雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架的構(gòu)建

祖 丹，丁 銳，孔凡哲

雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架的構(gòu)建

祖 丹1，丁 銳1，孔凡哲2

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024；2．中南民族大學(xué) 教育學(xué)院，湖北 武漢 430074）

數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)能力的核心要素，數(shù)學(xué)建模能力的形成對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和提升都起到了重要作用．基于數(shù)學(xué)建模的過(guò)程性特征，從縱橫兩個(gè)角度，構(gòu)建了雙維多水平的數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架．雙維分別是覆蓋廣度和覆蓋深度，其中覆蓋廣度是指建模過(guò)程的完成情況，覆蓋深度是指模型假設(shè)能力、模型構(gòu)建能力以及模型檢驗(yàn)?zāi)芰Φ乃剑赟OLO分類理論和“關(guān)系—表征復(fù)雜性模型”，構(gòu)建了覆蓋深度下各建模子能力的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．專家咨詢和測(cè)驗(yàn)結(jié)果均證明了雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有較高的信效度，能夠較好地評(píng)價(jià)學(xué)生建模能力水平．

數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)建模能力；測(cè)評(píng)框架；覆蓋廣度；覆蓋深度

1 問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育不僅要幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法，還應(yīng)能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界[1]．?dāng)?shù)學(xué)建模是一種認(rèn)識(shí)世界的重要工具，立足于運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)關(guān)系和規(guī)律，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解和掌握程度影響其解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思維和行為方式．目前，利用評(píng)價(jià)來(lái)全面了解和診斷學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展?fàn)顩r，進(jìn)而提供針對(duì)性的數(shù)學(xué)支持，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的一種較為可行的思路．在此之前，如何構(gòu)建科學(xué)、合理的測(cè)評(píng)框架是現(xiàn)階段亟待解決的問(wèn)題．

以往的研究中，大部分研究者致力于開發(fā)數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)數(shù)學(xué)建模的總體能力進(jìn)行評(píng)價(jià)．如Herbert等人將數(shù)學(xué)建模分為3個(gè)水平：識(shí)別和理解建模（recogni- tion and understanding of modeling）、獨(dú)立建模（independent modeling）和建模元反思（meta-reflection on modeling）[2]．朱婭梅將數(shù)學(xué)建模能力分為再現(xiàn)、聯(lián)系和反思3個(gè)水平[3]．少有的關(guān)注數(shù)學(xué)建模過(guò)程性子能力的研究，如Z?ttl也僅是關(guān)注了子能力是否被“激活”[4]，并不關(guān)心學(xué)生的子能力水平．基于此，在探討數(shù)學(xué)建模能力構(gòu)成要素的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架，該框架不僅關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)建模過(guò)程的執(zhí)行情況，同時(shí)還能測(cè)量各建模子能力的水平，最后研究采用定量的方法驗(yàn)證了該框架的合理性和可操作性．

2 研究設(shè)計(jì)

首先，采用專家咨詢法驗(yàn)證測(cè)評(píng)框架及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的信效度．研究者選取了4位專家（兩位數(shù)學(xué)教育專家，兩位大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程教師）作為咨詢專家，了解他們對(duì)測(cè)評(píng)框架及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)同度．

其次，以評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，計(jì)算評(píng)分者的一致性．基于分析框架，結(jié)合PISA測(cè)試和《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，自編數(shù)學(xué)建模能力測(cè)試卷，并進(jìn)行測(cè)試．選取H市五～八年級(jí)學(xué)生作為被試，共發(fā)放236份問(wèn)卷，回收236份，其中有效問(wèn)卷213份，有效率90.25%．隨機(jī)選取40份試卷，要求3位數(shù)學(xué)教育研究者分別獨(dú)立對(duì)40份試卷評(píng)分，并計(jì)算評(píng)分者一致性（肯德爾系數(shù)）．

最后，針對(duì)測(cè)驗(yàn)結(jié)果，利用方差分析計(jì)算不同年級(jí)的學(xué)生在各維度上的得分差異，以此驗(yàn)證測(cè)評(píng)框架的可操作性和合理性．

3 數(shù)學(xué)建模能力的內(nèi)涵及測(cè)評(píng)框架的構(gòu)建

3.1 數(shù)學(xué)建模能力的內(nèi)涵和要素構(gòu)成

對(duì)數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)的首要任務(wù)是明晰數(shù)學(xué)建模能力的內(nèi)涵及構(gòu)成要素．通過(guò)對(duì)已有研究的梳理，國(guó)際上對(duì)數(shù)學(xué)建模能力構(gòu)成要素的劃分大體可以分為以下兩個(gè)視角：一種是從縱向的角度，對(duì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程進(jìn)行分解；一種是橫向的角度，分析不同的數(shù)學(xué)建模階段所需的所有子能力．

已有對(duì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程的劃分，影響最廣的是Blum等人的研究．早期Blum[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是從現(xiàn)實(shí)情境到現(xiàn)實(shí)模型、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)結(jié)果最終回到現(xiàn)實(shí)情境的一個(gè)循環(huán)過(guò)程（如圖1），后來(lái)考慮到現(xiàn)實(shí)情境的復(fù)雜性，他們?cè)谠锌蚣苤屑尤搿扒榫澳Ｐ汀焙汀艾F(xiàn)實(shí)結(jié)果”，用以分析個(gè)體理解任務(wù)的能力，將4個(gè)階段細(xì)化成6個(gè)階段．之后的研究者選取不同的視角，對(duì)Blum的框架進(jìn)行調(diào)整，如Greefrath增加計(jì)算機(jī)技術(shù)環(huán)節(jié)[6]，Borromeo從心理學(xué)的視角描述數(shù)學(xué)建模周期[7]，Galbraith 將數(shù)學(xué)建模描述為一種雙向循環(huán)的過(guò)程[8]等．PISA認(rèn)為積極參與問(wèn)題解決或數(shù)學(xué)建模的學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷：數(shù)學(xué)化、應(yīng)用、闡釋與評(píng)估3個(gè)步驟．簡(jiǎn)要說(shuō)來(lái)，“數(shù)學(xué)化”指運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法表示現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．“應(yīng)用”指利用數(shù)學(xué)概念、程序、事實(shí)和工具來(lái)推導(dǎo)數(shù)學(xué)解．“闡釋與評(píng)估”指反思解決方案或結(jié)果，并在現(xiàn)實(shí)背景下解釋它們[9]．

對(duì)應(yīng)建模過(guò)程各階段，Blum和Kaiser等人將數(shù)學(xué)建模能力劃分為：解決實(shí)際問(wèn)題并構(gòu)建現(xiàn)實(shí)模型的能力、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力、求解數(shù)學(xué)模型能力、在現(xiàn)實(shí)模型或現(xiàn)實(shí)情境中解釋數(shù)學(xué)結(jié)果的能力以及驗(yàn)證結(jié)果合理性的能力[10]．

圖1 數(shù)學(xué)建模循環(huán)過(guò)程

除了依據(jù)數(shù)學(xué)建模進(jìn)程劃分的一系列子能力，研究者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在建模時(shí)，并不是完全遵照建模進(jìn)程，有時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)逆行的現(xiàn)象，如從數(shù)學(xué)模型返回到現(xiàn)實(shí)模型．從心理學(xué)的角度來(lái)看，他們認(rèn)為這是學(xué)生的自我監(jiān)督和反思．基于此，Vorh?lter等人認(rèn)為元認(rèn)知能力也是重要的建模能力[11]．除了認(rèn)知和元認(rèn)知能力，Biccard認(rèn)為學(xué)生在建模時(shí)還需要情感能力，這里情感能力主要指的是信念[12]．Maab認(rèn)為成功完成數(shù)學(xué)建模任務(wù)還需要有運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的意識(shí)、解題的方向感以及論證能力等[10]．隨著研究的深入，除了個(gè)體的數(shù)學(xué)建模能力，Biccard和Wessels還研究了團(tuán)隊(duì)建模能力[13]．盡管從橫向角度分析數(shù)學(xué)建模能力的研究越來(lái)越多，但隨著子能力的增加，建模能力的構(gòu)成要素越復(fù)雜，也就越難以測(cè)量和評(píng)價(jià)．因此，有必要進(jìn)一步分析建模能力的基本構(gòu)成要素，并構(gòu)建可供測(cè)評(píng)的建模能力框架．

基于Blum和PISA的研究，研究從縱向的角度將數(shù)學(xué)建模過(guò)程分解為模型假設(shè)、模型構(gòu)建、模型檢驗(yàn)．下面進(jìn)一步解釋這3個(gè)步驟，數(shù)學(xué)建模的核心是刻畫事物之間的數(shù)量關(guān)系，而如何刻畫事物之間的關(guān)系全憑人們的想象，可以將這個(gè)想象稱之為模型假設(shè)[14]．模型假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的第一步，指建模者對(duì)情境中的信息進(jìn)行理解、編碼，進(jìn)而針對(duì)問(wèn)題目標(biāo)篩選主要變量，并對(duì)主要變量的關(guān)系做出合理化假設(shè)的過(guò)程．其次，模型構(gòu)建是個(gè)體選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、公式和定理近似地刻畫現(xiàn)實(shí)中一類問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，并得到數(shù)學(xué)解的過(guò)程．最后，模型檢驗(yàn)是使現(xiàn)有模型逐漸貼近真模最重要的一步，是對(duì)結(jié)果、模型和解決方案進(jìn)行反思的過(guò)程，其最終目的是根據(jù)反饋信息評(píng)價(jià)和調(diào)整模型．對(duì)應(yīng)這3個(gè)階段，可以將數(shù)學(xué)建模能力劃分成3個(gè)過(guò)程性子能力（如表1）．

表1 數(shù)學(xué)建模過(guò)程能力分解

3.2 數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架構(gòu)建

Box和Draper認(rèn)為模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種簡(jiǎn)化抽象，所有的模型都是錯(cuò)誤的，但有些是有用的[15]．事實(shí)上，建模者對(duì)數(shù)量關(guān)系的刻畫有可能是“正確的”，也可能是“錯(cuò)誤”的．這種“錯(cuò)誤”不是一種“失敗的解決方案”，而是對(duì)現(xiàn)實(shí)的片面解釋．

在一次測(cè)驗(yàn)中，研究者要求學(xué)生回答“牛吃草問(wèn)題”：草場(chǎng)里有牛喜歡吃的草，23頭?？稍?0天內(nèi)吃完，33頭?？稍?0天內(nèi)吃完，問(wèn)這些草可供43頭牛吃幾天？L學(xué)生認(rèn)為可以吃10天，并且給出了算式“牛的數(shù)量-23=30-天數(shù)”，研究者問(wèn)：“你覺(jué)得你的答案正確嗎？”L學(xué)生回答：“我將23、30和33、20分別帶進(jìn)去，等式成立，所以我認(rèn)為是正確的．”此時(shí)該學(xué)生完成了數(shù)學(xué)建模的3個(gè)步驟，但因?yàn)楹鲆暶刻炷敛荻紩?huì)生長(zhǎng)，且沒(méi)有考慮每頭牛吃草速率不同等現(xiàn)實(shí)意義，并沒(méi)有得到“正確的”數(shù)學(xué)解．事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模問(wèn)題具有情境開放、方法和結(jié)果多樣等特點(diǎn)，簡(jiǎn)單地根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果正確與否來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模表現(xiàn)并不恰當(dāng)．

正如上述例子，雖然這個(gè)學(xué)生沒(méi)有構(gòu)建“正確”的數(shù)學(xué)模型，但相對(duì)那些完全沒(méi)有回答的學(xué)生來(lái)說(shuō)，該學(xué)生執(zhí)行了數(shù)學(xué)建模的部分過(guò)程，因此，出于對(duì)這種現(xiàn)實(shí)情況的考慮，研究認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的完成度可以作為衡量數(shù)學(xué)建模能力水平的重要指標(biāo)．進(jìn)一步Jesen認(rèn)為可以用覆蓋度（degree of coverage）來(lái)描述學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平．個(gè)體能夠自發(fā)激活數(shù)學(xué)能力的子程序的數(shù)量越多，則數(shù)學(xué)能力的覆蓋越廣，學(xué)生的能力水平越高[16]．從過(guò)程的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)建模過(guò)程中各步驟之間存在遞進(jìn)關(guān)系，前一步是后一步的基礎(chǔ)．根據(jù)Jesen的研究，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的過(guò)程性特征，個(gè)體在一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中所能激活的過(guò)程性子程序的數(shù)量，即對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的完成度．因此，個(gè)體激活的子程序越多，則表示經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建模步驟越多，將這種從水平的方向評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的維度稱之為覆蓋廣度（如圖2（）所示，其中，S表示模型假設(shè)步驟，M表示模型構(gòu)建步驟，V表示模型檢驗(yàn)步驟）．

這種利用覆蓋廣度評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)建模能力的做法盡管簡(jiǎn)單易行，但也存在一定的問(wèn)題．如在研究“玉米的生長(zhǎng)高度與時(shí)間的關(guān)系”問(wèn)題時(shí)，建模者們分別用線性模型和非線性模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，雖然均能夠得到數(shù)學(xué)解，但兩個(gè)模型對(duì)現(xiàn)實(shí)的解釋程度有高低之分．從結(jié)果的角度來(lái)看，學(xué)生數(shù)學(xué)建模得到的結(jié)果對(duì)現(xiàn)實(shí)的解釋度越高，其數(shù)學(xué)建模能力越強(qiáng)．需要注意的是，個(gè)體在建模各階段的作答表現(xiàn)均會(huì)影響最終的建模結(jié)果，而學(xué)生各子能力的水平?jīng)Q定了其在各階段的作答表現(xiàn)．因此，可以通過(guò)描述各子能力的水平來(lái)判斷個(gè)體的數(shù)學(xué)建模能力水平，將這種從垂直的方向評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的維度稱之為覆蓋深度．?dāng)?shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)的覆蓋深度維度涵蓋3個(gè)二級(jí)指標(biāo)：模型假設(shè)能力水平、模型構(gòu)建能力水平、模型檢驗(yàn)?zāi)芰λ?，如圖2（）所示．

總之，可以從“過(guò)程的完成度”和“結(jié)果的有效性”兩個(gè)方面描述學(xué)生的作答表現(xiàn)．對(duì)應(yīng)于這兩方面，研究將覆蓋廣度和覆蓋深度作為衡量個(gè)體數(shù)學(xué)建模能力的標(biāo)尺．

如圖2（）所示，覆蓋廣度和覆蓋深度分別從橫向和縱向兩個(gè)維度評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力．從橫向上來(lái)看，每多覆蓋一種顏色的格子，意味著個(gè)體能激活更多種類的子能力；從縱向上來(lái)看，每列格子數(shù)越多說(shuō)明該列建模子能力水平越高．

圖2 數(shù)學(xué)建模能力分析框架

圖3為學(xué)生作答表現(xiàn)的兩種示例，封閉圖形區(qū)域表示學(xué)生在各維度上的水平．圖3（）中，A學(xué)生在各維度的表現(xiàn)分別為：完成了建模的兩步，模型假設(shè)能力處于水平2，模型構(gòu)建能力處于水平1．圖3（）中，B學(xué)生在各維度的表現(xiàn)分別為：完成了建模的兩步，模型假設(shè)能力處于水平1，模型構(gòu)建能力處于水平0．

圖3 建模能力測(cè)評(píng)框架應(yīng)用實(shí)例

4 數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)建

根據(jù)上述建模能力的評(píng)價(jià)框架，下面分別說(shuō)明如何從覆蓋廣度和覆蓋深度兩個(gè)維度評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力水平．

4.1 覆蓋廣度維度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

覆蓋廣度維度測(cè)量的是個(gè)體數(shù)學(xué)建模過(guò)程的完成度，這是從過(guò)程的角度對(duì)數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行評(píng)價(jià)．具體來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)個(gè)體在一次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中累積完成的步驟來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生在覆蓋廣度維度上的表現(xiàn)，即能夠自覺(jué)完成數(shù)學(xué)建模過(guò)程的步驟越多，則覆蓋廣度維度得分越高．

4.2 覆蓋深度維度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

覆蓋深度維度是測(cè)量個(gè)體數(shù)學(xué)建模各子能力水平，這是從結(jié)果的角度對(duì)數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行評(píng)價(jià)．基于辛自強(qiáng)的關(guān)系—表征復(fù)雜性模型和SOLO分類法，研究分別對(duì)數(shù)學(xué)建模各子能力水平進(jìn)行劃分，并使用例1來(lái)說(shuō)明學(xué)生在不同子能力上的水平表現(xiàn)．

例1 姚明身高2.26米．某次姚明受邀參加“一日學(xué)生”的活動(dòng)，與同學(xué)們一起上課．請(qǐng)問(wèn)姚明需要多高的課桌（桌面高）和座椅（椅面高）？

（1）要解決這個(gè)問(wèn)題，你認(rèn)為都需要考慮哪些量？

（2）寫出你會(huì)用到數(shù)學(xué)式子并計(jì)算．

（3）你能在數(shù)學(xué)或現(xiàn)實(shí)背景下檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎？

（4）現(xiàn)在有一個(gè)人的身高為（單位：cm），他需要的椅子面高為（單位：cm），你能寫出身高與椅面高的關(guān)系式嗎？

此題為開放式問(wèn)題，結(jié)果并不唯一，允許學(xué)生自由尋找解決方案，選擇建模方法．

（1）模型假設(shè)能力的水平劃分．

現(xiàn)實(shí)情境往往是雜亂無(wú)章的，建模者在模型假設(shè)時(shí)，需要在大量的無(wú)關(guān)變量或弱相關(guān)變量中，識(shí)別關(guān)鍵變量并且對(duì)這些關(guān)鍵變量的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征．例如，在研究“植物的生長(zhǎng)期問(wèn)題”時(shí)，日照時(shí)長(zhǎng)、灌溉量、土壤等因素均會(huì)影響植物的生長(zhǎng)期，這里建模者無(wú)需考慮全部的影響因素，而是根據(jù)研究目的控制一些無(wú)關(guān)變量，僅考慮主要因素之間的關(guān)系即可．個(gè)體具體表征了多少個(gè)變量且這些變量關(guān)系的復(fù)雜程度受限于建模者的模型假設(shè)能力水平．

辛自強(qiáng)提出的“關(guān)系—表征復(fù)雜性模型”從表征廣度和表征深度兩方面描述了個(gè)體表征的水平[17]．“關(guān)系—表征復(fù)雜性模型”是從問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)入手，判斷學(xué)生的表征水平，此時(shí)問(wèn)題的難度和考查的知識(shí)點(diǎn)是由出題者控制的．而在解決數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，往往需要學(xué)生針對(duì)問(wèn)題目標(biāo)自行提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，此時(shí)題目?jī)?nèi)部各變量及其關(guān)系取決于建模者．因此，個(gè)體的模型假設(shè)能力水平可以通過(guò)其對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化表征的復(fù)雜程度來(lái)確定．

研究基于“關(guān)系—表征復(fù)雜性模型”，結(jié)合Biggs提出的SOLO分類理論，將模型假設(shè)能力劃分為4個(gè)水平（表2）．

表2 模型假設(shè)能力的水平劃分及學(xué)生表現(xiàn)

模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的簡(jiǎn)化，它描述了某一現(xiàn)象的本質(zhì)特征，控制或忽略其它無(wú)關(guān)特征．一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生識(shí)別變量和表征它們的關(guān)系是同時(shí)進(jìn)行的．如果學(xué)生的假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單，意味著他們提取的關(guān)鍵變量較少，刻畫的數(shù)學(xué)關(guān)系較為簡(jiǎn)單．

（2）模型構(gòu)建能力水平劃分．

將假設(shè)付諸實(shí)際的過(guò)程，需要大量使用數(shù)學(xué)中已經(jīng)成熟的運(yùn)算法則和推理法則．在對(duì)主要變量的關(guān)系進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理時(shí)，不同模型構(gòu)建能力水平的建模者選擇的建模思路和策略有所不同，這種差異最終會(huì)影響模型的有效性，因此，對(duì)個(gè)體模型構(gòu)建能力的描述可以從“模型的有效性”入手．所謂“模型的有效性”包括：模型的適用范圍和對(duì)現(xiàn)象的解釋度．模型適用范圍的有限性是數(shù)學(xué)模型的基本性質(zhì)，這個(gè)適用范圍通常表現(xiàn)于模型的假設(shè)前提，表現(xiàn)于模型的初始值，或者表現(xiàn)于對(duì)模型參數(shù)的某些限制[14]．作為溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的橋梁，除了數(shù)學(xué)價(jià)值，人們還關(guān)注模型的應(yīng)用價(jià)值，適用性強(qiáng)的模型具備強(qiáng)遷移性，改編參數(shù)值結(jié)果相差不大，此時(shí)模型具備較高的應(yīng)用價(jià)值．模型對(duì)現(xiàn)象的解釋度指數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)象的近似刻畫的程度，即模型與真模之間的距離，構(gòu)建的模型越貼近于真模，其對(duì)當(dāng)前現(xiàn)象的解釋度就越好．研究以“模型的有效性”作為測(cè)量模型構(gòu)建能力的指標(biāo)，基于SOLO分類理論將個(gè)體模型構(gòu)建能力劃分為4個(gè)水平（表3）．

表3 模型構(gòu)建能力的水平劃分及學(xué)生表現(xiàn)

值得注意的是，構(gòu)建模型時(shí)需要平衡模型的適用范圍與解釋度．有的模型具有非常廣泛的適用范圍，但是對(duì)現(xiàn)象的解釋度較低；有的模型過(guò)于具體，雖然對(duì)當(dāng)前現(xiàn)象有較好的解釋，但不具有遷移屬性，應(yīng)用價(jià)值較低．因此，在考察學(xué)生的模型構(gòu)建能力水平時(shí)，要綜合考慮其構(gòu)建模型的一般性與解釋度．

（3）模型檢驗(yàn)?zāi)芰λ絼澐郑?/p>

由于現(xiàn)實(shí)情境中信息的不確定性，數(shù)學(xué)建模的“目標(biāo)”與“結(jié)果”并不是單一映射，而是保持一種“動(dòng)態(tài)平衡”．?dāng)?shù)學(xué)建模是一個(gè)迭代的過(guò)程，在反復(fù)迭代過(guò)程中模型對(duì)現(xiàn)象的描述、解釋和預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性越來(lái)越高，建模結(jié)果也越來(lái)越貼近真值．因此，需要對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行檢驗(yàn)，以便及時(shí)調(diào)整解決方案或模型，使其更好地解釋現(xiàn)象．

PISA（2021）認(rèn)為闡釋與評(píng)估素養(yǎng)是指?jìng)€(gè)體反思數(shù)學(xué)解決方案、結(jié)果或結(jié)論的能力．具體來(lái)說(shuō)，可以從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行解釋、應(yīng)用和評(píng)估：解釋圖形或圖表信息；根據(jù)問(wèn)題情境評(píng)估數(shù)學(xué)結(jié)果；回到現(xiàn)實(shí)世界解讀數(shù)學(xué)結(jié)果；在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景下評(píng)估數(shù)學(xué)解決方案的合理性；理解現(xiàn)實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算程序或建模結(jié)果的影響，并為調(diào)整和應(yīng)用結(jié)果做出相關(guān)判斷；在給定背景下解釋數(shù)學(xué)結(jié)果或結(jié)論是否具有意義；理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)解的限定范圍；評(píng)價(jià)和識(shí)別數(shù)學(xué)模型的適用范圍；運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和計(jì)算做出預(yù)測(cè)，并比較和檢驗(yàn)解決方案[9]．就數(shù)學(xué)建模而言，Blum認(rèn)為模型檢驗(yàn)包括檢驗(yàn)、反思、分析、評(píng)價(jià)模型和建模結(jié)果[18]．

根據(jù)Blum和PISA（2021）的研究，就檢驗(yàn)對(duì)象而言，可以分為對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的檢驗(yàn)和對(duì)解決方案或模型的檢驗(yàn)．從檢驗(yàn)的范圍來(lái)看，可以在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)背景下對(duì)模型和結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)．研究中模型檢驗(yàn)包括3部分內(nèi)容：在數(shù)學(xué)背景下檢驗(yàn)結(jié)果的正確性、在現(xiàn)實(shí)背景下檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、評(píng)價(jià)解決方案的合理性和模型的局限性．基于SOLO分類理論將個(gè)體模型檢驗(yàn)?zāi)芰澐譃?個(gè)水平（如表4）．

表4 模型檢驗(yàn)?zāi)芰Φ乃絼澐旨皩W(xué)生表現(xiàn)

事實(shí)上，在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，為使模型更貼近真模，建模者一般從結(jié)果出發(fā)，對(duì)得到的結(jié)果、解決方案以及模型提出合理的質(zhì)疑，并以此作為修正模型的基礎(chǔ)．

5 雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的驗(yàn)證

首先，專家咨詢的結(jié)果顯示，專家們對(duì)各個(gè)指標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)同度較高，均達(dá)到了“認(rèn)同”以上的程度（1為非常不認(rèn)同，5為非常認(rèn)同），說(shuō)明該測(cè)評(píng)框架具有較好的效度（如表5）．根據(jù)專家對(duì)各維度、指標(biāo)的認(rèn)同度，計(jì)算肯德爾系數(shù)為0.787，說(shuō)明專家們的意見較為一致，具有良好的信度．

表5 專家認(rèn)同度

其次，評(píng)分者一致性的結(jié)果顯示，3位評(píng)分者對(duì)試卷評(píng)分的肯德爾系數(shù)均高于0.7，說(shuō)明不同評(píng)分者利用同一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分結(jié)果一致性較高，該評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有較好信度．

最后，根據(jù)學(xué)生在此次測(cè)驗(yàn)中的表現(xiàn)，進(jìn)一步分析該測(cè)評(píng)框架和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的區(qū)分度以及學(xué)生的表現(xiàn)．方差分析結(jié)果顯示，不同年級(jí)的學(xué)生在各維度上的表現(xiàn)具有顯著差異，且在各個(gè)水平上均有學(xué)生分布，說(shuō)明測(cè)評(píng)框架和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)能夠分析不同年級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展?fàn)顩r，具有較好的區(qū)分度和合理性．

具體分析學(xué)生在各維度的表現(xiàn)，不同年級(jí)學(xué)生在覆蓋廣度維度的得分有顯著差異（=5.048，=0.008，效應(yīng)量= 0.27）．具體來(lái)看，62%的學(xué)生有能力完成兩步及以上的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，這說(shuō)明大部分中小學(xué)生能夠圍繞問(wèn)題目標(biāo)進(jìn)行模型構(gòu)建活動(dòng)，初步具備了一定的建模意識(shí)．

但從覆蓋深度維度來(lái)看，如圖4所示，大部分學(xué)生在各建模階段上的表現(xiàn)并不是很好．具體來(lái)說(shuō)，不同年級(jí)的學(xué)生模型假設(shè)能力水平差異顯著（=4.633，=0.004，效應(yīng)量= 0.26）．在面對(duì)情境開放的問(wèn)題時(shí)，大部分學(xué)生能夠基于生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)關(guān)鍵變量及其關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單描述．

圖4 學(xué)生的各子能力水平統(tǒng)計(jì)結(jié)果

其次，不同年級(jí)的學(xué)生模型構(gòu)建能力水平有顯著差異（=5.886，=0.001，效應(yīng)量=0.29）．總的來(lái)說(shuō)，學(xué)生在解決開放問(wèn)題時(shí)，在模型構(gòu)建階段上的表現(xiàn)較差，其中，59%的學(xué)生處于水平1及以上，且僅有16%的學(xué)生處于水平2及以上，可見大部分學(xué)生僅采用直接估計(jì)等方法構(gòu)建模型，鮮有學(xué)生使用列比例式、三角函數(shù)等方法構(gòu)建模型．實(shí)際上，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中接觸的大部分問(wèn)題是已經(jīng)“去現(xiàn)實(shí)化”的應(yīng)用問(wèn)題，因此，中小學(xué)生已經(jīng)形成了解“應(yīng)用題”的慣性思維，只要是老師提出的或者教科書上的問(wèn)題就是可以解的且有意義的；每個(gè)題目都有單一的、精確的解，題目中給出的數(shù)字必須使用；不必在意相關(guān)內(nèi)容是否違背常識(shí)[19]．而這種對(duì)某一知識(shí)、技能的操作性訓(xùn)練，本質(zhì)上還是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行解題活動(dòng)，并沒(méi)有聯(lián)系實(shí)際．因此，當(dāng)遇到與現(xiàn)實(shí)情境緊密相連的開放問(wèn)題，尤其是如例1這樣僅給出“2.26”一個(gè)數(shù)字信息的問(wèn)題時(shí)，大部分學(xué)生秉持可行性原則，盡可能僅利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)直接估計(jì)桌子的高度（如圖5），只有較少的學(xué)生能夠想到利用自己的桌高、椅高等隱含信息求解．

最后，不同年級(jí)學(xué)生的模型檢驗(yàn)?zāi)芰λ接酗@著差異（=13.840，=0.000，效應(yīng)量=0.44）．學(xué)生的模型檢驗(yàn)?zāi)芰λ捷^低，81%的學(xué)生還處于水平0，即沒(méi)有進(jìn)行檢驗(yàn)或僅進(jìn)行了直覺(jué)檢驗(yàn)．有13%的學(xué)生處于水平1，這部分學(xué)生更關(guān)注數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的運(yùn)算程序以及數(shù)學(xué)結(jié)果的正確性，并不關(guān)心計(jì)算的數(shù)學(xué)結(jié)果是否符合現(xiàn)實(shí)情況，比如：

主試：你檢驗(yàn)了哪些內(nèi)容？

被試：我就回去看了一下結(jié)果跟題目要求是不是一樣（相符）．

主試：你都知道哪些檢驗(yàn)方法？

被試：我們老師教我們做完題要再驗(yàn)算一遍，要不把結(jié)果帶到題目中再看一遍數(shù)對(duì)不對(duì)．

可見，教師在日常教學(xué)中更強(qiáng)調(diào)檢查計(jì)算結(jié)果的正確性，較少要求學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景下反思建模方案和結(jié)果的合理性，這可能是導(dǎo)致學(xué)生模型檢驗(yàn)?zāi)芰λ降偷闹匾颍陙?lái)，數(shù)學(xué)課標(biāo)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力提出了越來(lái)越高的要求，但對(duì)建模過(guò)程中的“檢驗(yàn)”與“應(yīng)用”步驟的重視程度不高[20]．教學(xué)中片面強(qiáng)調(diào)知識(shí)、技能，忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，也使得學(xué)生較少有機(jī)會(huì)去質(zhì)疑結(jié)果是否符合現(xiàn)實(shí)．

圖5 學(xué)生A回答例1的表現(xiàn)

6 結(jié)論及啟示

首先，研究以過(guò)程為導(dǎo)向構(gòu)建了雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架，該測(cè)評(píng)框架包括覆蓋廣度和覆蓋深度兩個(gè)維度．專家咨詢結(jié)果顯示，專家對(duì)研究構(gòu)建的建模能力測(cè)評(píng)框架的認(rèn)同度較高，因此，測(cè)評(píng)框架具有較好的專家信效度．

其次，研究基于雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架自編了測(cè)試題，并進(jìn)行了一次小規(guī)模的調(diào)研，以測(cè)量中小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力．結(jié)果顯示，多位評(píng)分者分別依據(jù)測(cè)評(píng)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)試卷進(jìn)行評(píng)分的一致性較高，說(shuō)明評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有較好的信度和可操作性．同時(shí)，測(cè)試結(jié)果也表明該測(cè)評(píng)框架和標(biāo)準(zhǔn)不但能夠清晰地體現(xiàn)建模的基本過(guò)程，還能夠較好區(qū)分學(xué)生在不同建模階段的表現(xiàn)水平．

最后，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在面對(duì)真實(shí)情境的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)較差．在實(shí)際教學(xué)中，教師可以增設(shè)真實(shí)情境問(wèn)題，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)積累解決數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)教師也可以依據(jù)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行診斷，并提出針對(duì)性的指導(dǎo)意見．Greer認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是使用一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)組織和描述一種情況或現(xiàn)象的過(guò)程，是將某種現(xiàn)實(shí)情況“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程[21]．因此，在設(shè)計(jì)情境問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)．（1）情境應(yīng)貼合學(xué)生的實(shí)際生活，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)結(jié)合現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)理解題目隱含的信息，只有這樣學(xué)生才能夠嘗試假設(shè)、構(gòu)建和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）應(yīng)合理處理數(shù)學(xué)內(nèi)容與問(wèn)題情境的關(guān)系．簡(jiǎn)單地說(shuō)，設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)該是具有現(xiàn)實(shí)意義和研究?jī)r(jià)值的“真問(wèn)題”．（3）在設(shè)置問(wèn)題難度時(shí)，除了預(yù)設(shè)不同難度的問(wèn)題，還可以增加一些條件和結(jié)果開放的問(wèn)題，讓不同能力水平的學(xué)生均有作答機(jī)會(huì)，以便更好地診斷學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力水平，并提供個(gè)性化的教學(xué)設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)建議．

[1] 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：1．

[2] HENNING H, KEUNE M. Levels of modeling competencies [M] // BLUM W, GALBRAITH P L, HENN H W, et al. Modeling and applications in mathematics education: The 14th ICMI study. New York: Springer, 2007: 225-232.

[3] 朱婭梅．義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力評(píng)價(jià)框架和行為測(cè)評(píng)指標(biāo)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：95．

[4] Z?ttl L, UFER S, REISS K. Assessing modeling competencies using a multidimensional IRT approach [M] // KAISER G, BLUM W, FERRI B R, et al. Proceedings of the 14th international conference on the teaching of mathematical modeling and applications. New York: Springer, 2011: 427-436.

[5] CAI J, CIRILLO M, PELESKO J, et al. Mathematical modeling in school education: Mathematical, cognitive, curricular, instructional and teacher education perspectives [M] // LILJEDAHL P, NICOL C, OESTERLE S, et al. Proceedings of the joint meeting of PME 38 and PME-NA 36, PME-NA. British Columbia: Vancouver, 2014: 145–172.

[6] GREEFRATH G. Using technologies: New possibilities of teaching and learning modeling-overview [M] // KAISER G, BLUM W, FERRI B R, et al. Proceedings of the 14th international conference on the teaching of mathematical modeling and applications. New York: Springer, 2011: 302-303.

[7] FERRI B R. Theoretical and empirical differentiations of phases in the modeling process [J]. ZDM, 2006, 38 (2): 86–95.

[8] GALBRAITH P, STILLMAN G. A framework for identifying student blockages during transitions in the modeling process [J]. ZDM, 2006, 38 (2): 143-162.

[9] OCED. PISA 2021 mathematics framework (second draft) [M]. Paris: OECD Publishing, 2018: 21-22.

[10] MAAB K. What are modeling competencies [J]. ZDM, 2006, 38 (2): 113-142.

[11] VORHOLER K. Measuring metacognitive modeling competencies [M] // STILLMAN G A, BLUM W, KAISER G. Mathematical modeling and applications. New York: Springer, 2017: 175-185.

[12] BICCARD P, WESSELS D. Development of affective modeling competencies in primary school learners [J]. Pythagoras, 2011, 32 (1): 1-9.

[13] BICCARD P, WESSELS D. Six principles to assess modeling abilities of students working in groups [M] // STILLMAN G A, BLUM W, KAISER G. Mathematical modeling and applications. New York: Springer, 2017: 589-599.

[14] 史寧中．?dāng)?shù)學(xué)思想概論：自然界中的數(shù)學(xué)模型[M]．長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2015：104-130．

[15] KAISER G，STILLMAN G. A global survey of international perspectives on modeling in mathematics education [J]. ZDM, 2006, 38 (3): 302-310.

[16] JENSEN H T. Assessing mathematical modeling competency [M] // HAINES C, GALBRAITH P L, BLUM W, et al. Proceedings from the 12th international conference on the teaching of mathematical modeling and applications. UK: Horwood Publishing Limited, 2007: 141-148.

[17] 辛自強(qiáng)，張莉．基于關(guān)系—表征復(fù)雜性模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題表征能力測(cè)驗(yàn)[J]．心理發(fā)展與教育，2009，25（1）：34-40．

[18] BLUM W, LEIB D. How do students’ and teachers deal with modeling problems? [M] // HAINES C, GALBRAITH P, BLUM W, et al. Mathematical modeling: Education, engineering and economics. Chichester: Horwood, 2007: 222-231.

[19] ?GREER B, VERSCHAFFEL L, MUKHOPADHYAY S. Modeling for life: Mathematics and children’s experience [M] // BLUM W, GALBRAITH P L, HENN H W, et al. Modeling and applications in mathematics education: The 14th ICMI study. New York: Springer, 2007: 89-98.

[20] 黃健，魯小莉，王鴦?dòng)?，等?0世紀(jì)以來(lái)中國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（3）：22．

[21] GREER B. Modeling reality in mathematics classrooms: The case of word problems [J]. Learning & Instruction, 1997，7 (4): 293-307.

The Construction of a Two-Dimensional and Muti-Level Evaluation Framework

ZU Dan1, DING Rui1, KONG Fan-zhe2

(1. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. School of Education, South-Central University for Nationalities, Hubei Wuhan 430074, China)

Mathematical modeling capacity, as one of the core elements of mathematical capacities, is of great importance to foster and improve students’ mathematical key competences. Based on the procedural features of mathematical modeling, this study constructs a two-dimensional and multi-level evaluation framework for mathematical modeling capacity from both vertical and horizontal perspectives. The two dimensions are coverage span and coverage depth respectively. Coverage span focuses on the completion of modeling process, and coverage depth focuses on the level of model assumption ability, model construction ability and model testing ability. Based on SOLO classification theory and the “Relational-Representational Complexity Model”, proposed by Xin Zi-qiang, and combined with the analysis of students’ performance, the evaluation criteria of each modeling sub-capability under the coverage depth are constructed. The expert consultation and test results confirm that this evaluation framework and evaluation criteria of the two-dimension and multi-level mathematical modeling capacity have high reliability and validity, and can distinguish and evaluate students’ modeling capacity as expected.

mathematical modeling; mathematical modeling capacity; evaluation framework; coverage span; coverage depth

G40–034

A

1004–9894（2022）04–0056–06

祖丹，丁銳，孔凡哲．雙維多水平數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架的構(gòu)建[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（4）：56-61．

2022–02–09

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金2019年度一般項(xiàng)目——小學(xué)生數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的構(gòu)建與診斷（19YJA880007）

祖丹（1991—），女，吉林琿春人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]