受媒體報(bào)道和疫苗接種影響的傳染病模型分析

劉中凱，劉俊利，劉白茹

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

傳染病一直是影響人們身心健康和社會發(fā)展的重要因素，每年有成千上萬的人死于傳染病，所以對預(yù)防和控制傳染病的研究具有重大意義. 隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，媒體報(bào)道的信息對人們的生活產(chǎn)生了越來越重要的影響，而媒體報(bào)道對傳染病的影響也越來越受到人們的關(guān)注. 通過媒體報(bào)道，可以提高人們的疾病防范意識，人們采取主動接種疫苗、佩戴口罩、主動隔離等措施，有效減輕了傳染病的危害，阻礙了傳染病的進(jìn)一步傳播.

文獻(xiàn)[1]提出了一個(gè)帶有媒體報(bào)道的傳染病模型，加入了一個(gè)分段連續(xù)的傳染率. 研究發(fā)現(xiàn)，如果感染的人數(shù)超過某一臨界水平，那么媒體報(bào)道就會發(fā)揮積極作用. 文獻(xiàn)[2]建立了一個(gè)非線性傳染病模型，并且提出了一種估計(jì)媒體報(bào)道系數(shù)的新方法. 研究發(fā)現(xiàn)，媒體報(bào)道雖然不影響基本再生數(shù)，但是有助于降低疾病的危害，并且降低了在地方病穩(wěn)定狀態(tài)下的感染者數(shù)量. 文獻(xiàn)[3]研究了意識對傳染病爆發(fā)的影響，并在模型中加入了兩個(gè)時(shí)滯:一個(gè)是有意識人群記憶衰退的時(shí)滯，另一個(gè)是從疾病發(fā)生到意識行為發(fā)生改變之間的時(shí)滯. 研究表明，媒體報(bào)道對疾病防控具有重要的作用. 文獻(xiàn)[4]研究了媒體報(bào)道對具有媒介傳播的傳染病的影響，建立了一個(gè)非線性傳染病模型. 通過分析發(fā)現(xiàn)，在人群中意識的存在使得疾病的侵襲變得很困難，并且通過媒體的持續(xù)報(bào)道和意識的迅速傳播，可以徹底根除這種疾病. 文獻(xiàn)[5-6]考慮到了某些疾病具有較長的潛伏期，建立了具有媒體報(bào)道和潛伏期的傳染病模型. 結(jié)果表明，媒體報(bào)道可以有效減少感染者的數(shù)量，遏制疾病傳播. 文獻(xiàn)[7-11]考慮到了在媒體報(bào)道作用下接種疫苗的情況，建立了具有媒體報(bào)道和疫苗接種共同影響的傳染病模型. 通過研究發(fā)現(xiàn)，媒體報(bào)道和疫苗接種能夠有效的減輕疾病的擴(kuò)散，減少傳染病的危害. 文獻(xiàn)[12]建立了受媒體報(bào)道和疫苗接種共同影響的傳染病模型. 研究發(fā)現(xiàn)，如果接種疫苗的人對傳染病的防范過于自信，那么媒體報(bào)道對疾病的傳播可能會產(chǎn)生不良影響. 文獻(xiàn)[13]建立了受媒體報(bào)道影響的傳染病模型，將易感者分為了有意識的易感者和無意識的易感者，并且考慮到了信息從被人們接受到發(fā)生行為改變這個(gè)過程中時(shí)滯的影響. 通過分析發(fā)現(xiàn)，在媒體報(bào)道的影響下，人們意識不斷提高，有效的減輕了傳染病的傳播.

考慮到只有有意識的易感者才會接種疫苗，而無意識的易感者不會接種疫苗，并且有意識的易感者的感染率應(yīng)該低于無意識的易感者的感染率. 因此，本文在文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)受媒體報(bào)道和疫苗接種共同影響的傳染病模型，分析了媒體報(bào)道和疫苗接種對傳染病的重要影響.

1 模型的建立

模型分為無意識的易感者Sn(t)，有意識的易感者Sa(t)，感染者I(t)，接種者V(t)和媒體報(bào)道信息量M(t)五個(gè)倉室.設(shè)總?cè)丝跒镹(t)，則N(t)=Sn(t)+Sa(t)+I(t)+V(t).設(shè)A為人口的輸入率，d為自然死亡率，a為感染疾病的死亡率，β0和β1分別為染病者對無意識的易感者的傳染率和對有意識的易感者的傳染率，并且β0>β1.λ為從無意識的易感者變成有意識的易感者的轉(zhuǎn)化率，λ0為有意識的易感者的意識喪失率，θ為有意識的易感者的疫苗接種率，r為染病者經(jīng)過治療后的康復(fù)率，μ為媒體項(xiàng)目貫徹率，μ0為媒體宣傳過程中信息耗散率，ω為接種疫苗后的免疫喪失率，p和q分別表示感染者經(jīng)過治療后恢復(fù)到無意識的易感者和有意識的易感者的比例，并且p+q=1，f和δ分別表示接種者免疫喪失后，從接種者變成無意識的易感者和有意識易感者的比例，并且f+δ=1.依據(jù)以上假設(shè)，建立如下模型：

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件為

Sn(0)≥0,Sa(0)≥0,I(0)>0,V(0)≥0,M(0)>0.

(2)

假設(shè)所有的參數(shù)都是正常數(shù).

下面研究系統(tǒng)(1)在條件(2)下解的非負(fù)性和有界性，記

由下面的定理可知Γ為系統(tǒng)(1)的正向不變集.

定理1 系統(tǒng)(1)在條件(2)下的解(Sn(t),Sa(t),I(t),V(t),M(t))始終是非負(fù)有界的.

證明：首先證明解的非負(fù)性. 將系統(tǒng)(1)表示成向量形式，令

Y=(Sn,Sa,I,V,)T∈R5，

(3)

其中F∶R5→R5且F∈C∞(R5)，則上式變?yōu)?/p>

(4)

下面證明解的有界性. 總?cè)丝贜(t)滿足下面的微分方程

從而集合Γ為系統(tǒng)(1)的正向不變集. 定理得證.

2 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

(5)

(6)

求得

(7)

其中：

X1=(ω+d)[λμ(r+d+a)+rqμ0β0]>0,

X2=β1(ω+d)(λμ+μ0β0)>0,

X3=μ0β0[(λ0+d+θ)(ω+d)-ωδθ]>0.

將系統(tǒng)(6)前四個(gè)式子相加得

由此得到關(guān)于I*的方程為

a1I*2+a2I*+a3=0,

(8)

其中：

a1=(d+a)X2,

顯然a1>0.而當(dāng)R0>1時(shí)，有a3<0，此時(shí)式(8)存在唯一的正根：

證明:系統(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為

則矩陣JE0的特征方程為

(9)

其中：c1=λ0+θ+ω+2d>0,c2=(λ0+d+fθ)ω+d(λ0+θ+d)>0， 顯然，式(9)有Z1=-d<0，Z2=-μ0<0兩個(gè)根.令

g(Z)=Z2+c1Z+c2,

顯然方程g(Z)=0的兩個(gè)根都具有負(fù)實(shí)部.又因?yàn)閆3=(R0-1)(r+d+a)，則當(dāng)R0<1時(shí)，有Z3<0，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，有Z3>0，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.定理得證.

定理4 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)E0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)L=I，L沿系統(tǒng)(1)軌線的全導(dǎo)數(shù)為

β0I(Sn+Sa)-(r+d+a)I≤

(R0-1)(r+d+a)I.

(10)

(Z+d)(Z2+b1Z+b2)=0.

定理5 假設(shè)q=0，則當(dāng)R0>1，且如下條件(11)成立時(shí)

(11)

最后，質(zhì)量管理不到位。質(zhì)量是工程施工進(jìn)度的主要影響因素之一，結(jié)合我國建筑工程實(shí)踐來看，在建筑工程施工中，針對施工人員工作行為以及技術(shù)操作的管理未得到有效的落實(shí)，不規(guī)范操作的現(xiàn)象十分常見，這為工程施工質(zhì)量埋下了嚴(yán)重的隱患，不可避免的波及到了施工進(jìn)度。

令

Hk=(-1)kDk，k=1,2,3,4,5.

Dk為矩陣JE*的k階順序主子式.計(jì)算得

H1=λM*+β0I*+d,

H2=(λM*+β0I*+d)(λ0+β1I*+θ+d)-

λ0λM*,

a)+β0I*rqθ+(β0-β1)I*rqd,

θβ0I*].

3 疾病的持久性

定理6 當(dāng)R0>1時(shí)，存在ε>0，使得具有初值條件

Sn≥(0),Sa≥(0),I(0)>0,V(0)≥(0),M(0)≥(0)

的解(Sn(t),Sa(t),I(t),V(t),M(t))滿足

證明:設(shè)

X={(Sn,Sa,I,V,M)|Sn≥0,Sa≥0,I≥0,V≥0,M≥0},

X0={(Sn,Sa,I,V,M)∈X|Sn≥0,Sa≥0,I>0,V≥0,M≥0},

?X0=XX0.

易證X和X0是正不變的，?X0為X中的閉集，系統(tǒng)(1)是點(diǎn)耗散的.定義M?為

M?={(Sn(0),Sa(0),I(0),V(0),M(0))|Sn(t),Sa(t),I(t),V(t),M(t)∈?X0,?t≥0}.

先證

M?={(Sn,Sa,0,V,M|Sn≥0,Sa≥0,V≥0,M≥0}.

所以

M?={(Sn,Sa,0,V,M|Sn≥0,Sa≥0,V≥0,M≥0}.

記

Ω=U{ω(Sn(0),Sa(0),I(0),V(0),M(0))|Sn(0),Sa(0),I(0),V(0),M(0)∈M?},

其中ω(Sn(0),Sa(0),I(0),V(0),M(0))表示從點(diǎn)(Sn(0),Sa(0),I(0),V(0),M(0))出發(fā)的解的ω-極限集.在M?上系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

因此當(dāng)t→∞時(shí)，M(t)→0，所以考慮以下極限系統(tǒng)：

(12)

(13)

則定理得證. 由文獻(xiàn)[15]知，欲使式(13)成立，只需要證明下式成立

Ws(E0)∩X0=?

(14)

這里Ws表示E0的穩(wěn)定流形.使用反證法，假設(shè)Ws(E0)∩X0≠?，則存在

(Sn(t),Sa(t),I(t),V(t),M(t))∈X0,

當(dāng)t≥0，t→∞時(shí)有

(15)

(16)

由式(15)知，存在t1>0，使得當(dāng)t>t1時(shí)，有

則由系統(tǒng)(1)得

由式(16)得，當(dāng)t→∞時(shí)，有I(t)→∞，這與式(15)矛盾，所以式(14)成立.定理得證.

4 數(shù)值模擬

為了分析媒體報(bào)道和疫苗接種在系統(tǒng)(1)中的作用，本節(jié)分別利用意識轉(zhuǎn)化率參數(shù)λ和疫苗接種率參數(shù)θ對系統(tǒng)(1)進(jìn)行了數(shù)值模擬.

首先，考慮如下參數(shù)值：

A=2,λ=0.9,β0=0.06,λ0=0.05,r=0.08,p=1,q=0,ω=0.15,f=0.8,d=1/78,β1=0.03,θ=0.9,δ=0.2,a=0.001,μ=0.3,μ0=0.1.

(17)

取初值(5,50,4,6,7)，此時(shí)R0=99.765>1，正平衡點(diǎn)E*存在，由圖1可知，正平衡點(diǎn)E*=(0.041,3.454,126.233 6,16.833 8,378.700 8)是全局漸近穩(wěn)定的.

圖1 正平衡點(diǎn)E*=(0.041, 3.045 4, 126.233 6, 16.833 8, 378.7008)全局漸近穩(wěn)定.Figure 1 Positive equilibrium E*=(0.041, 3.045 4, 126.233 6, 16.833 8, 378.7008) is globally asymptotically stable

再考慮如下參數(shù)值

A=1,λ=0.9,β0=0.006,λ0=0.05,r=0.8,p=1,q=0,ω=0.15,f=0.8,d=1/78,β1=0.003,θ=0.9,δ=0.2,a=0.01,μ=0.3,μ0=0.1.

(18)

在式(18)這組參數(shù)下，取初值(5,50,4,6,7)，此時(shí)R0=0.568 8<1由圖2可知，無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

圖2 無病平衡點(diǎn)E0=(78,0,0,0,0)全局漸近穩(wěn)定Figure 2 The disease-free equilibrium E0=(78,0,0,0,0)is globally asymptotically stable

在式(17)這組參數(shù)下，考慮意識轉(zhuǎn)化率λ和疫苗接種率θ對系統(tǒng)(1)的影響，得到圖3.首先，對意識轉(zhuǎn)化率λ進(jìn)行不同取值，得到了圖3(A). 然后對疫苗接種率θ進(jìn)行不同取值，得到了圖3(B).

圖3 I關(guān)于λ和θ的關(guān)系圖Figure 3 A diagram of Ι with λ and θ

由圖3可以看出，當(dāng)意識轉(zhuǎn)化率增加或者疫苗接種率增加時(shí)，都可以有效減少感染者的數(shù)量. 因此，當(dāng)人群中出現(xiàn)感染者時(shí)，通過媒體的持續(xù)報(bào)道，增強(qiáng)人們對疾病的防范意識以及提高疫苗的接種率，都非常有利于遏制傳染病的進(jìn)一步擴(kuò)散，有利于及時(shí)對疾病進(jìn)行有效防控.

5 結(jié) 語

本文建立了一個(gè)受媒體報(bào)道和疫苗接種共同影響的傳染病模型，假設(shè)只有有意識的人群才會接種疫苗，并且染病者對兩類易感者的傳染率是不同的.首先，證明了系統(tǒng)(1)解的非負(fù)性以及有界性，然后計(jì)算得到了模型的基本再生數(shù)R0，給出了平衡點(diǎn)存在的條件.系統(tǒng)(1)永遠(yuǎn)存在一個(gè)無病平衡點(diǎn)E0，并且在一定條件下，還存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn)E*.分析表明當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.在某些條件下，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的，并證明了疾病的持久性.通過數(shù)值模擬對理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)意識轉(zhuǎn)化率或疫苗接種率增加時(shí)，可以有效減少感染者的數(shù)量.因此，當(dāng)人群中出現(xiàn)感染者時(shí)，通過媒體的持續(xù)報(bào)道，提高人群對疾病的防范意識以及提高人群的疫苗接種率都非常有利于疾病的防控.