后與“正數(shù)×正數(shù)”進(jìn)行關(guān)聯(lián)類比，從而抽象、推理出數(shù)學(xué)的一般結(jié)論和方法.在數(shù)學(xué)結(jié)論的抽象過程中發(fā)展學(xué)生的推理能力.

4.運(yùn)用結(jié)論，再次推理

師：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論計(jì)算下列式子，并說明理由.

（1）（-4）×（-2）= ______；

（2）（-5）×（-3）= ______.

學(xué)生運(yùn)用剛發(fā)現(xiàn)的結(jié)論“兩個(gè)數(shù)相乘，當(dāng)改變其中一個(gè)數(shù)的符號(hào)時(shí)，其積就變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)”，從（-4）×2=-8或4×（-2）=-8出發(fā)，推理說明（-4）×（-2）=8.同理，從（-5）×3=-15或5×（-3）=-15出發(fā)，推理說明（-5）×（-3）=15.

追問：你還能用其他的方法來計(jì)算（-4）×（-2）與（-5）×（-3）嗎？

因?yàn)椋?4）× 0=（-4）×（-2+2）=（-4）×（-2）+（-4）× 2，所以0=（-4）×（-2）+（-8）.所以（-4）×（-2）=8.同理，可推導(dǎo)出（-5）×（-3）的運(yùn)算結(jié)果.

【設(shè)計(jì)意圖】基于“正數(shù)×負(fù)數(shù)”或“負(fù)數(shù)×正數(shù)”的運(yùn)算結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“兩個(gè)數(shù)相乘，當(dāng)改變其中一個(gè)數(shù)的符號(hào)時(shí)，其積就變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)”和“數(shù)系擴(kuò)充，保持原有的運(yùn)算律”，從多角度推理“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”的運(yùn)算結(jié)果，大力發(fā)展學(xué)生的推理能力，同時(shí)，使學(xué)生感受運(yùn)算的合理性與一致性.

師：你還能從“形”的角度解釋一下（-4）×（-2）=8和（-5）×（-3）=15嗎？

通過“正數(shù)×負(fù)數(shù)”和“負(fù)數(shù)×正數(shù)”的數(shù)軸表示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘上一個(gè)負(fù)號(hào)（改變其中一個(gè)數(shù)的符號(hào)），意味著將該數(shù)在數(shù)軸上所在的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了180°（數(shù)軸上的反向運(yùn)動(dòng)），那么（-4）×（-2）就是把（-4）×2繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，用數(shù)軸表示如圖4所示.同理，（-5）×（-3）就是把（-5）×3繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，用數(shù)軸表示如圖5所示.

圖4 用數(shù)軸表示（-4）×（-2）

圖5 用數(shù)軸表示（-5）×（-3）

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步類比“負(fù)數(shù)×正數(shù)”，從“形”的角度推理“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”的運(yùn)算結(jié)果.這樣，也與數(shù)系的再次擴(kuò)充及“形”的再表征緊密聯(lián)系起來了.之后隨著虛數(shù)單位i的加入，使原有的實(shí)數(shù)系更新至復(fù)數(shù)系，乘以虛數(shù)單位i，意味著旋轉(zhuǎn)90°，很好地體現(xiàn)了運(yùn)算的一致性和思維方法的連貫性.

5.法則抽象，嘗試運(yùn)用

練習(xí)1：根據(jù)前面的推理，試寫出下列各算式的結(jié)果.

（1）3×7= ______；

（2）（-3）× 7= ______；

（3）3×（-7）= ______；

（4）（-3）×（-7）= _____；

（5）（-4）× 5= ______；

（6）（-4）×（-5）= _____；

（7）0×7= ______；

（8）0×（-7）= ______.

師：觀察上述算式，你認(rèn)為兩個(gè)數(shù)相乘，積的符號(hào)與這兩個(gè)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？積的絕對(duì)值呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過計(jì)算“正數(shù)×正數(shù)”“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×正數(shù)”“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”“0×正數(shù)”“0×負(fù)數(shù)”等，整體建構(gòu)有理數(shù)的乘法運(yùn)算，從而自然歸納、抽象出乘法法則.

練習(xí)2：用“＞”“＜”或“=”填空.

（1）（-3）+（-4）______0；

（2）（-3）×（-4）______0；

（3） 3×4 _____0；

（4）（-3）+（+4）______0；

（5）（-3）×（+4）______0；

（6）（-3）× 0 ____0.

練習(xí)3：計(jì)算下列各式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過有理數(shù)的乘法和加法運(yùn)算的關(guān)聯(lián)類比、運(yùn)用辨析，使學(xué)生感受有理數(shù)的乘法法則與加法法則的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，進(jìn)一步熟悉、內(nèi)化法則.同時(shí)，在運(yùn)算過程中要求體現(xiàn)法則、說明算理，在發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的同時(shí)進(jìn)一步培養(yǎng)其理性思維.

四、對(duì)加強(qiáng)代數(shù)推理路徑的思考

在傳統(tǒng)的認(rèn)識(shí)中，人們往往忽視“數(shù)與代數(shù)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的作用和價(jià)值，常常把培養(yǎng)推理能力的任務(wù)交給幾何.事實(shí)上，幾何證明中的演繹推理，并不是數(shù)學(xué)推理的全部，代數(shù)中也需要推理.在初中數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的教學(xué)中，教師要充分認(rèn)識(shí)“數(shù)與代數(shù)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的作用與價(jià)值，尋找和發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的途徑.在運(yùn)算法則的發(fā)現(xiàn)、探究過程與運(yùn)用過程中融入推理能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.蘊(yùn)“理”于數(shù)學(xué)抽象，感悟推理之意

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象.通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型建構(gòu)等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.有理數(shù)乘法法則的探究過程，就是一個(gè)不斷從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題，再從數(shù)學(xué)問題到數(shù)學(xué)結(jié)論的抽象過程.例如，“情境引入，現(xiàn)實(shí)抽象”環(huán)節(jié)從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)學(xué)算式；“關(guān)聯(lián)類比，抽象結(jié)論”環(huán)節(jié)與練習(xí)1中，通過對(duì)數(shù)學(xué)算式的符號(hào)運(yùn)算、關(guān)聯(lián)類比、抽象出數(shù)學(xué)的一般結(jié)論和乘法法則，在這個(gè)過程中，學(xué)生不斷地通過特殊結(jié)果推斷一般結(jié)論，感受推理之意.

2.強(qiáng)“理”于法則推理，習(xí)得推理之術(shù)

在乘法法則的探究過程中加強(qiáng)代數(shù)推理，從回歸乘法本原，對(duì)“正數(shù)×負(fù)數(shù)”進(jìn)行推理，然后運(yùn)用“兩個(gè)數(shù)相乘，當(dāng)改變其中一個(gè)數(shù)的符號(hào)時(shí)，其積就變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)”對(duì)“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”進(jìn)行推理，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.數(shù)學(xué)史表明，幾何表征比代數(shù)表征早了1 800年，因此乘法法則的推理不只是體現(xiàn)在抽象的“數(shù)”方面，還可以呈現(xiàn)在直觀的“形”上面.例如，“探究緣由，嘗試推理”和“運(yùn)用結(jié)論，再次推理”環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合與相互轉(zhuǎn)換，升華了學(xué)生對(duì)代數(shù)推理的認(rèn)識(shí)，發(fā)展了幾何直觀，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)乘法法則的理解和代數(shù)推理能力的進(jìn)一步發(fā)展，習(xí)得推理之術(shù).

3.重“理”于法則運(yùn)用，夯實(shí)推理之基

運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.運(yùn)算本身是嚴(yán)格的演繹推理，能夠促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展，有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.運(yùn)算的每一步都是根據(jù)運(yùn)算律或運(yùn)算法則進(jìn)行的，在法則運(yùn)用過程中不僅要求學(xué)生會(huì)算，而且要明確每一步的依據(jù)是什么，即要知道算理，理解算法與算理之間的關(guān)系.例如，通過練習(xí)2和練習(xí)3，在運(yùn)用法則過程中強(qiáng)化算理，同時(shí)通過關(guān)聯(lián)、類比、辨析、拓展等，注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)法則的深度理解和整體建構(gòu)，在發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的同時(shí)促進(jìn)推理能力的發(fā)展.