時(shí)滯系統(tǒng)重根附近Puiseux級(jí)數(shù)計(jì)算中的矛盾現(xiàn)象*

黃麗芹 王在華

(陸軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，南京 211101)

引言

時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在于工程技術(shù)領(lǐng)域，穩(wěn)定性是動(dòng)力學(xué)分析與控制設(shè)計(jì)中的基本問(wèn)題. 例如，倒立擺作為人體直立姿態(tài)平衡的動(dòng)力學(xué)模型是本質(zhì)不穩(wěn)定的，必須施加恰當(dāng)?shù)目刂剖蛊浞€(wěn)定在給定的平衡態(tài)，當(dāng)反饋控制環(huán)節(jié)存在時(shí)滯時(shí)，就需要研究反饋時(shí)滯對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 時(shí)滯系統(tǒng)平衡點(diǎn)的(局部)漸近穩(wěn)定性可由其線(xiàn)性化系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定性所確定. 當(dāng)線(xiàn)性化系統(tǒng)的特征根皆具有負(fù)實(shí)部時(shí)，該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.由于時(shí)滯系統(tǒng)是無(wú)窮維系統(tǒng)，有無(wú)窮多個(gè)特征根，因而時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是一個(gè)不平凡的問(wèn)題[1, 2].

時(shí)滯常常導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差，甚至失穩(wěn).例如，老年人隨著年齡增加，可出現(xiàn)大腦神經(jīng)、肌肉神經(jīng)的反應(yīng)滯后，從而容易導(dǎo)致摔倒. 因此，時(shí)滯常被視為不利因素.但人們也可以主動(dòng)利用時(shí)滯，使得時(shí)滯有利于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.例如，對(duì)質(zhì)量-彈簧-阻尼振動(dòng)系統(tǒng)施加時(shí)滯位移正反饋控制，在一定時(shí)滯范圍內(nèi)增加時(shí)滯量，可改善系統(tǒng)穩(wěn)定性，時(shí)滯越大，穩(wěn)定性越好[3]. 因此，在時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，有必要確定在什么條件下，時(shí)滯增加使得穩(wěn)定性變差，在什么條件下，時(shí)滯增加可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文僅考察滯后型線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)，其微分方程可表示為

(1)

其中，x∈n,A,B∈n×n，τ>0為時(shí)滯. 令x=eλtc為方程(1)的非零解，則常數(shù)λ必滿(mǎn)足關(guān)于c的齊次線(xiàn)性方程組eλt(λI-A-e-λτB)c=0，它有非零解，從而系數(shù)行列式必為零，即

|λI-A-e-λτB|=0

(2)

方程(2)稱(chēng)為時(shí)滯微分方程(1)的特征方程，其左端函數(shù)稱(chēng)為特征函數(shù)，記為f(λ)，它的零點(diǎn)稱(chēng)為特征根.時(shí)滯微分方程(1)的零解漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)其特征方程(2)的所有根都具有負(fù)實(shí)部.記R(λ)為復(fù)數(shù)λ的實(shí)部，σ為最大實(shí)部特征根的實(shí)部，即

(3)

那么，方程(1)的零解漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)σ<0. 當(dāng)σ<0時(shí)，在相同初始條件下，σ越小，時(shí)滯系統(tǒng)的非零解收斂到零解的速度越快．因此，對(duì)取值連續(xù)依賴(lài)τ的函數(shù)σ=σ(τ)，需要確定σ=σ(τ)在什么情況下遞減，在什么情況下遞增，在哪些點(diǎn)取極小值或最小值.

為了突出時(shí)滯的作用，以下將特征函數(shù)f(λ)改記為f(λ,τ). 如果存在τ0>0和實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)λ0以及正整數(shù)m(≥2)使得

(4)

則稱(chēng)λ0是一個(gè)m重特征根. 最近的研究工作表明，可利用參數(shù)延拓法得到σ=σ(τ)隨時(shí)滯變化的曲線(xiàn)，當(dāng)σ=σ(τ)在給定區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)τ0取最小值時(shí)，最大實(shí)部特征根λ0=σ(τ0)是實(shí)數(shù)，且為重根. 在τ0附近，m重特征根有m個(gè)不同的特征根分支，皆滿(mǎn)足λ(τ0)=λ0. 由隱函數(shù)存在定理可知，此時(shí)重特征根λ不可能展開(kāi)為τ-τ0的Taylor級(jí)數(shù)，而需要利用Puiseux級(jí)數(shù)，m重特征根正好有m個(gè)Puiseux級(jí)數(shù)分別表示m個(gè)特征根分支.

Puiseux級(jí)數(shù)是Taylor級(jí)數(shù)的推廣. 一般地，將一個(gè)函數(shù)g(x)展開(kāi)為x=x0處的Puiseux級(jí)數(shù)，就是要尋找ξ和系數(shù)c0,c1,c2,…，使得如下等式成立

(5)

當(dāng)ξ=1時(shí)，Puiseux級(jí)數(shù)退化為T(mén)aylor級(jí)數(shù)，各系數(shù)ck與導(dǎo)數(shù)有關(guān)系式ck=g(k)(x0)/k!. Puiseux級(jí)數(shù)中的ξ通常是分?jǐn)?shù)，因而又被稱(chēng)為分?jǐn)?shù)冪級(jí)數(shù)，沒(méi)有類(lèi)似Taylor級(jí)數(shù)情形的簡(jiǎn)單公式來(lái)計(jì)算各系數(shù)，待定系數(shù)法是常用計(jì)算方法. 利用數(shù)學(xué)通用軟件Maple的集成命令，可完成Puiseux級(jí)數(shù)的常規(guī)計(jì)算.

采用Puiseux級(jí)數(shù)求時(shí)滯系統(tǒng)m重特征根的各個(gè)分支時(shí)，首先將特征函數(shù)f(λ,τ)近似表示為(λ0,τ0)處的某個(gè)階次的Taylor展開(kāi)式，得到一個(gè)多項(xiàng)式方程，再將Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)式代入此多項(xiàng)式方程，比較同次冪系數(shù)，即可依次求得各系數(shù)ck. 利用Puiseux級(jí)數(shù)，便可確定在一定條件下，σ=σ(τ0)在給定的時(shí)滯范圍內(nèi)取最小值[4]. 實(shí)際上，Puiseux級(jí)數(shù)在多項(xiàng)式方程和時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中已有許多應(yīng)用[5]. 例如，Lloyd討論了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，運(yùn)用Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)，證實(shí)了非冗余串行機(jī)器人的平滑空間路徑總是可以在具有有限重根運(yùn)動(dòng)奇點(diǎn)附近平滑地重新參數(shù)化[6]；馮二寶在其博士論文中詳細(xì)討論了具有有限精度或者數(shù)據(jù)受到小擾動(dòng)情況下多項(xiàng)式方程組的交點(diǎn)、拐點(diǎn)、奇異點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算方法，其中包括Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)的數(shù)值算法[7]；Chen等人提出用Puiseux級(jí)數(shù)研究時(shí)滯系統(tǒng)特征根在臨界虛根附近的漸近行為[8]；Li等人利用Puiseux級(jí)數(shù)提出一種新的掃頻方法研究時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9]；蔡迢陽(yáng)在其博士論文中研究線(xiàn)性時(shí)不變含比例時(shí)滯系統(tǒng)中多重純虛特征根的漸近行為對(duì)穩(wěn)定性的影響時(shí)，利用不同根軌跡的Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)[10]來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析[11]. 有關(guān)Puiseux級(jí)數(shù)的進(jìn)一步介紹與應(yīng)用可參考文獻(xiàn)[12].

由于Puiseux級(jí)數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有介紹，因而不被廣大科技工作者所熟悉，在實(shí)際應(yīng)用中可能造成誤解或誤用. 本文首先指出，在時(shí)滯系統(tǒng)重特征根分析中，如果將式(5)中的ξ也當(dāng)作待定常數(shù)，則有可能得到相互矛盾的結(jié)論而無(wú)法求得重特征根的Puiseux級(jí)數(shù)中的系數(shù). 進(jìn)而解釋了矛盾現(xiàn)象的原因. 最后討論如何正確運(yùn)用待定系數(shù)法求得Puiseux級(jí)數(shù).

1 求多項(xiàng)式方程在重根附近的Puiseux級(jí)數(shù)的待定系數(shù)法

Puiseux級(jí)數(shù)的作用是確定由多項(xiàng)式方程確定的隱函數(shù)在重根附近的近似顯式函數(shù)關(guān)系. 以二元多項(xiàng)式為例，假設(shè)多項(xiàng)式方程為

A0(x)yn+A1(x)yn-1+A2(x)yn-2+

…+An-1(x)y1+An(x)y0=0

(6)

其中各系數(shù)Ai(x)都是x的多項(xiàng)式，最低次方為ui，即Ai(x)=αixui+h.o.t，其中h.o.t表示關(guān)于x的高次項(xiàng). 假設(shè)由此確定的函數(shù)在x=x0:=0處有一個(gè)重根y=y0:=0，那么在x=x0附近，Puiseux級(jí)數(shù)的每一個(gè)分支具有形式

y=c1xξ+c2x2ξ+c3x3ξ+c4x4ξ+h.o.t

(7)

在重根的一個(gè)小鄰域附近，可假設(shè)x的絕對(duì)值是小量，次數(shù)越高的項(xiàng)對(duì)上式左端數(shù)值的影響越小. 待定系數(shù)法就是要選取恰當(dāng)?shù)摩沃?，通過(guò)由低向高依次消去各低次項(xiàng)而求得各系數(shù)ci的值. 為此，將式(7)代入式(6)并加以整理，只保留各個(gè)最低次方項(xiàng)的式(6)化為

αnxun+nξ+…+αn-1xun-1+(n-1)ξ+…+

α1xu1+ξ+…+α0xu0+…=0

(8)

其中的省略號(hào)皆表示h.o.t. 由此可知，消去最低次項(xiàng)就是要求最低次方min{un+nξ,un-1+(n-1)ξ,…,u1+ξ,u0}在式(8)中出現(xiàn)兩次. 例如，對(duì)多項(xiàng)式方程

y3+(2+3x)y2+(4x2)y+5x3=0

再由消去次最低次方項(xiàng)等還可確定其他系數(shù)c2,c3,….這就是由多項(xiàng)式方程利用待定系數(shù)法求Puiseux級(jí)數(shù)的基本思路和步驟.

2 時(shí)滯系統(tǒng)在重根附近Puiseux級(jí)數(shù)系數(shù)計(jì)算中的矛盾現(xiàn)象及產(chǎn)生原因

對(duì)時(shí)滯微分方程，它的特征方程f(λ,τ)=0是含有指數(shù)函數(shù)的超越方程. 假設(shè)在τ=τ0時(shí)，特征方程有一個(gè)二重根λ=λ0，為了求得重特征根的顯式表達(dá)式，需要先將特征函數(shù)在重根附近用Taylor展開(kāi)式作近似替代. 為此，令L=λ-λ0,T=τ-τ0, 那么，在τ=τ0附近，f(λ,τ)可用一個(gè)p(≥2)階Taylor展開(kāi)式來(lái)代替. 在一些問(wèn)題中，p=2即可. 為避免重復(fù)表述，下面取p=3，則特征方程f(λ,τ)=0可化為如下近似形式

aL3+bL2T+cLT2+dT3+eL2+fLT+

gT2+hT+h.o.t=0

(9)

這里，在二重根情形下，常數(shù)項(xiàng)f(λ0,τ0)=0以及關(guān)于λ的一階導(dǎo)數(shù)fλ(λ0,τ0)=0，而關(guān)于λ的二階導(dǎo)數(shù)fλλ(λ0,τ0)≠0，從而等式(9)左邊不含常數(shù)項(xiàng)和L的一次方項(xiàng)，但一定有L的二次方項(xiàng)，其系數(shù)e≠0.但是，沿著上一節(jié)介紹的針對(duì)多項(xiàng)式待定系數(shù)法求解思路，可能出現(xiàn)矛盾的結(jié)論而無(wú)法確定二重根附近的Puiseux級(jí)數(shù)的系數(shù).

例1考慮某時(shí)滯系統(tǒng)的特征函數(shù)f(λ,τ)=e-3λτ-3e-2λτ+3e-λτ+λ4+2λ2，當(dāng)τ0=2π時(shí)，λ0=i是一個(gè)二重根，滿(mǎn)足條件

f(i,2π)=0,fλ(i,2π)=0

其中i2=-1. 另外，直接計(jì)算可知此特征函數(shù)f(λ,τ)還滿(mǎn)足

fτ(i,2π)=0,fττ(i,2π)=0,fλτ(i,2π)=0

(10)

于是二階Taylor展開(kāi)式只有一個(gè)平方項(xiàng)，無(wú)法確定特征根與時(shí)滯的關(guān)系. 利用三階Taylor展開(kāi)式，重根附近的特征方程可近似表示為如下形式(按L的升冪順序排列)

(iT3)L0+(6πT2)L-(4+12π2iT)L2+

4(-2π3+i)L3+h.o.t=0

(11)

上式各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是3,2,0,0．L=λ-i,T=τ-2π.在(λ,τ)=(i,2π)附近，假設(shè)特征根的Puiseux級(jí)數(shù)為

L=c1Tξ+c2T2ξ+c3T3ξ+c4T4ξ+h.o.t

(12)

將式(12)代入式(11)后化為只有T的表達(dá)式，0+3ξ,0+2ξ,2+ξ,3+0是各項(xiàng)中所有可能的最低次數(shù). 由于3ξ≥2ξ，所以所有可能的最低次數(shù)是2ξ,2+ξ,3. 由上一節(jié)討論可知，此時(shí)必有2ξ=3，即ξ=3/2，且展開(kāi)式(11)化為

(13)

這表明，采用針對(duì)多項(xiàng)式方程提出的求Puiseux級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)待定系數(shù)法在這里失效了，我們無(wú)法用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的時(shí)滯系統(tǒng)的重特征根的Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)式(12)的高次項(xiàng).

上述求解過(guò)程失效的根本原因是忽略了該特征函數(shù)由于滿(mǎn)足式(10)而具有的固有特點(diǎn)，即

h=fτ(i,2π)=0，g=fττ(i,2π)/2!=0，

f=fλτ(i,2π)=0

也就是說(shuō)，Taylor展開(kāi)式(11)中不顯含T,T2,LT的系項(xiàng). 由下列引理1可知，具有這幾個(gè)特點(diǎn)的時(shí)滯系統(tǒng)都會(huì)出現(xiàn)這樣的矛盾現(xiàn)象.

引理1設(shè)τ=τ0時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)特征函數(shù)f(λ,τ)有二重根λ=λ0. 如果

f=fλτ(λ0,τ0)=0

并且

則沿用上述做法求Puiseux級(jí)數(shù)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.

事實(shí)上，f(λ,τ)的三階Taylor展開(kāi)式簡(jiǎn)化為f(λ,τ)=aL3+(e+bT)L2+cT2L+dT3L0+h.o.t，其中由二重根的假設(shè)有e≠0. 假設(shè)其Puiseux級(jí)數(shù)如式(12)，則如前面分析的那樣，必有ξ=3/2.故

于是，為了消除最低次項(xiàng)，就得到如下矛盾結(jié)論：

類(lèi)似地，對(duì)于二重根處更高次偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)等于0，給出另一個(gè)充分條件，即為引理2. 為說(shuō)明方便，下面取p=5，則特征方程f(λ,τ)=0可化為如下近似形式：

pL5+qL4T+rL3T2+sL2T3+tLT4+uT5+

AL4+BL3T+DL2T2+ELT3+FT4+

aL3+bL2T+cLT2+dT3+eL2+fLT+

gT2+hT+h.o.t=0

(14)

引理2設(shè)τ=τ0時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)特征函數(shù)f(λ,τ)有二重根λ=λ0. 如果

且

則沿用上述做法求Puiseux級(jí)數(shù)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.

事實(shí)上，此時(shí)特征函數(shù)的五階Taylor展開(kāi)式簡(jiǎn)化為

f(λ,τ)=(a+BT+rT2)L3+

(e+bT+DT2+sT3)L2+(ET3+tT4)L+

uT5L0+h.o.t

(15)

其中各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是0,0,3,5. 利用待定系數(shù)法，將式(12)代入式(15)后化為只有T的表達(dá)式，0+3ξ,0+2ξ,3+ξ,5+0是各項(xiàng)中可能的最低次數(shù). 由于3ξ≥2ξ，所以可能的最低次數(shù)是2ξ,3+ξ,5. 由上一節(jié)類(lèi)似討論可知，此時(shí)必有2ξ=5，即ξ=5/2，且展開(kāi)式(15)化為

于是，為了消除最低次項(xiàng)，就得到如下矛盾結(jié)論：

實(shí)際上，上述矛盾現(xiàn)象在時(shí)滯系統(tǒng)重特征根的Puiseux級(jí)數(shù)計(jì)算中普遍存在. 只要f(λ,τ)關(guān)于τ的某階導(dǎo)數(shù)在重根處等于零，則在用待定系數(shù)法直接由顯式Taylor展開(kāi)式求Puiseux級(jí)數(shù)的近似表達(dá)式時(shí)，就容易忽視T的某些整數(shù)次方項(xiàng)系數(shù)等于零的事實(shí)，從而出現(xiàn)與上述情況類(lèi)似的矛盾現(xiàn)象.

例2設(shè)特征函數(shù)f(λ,τ)在τ0處有三重根λ0，即fλ(λ0,τ0)=fλλ(λ0,τ0)=0,fλλλ(λ0,τ0)≠0，且部分偏導(dǎo)數(shù)的值滿(mǎn)足下面的條件：

fτ(λ0,τ0)=0,fλτ(λ0,τ0)=0

以及

fττ(λ0,τ0)≠0,fλλτ(λ0,τ0)≠0

也就是e=0,f=0,h=0,a≠0,g≠0,b≠0，則對(duì)于上述類(lèi)型的的特征函數(shù)，按照例1中確定Puiseux級(jí)數(shù)最低次方項(xiàng)的做法會(huì)導(dǎo)致矛盾結(jié)論.

事實(shí)上，此時(shí)在重根處的三階Taylor展開(kāi)式可化為

f(λ,τ)=aL3+(bT)L2+(cT2)L+

(gT2+dT3)L0+h.o.t

(16)

按照L降冪排列，各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是0,1,2,2. 利用待定系數(shù)法，假設(shè)三重特征根λ0在τ0附近的Puiseux級(jí)數(shù)仍然為式(12)，將式(12)代入式(16)，最低次冪可能的次數(shù)為0+3ξ,1+2ξ,2+ξ,2. 經(jīng)過(guò)比較可知，為了消去最低次方項(xiàng)中的兩項(xiàng)，只可能是3ξ=2，即ξ=2/3，此時(shí)

令其中的系數(shù)等于零即可得到矛盾結(jié)論：

c1=0

類(lèi)似地，對(duì)于三重根處更高次偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)等于0，給出另一個(gè)充分條件，即為引理3.

引理3設(shè)τ=τ0時(shí)，時(shí)滯系統(tǒng)特征函數(shù)f(λ,τ)有三重根λ=λ0. 如果

fτ(λ0,τ0)=fττ(λ0,τ0)=fτττ(λ0,τ0)=0,

fλτ(λ0,τ0)=fλττ(λ0,τ0)=fλλτ(λ0,τ0)=0

且

fττττ(λ0,τ0)≠0,fλτττ(λ0,τ0)≠0

也就是e=0,f=0,c=0,b=0,h=0,g=0,d=0,a≠0,F≠0,E≠0，則對(duì)于上述類(lèi)型的的特征函數(shù)，按照例2中確定Puiseux級(jí)數(shù)最低次方項(xiàng)的做法會(huì)導(dǎo)致矛盾結(jié)論.

這是因?yàn)?，此時(shí)在重根處的五階Taylor展開(kāi)式可化為

f(λ,τ)=(a+BT+rT2)L3+

(DT2+sT3)L2+(ET3+tT4)L+

(FT4+uT5)L0+h.o.t

(17)

按照L降冪排列，各系數(shù)關(guān)于T的最低次冪分別是0,2,3,4. 利用待定系數(shù)法，假設(shè)三重特征根λ0在τ0附近的Puiseux級(jí)數(shù)仍然為式(12)，將式(12)代入式(17)，最低次冪只可能是次數(shù)為0+3ξ,2+2ξ,3+ξ,4. 經(jīng)過(guò)比較分析可知，為了消去最低次方項(xiàng)中的兩項(xiàng)，和前面的分析類(lèi)似，為了消去最低次方項(xiàng)中的兩項(xiàng)，只可能是3ξ=4，即ξ=4/3，此時(shí)

令其中的系數(shù)等于零即可得到矛盾結(jié)論：

c1=0

定理1設(shè)有不可約正整數(shù)n>1和m>1，使得在τ0處，時(shí)滯方程有m重特征根λ0，滿(mǎn)足條件

fλ(λ0,τ0)=fλλ(λ0,τ0)=fλλλ(λ0,τ0)=…

=fλm-1(λ0,τ0)=0,fλm(λ0,τ0)≠0

fτ(λ0,τ0)=fττ(λ0,τ0)=fτττ(λ0,τ0)=…

=fτn-1(λ0,τ0)=0,fτn(λ0,τ0)≠0

其中fτn-1(λ0,τ0),fτn(λ0,τ0)分別表示對(duì)τ的n-1階偏導(dǎo)數(shù)與n階偏導(dǎo)數(shù). 如果存在正整數(shù)u,p,v,q滿(mǎn)足1≤u≤m，1≤p≤n，v

fλuτ(λ0,τ0)=fλuτ2(λ0,τ0)=fλuτ3(λ0,τ0)=…

=fλuτp-1(λ0,τ0)=0

fλτp(λ0,τ0)=fλ2τp(λ0,τ0)=fλ3τp(λ0,τ0)=…

=fλu-1τp(λ0,τ0)=0,

且滿(mǎn)足不等式(u-v)n+(p+q)m

fλu-vτp+q(λ0,τ0)=0,fλuτp(λ0,τ0)≠0

其中pm+un=mn+1，則沿用前面的方法確定Puiseux級(jí)數(shù)最低次方項(xiàng)的做法會(huì)導(dǎo)致矛盾結(jié)論.

事實(shí)上，f(λ,τ)的m階Taylor展開(kāi)式按L的降序排列可記為

f(λ,τ)=A0(T)Lm+A1(T)Lm-1+

A2(T)Lm-2+…+Am-1(T)L+Am(T)L0+

h.o.t

f(λ,τ)=(α+…)Lm+…+

h.o.t

其中括號(hào)內(nèi)的省略號(hào)表示關(guān)于T的高次方項(xiàng)，且省略號(hào)中關(guān)于T的次數(shù)至少是一次. 上式中為了消去最低次方項(xiàng)中的兩項(xiàng)，只可能是mξ=n，故ξ=n/m. 又由上述定理?xiàng)l件知f(λ,τ)可化簡(jiǎn)為

由上式可知，混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)最低次為含有系數(shù)fλuτp(λ0,τ0)的項(xiàng)，此時(shí)

3 待定系數(shù)法的正確應(yīng)用

為了避免上一節(jié)討論的矛盾現(xiàn)象，在求重根附近的Puiseux級(jí)數(shù)時(shí)，需要保留除了重根條件之外的其余所有偏導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng).例如，設(shè)在τ=τ0處有二重根λ=λ0，如果利用特征函數(shù)f(λ,τ)在(λ0,τ0)處的三階Taylor展開(kāi)式來(lái)近似替代f(λ,τ). 將二重根時(shí)的三階Taylor展開(kāi)式(9)按L升冪排列表示為

(dT3+gT2+hT)L0+(fT+cT2)L+

(e+bT)L2+aL3+h.o.t=0

(18)

假設(shè)Puiseux級(jí)數(shù)為

L=c1Tξ+c2T2ξ+c3T3ξ+c4T4ξ+c5T5ξ+

c6T6ξ+h.o.t

(19)

那么，式(18)可變?yōu)?/p>

為了消去最低次方項(xiàng)，選擇ξ使得min (1,1+ξ,2ξ,3ξ)=min (1,2ξ)出現(xiàn)兩次，從而有2ξ=1，即ξ=1/2. 依次消去最低次方項(xiàng)T,T3/2,T2,T5/2可得

(20)

由于e≠0，所以由第一個(gè)等式可求得

進(jìn)而依次求得其他各系數(shù).

再由式(20)的第五個(gè)等式得到2ec3c4+cc3=0. 由于c3≠0，所以

從而Puiseux級(jí)數(shù)的范式為

h.o.t

(21)

這樣，上述矛盾現(xiàn)象得以避免.但要注意的是，式(21)第二項(xiàng)是T2項(xiàng)，不是T2(3/2)=T3項(xiàng).

對(duì)于二重根的另一個(gè)充分條件引理2，類(lèi)似于例1的討論得到Puiseux級(jí)數(shù)的范式為

當(dāng)λ0是三重根時(shí)，類(lèi)似于前面的做法，將三重根時(shí)的三階Taylor展開(kāi)式(9)按L升冪排列表示為

(dT3+gT2+hT)L0+(fT+cT2)L+

bTL2+aL3+h.o.t=0

(22)

將式(19)代入式(22)可變?yōu)?/p>

(23)

由方程組(23)得到

即得Puiseux級(jí)數(shù)的范式為

或

對(duì)于三重根的另一個(gè)充分條件引理3，可以類(lèi)似例2的討論得到Puiseux級(jí)數(shù)的范式為

或

一般地，對(duì)由時(shí)滯系統(tǒng)的特征方程定義的隱函數(shù)，在求m重根附近特征根各個(gè)分支的Puiseux級(jí)數(shù)表達(dá)式時(shí)，如果不限定最低次方項(xiàng)不等于零，可直接將Puiseux展開(kāi)式各指數(shù)冪中的ξ取為ξ=1/m. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題更詳細(xì)的介紹與討論可參考文獻(xiàn)[12].

4 結(jié)論

特征根依賴(lài)參數(shù)的顯式表達(dá)式對(duì)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有重要作用，在重根處附近，可采用Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)求得特征根的近似表達(dá)式. 和由多項(xiàng)式直接求重根附近的Puiseux級(jí)數(shù)不同，時(shí)滯系統(tǒng)的特征函數(shù)是含指數(shù)函數(shù)的超越函數(shù)，需要先將特征函數(shù)展開(kāi)為重根附近的Taylor級(jí)數(shù)形式，再由Taylor展開(kāi)式利用待定系數(shù)法求Puiseux級(jí)數(shù). 本文的價(jià)值是發(fā)現(xiàn)了利用待定系數(shù)法求時(shí)滯系統(tǒng)Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)式時(shí)出現(xiàn)的矛盾現(xiàn)象，并給出了產(chǎn)生矛盾的原因以及充分條件，最后歸納出滿(mǎn)足一定條件的Puiseux級(jí)數(shù)展開(kāi)式的范式，為進(jìn)一步應(yīng)用提供理論支持.