空間平臺發(fā)射服務器動力學與雙脈沖最優(yōu)交會*

韓艷鏵 李偉康 張勇

(1.南京航空航天大學 航天學院，南京 211106)(2.南京航空航天大學 無人機研究院， 南京 210016)(3.南京航空航天大學 中小型無人機先進技術工業(yè)和信息化部重點實驗室，南京 210016)

引言

基于交會對接的在軌維護技術對于航天工程意義重大，是當前和今后航天領域重要研究課題.脈沖法制導，因其原理和算法相對簡單，易于工程實現(xiàn)，在推力作用時間遠小于航天器慣性滑行時間條件下，制導誤差很小，故在空間交會對接領域頗受重視[1-5].空間交會對接任務中，能量和時間是寶貴資源，吸引眾多學者開展了最優(yōu)制導的研究[6-11].其中，文獻[6] 針對同時受時間與燃料約束的航天器多軌道間機動問題，研究了兩類變軌機動方式四種特殊情況的邊界問題；文獻[7]研究了時間最優(yōu)多脈沖交會問題中最優(yōu)交會時間和脈沖數(shù)隨各因素的變化規(guī)律，并根據(jù)最優(yōu)交會時間隨各因素變化曲線較為“平緩”的事實，提出可以利用較少的特征點通過插值方法快速求解最優(yōu)交會的策略；文獻[8]研究了多脈沖燃耗最省圓軌道調相問題，以線性近似模型的精確最優(yōu)解作為真實非線性動力學情形下優(yōu)化解的迭代初值，以提高收斂速度；文獻[10]針對燃料受限多脈沖時間最優(yōu)軌道控制，提出一種解析法和數(shù)值法相結合的方法，解決了最優(yōu)控制間接法微分方程兩點邊值問題協(xié)態(tài)變量的初值猜測問題，能夠得到充分接近真實最優(yōu)解的近似解，然后用數(shù)值法求解，并以深空探測變軌控制作了仿真驗證.

無論是脈沖制導還是連續(xù)推力制導，凡涉及最優(yōu)策略往往計算量較大，難以在線實現(xiàn)，基于小參數(shù)攝動的近似優(yōu)化制導在航天領域應運而生，譬如文獻[12-13]將大氣標高與地球半徑之比作為小參數(shù)，用正則攝動法研究了攔截彈道導彈的時間最優(yōu)制導律.采用攝動法得到的近似優(yōu)化解與真實最優(yōu)解非常接近，但計算量大大減輕，容易在線實現(xiàn).

空間平臺裝載多個服務航天器(譬如空間機器人，下文簡稱服務器)，平時在軌駐留，接到任務指令后機動到目標星附近，與目標星形成近距離繞飛關系，然后發(fā)射服務器到目標星，與目標星交會對接，執(zhí)行維護任務.完成任務后，平臺繼續(xù)在軌待命為下一次任務做準備.本文研究這種場景下空間平臺發(fā)射服務器動力學以及服務器分離后與目標星的最優(yōu)交會制導問題.從國內(nèi)外研究動態(tài)來看，專門針對服務器與目標星近距離相對飛行特點，引入小參數(shù)正則攝動的方法進行雙脈沖優(yōu)化制導的研究還未見諸報道.

平臺繞飛目標星的橢圓相對軌道的尺度一般在數(shù)十米至數(shù)百米，以保證平臺上的光學等導航設備可實時測得相對于目標星的飛行狀態(tài)信息.繞飛過程中平臺的姿控系統(tǒng)維持其發(fā)射筒軸線始終瞄準目標星.服務器從發(fā)射筒分離后，自身的小型火箭發(fā)動機給其施加首末兩次速度脈沖：首次脈沖修正其飛行速度，保證服務器憑慣性飛達目標星，末次脈沖將其相對速度減為零，實現(xiàn)與目標星的軟對接，如圖1所示.

圖1 平臺繞飛并瞄準目標星示意圖

圖2給出了服務器在平臺中的裝載幾何.一個平臺可以裝載多個服務器，形成一個矩陣，滿載服務器的列數(shù)和行數(shù)分別為nx和ny.安裝有機械手的一面表示發(fā)射方向.圖中：lr的意義如圖所示；dr表示服務器的直徑，并且定義每個服務器的質心到其底部的距離為lcg；dy表示服務器與所在發(fā)射筒底部之間的間隙；dx表示發(fā)射筒壁的厚度.假設平臺本體質心在其幾何中心.

圖2 平臺裝載服務器示意圖

服務器雙脈沖交會對接制導的性能指標是能耗最省，即兩次脈沖速度幅值的平方和最小，構成一個非線性規(guī)劃問題.文本采用小參數(shù)攝動法，快速求解出最優(yōu)雙脈沖的一階近似解，并以此為迭代初值，用非線性規(guī)劃方法快速可靠地收斂到最優(yōu)真解.

1 發(fā)射過程平臺-服務器兩體動力學

首先建立目標星軌道坐標系OAxAyA：原點固定于目標星，xA軸正方向沿著目標星繞地速度方向，yA軸垂直于xA軸且背離地心方向為正.再建立平臺本體系OBxByB：原點在平臺質心，yB軸沿平臺上的發(fā)射筒軸線方向，且以發(fā)射方向為正，xB軸垂直于yB軸，且在圖2中向右為正.以上兩坐標系在下文中分別簡稱為A系和B系.以目標星軌道坐標系的yA軸表示平臺姿態(tài)偏航角的參考方向，且以右手規(guī)則定義偏航角的正負，在圖1和2中即逆時針偏航為正.

相應于兩個坐標系，定義基矢量組(下文簡稱基組)如下

A?(a1,a2)

(1)

B?(b1,b2)

(2)

其中a1,a2和b1,b2分別是坐標系A和 B的x,y兩軸上的單位矢量，指向與相應的坐標軸正向一致.

兩個基組之間的過渡關系如下：

B=ATAB

(3)

其中

(4)

η是平臺的姿態(tài)偏航角.

我們知道，A系以角速度n旋轉，其中n是目標星繞地圓軌道的角速度.根據(jù)近距離航天器相對運動的C-W方程理論，n也是平臺繞飛目標星的平均角速度，故嚴格說來A系是非慣性系.但在建立平臺發(fā)射服務器的動力學方程時，因為發(fā)射過程耗時與A系的旋轉周期T=2π/n相比是很小的數(shù)，或等價地說，非慣性系A的旋轉角速度n很小，可視A系為慣性系，由此引起的建模誤差極小.

設平臺質心相對于A系原點的位矢為

rp?A(x,y)T

(5)

從平臺左下角數(shù)起，服務器所在列數(shù)的遞增方向是從左往右，所在行數(shù)的遞增方向是從下往上.

第i列j行的服務器若固定在平臺上，則其質心相對于平臺質心的位矢為

(6)

根據(jù)圖2不難算出

(7)

平臺與所有固定的服務器形成一個剛體，稱作總剛體，記作Σ.

設平臺和單個服務器的質量分別為mp和mr，則根據(jù)多體系統(tǒng)質心的定義，總剛體質心相對于平臺質心的位矢為

(8)

其中

(9)

是總剛體的質量.

(10)

下面計算總剛體關于自身質心的轉動慣量.

設平臺關于自身質心的轉動慣量為Jp，則根據(jù)平行移軸定理，平臺關于總剛體質心的轉動慣量為

(11)

第i列j行的服務器質心相對于總剛體質心的位矢

(12)

設單個服務器關于自身質心的轉動慣量為Jr，則根據(jù)平行移軸定理，其關于總剛體質心的轉動慣量

(13)

總剛體關于自身質心的轉動慣量

(14)

總剛體質心相對于A系原點的位矢

(15)

將相關各式代入上式得

rΣ=A(xΣ,A,yΣ,A)T

(16)

其中

(17)

式(16)對時間求兩階導，得總剛體質心相對于A系原點的加速度

aΣ?A(axΣ,A,ayΣ,A)T

(18)

其中

(19)

式中

(20)

表示平臺的姿態(tài)偏航角速率.

設第u列w行的服務器正在發(fā)射筒里發(fā)射滑行，其沿發(fā)射筒軸向的滑行位移為s(相對于初始固定時的位置)，其質心相對于平臺質心的位矢為

(21)

根據(jù)圖2不難算出

(22)

其相對于慣性系原點的位矢

(23)

將相關各式代入上式得

ruw=A(xuw,A,yuw,A)T

(24)

其中

(25)

式(24)對時間求兩階導，得運動服務器質心相對于A系原點的加速度

auw?A(axuw,A,ayuw,A)T

(26)

其中

(27)

下面分析系統(tǒng)中的主動力.

設平臺受到的主發(fā)動機推力為

F?B(Fx,Fy)T

(28)

并假設其過平臺質心.

姿態(tài)控制力矩為

M?b3M

(29)

其中

b3?b1×b2

(30)

平臺對正在發(fā)射滑行的服務器的推力為

f?B(0,f)T

(31)

根據(jù)前文給出的基組間的過渡關系，上式變換到A系下

(32)

總剛體受到的主動力為

FΣ=F-f

(33)

將相關各式代入該式并變換到A系下

(34)

總剛體受到的主動力矩為

MΣ=M+MF+Mf

(35)

其中MF和Mf分別表示F和-f關于總剛體質心的力矩，計算公式如下

(36)

(37)

其中

(38)

將相關各式代入式(35)得

(39)

定義廣義坐標

q?(q1,q2,q3,q4)T?(x,y,η,s)T

(40)

凱恩方法中的投影因子(偏速度和偏角速度)為

(41)

(42)

(43)

其中

ω?b3ω=a3ω

(44)

根據(jù)凱恩方法，把系統(tǒng)中所有主動力(矩)、慣性力(矩)分別投影在四個廣義坐標曲線的切線方向：

(i=1,2,3,4)

(45)

將相關各式代入式(45)得

(46)

2 服務器與目標星交會對接最優(yōu)雙脈沖制導

我們知道，當目標星在繞地圓軌道上且追蹤星與其距離較近時，追蹤星相對于目標星的運動滿足C-W方程

(47)

該方程是在A系建立的，其中n是目標星繞地圓軌道的角速度，如果追蹤星與目標星形成繞飛關系，則n也是追蹤星環(huán)繞目標星的平均角速度.

式(47)的解析解為

(48)

和

(49)

其中，(x0,y0)表示追蹤星初始相對位置坐標，(vx0,vy0)表示其初始相對速度.

若初始狀態(tài)滿足

(50)

則追蹤星在以目標星為中心的相對橢圓軌道上繞飛.

(51)

該速度能保證服務器精準飛達目標星.

在服務器飛達目標星瞬間，再給其施加速度脈沖(Δvxf,Δvyf)，使其相對速度減為零，與目標星軟對接.

本文的任務是，尋求最優(yōu)的速度雙脈沖(Δvx0,Δvy0)和(Δvxf,Δvyf)，保證服務器與目標星精準交會和軟對接的前提下，所需能耗最省，即兩次速度脈沖幅值平方和最小.用最優(yōu)控制語言描述，即

(52)

其中

(53)

引入拉格朗日乘子μ1～μ4，則上述約束優(yōu)化問題解的必要條件如下

(54)

當小參數(shù)n=0時，優(yōu)化問題式(52)退化為

(55)

很容易得到優(yōu)化問題式(55)的解，稱為原優(yōu)化問題的零階近似解，如下

(56)

其中右上角標0表示“零階近似”

令方程組(54)中頭四式中的n=0，并將上述零階近似優(yōu)化解代入得

(57)

從中解得原優(yōu)化問題拉格朗日乘子的零階近似解如下

(58)

式(54)在變量Δvx0,Δvy0,Δvxf,Δvyf,tf,μ1～μ4的零階近似解上和小參數(shù)n=0取值點上作一階攝動(即一階微分，用δ表示)，得

(59)

這是一個線性方程組，很易從中解出δΔvx0,δΔvy0,δΔvxf,δΔvyf,δμ1～δμ4,δtf，然后對式(56)表示的零階近似優(yōu)化解進行修正，得到一階近似優(yōu)化解，如下

(60)

3 仿真計算

仿真入口參數(shù)如表1所示.

表1 仿真入口參數(shù)

另外，本文所研究的是共面軌道內(nèi)的交會制導問題，設目標星、平臺、服務器所在軌道共面，其升交點赤經(jīng)均為115°，軌道傾角均為45°.目標星圓軌道的半徑為6.7710×106(m)；平臺所在橢圓軌道的半長軸、偏心率、近地點角距分別為6.7720×106(m)、2.2153×10-4、60°，發(fā)射服務器瞬間其真近點角為0°；服務器在獲得首次速度脈沖后所在橢圓軌道的半長軸、偏心率、近地點角距分別為6.7716×106(m)、2.1755×10-4、20.24°，并且此刻服務器的真近點角為39.76°.

不失一般性，本仿真以圖2中發(fā)射第1列第2行服務器為例.仿真結果如圖3～10所示.

圖3 發(fā)射過程平臺運動軌跡

圖4 發(fā)射過程平臺速度

圖5 發(fā)射過程平臺姿態(tài)偏航角

圖3～圖6中的點劃線表示假設平臺未發(fā)射服務器，圍繞目標星作相對橢圓運動，并且時刻保持發(fā)射筒軸線瞄準目標星時的運動情況，實線表示平臺發(fā)射服務器，兩體干擾下的實際運動狀態(tài)，兩種曲線分別用“undisturbed”和“disturbed”標識.

圖6 發(fā)射過程平臺姿態(tài)偏航角速率

圖7 服務器在平臺發(fā)射筒中的滑行位移

圖3～圖6顯示，由于發(fā)射過程服務器對平臺的反作用力，在服務器分離瞬間，平臺的實際軌跡相對于未受擾的軌跡沿y軸負方向偏離了0.13(m)，平臺的x軸向相對速度增加了0.03(m/s)，y軸向相對速度減小了0.19(m/s)，姿態(tài)偏航角增加了3.91°，姿態(tài)偏航角速率增加了4.29(deg/s).考慮到平臺相對于目標星的環(huán)繞橢圓的幾何尺度和相對環(huán)繞速度，可認為服務器發(fā)射過程對平臺位置坐標影響甚微，但對平臺繞飛速度以及姿態(tài)的影響不容忽視.

圖8 服務器在平臺發(fā)射筒中的滑行速率

圖9 服務器分離后在交會軌道上的位置坐標

圖10 服務器分離后的交會軌道和速度脈沖

計算表明，首次速度脈沖與服務器離開平臺瞬間的速度矢量夾角為167°.夾角為鈍角表明，首次速度脈沖在改變服務器飛行速度方向的同時，在很大程度上起到減速制動作用.至于末端的二次速度脈沖，因為要將服務器相對于目標星的速度減為零，故其與服務器飛抵目標星瞬間的速度矢量必然等幅反向，夾角為180°，從圖10也可以直觀看出來.

兩次速度脈沖均起到減速作用，這是由交會問題特殊的末端約束條件(相對速度為零)和能耗最省的性能指標共同導致的.

4 結論

本文針對空間平臺繞飛目標星，對發(fā)射服務器與目標星實現(xiàn)精準交會和軟對接的動力學與脈沖最優(yōu)控制問題開展研究.在平臺與目標星已形成繞飛關系的條件下，服務器從平臺中射出，分離瞬間給其施加一個速度脈沖修正其飛行速度，然后服務器在C-W方程支配下憑慣性飛行，直至與目標星交會，此時再給其施加末端速度脈沖，使其相對速度減為零以實現(xiàn)軟對接.本文采用凱恩方法建立了平臺發(fā)射服務器過程的兩體耦合動力學模型，然后基于小參數(shù)正則攝動法給出了最優(yōu)速度脈沖的一階近似優(yōu)化解，并以此為迭代初值，采用非線性規(guī)劃方法算得能耗最省雙脈沖最優(yōu)解.最后用數(shù)值仿真驗證了本文所提方法的有效性.