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    初中數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)案例設(shè)計
    ——探尋日晷中的數(shù)學(xué)

    2022-09-02 06:39:10倪曉陽盛偉敏
    關(guān)鍵詞:日晷數(shù)學(xué)過程

    倪曉陽,陳 宇,盛偉敏

    (浙江省杭州市育才中學(xué))

    一、項目學(xué)習(xí)

    在全球關(guān)注終身學(xué)習(xí)和核心素養(yǎng)發(fā)展的大背景下,項目學(xué)習(xí)受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.它是一種學(xué)習(xí)方式,也是一種教學(xué)模式,此外還是課程設(shè)計的一種方式和更綜合化的教育實踐形態(tài).

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出:綜合與實踐領(lǐng)域的教學(xué)活動,以解決實際問題為重點,以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主,以真實問題為載體,適當采取主題活動或項目學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn),通過綜合運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決真實問題,著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實踐能力、社會擔(dān)當?shù)染C合品質(zhì).

    數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)核心知識為載體,學(xué)生通過探究性等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐,對真實、具有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動性問題進行探究,運用問題解決等高階認知策略,創(chuàng)造性地解決問題,形成公開成果,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式.它首先是“數(shù)學(xué)”的,體會、運用不同學(xué)科領(lǐng)域之間的相互聯(lián)系,旨在深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系,體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值,發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與數(shù)學(xué)素養(yǎng).在項目學(xué)習(xí)過程中,要關(guān)注情境真實性、任務(wù)挑戰(zhàn)性、過程完整性、成果創(chuàng)造性,基于核心素養(yǎng)開展項目學(xué)習(xí).

    二、項目學(xué)習(xí)主題設(shè)計分析

    1.學(xué)習(xí)主題成因分析

    本課題源自真實情境中的問題思考,為了能夠自己制作用于計時的日晷,需要研究日晷中的共同原理.過程中要結(jié)合跨學(xué)科知識,研究水平式日晷和赤道式日晷間的要素配置,進而搭建數(shù)學(xué)模型,研究兩類日晷之間的聯(lián)系.這是從生活實際抽象出數(shù)學(xué)的過程,通過將學(xué)科知識整合到模型建構(gòu)中,提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.在模型求解過程中,涉及立體幾何內(nèi)容,學(xué)生需圍繞富有挑戰(zhàn)性的驅(qū)動性問題展開探究,促進學(xué)生運用高階認知策略,提升學(xué)生的思維深度.通過模型應(yīng)用過程,使得整個項目學(xué)習(xí)過程具有完整性,讓學(xué)生能經(jīng)歷一次完整、有意義、有實效性的學(xué)習(xí).

    學(xué)習(xí)活動從認識日晷,確定水平式、赤道式日晷為重點研究對象,考慮其中所涉及的晷針、晷面、水平面與當?shù)鼐暥鹊纫蛩?,從兩類日晷通性角度探究發(fā)展中的數(shù)學(xué)原理,到確定水平式日晷晷面設(shè)計,再到水平式、赤道式日晷的制作.日晷中的原理研究是三角函數(shù)、立體幾何知識的應(yīng)用;日晷的設(shè)計、制作需要用到投影、三角函數(shù)、幾何作圖等知識;日晷放置、緯度因素分析及日晷使用涉及地理學(xué)科中的黃赤交角、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等.基于以上分析,本學(xué)習(xí)活動將跨數(shù)學(xué)、地理、科學(xué)這三門學(xué)科.

    2.項目學(xué)習(xí)目標設(shè)計

    “探尋日晷中的數(shù)學(xué)”是一個綜合性項目課程,通過本課程的學(xué)習(xí),能切實地為學(xué)生綜合能力提升與終身發(fā)展提供幫助.本項目學(xué)習(xí)目標設(shè)計如下.

    (1)通過查閱文獻資料、使用互聯(lián)網(wǎng)查詢等,認識日晷,并了解水平式日晷、赤道式日晷的相關(guān)知識;

    (2)結(jié)合跨學(xué)科知識對日晷組成結(jié)構(gòu)、日晷放置結(jié)構(gòu)、晷面刻度等要素的分析,抽象出數(shù)學(xué)圖形,提升從實際情境中抽象出學(xué)科問題的能力;

    (3)經(jīng)歷日晷立體模型建構(gòu)的過程,提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,在探究數(shù)學(xué)原理的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力;

    (4)經(jīng)歷提出問題、搭建模型、求解模型、應(yīng)用模型的過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識;

    (5)通過水平式日晷和赤道式日晷晷面設(shè)計、日晷制作與實踐的過程,對知識進行綜合運用,培養(yǎng)學(xué)生的綜合實踐能力與創(chuàng)新能力.

    3.項目學(xué)習(xí)形式設(shè)計

    本項目以數(shù)學(xué)核心知識為載體,活動由數(shù)學(xué)教師主導(dǎo),學(xué)習(xí)中涉及跨學(xué)科知識,可由數(shù)學(xué)和地理學(xué)科兩位教師協(xié)作完成教學(xué),根據(jù)學(xué)習(xí)需要,對學(xué)生項目學(xué)習(xí)活動進行指導(dǎo),解決學(xué)生在探究過程中遇到的困難.具體過程如圖1所示.

    圖1 項目學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)圖

    鼓勵學(xué)生以小組合作的形式,親歷探究、合作、交流、反思的過程,從課內(nèi)到課外,完成資料查閱、探索原理、操作實踐、交流反思、總結(jié)提升等學(xué)習(xí)任務(wù).

    三、學(xué)習(xí)活動內(nèi)容設(shè)計

    1.學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

    學(xué)習(xí)過程中要引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,并在解決問題的過程中去發(fā)現(xiàn)新問題.學(xué)習(xí)活動通過驅(qū)動性任務(wù)來組織學(xué)習(xí),進行如圖2所示的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)設(shè)計.

    圖2 學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)設(shè)計

    2.學(xué)習(xí)過程

    本項目的學(xué)習(xí)過程設(shè)計如表1所示.

    表1 學(xué)習(xí)過程設(shè)計

    四、學(xué)習(xí)評價設(shè)計分析

    根據(jù)學(xué)習(xí)目標和內(nèi)容,設(shè)計如表2所示的評價量表.

    表2 學(xué)生項目學(xué)習(xí)活動評價量表

    續(xù)表

    五、關(guān)鍵教學(xué)事件與課堂實踐

    以下是對“項目學(xué)習(xí)過程2:運用知識、探究原理”進行的課堂實踐.

    情境引入:(教師展示日晷實物)看到老師制作的水平式日晷和赤道式日晷,同學(xué)們想不想自己動手制作呢?

    活動1:確定問題

    問題1:要制作水平式日晷、赤道式日晷,需要確定的關(guān)鍵問題是什么?

    引導(dǎo)學(xué)生回答:(1)日晷的種類;(2)日晷的放置;(3)晷面的設(shè)計.

    追問1:水平式日晷晷面刻度與12點刻度之間的夾角如何確定?

    追問2:如何用數(shù)學(xué)的方法解決這些問題?

    師生活動:學(xué)生要制作日晷,需要先把問題分解,解決簡單問題(如赤道式日晷晷面可以先畫一個圓,然后用量角器將圓二十四等分畫15°)后,然后再聚焦難點(水平日晷晷面刻度與12點刻度之間的夾角如何確定?與赤道式日晷晷面為均勻的15°角有關(guān)系嗎?),教師和學(xué)生一起分析問題,助力學(xué)生完成從實際情境抽象出數(shù)學(xué)問題的過程.

    【設(shè)計意圖】通過本環(huán)節(jié)的問題梳理,確定本節(jié)課所要研究的關(guān)鍵問題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)核心知識來解決關(guān)鍵問題.

    活動2:搭建模型

    模擬太陽光線下,同一地點、同一時刻,晷針在兩種日晷晷面的投影,如圖3、圖4所示.

    如圖3,OP是水平式日晷的晷針,與水平地面(即水平式日晷晷面)成α度(緯度),OD為正午12點的影子方向.經(jīng)過n小時后,影子轉(zhuǎn)過的角度為∠DODn,記為θ,無法得到具體值.

    圖3

    如圖4,將赤道式日晷置于同一地點,晷針與OP重合,晷面⊙P切地面于點D,PD為正午12點赤道式日晷晷針影子方向.經(jīng)過n小時后,影子轉(zhuǎn)過的角度為∠DPC,記為β=15n.

    圖4

    由于兩種日晷的晷針與地面的夾角為α,不妨讓兩種日晷的晷針重合,將兩個立體圖擬合,如圖5所示.經(jīng)過n小時后,兩種日晷對應(yīng)的時刻是一樣的,所以延長PC到地面,與點Dn重合.

    圖5

    師生活動:此環(huán)節(jié)中,學(xué)生面對的挑戰(zhàn)是理解經(jīng)過n小時后晷針影子的轉(zhuǎn)動過程,以及兩個立體圖的擬合過程.學(xué)生可利用實物模型進行模擬,并借助手電筒演示以理解晷針影子延長線交于一點,逐步構(gòu)建空間結(jié)構(gòu),在立體圖形中探索關(guān)系.教師及時鼓勵并加以指導(dǎo),與學(xué)生共同形成解決問題的關(guān)鍵步驟.

    【設(shè)計意圖】設(shè)定同一緯度、同一時間的條件,控制變量,為探究兩種日晷投影角度與時間的關(guān)系搭建模型基礎(chǔ).讓學(xué)生經(jīng)歷日晷立體模型建構(gòu)的過程,結(jié)合跨學(xué)科知識提出并分析數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力和問題意識.

    活動3:求解模型

    問題2:如何確定θ?α,β,θ之間有關(guān)系嗎?

    引導(dǎo)學(xué)生回答:已知量:α(查詢了解當?shù)鼐暥龋?,?15n;未知量:θ的值.

    教師將問題分解:(1)△OPD,△PDDn,△ODDn是什么三角形?

    (2)以上三個三角形有哪些邊角關(guān)系?

    (3)α,β,θ的關(guān)系是什么?

    學(xué)生小組討論與交流:(1)發(fā)現(xiàn)△POD,△PDDn,△ODDn是直角三角形.

    (2)借助三角函數(shù)可以建立α,β,θ與邊PD,OD,DDn之間的關(guān)聯(lián).

    (3)推導(dǎo)得出α,β,θ之間的關(guān)系.

    模型求解:如圖5,在Rt△POD中,∠OPD是直角,所以.

    在Rt△PDDn中,∠PDDn是直角,所以.

    在Rt△ODDn中,∠ODDn是直角,.

    所以tanθ=sinαtanβ.

    師生活動:學(xué)生借助實物模型理解立體結(jié)構(gòu)中三個平面上的直角三角形,教師可以根據(jù)實際情況用高中數(shù)學(xué)立體幾何中的位置關(guān)系的知識加以解釋.部分學(xué)生在立體圖形中三個平面的三個直角三角形中找到邊角關(guān)系,得到α,β,θ之間的關(guān)系.也有部分學(xué)生降維思考,將立體圖形展開成平面圖形,在平面上研究α,β,θ之間的關(guān)系.如圖6,△PDDn與△P′DDn全等,所以P′D=PD,P′Dn=PDn.由此,可以驗證tanθ=sinαtanβ的模型在平面中仍然成立.

    圖6

    【設(shè)計意圖】由于搭建的模型是立體圖形,對于初中學(xué)生來說有較大難度.將關(guān)鍵問題分解,借助實物模型引導(dǎo),有助于學(xué)生理解.指導(dǎo)學(xué)生將立體圖形展開成平面圖形降維思考,利用解決平面圖形問題的方法來解決立體圖形中的關(guān)系問題.在探究數(shù)學(xué)原理的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力,使學(xué)生用數(shù)學(xué)方法嚴謹?shù)厍蠼饽P?,在積極探索和合作交流中促進深度思維.

    活動4:應(yīng)用模型

    問題3:杭州位于北緯30°(α=30°),β分別取15°,30°,45°,60°,75°,你能確定θ嗎?

    教師引導(dǎo)學(xué)生使用計算器進行計算.

    追問:算出θ,那么刻度線ODn也就確定,水平式日晷的晷面刻度也就可以完成.如果不借助計算器,還有其他方法嗎?

    引導(dǎo)學(xué)生回答:利用幾何作圖完成.根據(jù)平面圖可以直接進行幾何作圖.

    學(xué)生活動:利用尺規(guī)進行幾何作圖,設(shè)計制作日晷晷面.

    教師活動:充分肯定學(xué)生得到的結(jié)論,在學(xué)生的生成下總結(jié)幾何作圖方法,并引導(dǎo)學(xué)生進行幾何作圖,完成設(shè)計與制作.

    預(yù)設(shè)學(xué)生幾何作圖:①利用OD和sinα來確定PD,即P′D的長度,確定⊙P′(如圖7);

    圖7

    ②作出15°角,并畫出刻度線P′Dn(如圖8);

    圖8

    ③連接ODn,確定水平式晷面刻度與12點刻度之間的角度(如圖9);

    圖9

    ④完成部分晷面刻度設(shè)計(如圖10);

    圖10

    ⑤完成晷面設(shè)計(如圖11).

    圖11

    拓展問題:設(shè)計制作水平式日晷和赤道式日晷的晷面(以杭州位于北緯30°為例).

    師生活動:在探尋出日晷中的數(shù)學(xué)原理后,應(yīng)用求解的數(shù)學(xué)模型設(shè)計、制作出日晷的晷面進行小組交流分享.教師指導(dǎo)并對學(xué)生作品進行展示,鼓勵學(xué)生進一步實踐.

    【設(shè)計意圖】通過水平式日晷和赤道式日晷晷面設(shè)計的過程,對知識進行綜合運用,在鞏固學(xué)習(xí)成果的同時,培養(yǎng)學(xué)生綜合實踐能力與創(chuàng)新能力.

    活動5:總結(jié)反思

    師生活動:本節(jié)課經(jīng)歷了從水平式日晷到赤道式日晷的演變原理的探索后,教師提出如何從數(shù)學(xué)角度反思我們學(xué)習(xí)過程中運用的知識與方法.學(xué)生總結(jié)相關(guān)知識,并歸納問題的解決方法.

    教師布置本節(jié)課的任務(wù)如下.

    任務(wù)1:優(yōu)化設(shè)計,制作完整的水平式日晷、赤道式日晷;

    任務(wù)2:使用日晷計時,思考模型計時的使用精確度如何提升;

    任務(wù)3:探索垂直式日晷與水平式日晷、赤道式日晷的聯(lián)系(數(shù)學(xué)原理).

    師生活動:學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)活動經(jīng)歷,總結(jié)數(shù)學(xué)原理探索中運用的數(shù)學(xué)方法,對涉及的知識進行系統(tǒng)的整理.教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上,進一步深化知識.教師鼓勵學(xué)生再學(xué)習(xí)、再實踐,將成品再優(yōu)化、方法再推廣.

    【設(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、搭建模型、求解模型、應(yīng)用模型的過程,培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模意識;通過對學(xué)習(xí)活動中運用的知識與方法的總結(jié),鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,總結(jié)經(jīng)驗,讓學(xué)生理解遇到問題時,如何運用數(shù)學(xué)核心知識和數(shù)學(xué)方法來解決,并將課堂成果進行后續(xù)延伸.通過日晷的再研究、再實踐,形成更有價值、有思考的跨學(xué)科研究性學(xué)習(xí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和學(xué)科綜合素養(yǎng),發(fā)展創(chuàng)新意識與實踐能力.

    六、教學(xué)反思

    1.實施效果

    與傳統(tǒng)教學(xué)相比,本項目學(xué)習(xí)活動更加突出學(xué)生的主體作用.整個項目的實施,不僅需要學(xué)生根據(jù)實際情境提出問題,還需要小組之間的通力合作.學(xué)生在進行數(shù)學(xué)原理探究之前,要先進行文獻材料的整理,在認識日晷并了解計時原理的過程中,學(xué)生主動尋求跨學(xué)科教師的幫助,本項目學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)和地理學(xué)科兩位教師的配合、參與,隨時為學(xué)生提供幫助.學(xué)生能夠在此環(huán)節(jié)經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的過程.在探究數(shù)學(xué)原理的過程中,借助日晷模型的演示,學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型.應(yīng)用控制變量的方法,把兩種日晷放在一起研究,是打開學(xué)生探究思路的關(guān)鍵,也是探究過程中的難點,此時教師給予學(xué)生極大的幫助,并與學(xué)生一起構(gòu)建模型.在立體幾何的輔助下,學(xué)生快速求解了模型,發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理,得到了極大的鼓舞,激發(fā)了學(xué)生更強烈的學(xué)習(xí)興趣.不僅如此,還有學(xué)生能夠跳出立體圖形的模型束縛,繼續(xù)探索出通過展開的方式可以將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來研究,并且總結(jié)了設(shè)計晷面的幾何作圖方法,使學(xué)生獲得了極大的成就感.用實踐任務(wù)驅(qū)動學(xué)生講理論原理并進行應(yīng)用的過程中,學(xué)生也創(chuàng)造了許多好的作品.整個項目學(xué)習(xí)的開展,打開了師生對于知識教學(xué)、運用的新思路.

    2.反思調(diào)整

    本項目學(xué)習(xí)需要調(diào)用學(xué)生較為陌生的跨學(xué)科知識,對于這部分知識內(nèi)容的滲透需要采用更具指導(dǎo)性的方式.另外,對于項目成果,需要給學(xué)生更充分的實踐機會,允許學(xué)生在形成更精細的實物成品后,再進行項目的總結(jié)、提升,給學(xué)生時間和空間,可以通過實踐對現(xiàn)有理論進行完善、優(yōu)化與推廣.

    具體到“數(shù)學(xué)原理探究”這一過程,對于課堂中的問題是不是還有繼續(xù)分解的空間,從而讓學(xué)生有更明確的指向性.例如,模型搭建的過程中所涉及的控制變量分析可以借助真實性場景試驗,讓學(xué)生直觀地完成對模型的基本分析.另外,利用本節(jié)課學(xué)到的方法,制作完成水平式日晷、赤道式日晷,在使用計時時是否準確呢?除了緯度之外,還有哪些因素會影響到日晷計時精度呢?在人類社會發(fā)展中,除了水平式日晷、赤道式日晷之外,還有垂直式日晷等不同種類的日晷,這些日晷中又含有哪些數(shù)學(xué)原理呢?在項目學(xué)習(xí)的反思實踐中,師生可以對這些問題進行持續(xù)研究.

    在項目學(xué)習(xí)活動設(shè)計中,要更加關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程,選擇最合適的時機啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生像數(shù)學(xué)學(xué)科專家那樣思考、探索、解決問題,能夠系統(tǒng)組織,完整地去做成一件事,從中將習(xí)得的知識和技能凝練為自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng),學(xué)會在新的情境中進行再遷移,并進行創(chuàng)造性應(yīng)用.

    七、課例評析

    “日晷中的數(shù)學(xué)”項目選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊“3.1投影”中的設(shè)計題,旨在引導(dǎo)學(xué)生收集我國古代有關(guān)日晷的歷史資料,探索用日晷測定時刻的數(shù)學(xué)原理.該項目可以深化學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解,建立數(shù)學(xué)與地理的跨學(xué)科聯(lián)系,發(fā)展應(yīng)用意識.現(xiàn)從項目的可行性、豐富性、創(chuàng)造性和可優(yōu)化性等角度進行評析.

    1.項目的可行性

    數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)是學(xué)生在一段時間內(nèi)對數(shù)學(xué)和跨學(xué)科有關(guān)的驅(qū)動性問題深入、持續(xù)地探索.在調(diào)動學(xué)生運用數(shù)學(xué)和跨學(xué)科知識、能力、品質(zhì)等創(chuàng)造性地解決問題、形成公開成果的過程中,使學(xué)生形成對核心知識和學(xué)習(xí)歷程的深刻理解,能夠在新情境中進行遷移.該項目所涉及的現(xiàn)實問題是制作日晷并用于實踐計時,這不得不了解日晷中所涉及的地理知識,探索計時的數(shù)學(xué)原理.這一現(xiàn)實的驅(qū)動性問題來源于學(xué)生,讓學(xué)生研究自己感興趣的問題,給學(xué)生提出問題的機會.情境具有真實性,任務(wù)具有內(nèi)源性.教師作為項目學(xué)習(xí)的支架,幫助學(xué)生分解問題,聚焦關(guān)鍵問題,包括日晷的放置和晷面設(shè)計,問題解決需要將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,引導(dǎo)學(xué)生提出合理假設(shè)、預(yù)測結(jié)果、選擇合適的數(shù)學(xué)方法,對用數(shù)學(xué)模型表達條件與結(jié)果之間的關(guān)系有清晰的認識.因此,學(xué)生充分調(diào)動已有知識,進行模型的構(gòu)建、模型的求解、模型的應(yīng)用,從而創(chuàng)造性地解決問題.從整個項目學(xué)習(xí)過程來看,以問題解決為主線,以做項目為明線,貫穿始終.從項目學(xué)習(xí)結(jié)果來看,學(xué)生可以最終形成真實產(chǎn)品,將理論與實踐相結(jié)合,多維度展示學(xué)習(xí)成果,體現(xiàn)了該項目學(xué)習(xí)的可行性.

    2.項目的豐富性

    新時代基礎(chǔ)教育課程改革的主旨是,改變課程結(jié)構(gòu)過于強調(diào)學(xué)科本位、科目過多和缺乏整合的現(xiàn)狀,設(shè)置綜合課程,淡化學(xué)科界限,強調(diào)學(xué)科間的聯(lián)系與綜合.一個好的跨學(xué)科項目應(yīng)該盡可能地讓學(xué)生發(fā)展批判性思維、科學(xué)精神,形成問題解決能力.項目學(xué)習(xí)還原了學(xué)習(xí)的本質(zhì),這種基于真實情境的學(xué)習(xí)能促進學(xué)生對信息問題的敏感性、對知識學(xué)習(xí)的掌控力、對問題求解的思考力.同時,更多地應(yīng)利用學(xué)校的教育資源,在課程的項目設(shè)計中盡可能地增加課程的豐富性.本次筆者所在學(xué)校推出的數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)“探尋日晷中的數(shù)學(xué)”便是一個很好的跨學(xué)科項目學(xué)習(xí)案例.日晷,本義是指太陽的影子.現(xiàn)代的“日晷”指的是人類古代利用日影測得時刻的一種計時儀器,又稱“日規(guī)”.其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻,通常由晷針(表)和晷面(帶刻度的表座)組成.因此,該項目涵蓋了地理、科學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科.本次項目活動強調(diào)促進不同學(xué)科之間、各學(xué)科與學(xué)科系統(tǒng)之間在相互理解、相互促進中的“進化”,形成更有利于學(xué)生整體把握課程內(nèi)容的新的教學(xué)方式和課程板塊,并促進各學(xué)科教師在思想碰撞后的“專業(yè)進化”,加速教師專業(yè)的創(chuàng)新發(fā)展.本次項目學(xué)習(xí)解決問題的核心是解直角三角形與三角函數(shù)的理解、運用.教師靈活地引導(dǎo)學(xué)生將日晷抽象成數(shù)學(xué)圖形并實現(xiàn)降維,給學(xué)生搭建了解決問題的腳手架.學(xué)生能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實,將它們?nèi)谌朐械恼J知結(jié)構(gòu)中,而且能夠在眾多思想間進行聯(lián)系,將已有的知識遷移到新的情境中,做出決策并解決問題,發(fā)展高階思維能力,實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí).

    3.項目的創(chuàng)造性

    隨著課程改革的深化,在學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的背景下,項目學(xué)習(xí)要發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.在項目教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生有一種新奇感,并且對新東西善于聯(lián)想,是進行“創(chuàng)造性學(xué)習(xí)”的好素材.在本次項目學(xué)習(xí)中,學(xué)生對于水平式日晷與地平式日晷的刻度是否均勻產(chǎn)生了強烈的興趣.教師引導(dǎo)學(xué)生猜想投影角度與投影面的關(guān)系,學(xué)生進行一系列具有邏輯因果關(guān)系的想象.這樣的方式改善了學(xué)生的思維空間,實現(xiàn)了認知能力的突破和飛躍,促進學(xué)生想象能力的不斷增長,這樣就讓學(xué)生進行了創(chuàng)造性學(xué)習(xí),提高了分析問題、解決問題的能力.學(xué)生在理解日晷的原理后,用自己的方式制作了各式各樣的日晷.項目學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生,學(xué)生在項目學(xué)習(xí)中自主選擇學(xué)習(xí)方式,并通過團隊合作發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,最后展示學(xué)習(xí)成果.在探索日晷,理解其原理的過程中,學(xué)生會有新發(fā)現(xiàn)、新創(chuàng)造、新成果,創(chuàng)造性思維也會被激發(fā).整個項目學(xué)習(xí)過程凸顯了學(xué)生的自主性、合作性、創(chuàng)造性.學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷碰撞出思維的火花,結(jié)出創(chuàng)新的果實.

    4.項目的可優(yōu)化性

    該項目學(xué)習(xí)以跨學(xué)科的方式,實施過程中強調(diào)數(shù)學(xué)的角度,運用知識、獲取技能、培養(yǎng)能力,體驗問題解決的路徑和形成問題解決的方法,在課堂上落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但在模型的搭建、求解和應(yīng)用的探究過程中,數(shù)學(xué)味重、難度大,建議教師以問題串的形式給學(xué)生搭好腳手架,明確問題的指向,克服難點.然后放手讓學(xué)生去做,積極探究,交流合作,讓學(xué)生在研究中有所成長.最終成品的展示是水平式日晷和赤道式日晷的制作,多維度進行評價,建議教師設(shè)計學(xué)習(xí)過程的項目評價表:參加這個項目活動的興趣;資料收集、整理、分析的能力;數(shù)學(xué)推理、建模的能力;與同學(xué)的交流、合作能力;設(shè)計、操作、實踐能力;感受數(shù)學(xué)美的能力.設(shè)計學(xué)習(xí)結(jié)果的項目評價表:穩(wěn)定性、美觀性、準確性,實踐計時的精確性.尤其是精確性,引導(dǎo)學(xué)生可以再探究影響日晷計時精確度的因素.

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》提出:項目學(xué)習(xí)教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實問題為主,其目標是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決現(xiàn)實問題的關(guān)鍵要素,用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律,培養(yǎng)模型觀念,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程,培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.因此,“探尋日晷中的數(shù)學(xué)”是一節(jié)優(yōu)質(zhì)的可供大家參考、借鑒的項目學(xué)習(xí)案例.

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