小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)：內涵 價值 表現(xiàn)形式

易亞利，宋乃慶，胡源艷

小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)：內涵 價值 表現(xiàn)形式

易亞利1，2，宋乃慶1，3，4，胡源艷1，2

（1．西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715；2．玉林師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 玉林 537000；3．西南大學 基礎教育研究中心，重慶 400715；4．中國基礎教育質量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心 西南大學分中心，重慶 400715）

在辨析小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)存在性的基礎之上，定義小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的內涵為：將現(xiàn)實情境轉化并表述為數(shù)學問題，以小學數(shù)學概念、命題、運算法則或假設為前提，按照邏輯規(guī)則及運算規(guī)律，得出正確結論的綜合能力．探索了小學生邏輯推理素養(yǎng)在學生的數(shù)學素養(yǎng)、綜合素養(yǎng)、人類邏輯思維形成以及整個社會發(fā)展中的重要價值，并明確了小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，為小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的測量與評價奠定了基礎．

數(shù)學邏輯推理；素養(yǎng)；內涵；表現(xiàn)形式

邏輯推理素養(yǎng)是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質，是學生非常重要的數(shù)學素養(yǎng)，也是學生綜合素養(yǎng)、個體邏輯思維形成的基礎．小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的內涵涉及多個學科，到目前為止還沒有統(tǒng)一的定義，更沒有可操作、可測量的外顯性表述．因此，厘清小學生邏輯推理素養(yǎng)的內涵、明確其結構要素和外在表現(xiàn)形式、挖掘其教育價值是對小學生邏輯推理素養(yǎng)進行測量評價、水平劃分、培養(yǎng)策略制訂等研究的首要任務．

1 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的內涵探析

1.1 邏輯推理

“邏輯”是英文“l(fā)ogic”一詞的英譯，原意為思想、理性、言辭、規(guī)律性等．古希臘時期，亞里士多德、柏拉圖、蘇格拉底等哲學家就對“邏輯推理”有了濃厚的研究興趣，眾多學者從邏輯學、心理學、數(shù)學和教育學的視角對“邏輯推理”進行了解讀，但至今仍沒有一個確定的定義[1]．《哲學大辭典》中，邏輯推演（推理）泛指從一個思想（概念或判斷）推移或過渡到另一個思想（概念或判斷）的邏輯活動．朱智賢認為形式或結構正確的推理叫邏輯推理[2]．史寧中認為邏輯推理的本質在于命題的前后連貫，因此一個簡單推理是邏輯推理當且僅當它具有傳遞性[3]．《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》定義邏輯推理是從一些命題和事實出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其它命題的過程[4]．在更多關于邏輯推理的文獻中，并未給出其內涵定義，而是將它默認為一個大家都熟知的詞匯，甚至將“邏輯推理”與“推理能力”“數(shù)學推理”“邏輯思維”“演繹推理”“歸納推理”等不加區(qū)分而混淆交叉使用．綜述之，邏輯推理即為按照邏輯法則，從已知命題推導出新命題的過程．

1.2 數(shù)學邏輯推理

從哲學的角度，邏輯推理的有效性只依賴于語句或論證的形式（結構），而不管作為前提的語句或論證的具體內容是怎樣的[5]．比如，命題“如果2+2=4，則太陽從東方升起”的前提和結論并沒有實質聯(lián)系，但僅從形式邏輯（若真，真，則→真）的角度看，它是正確且有效的．但是，數(shù)學學科中的每一個命題和結論都有具體的涵義，從正確的數(shù)學命題推導出正確的結論是數(shù)學邏輯推理的目標．因此，數(shù)學邏輯推理是與數(shù)學內容聯(lián)系著的邏輯推理形式，它比“邏輯推理”多了“數(shù)學”（內容）的要求，同時又比“數(shù)學推理”多了“邏輯”（形式）的要求．也就是說，數(shù)學邏輯推理需滿足以下3個要素：數(shù)學命題為邏輯起點；遵循邏輯推理規(guī)則和運算定律；獲得正確的數(shù)學結論．

在邏輯推理方法中，演繹推理從為真的前提（數(shù)學定義、公理、定理、法則），按照邏輯規(guī)則進行推理，得到為真的數(shù)學結論，因此毋庸置疑是數(shù)學邏輯推理；合情推理是創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)數(shù)學命題的重要工具，如數(shù)論中幾乎所有的結論都是源于歸納推理，而類比推理將幾何的諸多結論從一維擴展到二維、三維甚至多維……這些推理形式合理、結論被證明為正確，為數(shù)學的發(fā)展做出了巨大的貢獻，也應屬于邏輯推理的范疇．但是，若經(jīng)合情推理得到的結論錯誤或還未被證明為正確之前，則不將其歸于邏輯推理之列．

綜上，數(shù)學邏輯推理是以數(shù)學命題（概念、公理、定理或某種假設）為前提，按照邏輯推理規(guī)則及運算規(guī)律，推出正確結論的過程，包含演繹推理和得到正確結論的合情推理．

1.3 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)

1.3.1 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的存在性探析

邏輯推理素養(yǎng)是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要組成部分，也是數(shù)學教育研究者非常關注的一個話題．從文獻來看，邏輯推理素養(yǎng)的相關研究成果主要分布在初、高中以及大學階段，小學階段的成果較少[6]，且大多是探討推理能力的課堂培養(yǎng)策略，極少有理論或實證研究．因此，在討論小學生邏輯推理素養(yǎng)的內涵之前，明晰小學階段邏輯推理及邏輯推理素養(yǎng)的存在性是必要的．

首先，邏輯推理遍布生活、學習的各個角落，有著非常廣泛的應用．小學階段，雖然學生的邏輯思維還處于“合情說理、初步認識”的水平，在教學中也并未接受推理論證方法的系統(tǒng)訓練，但數(shù)學教材從一年級的數(shù)數(shù)、加減法運算到高年級的面積、體積公式推導、根據(jù)法則和定律解決問題、找規(guī)律等，都體現(xiàn)出邏輯推理的思想．高爾斯認為：“數(shù)學內涵的展現(xiàn)離不開必要的邏輯推理．”[7]李尚志教授更是明確指出：“看起來小學算術沒有公理，小學生也不會邏輯推理．實際上，數(shù)數(shù)就是算術公理，稱為皮亞諾公理，小學教學生掰手指數(shù)數(shù)，就是用算術公理進行邏輯推理．”[8]朱智賢、林崇德等均對小學生思維發(fā)展進行過研究[9-10]，研究表明，三至五年級是小學生具體形象思維占主導向抽象邏輯思維占主導轉變，即抽象邏輯思維初步形成的關鍵時期，此時學生已掌握簡單的邏輯推理方法[11]．幾何證明是發(fā)展學生推理能力的一種途徑，但絕不是唯一的素材和途徑[12]．所以，因小學階段沒有證明而否認數(shù)學邏輯推理存在性的觀點是片面的．此外，雖然《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（后簡稱《課標》）的核心概念表述為“推理能力”，而非“邏輯推理”，但根據(jù)《課標》，推理能力包括合情推理和演繹推理，而演繹推理就是“按照邏輯推理的法則進行證明和計算”，并在第四部分（實施建議）中說明，雖然義務教育階段不過分強調推理的形式，但同時也指出，教師應該通過實例讓學生意識到結論的正確性需要演繹推理的確認[13]．很顯然，該課標已然對小學邏輯推理提出了要求．

其次，數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)并非只有數(shù)學邏輯推理能力極高或達到一定水平的學生才具備，素養(yǎng)是伴隨知識與能力而生的．顧沛指出：“小學生、中學生、大學生，數(shù)學學習的內容雖然不相同，但滲透數(shù)學思想、提高數(shù)學素養(yǎng)這一點是共同的，應該從小學一年級就開始，也完全可以從小學一年級就開始．”[14]事實上，小學階段的數(shù)學（核心）素養(yǎng)早已成為了基礎教育的研究熱點．如，李星云（2016）根據(jù)PISA數(shù)學素養(yǎng)測試理念，構建了小學生六大數(shù)學核心素養(yǎng)框架，其中，邏輯推理素養(yǎng)是重要的一部分[15]；楊燕（2018）也對小學數(shù)學核心素養(yǎng)的測評方法進行了研究[16]．可見，小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)不僅是存在的，而且是可測量的．

1.3.2 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)內涵界定

在《現(xiàn)代漢語詞典》中，“素養(yǎng)”即平日的修養(yǎng)，是人們通過后天的訓練、實踐與習得而養(yǎng)成的．從教育的角度，素養(yǎng)的內涵可歸結為學生在教育過程中逐漸形成的知識、能力和態(tài)度等方面的綜合表現(xiàn)[17]．可見，在知識和技能的基礎上，“素養(yǎng)”更注重學生感悟、理解及在實際情境中應用知識與技能的特質．國際大型測試PISA的測評框架分別從內容、過程、情景3個維度考察了學生的數(shù)學素養(yǎng)，而數(shù)學邏輯推理的前提、過程和結論三要素中，數(shù)學命題是前提和起點，考察了學生對數(shù)學知識（主要是命題、定理、規(guī)律等）的掌握；邏輯推理過程考察學生的推理能力與技巧；將現(xiàn)實情景轉化為數(shù)學命題，以及將推理得到的數(shù)學結論用自然語言或者數(shù)學符號進行表達，并還原到具體的情境中，體現(xiàn)了學生理解情景、解決實際問題的能力．

因此，從數(shù)學素養(yǎng)的視角，基于可測、可操作的目的，小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的內涵可定義為：將現(xiàn)實情境轉化并表述為數(shù)學問題（情境維度），以小學數(shù)學概念、命題、運算法則或假設為前提（內容維度），按照邏輯規(guī)則及運算規(guī)律得出正確結論（過程維度）的綜合能力．可見，小學生邏輯推理素養(yǎng)的內涵不僅體現(xiàn)了對知識掌握與推理技能的要求，更體現(xiàn)了應用這些知識和技能進行創(chuàng)造性思考、真實情境轉化、有理有據(jù)地表達交流以及解決實際問題等“素養(yǎng)”的要求．

2 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的個人價值與社會價值

2.1 數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)是學生終身數(shù)學學習能力的重要支撐

邏輯推理是數(shù)學嚴謹性的基本保證，是得到新數(shù)學結論、構建新數(shù)學體系的重要途徑．它已不僅是數(shù)學學習的目標和活動，更是一種重要的數(shù)學學習和數(shù)學理解的方式[18]，是數(shù)學思維活動的核心內容[19]．英國邏輯學家羅素認為數(shù)學的基礎是邏輯，全部的數(shù)學都可以化歸為邏輯[20]．林崇德將運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力稱為中小學生的三大數(shù)學基本能力[9]．從20世紀50年代開始，雖經(jīng)歷若干次修訂，“邏輯推理能力”都無一例外地作為學生必備的數(shù)學能力寫入到我國的數(shù)學課程標準中．《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確將推理能力列入中小學生發(fā)展的十大核心概念．《高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中，邏輯推理為六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一．而無論是十大核心概念、六大核心素養(yǎng)，還是三大基本能力，邏輯推理素養(yǎng)都是其它數(shù)學素養(yǎng)或能力得以更好發(fā)展的支撐．比如，數(shù)學運算是以計數(shù)和運算律為前提的邏輯推理；數(shù)學抽象是從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形的關系中抽象出數(shù)學概念和概念之間的關系的歸納、類比推理……．小學是數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)形成與發(fā)展的關鍵階段，初中、高中甚至大學數(shù)學中的幾何證明、演繹推理等都是小學數(shù)學邏輯推理的進一步延續(xù)和深入．因此，小學邏輯推理素養(yǎng)是學生在終身學習過程中數(shù)學核心素養(yǎng)的重要基石和支撐．

2.2 數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)是學生綜合素養(yǎng)形成與發(fā)展的基礎

早在21世紀初，歐盟率先提出了學生發(fā)展的核心素養(yǎng)指標體系，在多個維度中都蘊含了邏輯推理素養(yǎng)的內容．如數(shù)學素養(yǎng)：“能評價他人提出的觀點是否具有邏輯；能用數(shù)學進行推理”；科技素養(yǎng)：“使用科學數(shù)據(jù)達成基于證據(jù)的結論，……，能交流結論及其推導過程”；社交和公民素養(yǎng)：“批判性和創(chuàng)造性地思考”等．美、英、日等在其21世紀核心素養(yǎng)指標體系中，也都明確對“邏輯推理”提出了要求，如美國的“學習與創(chuàng)新素養(yǎng)（learning and innovation skills）”、法國的“數(shù)學和科學文化素養(yǎng)”、日本的“思維能力”等．中國21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系中，“理性思維”與“批判質疑”兩個要點的闡述也與邏輯推理相關．可見，邏輯推理素養(yǎng)是學生綜合素養(yǎng)中極其重要的組成部分，而小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)是它形成與發(fā)展的基礎，影響到學生的整個學習、發(fā)展及成長過程中綜合素養(yǎng)的提升．

2.3 數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)是人類邏輯思維能力的重要來源

邏輯思維是人類特有的思維活動，是人們將感觀獲得的信息抽象成概念，并對此進行判斷、推理而產生新的認識和反映客觀世界的理性過程．數(shù)學推理方法的多樣性體現(xiàn)了數(shù)學思維的靈活性和創(chuàng)新性[21]，它讓人們善于通過歸納、類比等發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系與區(qū)別，提出新觀點，得到新的結論；能讓人們在思考問題時更具敏捷性、靈活性、獨創(chuàng)性與批判性，能更有條理、有邏輯地思考、交流與表達，也決定著個體創(chuàng)造力的發(fā)展和邏輯思維品質的深刻性[22]．而數(shù)學是邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)皿，人的邏輯推理能力是通過數(shù)學培養(yǎng)起來的[23]，小學是學生邏輯思維形成的關鍵階段，為個體后期邏輯思維的形成與發(fā)展提供了重要來源．

2.4 數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)是推動整個社會發(fā)展的有力保障

社會是相互聯(lián)系的人類生活共同體，社會的發(fā)展終究是靠人才的發(fā)展．面對日益激烈的國際形勢，創(chuàng)新已成為新世紀的時代精神．習近平總書記強調：“創(chuàng)新始終是推動一個國家、一個民族向前發(fā)展的重要力量．”[24]而邏輯推理素養(yǎng)是創(chuàng)新型人才的最重要組成部分，因為通過邏輯推理，人們才能以既有的儲備知識為基礎，認識和把握客觀事物的本質與發(fā)展規(guī)律，獲得新理論、新方法和新結論．只有從小學階段就重視演繹推理和合情推理，加強邏輯推理素養(yǎng)的培育，才能讓創(chuàng)新成為常態(tài)，推動著整個社會向前發(fā)展．

總之，小學階段是邏輯思維萌芽、形成與發(fā)展的關鍵時期，小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)不僅直接影響學生未來數(shù)學學習及成長過程中綜合素養(yǎng)的形成、創(chuàng)新思維的發(fā)展，而且對國家綜合國力提升和社會發(fā)展均起著重要的作用，是實現(xiàn)中華民族偉大復興、由教育大國向教育強國轉變的有力保障．

3 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的表現(xiàn)形式

根據(jù)小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的內涵，小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)包含對數(shù)學邏輯推理前提（數(shù)學學科知識）的掌握、對邏輯推理技巧與方法的運用以及對數(shù)學情境的轉化與表達3個部分，具體闡述如下．

首先，小學生數(shù)學邏輯推理的前提是數(shù)學學科知識，主要是指推理過程中所用到的數(shù)學概念、數(shù)學命題、數(shù)學公式以及運算法則與規(guī)律等．

其次，邏輯推理過程即尋找合理的推理方法與途徑，采用有效的邏輯形式和結構進行推導．《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將推理能力分為演繹推理和合情推理（歸納推理和類比推理）．在小學階段，演繹推理主要有三段論、選言推理和假言推理．

最后，在數(shù)學素養(yǎng)中，數(shù)學表征和交流是至關重要的工具[25]．章建躍認為，數(shù)學素養(yǎng)的形成是以數(shù)學知識為載體，以數(shù)學活動為路徑而逐步實現(xiàn)的，情境化是數(shù)學知識轉化為數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑[26]．數(shù)學邏輯推理情境即要求學生能將現(xiàn)實情境轉化為數(shù)學問題，并用數(shù)學符號描述與表征，同時能將推理的過程用邏輯語言（如：只有…才…、如果…那么…、因為…所以…等聯(lián)結詞）清晰地表達．

綜上，小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的具體表現(xiàn)形式如表1所示．

表1 小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的表現(xiàn)形式

4 結語

“小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)”涉及到多個學科，上文僅從數(shù)學教育、數(shù)學素養(yǎng)的視角對它的內涵、價值和表現(xiàn)形式進行了嘗試性的探析，尚有諸多不成熟之處，也期待該題材能得到更多學者的關注與研究，以便能“淡化形式，注重實質”[27]，得到更多研究成果．此外，小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的表現(xiàn)形式僅從理論上進行了凝練，還有待實證研究，以期為下一步小學生邏輯推理素養(yǎng)的測評指標體系以及測量模型的構建提供理論依據(jù)．

[1] 張軍翎．中小學生的邏輯推理能力、元認知與學業(yè)成績的相關研究[D]．上海：華東師范大學，2007：2．

[2] 朱智賢．心理學大辭典[M]．北京：北京師范大學出版社，1989：685．

[3] 史寧中．試論數(shù)學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（4）：1-16，46．

[4] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：5．

[5] 哲學大辭典·邏輯學卷[M]．上海：上海辭書出版社，1986：414．

[6] 王志玲，王建磐．中國數(shù)學邏輯推理研究的回顧與反思——基于“中國知網(wǎng)”文獻的計量分析[J]．數(shù)學教育學報，2018，27（4）：88-94．

[7] 蒂莫西·高爾斯．牛津通識讀本：數(shù)學[M]．劉熙，譯．南京：譯林出版社，2014：1．

[8] 李尚志．核心素養(yǎng)滲透數(shù)學課程教學[J]．數(shù)學通報，2018，57（1）：1-6，14．

[9] 林崇德．學習與發(fā)展——中小學生心理能力發(fā)展與培養(yǎng)[M]．北京：北京師范大學出版社，1999：238-244．

[10] 朱智賢．兒童思維的發(fā)生與發(fā)展[J]．北京師范大學學報，1986（1）：1-9．

[11] 張軍翎．中小學生的邏輯推理能力、元認知及注意力水平與學業(yè)成績的比較[J]．心理科學，2008（3）：707-710．

[12] 劉曉玫，楊裕前．關于推理能力問題的幾點思考[J]．數(shù)學教育學報，2002，11（2）：54-56．

[13] 中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：7．

[14] 顧沛．小學數(shù)學教學也要注重滲透數(shù)學思想[J]．小學教學（數(shù)學版），2012（Z1）：14-18．

[15] 李星云．論小學數(shù)學核心素養(yǎng)的構建——基于PISA2012的視角[J]．課程·教材·教法，2016，36（5）：72-78．

[16] 楊燕，周東明．小學四年級學生數(shù)學素養(yǎng)測評研究[J]．教育研究與實驗，2018（6）：64-68．

[17] 林崇德．21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M]．北京：北京師范大學出版社，2016：5．

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[23] 袁緣，李輝來．數(shù)學的邏輯思維在人類思想邏輯化進程中的作用[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（6）：23-26．

[24] 新華社．加快實施創(chuàng)新驅動發(fā)展戰(zhàn)略，加快推動經(jīng)濟發(fā)展方式轉變[N]．經(jīng)濟日報，2014-08-19（B1）．

[25] 胡典順．數(shù)學素養(yǎng)研究綜述[J]．課程·教材·教法，2010，30（12）：50-54．

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Pupils’ Mathematical Logical Reasoning Literacy: Connotation, Value and Forms of Manifestation

YI Ya-li1, 2, SONG Nai-qing1, 3, 4, HU Yuan-yan1, 2

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. School of Mathematics and Statistics, Yulin Normal University, Guangxi Yulin 537000, China;3. Basic Education Research Center, Southwest University, Chongqing 400715, China;4. Southwest University Branch, Collaborative Innovation Center of Assessment toward Basic Education Quality, Chongqing 400715, China)

On the basis of distinguishing the existence of pupils’ mathematical logical reasoning literacy, the pupils’ mathematical logical reasoning literacy was described as a comprehensive ability of transforming and expressing real situations into mathematical problems and drawing correct conclusions according to logical and operation rules based on the premise of mathematical concepts, propositions, algorithms or hypothesis. This study reveals the important value of pupils’ logical reasoning literacy in students’ mathematical literacy and comprehensive literacy, in the formation of individual logical thinking and in promoting social development. At last, the forms of manifestations of pupils’ mathematical logical reasoning literacy was expressed explicitly. The whole work laid a key foundation for the measurement and evaluation of pupils' mathematics logical reasoning literacy.

mathematical logical reasoning; literacy; connotation; forms of manifestation

G623.5

A

1004–9894（2022）04–0028–04

易亞利，宋乃慶，胡源艷．小學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)：內涵價值表現(xiàn)形式[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（4）：28-31．

2022–02–03

2019年國家社會科學基金重大項目——國家基礎教育質量監(jiān)測與評價體系研究（19ZDA359）；2020年教育部人文社會科學研究青年項目——援南蘇丹小學數(shù)學課程標準研制探析（20XJC880002）

易亞利（1981—），女，湖北恩施人，玉林師范學院副教授，西南大學博士生，主要從事教育統(tǒng)計與測評研究．

[責任編校：張楠、陳漢君]