對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)特性分析*

李旭龍 張忠 魏莎,3? 丁虎,3 陳立群,3

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444)(2. 北京強(qiáng)度環(huán)境研究所 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076)(3. 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

引言

近年來(lái)，隨著航空航天、船舶和機(jī)械等工程領(lǐng)域的迅速發(fā)展，柱殼結(jié)構(gòu)得到了廣泛應(yīng)用.目前圓柱殼、球殼、加筋圓柱殼等[1, 2]結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性已有諸多相關(guān)研究工作，但對(duì)于工程中常見的對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究較少.對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)是一種常見的簡(jiǎn)化對(duì)接結(jié)構(gòu).此類結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)是對(duì)其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析的基礎(chǔ)，是新型航天飛行器等工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化的重要參數(shù)之一.因此，分析對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性具有十分重要的意義.

為獲取該類組合結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，許多學(xué)者展開了研究.吳仕昊等[3]基于Reissner薄殼經(jīng)典理論，采用區(qū)域分解法分析了圓錐殼-柱殼-殼組合結(jié)構(gòu)在不同邊界條件下的自由振動(dòng)特性.張帥等[4]提出了一種改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)的半解析方法，分析比較了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)變化對(duì)錐柱球組合殼自由振動(dòng)的影響.但由于理論分析所得結(jié)果多為近似值，日益復(fù)雜的組合幾何構(gòu)型較難滿足精度要求；有限元仿真分析則由于結(jié)構(gòu)阻尼、連接剛度等參數(shù)較難確定，計(jì)算結(jié)果的可靠性難以保證.

實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法為上述問題提供了解決途徑.王松松等[5]采用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法得到了不同折疊狀態(tài)下Z形機(jī)翼的模態(tài)參數(shù)，為機(jī)翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù).焦標(biāo)強(qiáng)等[6]基于PolyMAX模態(tài)參數(shù)識(shí)別法成功獲取了軸裝式制動(dòng)盤的模態(tài)參數(shù)，為該類結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)建立了基礎(chǔ).王民等[7]結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)試和有限元仿真分析了機(jī)床主軸頭的模態(tài)特性，提出增加背板可有效進(jìn)行結(jié)構(gòu)減震.

本文以對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于ABAQUS有限元軟件及LMS Test. Lab測(cè)試軟件建立了有限元模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，并分別進(jìn)行計(jì)算與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析過(guò)程中，針對(duì)自由邊界的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)、分析結(jié)果的正確性進(jìn)行了討論，并將其與計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果的正確性.通過(guò)上述分析過(guò)程得到的對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)振型特征，可為工程領(lǐng)域中對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).

1 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析原理

模態(tài)分析利用耦合物理坐標(biāo)系統(tǒng)與無(wú)耦合模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立系統(tǒng)物理參數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)測(cè)量結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)以獲取振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù).根據(jù)材料結(jié)構(gòu)特性和振動(dòng)理論，對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)可采用多自由度系統(tǒng)進(jìn)行描述，其動(dòng)力學(xué)微分方程可描述為[8, 9]

(1)

本文主要分析對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的固有特性，方程(1)的特征方程為

K+iωC-ω2M=0

(2)

其中ω為特征頻率.

通過(guò)求解方程(2)即可得到固有頻率(特征值)以及振型(對(duì)應(yīng)的特征向量).同時(shí)，可將方程(1)進(jìn)行拉普拉斯變換，通過(guò)變量變換將方程從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，方程形式如下

(Ms2+Cs+K)X(s)=F(s)

(3)

式(3)可簡(jiǎn)寫如下

Z(s)X(s)=F(s)

(4)

其中Z(s)為系統(tǒng)在s域上的阻抗矩陣，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可表示為

(5)

其中adjZ(s)和detZ(s)分別為Z的伴隨矩陣和行列式.將式(5)按照極點(diǎn)展開

(6)

2 PolyMAX方法的基本原理

比利時(shí)LMS公司基于最小二乘復(fù)指數(shù)方法開發(fā)了一種全新的頻域分析方法，改進(jìn)了最小二乘復(fù)指數(shù)方法在處理模態(tài)密集且頻率較高系統(tǒng)時(shí)易產(chǎn)生虛假模態(tài)、極點(diǎn)穩(wěn)態(tài)圖混亂、模態(tài)定階困難等不足.這種模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法即為PolyMAX方法，也稱最小二乘復(fù)頻域方法(Polyreference Least-Squares Complex Frequency-domain Method)[10]，它采用SVD方法避免了留數(shù)的分解，使得密集空間分離且在強(qiáng)阻尼、模態(tài)密集情況下仍具有較好的實(shí)用性，結(jié)果的客觀性更好.

實(shí)測(cè)得到的頻響函數(shù)模型可表達(dá)如下

(7)

采用最小二乘復(fù)頻域法求解模態(tài)振型時(shí)，其極點(diǎn)-留數(shù)模型的擬合函數(shù)為

(8)

其中，φr為模態(tài)振型;LR和UR分別為上下殘余項(xiàng);*為復(fù)共軛矩陣.

3 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的計(jì)算模態(tài)分析

3.1 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元建模

本節(jié)基于ABAQUS有限元軟件對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了有限元建模、網(wǎng)格劃分以及動(dòng)力學(xué)特性分析.已知對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)整體采用6061鋁合金進(jìn)行加工制作，密度為27500 kg/m3，彈性模量為71 Gpa，泊松比為0.33，所采用的邊界條件為自由邊界.圖1為對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖，基本參數(shù)如表1所示.

表1 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

圖1 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖

有限元分析過(guò)程中，網(wǎng)格及單元設(shè)置的合理性對(duì)于分析結(jié)果的準(zhǔn)確性影響最大且最為直接.為準(zhǔn)確表征對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的連接形式，于螺栓孔中心處建立節(jié)點(diǎn)并用MPC約束將其與孔周的節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，隨后采用RBE2單元進(jìn)行螺栓的模擬.在對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，法蘭盤部分采用八結(jié)點(diǎn)線性六面體單元進(jìn)行掃略生成，筒壁部分采用四節(jié)點(diǎn)四面體單元自適應(yīng)生成，共計(jì)18060個(gè)單元，建立的模型網(wǎng)格如圖2所示.

圖2 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元模型

3.2 計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果

通過(guò)對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算模態(tài)分析，可得到結(jié)構(gòu)的各階固有頻率和模態(tài)振型，如圖3所示.

圖3 前8階有限元模態(tài)分析結(jié)果

從圖中可以發(fā)現(xiàn)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)周向半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著模態(tài)階數(shù)的增加而呈增加趨勢(shì)，表現(xiàn)為圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動(dòng)特性.同時(shí)，由于結(jié)構(gòu)為螺栓對(duì)接形式，部分階模態(tài)振型呈現(xiàn)出以法蘭面為分界的非對(duì)稱振動(dòng)，該振動(dòng)特性可為結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).

4 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)方案

為驗(yàn)證有限元模型及模態(tài)分析結(jié)果的正確性，本節(jié)對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析.實(shí)驗(yàn)過(guò)程采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)形式，利用沖擊力錘施加脈沖激勵(lì)，通過(guò)力傳感器信號(hào)和拾振點(diǎn)處的三軸加速度傳感器信號(hào)反饋給數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，結(jié)合輸入和輸出信號(hào)進(jìn)行曲線擬合，從而識(shí)別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù).

在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試過(guò)程中，所用到的儀器設(shè)備包括:LMS Sadas Mobile(SCM04)多通道數(shù)據(jù)采集器、B&K三軸加速度傳感器(Type:4529-B-001)、B&K 8206-002 型沖擊錘和LMS Test. Lab數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試系統(tǒng)如圖4所示.

圖4 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試系統(tǒng)示意圖

為準(zhǔn)確描述試驗(yàn)件的幾何特征，本節(jié)在LMS Test. Lab軟件中的Geometry模塊建立了一個(gè)由多個(gè)測(cè)點(diǎn)組成的結(jié)構(gòu)模型.對(duì)于整體結(jié)構(gòu)將其沿周向進(jìn)行8等分，其中圓柱殼部分按照實(shí)際尺寸沿軸向進(jìn)行了10等分(間隔10cm)并將等分點(diǎn)設(shè)為測(cè)點(diǎn)，法蘭盤部分則根據(jù)實(shí)際尺寸在特征點(diǎn)進(jìn)行測(cè)點(diǎn)的設(shè)置，共劃分112個(gè)測(cè)點(diǎn).拾振點(diǎn)的選取應(yīng)避開關(guān)注模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置以得到完整的各階模態(tài)結(jié)果，實(shí)際共布置拾振點(diǎn)8個(gè)，采取非對(duì)稱的布置方式.圖5為對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)拾振點(diǎn)位置示意圖.

圖5 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)拾振點(diǎn)位置

4.2 邊界條件的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)

約束邊界往往需特制夾具進(jìn)行實(shí)現(xiàn)且夾具的優(yōu)劣會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性產(chǎn)生較大的影響.基于此，試驗(yàn)過(guò)程中采用自由邊界進(jìn)行模態(tài)測(cè)試.目前模擬自由邊界的方式主要有：彈性繩懸掛、海綿墊支撐、橡膠墊支撐等，本文根據(jù)試驗(yàn)件幾何結(jié)構(gòu)的特殊性，采用了彈性繩懸掛的方式.同時(shí)，為避免邊界條件對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響，進(jìn)行了多種懸掛方式的探討，如圖6所示.

圖6 試驗(yàn)件的懸掛方式

通過(guò)上述多角度的比較與分析，可得出以下兩點(diǎn)結(jié)論：(1)非貫穿懸掛方式較大地影響了激勵(lì)-響應(yīng)過(guò)程，從而使得部分頻率響應(yīng)函數(shù)在模態(tài)較為密集處出現(xiàn)混亂；(2)針對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)，若需獲取較高質(zhì)量頻響函數(shù)，貫穿懸掛方式更利于數(shù)據(jù)采集與分析.

表2為不同懸掛方式下固有頻率的對(duì)比結(jié)果，其絕對(duì)差值最小為0.13 Hz、最大為2.12 Hz，相對(duì)誤差最小為0.04%、最大為0.67%.結(jié)果表明不同懸掛方式對(duì)于模態(tài)測(cè)試結(jié)果的影響較小，兩組結(jié)果中固有頻率吻合度較高.為進(jìn)一步探討懸掛方式的具體影響，本文分析比較了不同懸掛方式下利用PolyMAX方法計(jì)算得到的極點(diǎn)穩(wěn)態(tài)圖，以模態(tài)較為密集的頻段600～700 Hz、850～950 Hz為例，如圖7所示.通過(guò)對(duì)比密集頻段處的極點(diǎn)穩(wěn)態(tài)圖可知，貫穿懸掛方式能夠得到一系列穩(wěn)定的物理極點(diǎn)從而獲取真實(shí)的模態(tài)參數(shù)信息，而非貫穿懸掛方式在SUM曲線(頻響函數(shù)的集總函數(shù)曲線)的峰值頻率處易出現(xiàn)“v”點(diǎn)，即不穩(wěn)定點(diǎn).

圖7 不同懸掛方式下極點(diǎn)穩(wěn)態(tài)圖

表2 不同懸掛方式下系統(tǒng)的固有頻率

4.3 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果及對(duì)比

基于上述研究，本文采用貫穿懸掛方式對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)自由邊界進(jìn)行模擬，并沿用上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行模態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中，依次對(duì)112個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行徑向激勵(lì)并對(duì)對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行5次有效值平均，計(jì)算得到前8階固有頻率及阻尼比.表3為對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)前8階模態(tài)參數(shù)匯總，其中，m、n分別表示模態(tài)的軸向波數(shù)和周向半波數(shù).

表3 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)前8階模態(tài)參數(shù)

模態(tài)置信因子(MAC)是振型向量之間的點(diǎn)積，用以評(píng)價(jià)兩個(gè)模態(tài)振型的相關(guān)性，可表示為

(9)

其中φi、φj為模態(tài)振型向量.MAC矩陣提供了一種模態(tài)相似度的評(píng)判依據(jù)，當(dāng)模態(tài)置信度矩陣非對(duì)角線元素越小，各階計(jì)算模態(tài)振型的獨(dú)立性則越好，圖8為此次實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試的MAC值.從圖中結(jié)果可以看出，MAC矩陣對(duì)角線上元素均接近于1，非對(duì)角線上元素均接近于0，各階模態(tài)振型相互獨(dú)立.MAC矩陣表明，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試結(jié)果準(zhǔn)確可靠，基于PolyMAX模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法能夠有效識(shí)別復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù).

圖8 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的MAC矩陣

根據(jù)模態(tài)振型一致原則，將實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表4所示.通過(guò)表4可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果具有較小的相對(duì)誤差，其中最大相對(duì)誤差為5.24%，滿足精度要求.綜上，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了有限元建模及模態(tài)分析的正確性.

表4 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

本文采用ABAQUS有限元軟件建立了對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)有限元模型，并進(jìn)行了計(jì)算模態(tài)分析.采用LMS數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)進(jìn)行了多種懸掛方式下的對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試，并基于最小二乘復(fù)頻域法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析.通過(guò)上述模態(tài)分析過(guò)程及結(jié)果，可得以下結(jié)論：

(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與計(jì)算模態(tài)分析結(jié)果具有較好的一致性，前者驗(yàn)證了有限元模型及模態(tài)分析結(jié)果的正確性，所建立模型可廣泛運(yùn)用于對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)振動(dòng)分析.

(2)貫穿懸掛方式對(duì)于對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)自由邊界條件的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)更優(yōu).通過(guò)該種懸掛方式，可獲取較高質(zhì)量的頻響函數(shù)，從而獲取真實(shí)的模態(tài)振型及其他模態(tài)振動(dòng)參數(shù).

(3)通過(guò)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的分類討論，發(fā)現(xiàn)其周向的半波數(shù)和軸向波數(shù)隨著頻率的增加而呈增加趨勢(shì)，表現(xiàn)為圓柱殼結(jié)構(gòu)的一般振動(dòng)特性.但由于結(jié)構(gòu)為對(duì)接形式，模態(tài)振型呈現(xiàn)出以法蘭面為分界的非對(duì)稱振動(dòng)，該特性可為結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).

(4)模態(tài)振型MAC矩陣表明，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果準(zhǔn)確可靠，基于PolyMAX方法可準(zhǔn)確識(shí)別模態(tài)參數(shù).