縱向激勵下大跨鋼桁拱橋高階振型效應分析

朱光增，厲永旭，張永亮*，季 翔，朱海龍

(1. 蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070；2. 甘肅交達工程檢測科技有限公司，蘭州 730070)

在基于位移的結(jié)構(gòu)有限元線彈性分析中，結(jié)構(gòu)響應通常等效為一系列模態(tài)響應的疊加[1].由于各階振型響應對結(jié)構(gòu)總響應貢獻不一[2]，為提高計算效率，在滿足計算精度的情況下一般會忽略振型貢獻較低的振型，由此便涉及評價振型重要性的問題.在國內(nèi)外抗震設計規(guī)范中，Wilson[3]提出的實振型質(zhì)量參與系數(shù)由于概念明確、計算簡便而被廣泛應用.但是實振型質(zhì)量參與系數(shù)法是以靜態(tài)基底剪力作為控制目標，計算復雜結(jié)構(gòu)局部動力響應時，極有可能會遺漏對其他結(jié)構(gòu)響應有顯著貢獻的高階振型，造成某些地震響應量值偏小[4].另一方面，結(jié)構(gòu)的響應是地震動能量輸入下基于結(jié)構(gòu)自振特性的一個能量輸出過程.而振型參與質(zhì)量僅考慮結(jié)構(gòu)自振特性，無法考慮地震動頻譜對結(jié)構(gòu)動力響應的影響，對于復雜大跨度拱橋結(jié)構(gòu)，因其結(jié)構(gòu)復雜，構(gòu)件數(shù)量較大，所以地震反應也較為復雜，高階振型對其地震反應影響顯著[5-6].

國內(nèi)外學者對結(jié)構(gòu)高階模態(tài)效應開展了諸多研究，文獻[7-9]以高墩為例進行了高階振型的定量分析.文獻[10]以某主跨(90+180+90) m矮塔斜拉橋為例用平均模態(tài)應變能系數(shù)對該橋的主導振型進行了識別.文獻[11]以大跨網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)為例分析了高階振型對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的影響.文獻[12]以上承式鋼桁拱橋為研究對象，通過振型分解反應譜法，分析了主控振型對大跨度鋼桁拱橋主拱圈縱向地震反應的影響規(guī)律.

從既有文獻來看，目前學者對于結(jié)構(gòu)高階振型的研究大多集中在高墩，對非規(guī)則橋梁拱橋的研究較少.文獻[12]中以反應譜法計算出拱橋在地震中各階振型最大響應的最不利組合，計算結(jié)果偏大，未能精確考慮拱橋地震過程中的響應歷程及地震動對振型貢獻的影響.鑒于此，本文以某主跨490 m的上承式鋼桁拱橋為研究對象，采用時程分析振型疊加法，分離出各主控振型對大跨度鋼桁拱橋的地震反應，并對大跨鋼桁拱橋主拱圈高階振型的貢獻規(guī)律進行了分析.

1 基于時程分析振型疊加法的各階模態(tài)響應的計算方法

1.1 振型疊加法的基本原理

一致地震激勵下線彈性多自由度結(jié)構(gòu)的運動方程由于振型對質(zhì)量矩陣及剛度矩陣的正交性，以及振型對阻尼矩陣的正交條件假設，可以對其進行解耦，得到各個振型坐標的運動方程如下所示：

(1)

式中：Mj為第j階振型質(zhì)量；Cj為第j階振型阻尼；Kj為第j階振型剛度；γj為結(jié)構(gòu)的第j階振型參與系數(shù).γj表達式為

(2)

由以上推導可以看出，采用振型疊加法可以將多自由度動力反應問題轉(zhuǎn)化為一系列單自由度體系的反應問題.對于有上萬個自由度的復雜結(jié)構(gòu)，若高階振型貢獻很小，則可以忽略，只計算少量振型，在保證計算精度的前提下大大加快了計算速度[13].

1.2 振型貢獻定量指標

本文擬定先根據(jù)振型參與質(zhì)量系數(shù)篩選結(jié)構(gòu)整體主要振型，再在其中根據(jù)振型內(nèi)力貢獻率確定結(jié)構(gòu)局部區(qū)域主要振型.為此定義各階振型響應為Hn,表達式為

Hn=Nn-Nn-1.

(3)

式中：Nn為結(jié)構(gòu)第n階地震總反應；Nn-1為第n-1階地震總反應；ρn為振型貢獻率，表達式為

(4)

式中：Hn,max為結(jié)構(gòu)第n階振型地震反應最大值；Ntot,max為結(jié)構(gòu)地震總反應最大值，各參數(shù)示意圖如圖1所示.

圖1 地震總響應與第n階模態(tài)響應示意圖Fig.1 Sketch map of total seismic response and the n thorder mode

1.3 主要振型貢獻的計算步驟

采用Midas civil建立大跨度鋼桁拱橋有限元模型，進行結(jié)構(gòu)動力特性分析，由各階模態(tài)的振型參與質(zhì)量系數(shù)確定主要振型；擬定振型阻尼比為0.03，分別計算拱橋i、i-1階振型下的地震總反應峰值，并做差求出i階振型響應峰值；根據(jù)確定的主要振型，依次求出每一階主要振型各個單元最大響應值，計算出各單元主要振型內(nèi)力貢獻率.

2 計算模型介紹

2.1 工程背景

以某跨度為490 m的大跨度上承式鐵路鋼桁拱橋作為研究對象，橋梁總體布置如圖2所示.拱肋內(nèi)傾3.65°形成提籃拱，主拱圈由4片桁拱組成，每兩片組成一肋，兩片桁拱間距3.4 m，并通過橫桿連成整體[14].拱圈上設置13個立柱，上部梁體為鋼箱梁，每側(cè)相鄰兩鋼箱通過正交異性鋼橋面板、橫梁和橫肋形成分離式雙主鋼箱梁結(jié)構(gòu)形式.根據(jù)該橋?qū)嵉毓こ痰刭|(zhì)勘探資料及規(guī)范[15]劃分，橋址區(qū)工程場地類別為Ⅱ類，場地設防烈度為8度，場地特征周期為0.45 s，設計基本加速度為0.248 g.

圖2 鋼桁拱橋總體布置圖(單位：m) Fig.2 General arrangement of steel truss arch bridge (unit:m)

2.2 有限元模型

全橋采用Midas civil建立有限元質(zhì)點系模型，所有單元均采用空間梁單元進行模擬，拱腳、交界墩底固結(jié)，主拱圈與拱上立柱間采用彈性連接-剛性連接，拱上立柱與橋面系采用彈性連接，全橋共計1 037個節(jié)點、2 032個單元.將拱橋上弦桿單元沿X方向從左往右依次編號為1至41號，將下弦桿編號為1 000至1 038號，如圖3所示.

圖3 有限元動力計算模型Fig.3 Finite element dynamic calculation model

3 動力特性分析

3.1 橋梁自振特性

對拱橋進行動力特性分析，在振型累計參與質(zhì)量達到90%所需最少振型中選取單階振型參與質(zhì)量大于0.2%的振型，如表1所列.

表1 部分顯著貢獻模態(tài)

由模態(tài)分析結(jié)果可以看出，拱橋X方向貢獻最為顯著的模態(tài)為第3階模態(tài)，當振型階數(shù)達到161階時，順橋向累計振型參與質(zhì)量達到90%以上.立柱和拱肋振動的振型總共有6階，累計振型參與質(zhì)量為57.95%，交界墩振動的振型有5階，累計振型參與質(zhì)量為32.78%，由于交界墩振動為自身振動與拱圈及拱上建筑耦合性很小，故可以忽略交界墩振動的振型對拱橋的影響,只考慮立柱及拱肋振動的6階振型.為簡化計算，提高計算效率，在立柱及拱肋振動的3、15、19、20、64、109階振型中選取單階振型參與質(zhì)量大于2%的3、15、20、64階做為主要考察振型.

3.2 地震動輸入

不同的地震波其頻譜特性往往不同，所能激發(fā)的結(jié)構(gòu)振型也不相同，而結(jié)構(gòu)的響應正是由結(jié)構(gòu)所計算振型響應的疊加，所以不同的地震波則會引起結(jié)構(gòu)不同的響應.規(guī)范[16]規(guī)定考慮到地震動的隨機性，選擇的地震加速度時程曲線不應少于3組.為考慮不同地震動對振型貢獻的影響，根據(jù)該大跨鋼桁拱橋場地特征，選取安評波與特征周期相近的EI-centro波、Taft波作為輸入，地震波時程曲線如圖4所示.反應譜是地震作用的表征，可以直觀地分析單自由度結(jié)構(gòu)在不同振型下的最大響應.為此將上述3條地震波轉(zhuǎn)化為阻尼比等于0.03的反應譜曲線，并標出拱橋縱向4階主要振型的反應譜數(shù)值，反應譜如圖5所示.

圖4 地震波Fig.4 Seismic wave

圖5 反應譜Fig.5 Response spectrum

4 振型重要性分析

拱橋主拱圈是拱橋的主要承重結(jié)構(gòu)，也是抗震設計的主要關注對象，文獻[17]以本橋主拱圈為研究對象，探討了拱肋上、下弦桿主要內(nèi)力控制分量，結(jié)果表明拱肋上弦桿由彎矩和軸力控制，下弦桿由軸力控制.鑒于此本文主要考察拱肋上弦桿彎矩、軸力和下弦桿軸力中主要振型在總響應中的貢獻情況.

在橋墩基底處沿X方向輸入地震波，步長取0.02 s，假定振型阻尼比為0.03，分別取前200、300、400階振型計算拱肋上、下弦桿地震響應.計算得出當計算振型大于200階時，其地震響應已經(jīng)趨于穩(wěn)定，誤差較小，因此以300階振型的計算結(jié)果作為精確解，提取主拱圈上弦桿各個單元主要振型軸力、彎矩峰值和下弦桿軸力峰值，將各階振型響應與拱橋總響應進行對比分析.

4.1 主要振型內(nèi)力分布特征

以拱頂坐標為原點，沿X方向繪制拱肋上弦桿(坐標：-250～250 m/單元：1～41)、下弦桿(坐標：-250～250 m/單元：1 000～1 038)各階振型貢獻圖.為直觀分析各階振型對上、下弦桿地震反應的貢獻規(guī)律，計算出上、下弦桿各單元主要振型對總響應的占比，繪制為堆積圖如圖6～14所示.

圖6 安評波上弦桿軸力貢獻率Fig.6 Axial force contribution of the safety evaluation upper chord wave

圖7 安評波上弦桿彎矩貢獻率Fig.7 Bending moment contribution of the safety evaluation of the upper wave chord

圖8 EI-centro波上弦桿軸力貢獻率Fig.8 Axial force contribution of the EI-centro upper chord wave

圖9 EI-centro波上弦桿彎矩貢獻率Fig.9 Bending moment contribution of the EI-centro upper chord wave

圖11 Taft波上弦桿彎矩貢獻率Fig.11 Bending moment contribution of the Taft wave upper chord

圖12 安評波下弦桿軸力貢獻率Fig.12 Axial force contribution of the safety evaluation wave lower chord

圖13 EI-centro波下弦桿軸力貢獻率Fig.13 Axial force contribution of the EI-centro wave lower chord

圖14 Taft波下弦桿軸力貢獻率Fig.14 Axial force contribution of the Taft wave lower chord

4.2 主要振型內(nèi)力貢獻率指標

4.2.1 振型不同內(nèi)力分量差異指標

為便于分析主拱圈上、下弦桿不同內(nèi)力分量主要振型貢獻規(guī)律，引入振型內(nèi)力貢獻率差值λ

(5)

式中：n為計算單元的個數(shù)；ρi,N、ρi,M分別為計算單元的振型軸力、彎矩貢獻率.繪制3條地震動激勵下拱肋上弦桿主要振型軸力與彎矩貢獻率差值的絕對值如圖15所示.

圖15 主要振型不同內(nèi)力貢獻率差值Fig.15 Difference of internal force contribution rate of main vibration mode

4.2.2 控制振型階數(shù)指標

我國規(guī)范[16]規(guī)定:對于墩高超過40 m、墩身一階振型有效質(zhì)量低于60%的橋梁需進行專門研究.鑒于此，本文以拱肋上、下弦桿各單元總響應的2/3作為控制指標，若有1階振型貢獻大于總響應的2/3,則認為該單元為1階振型控制，除1階振型控制單元外，若有2階振型響應和大于總響應的2/3,則認為該單元為2階振型控制，以此類推將拱肋上、下弦桿劃分為在1～3階振型控制區(qū)域.3條地震波激勵下拱橋上、下弦桿不同內(nèi)力分量的控制振型單元個數(shù)如表2所列.

表2 控制振型階數(shù)分布圖

1) 大跨度鋼桁拱橋，由于結(jié)構(gòu)復雜，振型眾多，不同于以往的單階振型主控，局部區(qū)域總響應呈現(xiàn)出多階振型共同控制的現(xiàn)象.例如拱橋上弦桿軸力貢獻圖中1階振型控制單元數(shù)為25個，2、3階振型控制單元數(shù)為98個；拱橋上弦桿彎矩貢獻圖中1階振型控制單元數(shù)為34個，2、3階振型控制單元數(shù)為89個；拱橋下弦桿軸力貢獻圖中1階振型控制單元數(shù)為46個，2、3階振型控制單元數(shù)為71個.下弦桿軸力單階控制振型單元個數(shù)要多于上弦桿.

2) 拱橋上弦桿同一區(qū)域，同一階振型貢獻率因內(nèi)力分量的不同而不同.由圖15可以看出，從拱橋上弦桿部位來看，上弦桿拱腳區(qū)域不同內(nèi)力分量下振型貢獻差異最大，最大值為EI-centro波第15階振型3號單元(-250～-200 m)114%.從加載的地震動來看，3條地震波激勵下拱橋上弦桿同一階振型不同內(nèi)力分量貢獻率均不相同，但差異不大.安評波上弦桿振型內(nèi)力貢獻差值λ為18%，最大差值為3號單元(-250～200 m)15階振型88%；EI-centro波上弦桿振型內(nèi)力貢獻差值λ為20%，最大差值為3號單元15階振型114%；Taft波上弦桿振型內(nèi)力貢獻差值λ為21%，最大差值為38號單元(-250～-200 m)15階振型106%.

3) 拱橋上、下弦桿同一階振型貢獻率因區(qū)域不同而不同.從單個圖來看，以圖7為例，各階振型貢獻率在各個單元均不相同，差異最大單元為3階振型的1號(-250～-200 m)與6號(-200～-150 m)，差值69%.從拱橋上、下弦桿對比來看，以圖7、13為例，在拱肋-150～150 m區(qū)段內(nèi)，下弦桿3階振型軸力貢獻率明顯大于上弦桿3階振型軸力貢獻率，差異最大單元為上弦桿24號(0～50 m)與下弦桿1 023號(0～50 m)單元的3階振型貢獻率，差異值為75%.

4) 地震動的輸入對振型貢獻率也存在影響.在3條地震波激勵下,對比安評波、EI-centro波結(jié)果，可以明顯看出Taft波第3階振型貢獻減小.由圖5反應譜可以看出，安評波、EI-centro波第3階振型響應為第15階振型響應的1/4、2/7，而Taft波第3階振型響應為0.05 g，是第15階振型響應的1/8,遠遠小于其他主要振型響應，這直接導致了第3階振型貢獻率的減小.

5) 振型參與質(zhì)量系數(shù)是一個整體性指標，與主要振型間存在定性的正相關關系，但對于拱橋局部區(qū)域，振型參與質(zhì)量最大的振型其內(nèi)力貢獻不一定最大.如拱橋振型參與質(zhì)量最大的振型階數(shù)為第3階振型，但在拱肋上弦桿彎矩貢獻圖的拱腳區(qū)域，均出現(xiàn)15階振型貢獻率大于3階振型的情況.圖8中拱腳區(qū)域37號(200～250 m)單元15階振型貢獻率最大為78%；圖10中拱腳區(qū)域3號(-250～-200 m)單元15階振型貢獻率最大為118%；圖12中拱腳區(qū)域37號(200～250 m)單元15階振型貢獻率最大為105%.

5 結(jié)論

本文以某490 m上承式鋼桁拱橋為研究對象，根據(jù)時程分析振型疊加法的原理，分離出主要振型的時程響應峰值，通過與總響應的對比分析，得到了以下研究結(jié)論：

1) 大跨度鋼桁拱橋因構(gòu)件眾多、結(jié)構(gòu)復雜，其上、下弦桿地震內(nèi)力以2階振型合計控制為主，1階振型單獨控制為輔，個別區(qū)域為3階振型合計控制.其中上弦桿由2階振型控制的單元數(shù)量明顯多于下弦桿.

2) 拱橋拱肋不同區(qū)域、不同內(nèi)力分量的同一階振型貢獻率均不相同，這表明振型參與質(zhì)量系數(shù)為結(jié)構(gòu)整體衡量指標，對于復雜拱橋，振型參與質(zhì)量最大的振型其內(nèi)力貢獻對某一區(qū)域不一定最大，若精確分析高階振型的影響，應對振型參與質(zhì)量大的振型進行有效分離、單獨研究其貢獻.

3) 在進行大跨度復雜拱橋的時程分析時，高階振型對于總響應的貢獻與地震動的頻譜及結(jié)構(gòu)的動力特性均有密切關系.

4) 研究結(jié)論可為采用逐步積分法進行復雜鋼桁拱橋時程反應分析時，Rayleigh阻尼矩陣參數(shù)計算時控制振型的選取提供參考.